4二次函数与代数的综合(2014-2015)

中考解决方案二次函数与代数的综合学生姓名：上课时间：内容基本要求略高要求较高要求二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题一、与x轴的交点为整数☞考点说明：二次函数与x轴的交点问题是令0y=，解关于x的二次方程，用含参量的未知数表示x，然后用变量分离表示出x，最后用整除解决问题．【例1】已知关于x的方程2(32)220mx m x m-+++=（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数2(32)22y mx m x m=-+++的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式.例题精讲二次函数与代数的综合中考说明【例2】 已知二次函数22(1)(31)2y k x k x =---+．（1）二次函数的顶点在x 轴上，求k 的值；（2）若二次函数与x 轴的两个交点A 、B 均为整数点（坐标为整数的点），当k 为整数时，求A 、B 两点的坐标．【例3】 已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根， 把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．【例4】 已知关于x 的一元二次方程23(1)230mx m x m -+++=．如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围在（1）的条件下，关于x 的二次函数23(1)23y mx m x m =-+++的图像与x 轴交点的横标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．【例5】 已知关于x 的一元二次方程032)1(222=--++-k k x k x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最小的整数时，求抛物线 32)1(222--++-=k k x k x y 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将(2)中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线m x y +=有三个不同公共点时m 的值．二、代数式计算☞考点说明：代数式计算主要涉及到消元和降次的思想，简单的题目可以直接整体代入． 【例6】 已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=．(1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物线2C 的解析式；(3) 点(,)A m n 和(n ,)B m 都在(2)中抛物线2C 上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．【例7】 已知关于x 的方程()03132=+++x m mx .（1）求证：不论为m 任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P （1x ，1y ）与点Q （n x +1，2y ）在（2）中抛物线上，（点P 、Q 不重合），且21y y =，求代数式81651242121++++n n n x x 的值.【例8】 已知：关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k .（1）当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；（2）若k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移21个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．三、与一次函数有交点☞考点说明：二次函数一与次函数有交点问题，解法是联系解析式，组成关于x 的二次方程，然后求解．如果只有一个交点，说明0∆=，一次函数与二次函数相切；但是如果题目中给出的是直线，一定要注意是否有x a =的直线．【例9】 已知关于x 的一元二次方程2(4)10x m x m --+-=．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是3-，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2(4)1y x m x m =--+-向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y x b =+与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b 的值．【例10】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x bx c =++的图象经过10-（，）和302（，）两点.（1）求此二次函数的表达式.（2）直接写出当312x -<<时，y 的取值范围.（3）将一次函数()12y m x =-+的图象向下平移m 个单位后，与二次函数22y x bx c =++图象交点的横坐标分别是a 和b ,其中2a b <<，试求m 的取值范围.【例11】 已知关于x 的方程2(1)0x m x m ---=①和2(9)2(1)3x m x m --++= ②，其中0m >．（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数21-(-1)-y x m x m =的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．将A 、B 两点按照相同的方式平移后，点A 落在点(1,3)A '处，点B 落在点B '处．若点B '的横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值；（3）设二次函数22(9)2(1)y x m x m =--++，在（2）的条件下，函数1y ，2y 的图象位于直线3x =左侧的部分与直线(0)y kx k =>交于两点，当向上平移直线y kx =时，交点位置随之改变，若交点间的距离始终不变，则k 的值是_______________．四、沿某条直线翻折二次函数的部分图像☞考点说明：此类问题，要多应用数形结合的思想，找到临界点从而解决问题．沿x 轴翻折有交点的问题【例12】 二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，其顶点坐标为(1,4)M ．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．【例13】 已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时， 求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形1C ,将图形1C 向右平移一个单位,得到图形2C ，当直线y=x b +(b<1)与图形2C 恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.【例14】 已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点(,)p m n ，0n <，103OP =，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.-1-111xO y沿平行于x 轴的直线翻折【例15】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-．（1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是___________________．【例16】 已知：抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线2(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤． ①求m 的取值范围；②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ．【例17】 已知：关于x 的一元二次方程2(41)3301mx m x m m -+++=（＞） ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为12x x ，（其中12x x ＞），若y 是关于m 的函数，且123y x x =﹣，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线2m =的左侧部分沿直线2m =翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数2y m b =+的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．【例18】 关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ．（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t)，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．xyO沿y 翻折【例19】 已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2） 当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且23AB OC =，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．五、用函数的思想解方程☞考点说明：当通过解方程不能解决问题本身时，可以用函数的概念和性质，去分析问题、转化问题和解决问题．【例20】 已知：1x 、2x 分别为关于x 的一元二次方程2220mx x m ++-=的两个实数根．（1）设1x 、2x 均为两个不相等的非零整数根，求m 的整数值； （2）利用图象求关于m 的方程1210x x m ++-=的解．【例21】 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0.（1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．六、二次函数与反比例函数的综合☞考点说明：当二次函数与其他函数综合时，要多考虑题目中出现的函数的性质． 【例22】 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数21y k x x =+-（）的图象交于点1Ak （，） 和点1B k --（，）．（1）当2k =-时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当ABQ △是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．【例23】 如图，抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0），其对称轴与x 轴的交点为C,反比例函数ky x=（x>0，k 是常数）的图象经过抛物线的顶点D ． （1）求抛物线和反比例函数的解析式．（2）在线段DC 上任取一点E ，过点E 作x 轴平行线，交y 轴于点F 、交双曲线于点G ， 联结DF 、DG 、FC 、GC ．①若△DFG 的面积为4，求点G 的坐标； ②判断直线FC 和DG 的位置关系，请说明理由； ③当DF=GC 时，求直线DG 的函数解析式．七、其他类型的代数综合【例24】 已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x（1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值；（3）在（2）的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．yxO【例25】 （2013年昌平二模）已知点1(,)A a y 、2(2,)B a y 、3(3,)C a y 都在抛物线21122y x x =-上.（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当1a =时，求ABC △的面积；（3）是否存在含有1y 、2y 、3y ，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.-1-111xOy【例26】 已知：如图，抛物线21:43L y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点A 和抛物线1L 的顶点坐标； （2）研究二次函数22:43L y kx kx k =-+(0)k ≠．①写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②若直线8y k =与抛物线2L 交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会因k 值的变化而发生变化？ 如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．【题1】 已知关于x 的一元二次方程2(2)210m x x +--=．（1）若此一元二次方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若关于x 的二次函数21(2)21y m x x =+--和22(2)1y m x mx m =++++的图象都经过x 轴上的点(n,0)，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将二次函数21(2)21y m x x =+--的图象先沿x 轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数3y 的图象．请你直接写出二次函数3y 的解析式，并结合函数的图象回答：当x 取何值时，这个新的二次函数3y 的值大于二次函数2y 的值．1 2 3 4 4 3 2 1xy O -1 -2 -3 -4 -4-3 -2 -1课后作业【题2】 已知二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象经过点(10)，，和(30)-，，反比例函数1k y x=（x ＞0）的图象经过点(1,2)．（1）求这两个二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象； （2）若反比例函数1k y x =（0x >）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠）的图象在第一象限内交于点00()A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数2k y x=（00k x >>，）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围．【题3】 已知：二次函数22(2)y x n m x m mn =+-+-．（1）求证：此二次函数与x 轴有交点；（2）若10m -=,求证方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a ,当2x =时，关于n 的函数1y nx am =+与222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与1y nx am =+、222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点C 、D ，若6CD =，求点C 、D 的坐标.【题4】 已知：关于x 的方程()()01342=---+m x m x 有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）抛物线C ：()()1342-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点．若1-≤m 且直线1l :12--=x my 经过点A ,求抛物线C 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，直线1l :12--=x my 绕着点A 旋转得到直线2l ：b kx y +=，设直线2l 与y 轴交于点D ，与抛物线C 交于点M （M 不与点A 重合），当23≤AD MA 时，求k 的取值范围．【题5】 己知二次函数)12(221-+-=t tx x y ()1t >的图象为抛物线1C ．（1）求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；（2）已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：22)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为(,)D m n ，(,)E m +2n ，求n 的值． （3）在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=21(b<3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．O xy32-1121-1。