中考开放型问题研究

M
N F
D
C
O p B F D
E
A
O
O
B
P
F B P
A
A
O
B
P
图1
N
图2
图3 图3
M
E N N
(05江西)在边长为2的正方形ABCD中，O、E分别是AD、 AB的中点，点F是以O为圆心、OE为半径的圆弧与DC的 交点，点P在弧EF上运动，连结OP，并延长交直线BC于 点K.(1)当P从E运动到F时，点K运动了多少？(2)过点P 作 弧EF的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、 直线BC分别交于点M、G.①当K与B重合时，BG：BM的 值是多少？②在P运动过程中，是否存在BG:BM=3的情 况？若存在，求出BK的值；若不存在，试说明理由.(3)一 般地，是否存在BG：BM=n（n为正整数）的情况？试提 出你的猜想（不要求证明）
C
B
(05泰州)(1)高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB(图 1).某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长 BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度． (2)用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树 AB高度的方案，要求：①在图2上，画出你设计的测量方 案示意图，并将应测数据标记在图上； ②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度 （用字母表示）．
解法开放型
（05河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所 示，△ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半 圆O的两个三等分点。CG、DG分别交AB于点E、F. 试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？并证明 你结论（证一种情况即可） 本题是集探索、猜 想、判断、证明于 一体的开放题，难 度不大，但改变了 过去给出结论，让 学生去证明的固定 模式，激活了学生 的思维.
根据条件，欲求圆半径的方法很多， 选择不同的数据则应用的几何定理也 不同，求解过程也不一样。但盲目选 择也会给解题带来麻烦，且有的方法 解不出结果来，这就要求学生在解题 过程中不因循守旧，通过积极思考， 优化解题策略。
D a E b A O B c
条件多变开放题
对某一问题进行改造，如改变某一条件或几个 条件或把图形平移、旋转后，再对原来的结论 进行重新探索。常用类比猜想的方法，思考时 通过联想相似题目的解题思路与方法，比较异 同并以此来寻求解题的途径。
中考中的开放型问题 研究
解决策略与方式 问 题 背 景
约 束 条 件
结 论
应 用
条件开放、结论开放、设计开放、信息 处理开放、解法开放、条件多变开放等
条件开放型
这类题目一般给出了问题的部分条件,在题目要求 的结论下,补充或者另设一些条件,使得符合题意. 解决这类问题一般运用逆向思维,从结论及部分条 件出发,逆向推出所需的条件.
⑵ AB＝2BC（或者∠C＝90°，∠A＝30°），中位线EF.⑶ 方法一： ∠B＝90°且AB＝2BC，中位线EF.方法二：AB＝AC且∠BAC＝90°， 中线（或高）AD.⑷ 方法一：不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作 ∠GDB＝∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切 线. 方法二：不妨设∠B＞∠C，分别取AB、AC的中点D、E，过D、E作 BC的垂线，G、H为垂足，在HC上截取HF＝GB，连结EF，则EF为剪切线. 方法三：不妨设∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG＝DB，连结AG，过 AC的中点E作EF∥AG交BC于F，则EF为剪切线.
（05烟台）(1)如图1，直线MN与⊙O相交，且与⊙O的直径 AB垂直，垂足为P，过P的直线与⊙O交于C、D两点，直线 AC交MN于点E.求证：PC· PD=PE· PF.(2)如图2,若直线MN与 ⊙O相离.(1)中的其余条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?(3) 如图3,直线MN与⊙O相离,且与⊙O的直径AB垂直，垂足为P. 请按要求画出图形,画⊙O 的割线PCD(PC<PD),直线BC与 MN交于点E，直线BD与MN交于点F .(1)中的结论是否成立?
D
N
C
D
C F
F
A E B M A E B M
(05泰州) 图1是边长分别为4√3和3的两个正三角形ABC和 C’D’E’叠放在一起(C与C’重合).(1)固定△ABC将△C’D’E’绕 点C顺时针旋转30度得到△CDE，连结AD、BE,CE的延长 线交AB于F,在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关 系?(2)图2中△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位 的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3),设△PQR移 动的时间为x秒,△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y 与x之间的解析式.(3)图1中△C’D’E’固定，将△ABC移动， 使顶点C落在C’E’的中点，边BC交D’E’于点M，边AC交 D’C’于点N,∠ACC’=α（30度＜α＜90度),图4中C’N·E’M的 值是否随α的变化而变化？若没有变化，请求值；若有变化， 请说明理由.
(05福州)如图,点C、D在线段AB上,PC=PD.请你添加一个条 件,使图中存在全等三角形,并给予证明.所添条件为______, 得到的一对全等三角形是__________. 证明:
P
A
C
D
B
结论开放型
这类问题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的 发散性思维和所学的基础知识的应用能力.鼓励学生从多角度、 多层次、多侧面地思考问题，发展学生的求异思维，对于发挥 学生的主体精神，培养学生的个性很有益处。 (05济宁)结合生活中的实例，(1-15%)x可以解释为_______. (05南昌)已知抛物线y= - ( x - m ) 2 + 1 , 与x轴的交点为A， B（B在A的右边），与y轴的交点为C. (1)写出m=1时与抛物线有关的三个正确结论; (2)当点B在原点的右边,点C在原点的下方,是否存在△BOC为 等腰三角形的情形,若存在求出m的值;若不存在,说明理由. (3)请你提出一个对于任意m都能成立的正确命题(说明:根据 提出问题的水平层次,得分略有差异).
C A
B C A D
C A
B
B
该题目以“课题研究”为题材,形式新颖,考查学生 的创造能力和创新思维能力,有利于培养学生研究 问题的习惯.本题可以设计如下方案:
半圆
正八边形的一半
正十边形的一半
信息处理开放型
（05安徽）下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,请回 答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同 学们交流讨论这样的一个问题:“已知等腰三角形ABC的 角A等于30度,请你求出其余两角”. 同学们经过片刻的思考与交流后,李明同学举手讲:“其余 两角是30度和120度”；王华同学说：“其余两角是75 度和75度”，还有一些同学也提出了不同的看法… (1)假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？(2)通过上 面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示） 该题真实地再现了生动活泼的课堂片段，以讨论的方 式呈现，要求学生把自己的观点表达出来，减轻了考 生的心理压力.同时考查了学生思维的批判性.
设计开放型
这类题目的编制一般背景新颖、形式活泼，通 过添画、分割、剪拼等方式，让学生在充满探 索的过程中感受数学创造的乐趣.设计型问题主 要考查学生动手能力和实践能力.解决此类问题 时,要先思考,后动手,防止盲目尝试.
(05安徽) 下图是一个10×10格点正方形组成的网格,△ABC 是格点三角形（顶点在网格交点处），(1) 在图中画出与 △ABC相似的格点△DEF与△PMN,且 △DEF 与△ABC 2 的相似比2,△PMN 与△ABC的相似比是 ;
D n
α
M
若改成测量小山高度时,因要 测量出测角仪到山底的距离比 较困难,此时方案二比方案一优 越.
B
C
方案2图b
G
(05淮安市金湖实验区) 课题研究:现有边长为120的正方形铁 皮.准备将它设计成一个水槽,使能通过的水流量最大.初三(1) 班数学兴趣小组经过讨论,在水流速度一定的情况下,水槽的 横截面越大,通过水槽的水流量越大.他们设计了不同的方 案.(1)方案①把它折成横截面为直角三角形的水槽,∠ABC=90 度,设AB=x,该水槽的横截面面积为y,写出y关于x的函数关 系式,计算x取何值时y最大,并求这个最大值.方案②把它折成 横截面为等腰梯形的水槽.若∠ABC=120度,求出梯形ABCD 面积的最大值,并与①中的最大值比较.(2)假如你是该兴趣小 组中的成员,请你再提供两种方案,使水槽的横截面面积更大.
(05青岛)如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的平分线相 交于点E,直线AE交△ABC的外接圆于D,连结BD,CD,CE, ∠BDA=60度,求证: △BDE是等边三角形. 下面是小鹏和小明的解题思路:他们都用到三角形的外角 与内角关系及角平分线的性质,但小鹏先证
第一类：找规律问题 这类问题要求大家通过观察,分析,比较,概括,总结出题 设反映的某种规律,进而利用这个规律解决相关问题
2
(2)在图中用与△ABC, △DEF , △PMN全等的格点三角形 (每个三角形至少使用一次),拼出你熟悉的图案,并为你设 计的图案配一句贴切的解说词.
A
这类试题是近年来出现的一种题型, 代表一种命题的新思路.这类试题往 往利用给定的几个基本图形,要求设 计一个有意义的图形,这类题要求有 良好的动手能力,丰富的想象能力和 创造能力.
E
光线
E
A A
A
B C D F B
A
B
C 图1
D
F
B 图2
A
A
G
A
A
α m M
G α M α β E
B
αh m
N
B
m
β
h
F
B
h
B
N
m
h
一般限定条件、限定测量工具,设计一个可行的方案,对某 一物体的长度进行测量并计算.大多以建立直角三角形模 型进行求解,须注意的是设计的方案应是具有可操作性的.