2013-2014海淀区高二期中练习-数学理及答案

海淀区高二年级第二学期期中练习
数学（理科）
参考答案及评分标准 2014．04
一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
（8）讲评提示：考察函数
e
x . 二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）(2,)+ （10）4π （11）16
（12）2
（13）1
11111()23
2
1
n n n ++
+++
<+∈-N* ，12k + （注：每空2分）
（14）20(,0)a b （注：回答出20(,0)a b 给4分；答案为0(,0)ab b 或20(,0)b b 或22
(,0)2a b
b +给
3分；其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）
三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，
所以 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ， 所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^. 因为 PD BC ^，CD
PD D =，PD Ì平面
PDC ，DC Ì平面PDC ，
所以 BC ^平面PDC . ………………………8分 因为 PC Ì平面PDC ，
所以 BC PC ^.
O
A
E
B
C
D
P
即 PBC ∆是直角三角形. ………………………10分
（16）（本小题满分11分）
解：（Ⅰ）因为 ()3
32f x ax x =++，
所以 2
'()33f x ax =+. ………………………2分 因为 函数()f x 的一个极值点是1, 所以 '(1)330f a =+=.
解得：1a =-. ………………………4分 经检验，1a =-满足题意. 所以 (2)0,'(2)9f f ==-.
所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是9(2)y x =--，即9180x y +-=. ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2
'()33f x x =-+.
令'()0f x =，得 121,1x x =-=. ………………………7分 当x 在[2,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下表
………………………10分 所以 函数()f x 在[2,3]-上的最大值为4，最小值为-16. ………………………11分
（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为()e a x
g x x -=，x ∈R ，
所以'()(1)e
a x
g x x -=-． ………………………2分
令'()0g x =，得1x =．
当x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：
故()g x 的单调递减区间为；单调递增区间为． ………………………5分 （Ⅱ）因为 ()e a x h x x -=+， 所以 '()1e
a x
h x -=-. ………………………6分
令'()0h x =，得x a =．
当x 变化时，()h x 和'()h x 的变化情况如下：
即()h x 的单调递增区间为；单调递减区间为． ………………………8分 所以()h x 的最小值为()1h a a =+.
①当10a +>，即1a >-时，函数()h x 不存在零点.
②当10a +=，即1a =-时，函数()h x 有一个零点. ………………………10分 ③当10a +<，即1a <-时，(0)e 0a
h =>， 下证：(2)0h a >.
令()e 2x m x x =-，则'()e 2x m x =-. 解'()e 20x m x =-=得ln 2x =.
当ln 2x >时，'()0m x >，所以 函数()m x 在[)ln 2,+∞上是增函数. 取1ln 2x a =->>，得：ln2()e 2e 2ln 222ln 20a m a a --=+>-=->. 所以 (2)e 2()0a h a a m a -=+=->.
结合函数()h x 的单调性可知，此时函数()h x 有两个零点.
综上，当1a >-时，函数()h x 不存在零点；当1a =-时，函数()h x 有一个零点；当1a <-时，函数()h x 有两个零点. ………………………12分 （18）（本小题满分11分） （Ⅰ）解：（1）不是，因为线段12A B 与线段12A A 不垂直；
（2）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直. ………………………2分
（Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是
真命题.理由如下：
当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,
n k k =-=，取折线1221k C A A A ----：.其中
(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，满足211(1,2,,21),0(1,2,,),i i a i i k b i k -=-=-== 21(1,2,
,1)i b i k ==-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.
当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,
n k k ==，取折线122k C A A A ---：.其中
(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =，满足
22121(1,2,
,21),2,0(1,2,
,),1(1,2,
,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C
的共轭折线为折线122'k C B B B ---：.其中(,)(1,2,
,2)i i i B x y i k =满足
22212211(1,2,
,23),21,21,2,0(1,2,
,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,
,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分
注：本题答案不唯一.
（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，
44B A =），设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数. 则由11t t t t B B A A ++⊥，
得：
11
22
33
123
123
30,
30,
30,
9,
1. x y
x y
x y
x x x
y y y
+=
⎧
⎪
-=
⎪
⎪
+=
⎨
⎪++=
⎪
⎪++=
⎩
①
②
③
④
⑤
由①②③式得
11
22
3
,
,
.
3
3
3
3 y x y x y x
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
这与⑤式矛盾，因此，折线C无共轭折线. ………………………11分注：对于其它正确解法，相应给分.。