初三中考总复习方程专题的很全
九年级中考总复习之2方程与不等式
九年级中考总复习（2）方程与不等式内容概要2.1 方程的定义与解方程2.2 方程的解的问题2.3 不等式及其解的问题2.4 方程、不等式应用题复习笔记1、方程：含有未知数的等式叫做方程．（1）一元一次方程：只含一个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫做一元一次方程．（2）二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程就叫做二元一次方程．由两个一次方程组成且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（3）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．（4）一元二次方程：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．2、方程的解：使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解．3、解方程：方程的类型从少元到多元，从低次到高次，由整式到分式等复杂的方程．解决方程的思想为复杂方程变为简单方程，解决方程的方法正好是消元和降次，化为整式方程．4、解方程的方法：（1）一元一次方程：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化1．（2）二元一次方程（组）：①加减消元法；②代入消元法．（3）分式方程：化为整式方程，注意“增根”问题．（4）一元二次方程：①直接开平方法；②配方法：()200ax bx c a++=≠⇒2224c+=24b b axa a-⎛⎫⎪⎝⎭；③公式法：求根公式x=（240b ac-≥）；④因式分解法．课堂例题1、方程22(1)(3)0a a a x a x a +++-+=．当a =__________时，它为一元一次方程；当它为一元二次方程时，a 为__________．2、解方程：3、小明同学解关于x 的一元一次方程21152x x a ++-=时，方程左边的1忘记乘以10了，解得方程为x =4，求a 的值和原方程正确的解．4、已知a ，b 为定值，关于x 的方程2136kx a x bk ++=-，无论k 为何值，它的解总是1，则a +b =__________．5、已知方程组135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩的解x 为正数，y 为非负数，给出下列结论：①－3＜a ≤1；②当a =53-时，x =y ；③当a =－2时，方程组的解也是方程x +y =5+a 的解；④若x ≤1，则y ≥2．其中正确的是__________．（填写正确结论的序号）6、关于x 的两个方程22x x --=．7、（1）关于x 的分式方程3111m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是__________； （2）已知方程3144a a a a --=--，且关于x 的不等式组x a x b>⎧⎨≤⎩只有4个整数解，那么b 的取值范围是__________．9、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程224490x mx m -+-=的两实数根． （1）若这个方程有一个根为−1，求m 的值；（2）若这个方程的一个根大于−1，另一个根小于-1，求m 的取值范围；（3）已知直角∆ABC 的一边长为7，x 1、x 2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m 的值．课堂练习1、已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ．abB ．a bC ．a +bD ．a −b2、解方程： 213011x x -=-- (3)7(3)x x x +=+ 2840x x --=22430x x +-= 2121111x x x x +-=--+4、（1）已知关于x 的分式方程111k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是__________； （2）使得关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k +≥-⎧⎨-≤⎩有5个整数解的所有k 的和为__________．5、若x 0是方程ax 2+2x +c =0（a ≠0）的一个根，设M =1−ac ，N =（ax 0+1）2，则M 与N 的大小关系正确的为（ ）A ．M ＞NB ．M =NC ．M ＜ND ．不确定6、当a ，b 都是实数，且满足2a －b =6，就称点P （a －1，2b +1）为完美点． （1）判断点A （2，3）是否为完美点； （2）已知关于x ，y 的方程组62x y x y m +=⎧⎨-=⎩，当m 为何值时，以方程组的解为坐标的点B （x ，y ）是完美点，请说明理由．7、已知关于x ，y 的二元一次方程3x y a -=和34x y a +=-．（1）如果51x y =⎧⎨=-⎩是方程3x y a -=的一个解，求a 的值；（2）当a =1时，求两方程的公共解；（3）若00x x y y =⎧⎨=⎩是已知方程的公共解，当x 0≤1时，求y 0的取值范围．8、已知关于x 、y 的二元一次方程组23221x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩（k 为常数）． （1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）；（2）若方程组的解x 、y 满足x +y ＞5，求k 的取值范围；（3）若（4x +2）2y =1，直接写出k 的值；（4）若k ≤1，设m =2x －3y ，且m 为正整数，求m 的值．复习笔记1、方程的解的个数问题：①ax =b ．（1）0a ≠，方程有唯一解；（2）0a b ==，方程有无数解；（3）0,0a b =≠，方程无解．②ax by c dx ey f +=⎧⎨+=⎩(0)def ≠． （1）a b d e≠，方程组有唯一解； （2）a b c d e f==，方程组有无数解； （3）a b c d e f =≠，方程组无解．③()200ax bx c a ++=≠，判断方程与根的个数的即为判别式：∆=24b ac -． （1）∆＞0，方程有两个不等实根；（2）∆=0，方程有两个相等实根；（3）∆＜0，方程无实根．2、我们学会了解方程的方法，也往往要学会通过“不解方程”来进行求值．通常不解方程求值的方法是通过恒等变形，再使用（1）整体代换；（2）降次求解；（3）一元二次方程的韦达定理（12b x x a +=-，12c x x a =，注意用韦达定理的前提是一元二次方程∆≥0）等方法．课堂例题1、已知关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一的一个解，则a 与b 必须满足的条件为__________；若该方程没有解，则a 与b 必须满足的条件为__________．2、已知关于x 的方程||540x a -+=无解，||430x b -+=有两个解，||320x c -+=只有一个解，则化简||||a c c b a b ---+-的结果是__________．3、当a ，c 为何值时，方程+2124ax y x y c =⎧⎨+=⎩有一个解？有无数解？无解？4、（1）若关于x 的分式方程21111x k x x +-=--有增根，则增根可能是__________； （2）若关于x 的分式方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则它的增根是__________； （3）若关于x 的分式方程22024mx x x +=--有增根，则m 的值为__________； （4）若关于x 的分式方程2134416m m x x x ++=-+-无解，则m 的值为__________； （5）已知，关于x 的分式方程2222x x a x x x x x--+=--恰有一个实数根，则满足条件的实数a 的值为__________．5、对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列四种条件：①240b ac -≥；②240b ac +>；③a 、c 异号；④0a b c ++=．满足其中条件之一的方程一定有实数根的有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种__________．7、已知关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=，其中a 、b 、c 分别为∆ABC 三边的长．下列关于这个方程的解和∆ABC 形状判断的结论错误的是（ ）A ．如果x ＝−1是方程的根，则∆ABC 是等腰三角形B ．如果方程有两个相等的实数根，则∆ABC 是直角三角形C ．如果∆ABC 是等边三角形，方程的解是x ＝0或x ＝−1D ．如果方程无实数解，则∆ABC 是锐角三角形8、对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，下列说法中：①若0a c +=，方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；②若方程20a x b x c ++=有两个不等的实数根，则方程20cx b x a ++=一定有两个不等的实数根；③若c 是方程20a x b x c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若m 是方程20a x b x c ++=的一个根，则一定有()2242b ac am b -=+成立．正确的有__________．（填写正确结论的序号）9、已知关于x 的方程()()22200mx m x m -++=≠．（1）求证方程有两个实数根；（2）若方程的两根都是整数，求正整数m 的值．10、关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是122,1x x =-=，（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程220a x m b +++=()的解是__________．11、三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是__________．12、阅读材料：善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2（2x +5y ）+y =5③，把方程①代入③得：2×3+y =5，y =－1，把y =－1代入①得x =4，所以，方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩． 请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组2356119x y x y -=⎧⎨-=⎩． （2）已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩，求x 2+4y 2－xy 的值．13、若a 是方程2201810x x -+=的根，则22201820171a a a -++的值为__________．14、（1）一元二次方程x 2−3x −2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（ ）A ．x 1=−1，x 2=2B ．x 1=1，x 2=−2C ．x 1+x 2=3D ．x 1x 2=2（2）一元二次方程x 2－3x －1=0与x 2－x +3=0的所有实数根的和为__________；（3）设12,x x 是方程22330x x --=的两个实数根，则1221x x x x +=__________； （4）设a 、b 是方程220180x x +-=的两个不相等的实数根，则22a a b ++=__________；（5）设关于x 的方程x 2－2x －m +1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m 的取值是__________．15、（1）如果m ，n 是两个不相等实数，且23m m -=，23n n -=，则2222018n mn m +-+=__________；（2）若∆ABC 三边a ，b ，c 满足2420a a -+=，2420b b -+=，c =∆ABC 的面积为S ，则S 2=__________．16、定义运算：a ⋆b =a （1−b ）．若a ，b 是方程x 2−x +14m =0（m ＜0）的两根，则b ⋆b −a ⋆a 的值为__________．17、若t 为实数，关于x 的方程x 2−4x +t −2=0的两个非负实数根为a 、b ，则代数式（a 2−1）（b 2−1）的最小值是__________．18、已知，关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②22(1)(1)2m n -+-≥；③1221m n -≤-≤．其中正确的结论是__________．（填写正确结论的序号）19、关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实根1x 、2x ． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x 、2x 满足1212·x x x x +=，求k 的值．课堂练习1、（1）方程111082x x +=-的根是10，则另一个根是__________； （2）如果方程211x bx m ax c m --=-+有等值异号的根，那么m =__________； （3）如果关于x 的方程2221511k k x x x x x --+=-+-，有增根x =1，则k =__________； （4）方程1110113x x x x +-+=-+的根是__________．2、关于x 的方程()2220ax a x ++=-只有一解（相同解算一解），则a 的值为__________．3、已知∆ABC 的一边为5，另外两边分别是方程260x x m -+=的两个根，则m 的取值范围是__________．4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ） A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为无实数根、有两个相等的实数根和两个不等的实数根三种5、关于x 的方程210mx x m +-+=，有以下三个结论：①当m =0时，方程只有一个实数解；②当0m ≠时，方程有两个不等的实数解；③无论m 取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是__________．（填写正确结论的序号）6、有两个一元二次方程M ：20ax bx c ++=，N ：20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下列四个结论中，错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =7、已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3(+)()5()11x y a x y x y b x y --=⎧⎨++-=⎩的解为__________．8、将关于x 的一元二次方程20x px q ++=变形为2x px q =--，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=，可用“降次法”求得432018x x -+的值是__________．9、（1）若x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −1=0的两个实数根，则x 12−x 1+x 2=__________； （2）若x 1，x 2为一元二次方程2310x x ++=的两个实数根，则31282018x x ++=__________．10、若关于x 的一元二次方程x 2+2x －m 2－m =0（m ＞0），当m =1、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2018、β2018，则112220182018111111αβαβαβ+++++的值为__________．11、关于x 的一元二次方程x 2－（2k －3）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围； （2）求证：x 1＜0，x 2＜0；（3）若x 1x 2－|x 1|－|x 2|=6，求k 的值．12、已知方程x 2+px +q =0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=－p ，x 1x 2=q ，反过来，如果x 1+x 2=－p ，x 1x 2=q ，那么以x 1，x 2为两根的一元二次方程是x 2+px +q =0．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程x 2+mx +n =0（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足a 2－15a －5=0，b 2－15b －5=0，求a bb a+的值； （3）已知a 、b 、c 均为实数，且a +b +c =0，abc =16，求正数c 的最小值．13、已知关于x 的方程x 2+2kx +k 2+k +3=0的两根分别是x 1、x 2，则（x 1－1）2+（x 2－1）2的最小值是__________．复习笔记（1）一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式． 常见不等号有：>、<、≥、≤、≠．（2）不等式的基本性质：①a b a c b c >⇒+>+，a b a c b c <⇒+<+； ②()()00ac bc c a b ac bc c ⎧>>⎪>⇒⎨<<⎪⎩； ③()()00a bc c ca b a b c c c⎧>>⎪⎪>⇒⎨⎪<<⎪⎩．（3）解不等式：解一次不等式的方法类似于解一次方程．步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化1．要特别注意的是不等式区别于方程在于变号（两边同乘以或者同除以一个负数不等号要变号）．（4）不等式组的解：若a b >，分别在数轴上画出表示下列不等式组的解的情况：x ax b x b <⎧⇒<⎨<⎩（小小取小） x ax a x b >⎧⇒>⎨>⎩（大大取大）x ab x a x b <⎧⇒<<⎨>⎩（大小小大取中间） x ax b >⎧⇒⎨<⎩无解 （大大小小取不了）（5）含参（字母）的不等式问题：特别注意：①变号问题；②会利用数轴解决问题．课堂例题1、若a b >，0c <，则ac _____bc ，a b a -_____b b a-，2ac _____2bc ，||a c _____||b c ．2、下列命题中，真命题是（ ）A ．若a b >，则2a ab > B1m =-，则1m ≤ C ．若a b >，则11a b < D ．已知a ，b 为实数，若1a b +=，则14ab ≤3、解不等式（组）：4、若不等式(2)2a x a ->-的解集是1x <-，则a 的取值范围是__________．5、若不等式组112123x ax x +<⎧⎪++⎨≤-⎪⎩的解是x < a −1，则实数a 的取值范围是__________．6、已知m ，n 为常数，若mx +n >0的解集为12x <，则nx +m <0的解集是__________．7、（1）若关于x 的一元一次不等式组100x x a -<⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是__________．（2）若关于x 的不等式组2011a x x ->⎧⎨-≤<⎩有解，则a 的取值范围是__________；（3）已知不等式组253(2)23x a x x a x+≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩有解，且每一个解x 均不在－1≤x ≤4范围内，则a 的取值范围是__________．8、对x 、y 定义一种新运算▲，规定：x y ax by =+#（其中a 、b 均为非零常数），例如：10a =#．已知113=#，111-=-#．（1）求a 、b 的值；（2）若关于m 的不等式组3(12)42m m m m p -≤⎧⎨>⎩##恰有3个整数解，求实数p 的取值范围．9、已知关于x 的方程2m x =的解满足325x y n x y n-=-⎧⎨+=⎩（0＜n ＜3），若y ＞1，则m 的取值范围是__________．10、（1）从−3，−1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组1(27)33x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，且使关于x 的分式方程2133x a x x--=---有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是__________；（2）若关于x 的不等式组2223x x x m +⎧≥-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是－9，则m 的取值范围是__________．11、阅读理解：我们把对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为《x 》，即当n 为非负整数时，若1122n x n -≤<+，则《x 》=n ．例如：《0.67》=1，《2.49》=2，……．给出下列关于《x》=2；②《2x 》=2《x 》；③当m 为非负整数时，《m +2x 》=m +《2x 》；④若《2x －1》=5，则实数x 的取值范围是111344x ≤<；⑤满足《x 》=32x 的非负实数x 有三个．其中正确的结论是__________．（填写正确结论的序号）a b 有最大值2 D 89=3a +2b ．则c ．13、若不等式27125ax x x +->+对11a -≤≤恒成立，则x 的取值范围是__________．课堂练习1、已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a cb d <，给出下列四个不等式中，正确的有__________． ①a bcd b d ++<；②c d a b d b --<；③2ac c b d <；④b d a b c d<++．2、解不等式（组）：13(21)(12)32x x --> 26321054x x x x -<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩ 2231x x -≤-≤+3、已知a ，b 为实数，则解可以表示为22x -<<的不等式组的是（ ）A ．11ax bx >⎧⎨>⎩B ．11ax bx >⎧⎨<⎩C ．11ax bx <⎧⎨>⎩D ．11ax bx <⎧⎨<⎩4、若不等式组x ax b>-⎧⎨≥-⎩ 的解为x b ≥-，则下列各式正确的是（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．b ≤aD ．ab ＞05、若关于x 的不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，则适合这个不等式组的整数a ，b 的有序数对（a ，b ）的个数是__________个．6、若3a －22和2a －3是实数m 的平方根，且t则不等式2353212x t x t ---≥的解集为__________．7、如果关于x 的分式方程1311a xx x --=++有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜−2，那么符合条件的所有整数a 的积是__________．8、如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． （1）在方程①x －（3x +1）=－5；②23x+1=0；③3x －1=0中，不等式组25312x x x x -+>-⎧⎨->-+⎩的关联方程是__________（填序号）；（2）若不等式组2112x x x -<⎧⎨+>-+⎩的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是__________（写出一个即可）； （3）若方程111222x x -=，3+x =2（x +12）都是关于x 的不等式组22x x m x m <-⎧⎨-≤⎩的关联方程，直接写出m 的取值范围．复习笔记运用方程解决应用题的基本步骤：①审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系；（审题，寻找等量关系）②考虑如何根据等量关系设元，列出方程；（设未知数，列方程）③列出方程后求解，得到答案；（解方程）④检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．（检验，答）课堂例题1、《算法统宗》是我国明代的一部数学名著，记载了很多有趣的问题．其中有一道“李白饮酒”的数学诗谜，原诗如下：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮斗九．相逢三处店，饮尽壶中酒．”诗文大意为：李白去郊外春游，带了一壶酒，每次遇见朋友，就先到酒馆里将壶里的酒增加一倍，然后喝掉其中的19升酒，这天他共三次遇到了朋友，恰好把壶中的酒喝光．根据诗中的叙述，若我们设壶中原有x 升酒，可以列出的方程为__________．2、某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ） A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成 B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成 C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成 D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成3、书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是__________元．4时采用了下面的方法：由=）2－）2=（24－x ）－（8－x ）=16．．．=5．=5两边平方可解得x =－1． 经检验x =－1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程：（1的解是__________；（2x ．5、阅读材料：小明在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．解决问题：（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是__________cm；（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．6、（1）如图1．∆ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，D，E两点分别从B，A开始同时出发，分别沿线段BC，AC向C点匀速运动，到C点后停止，他们的速度都为每秒1个单位，请问D点出发2秒后，∆CDE 的面积为多少？（2）如图2，将（1）中的条件“∠C为直角”改为∠C为钝角，其他条件不变，请问是否仍然存在某一时刻，使得∆CDE的面积为∆ABC面积的一半？若存在，请求出这一时刻，若不存在，请说明理由．7、某厂制作甲、乙两种环保包装盒．已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度l(m)与甲盒数量n(个)之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？9、近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40，两种猪肉元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34销售的总金额比5月20日提高了1a%，求a的值．10课堂练习1、古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为__________．2、某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__________m2．3、为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客2名老师．（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为__________辆；（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．4、凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m 3，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m 3，每辆小车每天运送沙石120m 3，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？5、对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的中位数，用max {a ，b ，c }表示这三个数中最大数，例如：M {－2，－1，0}=－1，max {－2，－1，0}=0，max {－2，－1，a }=(1)1(1)a a a ≥-⎧⎨-<-⎩．解决问题：（1）填空：M {sin45°，cos60°，tan60°}=__________，如果max {3，5－3x ，2x －6}=3，则x 的取值范围为__________；（2）如果2•M {2，x +2，x +4}=max {2，x +2，x +4}，求x 的值；（3）如果M {9，x 2，3x －2}=max {9，x 2，3x －2}，求x 的值．6、实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1:2:1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升56cm ，则开始注入__________分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm ．7、上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招−−“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准：【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600−500）=87元】（1）甲定制了600MB的月流量，花费48元；乙定制了2GB的月流量，花费120.4元，求a，b的值．（注：1GB=1024MB）（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m的值．8、随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个，求该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？。
九年级数学专题复习一元二次方程、分式方程
总复习一元二次方程、分式方程【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =±；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为242b b acx a-±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点进阶：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点进阶：△≥0⇔方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．要点进阶：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点进阶：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点进阶：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点进阶：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】 类型一、一元二次方程例1．阅读材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x - 看作一个整体，然后设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=……①， 解得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，22x ∴=，2x ∴=±；当4y =时，214x -=，25x ∴=，5x ∴=±，故原方程的解为12x =，22x =-，35x =，45x =-．解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程4260x x --=．举一反三：【变式】设m 是实数，求关于x 的方程2320x mx x m --++=的根．例2．设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）（x 1﹣x 2）2； （2）．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．类型二、分式方程例3．解方程：11765556 222-++=-+-+ x xx xx x举一反三：【变式1】解方程：xxxxxxxx++-++=++-++ 21436587【变式2】解方程：7643165469 222x x x x x x ----+=--+例4．m为何值时，关于x的方程22432xmxx x-+-=+2会产生增根？举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D.－3类型三、一元二次方程、分式方程的应用例5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．例6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．一、选择题1. 已知方程20x bx a++=有一个根是(0)a a-≠，则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．abC．a b+ D．a b-2．方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．33．若方程2310x x--=的两根为1x、2x，则1211x x+的值为( ).A．3 B．－3 C．13D．13-4．如果关于x的方程2313xmxm-=--有增根，则的值等于（）A. -3B. -2C. -1D. 35．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A．1米 B．1.5米 C．2米D．2.5米6．关于x的方程2(6)860a x x--+=有实数根，则整数a的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题7．方程﹣1=的解为8．关于x 的一元二次方程2(1)10m x mx --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．9．已知x 1=－1是方程052=-+mx x 的一个根，则m 的值为 ；方程的另一根x 2= .10．某市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为_____ ___．11．若关于ｘ的方程 11-+x ax －１＝０有增根，则ａ的值为 .12．当 k 的值是 时，方程 1-x x =xx x k --22 只有一个实数根.三、解答题13．解下列分式方程： （1）； （2）．14. 若关于x 的方程 12-x k － xx x -2 ＝x kx 1+ 只有一个解，试求ｋ值与方程的解．15．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2010年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2012年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2010年到2012年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？16. 从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．（1）求实数k 的取值范围；（2）设k t βα+=，求t 的最小值．题乙：如图（16），在矩形ABCD 中，P 是BC 边上一点，连结DP 并延长，交AB 的延长线于点Q ．（1）若31=PC BP ，求AQ AB 的值； （2）若点P 为BC 边上的任意一点，求证1==BQ AB BP BC ． 我选做的是_______题．图（16）PQ DC B A。
解方程式练习题初三
解方程式练习题初三解方程是初中数学中的重要内容之一。
通过解方程，我们可以找出未知数的值，从而解决实际问题。
本文将为初三学生提供一些解方程的练习题，帮助他们巩固解方程的基本方法和技巧。
1. 一元一次方程（1）求解：3x + 5 = 20解答：首先移项得：3x = 20 - 5 = 15然后除以系数得：x = 15 ÷ 3 = 5答案：x = 5（2）求解：2(x - 4) = 10解答：首先展开括号得：2x - 8 = 10然后移项得：2x = 10 + 8 = 18最后除以系数得：x = 18 ÷ 2 = 9答案：x = 92. 一元二次方程求解：x^2 + 5x + 6 = 0解答：首先观察发现方程可以因式分解成：(x + 3)(x + 2) = 0然后根据零乘法，得到两个解：x + 3 = 0 或 x + 2 = 0解得：x = -3 或 x = -2答案：x = -3 或 x = -23. 一元一次方程组求解方程组：{ 2x + y = 5{ 3x - 2y = 4解答：首先可以通过消元法消去y的系数，得到2x + y = 5 和 2x - 4y = 8然后两式相减消去x的项，得到5y = -3最后解得：y = -3 ÷ 5将y的值代入其中一方程中，解得：2x - 3 = 5最终求得：x = 4 和 y = -3/5答案：x = 4，y = -3/54. 一元二次方程组求解方程组：{ x^2 + y^2 = 25{ x - y = 1解答：首先将第二个方程两边平方，得到 (x-y)^2 = 1^2，即 x^2 - 2xy + y^2 = 1然后将第一个方程减去刚刚得到的式子，消去y的项，得到 x^2 -2xy = 24接着，将这个方程带入第二个方程中，得到 24 = 1显然，此方程无解。
答案：方程组无解通过以上几个例题，我们可以看出解方程的方法会因方程的形式而有所不同。
初三解方程及答案
初三解方程及答案1. 一次方程1.1 一元一次方程在数学学科中，一元一次方程是指形式为ax+b=0的数学表达式。
其中，a和b是已知的常数，x是未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过逐步运用逆运算的原则来求得未知数的值。
下面我们通过一个实例来演示解一元一次方程的过程：假设一个一元一次方程为2x+3=7，那么根据解方程的步骤，我们可以进行如下计算：2x+3=7（原方程）2x=7−3（减去3）2x=4（得到等式） $x = \\frac{4}{2}$（除以2）x=2（得到未知数的值）因此，这个方程的解即为x=2。
1.2 一元一次方程实例我们来看另一个例子：3x−4=11。
解法如下：3x−4=113x=11+43x=15 $x = \\frac{15}{3}$ x=5因此，这个方程的解是x=5。
2. 二次方程2.1 一元二次方程一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是已知的常数，x是未知数。
解一元二次方程的一般步骤是先使用配方法将方程转化为标准形式，然后使用求根公式得到方程的解。
下面通过一个例子展示解一元二次方程的过程：假设我们有一个一元二次方程：x2+6x+9=0。
解法如下：x2+6x+9=0(x+3)2=0（因为x2+6x+9=(x+3)2）x+3=0（开平方）x=−3因此，这个方程的解为x=−3。
2.2 一元二次方程实例让我们来看另一个一元二次方程的例子：x2−4x+4=0。
解法如下：x2−4x+4=0(x−2)2=0（因为x2−4x+4=(x−2)2）x−2=0（开平方）x=2因此，这个方程的解为x=2。
3. 小结本文介绍了初中阶段解一元一次方程和一元二次方程的基本方法和步骤，并通过实例演示了解方程的过程。
方程是数学中重要的研究对象，通过掌握解方程的基本技巧，同学们可以更好地理解和应用数学知识。
希望本文对初中阶段学习者解方程有所帮助。
欢迎大家在学习过程中勤学苦练，不断提升数学水平。
初三练习题方程及答案
初三练习题方程及答案题目：初三练习题方程及答案一、方程的基础知识方程是数学中重要的概念之一，它表示了一个等式中未知量的关系。
在初三数学课程中，方程的学习是非常重要的。
下面我们来回顾一些方程的基础知识。
1. 方程的定义方程是一个等式，其中包含了一个或多个未知量。
这些未知量可以通过求解方程来确定其值。
2. 一元一次方程的解法一元一次方程是指只包含一个未知量且最高次数为一次的方程。
一元一次方程的通常形式为：ax + b = 0。
我们可以通过以下步骤来解一元一次方程：a) 将方程化为标准形式：ax = -b。
b) 求得未知量x的值：x = -b/a。
3. 一元一次方程的应用一元一次方程在实际问题中有广泛的应用。
例如，我们可以用一元一次方程来表示线性函数关系，计算直线的斜率等。
二、练习题及答案现在，让我们通过一些练习题来巩固学习过的方程知识。
每道题后面都附有答案，以供参考。
练习题1：解一元一次方程2x + 5 = 9解答：将方程化为标准形式：2x = 9 - 5计算得：2x = 4解得：x = 4/2答案：x = 2练习题2：解一元一次方程3(x + 2) = 5x - 1解答：将方程按照乘法分配律展开：3x + 6 = 5x - 1将未知量移到等式一边，常数移到等式另一边：3x - 5x = -1 - 6计算得：-2x = -7解得：x = -7/(-2)答案：x = 7/2练习题3：解一元一次方程组2x + 3y = 7x - 4y = -5解答：我们可以通过消元法来解决一元一次方程组。
第一步，将第一个方程乘以2，并将其与第二个方程相减消去x：4x + 6y = 14x - 4y = -5计算得：3x = 19解得：x = 19/3将x的值代入其中一个方程，求得y的值：19/3 - 4y = -5计算得：y = 4/3答案：x = 19/3，y = 4/3通过上述练习题的解答，我们可以发现方程在解决实际问题中具有重要的作用。
解方程30道练习题初三
解方程30道练习题初三一、一元一次方程1. 解方程：2x + 3 = 72. 解方程：5(x - 2) = 153. 解方程：4x + 8 = 12 + 2x4. 解方程：2(3x - 5) = 4 + x5. 解方程：2(x + 1) - 3(x - 4) = 7二、一元二次方程6. 解方程：x^2 + 4x + 3 = 07. 解方程：2x^2 - 7x + 3 = 08. 解方程：3x^2 + 5x = 2x^2 - 79. 解方程：4(x - 2)^2 = 910. 解方程：x^2 - 9 = 0三、一元三次方程11. 解方程：2x^3 - 9x^2 + 12x = 012. 解方程：x^3 - 8 = 013. 解方程：3(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 014. 解方程：(x - 1)(x^2 + 2x + 2) = 015. 解方程：x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = 0四、二元一次方程16. 解方程组：2x + y = 53x - y = 117. 解方程组：4x + 2y = 123x - y = 118. 解方程组：x + y = 102x - 3y = -519. 解方程组：3x - y = 5x + 2y = -220. 解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4五、二元二次方程21. 解方程组：x^2 + y^2 = 10 x + y = 422. 解方程组：x^2 + y^2 = 25 2x - y = 123. 解方程组：x^2 + 2y^2 = 32 x - y = 224. 解方程组：x^2 - 2y^2 = 0 x + y = 525. 解方程组：x^2 + y^2 = 18 x - 2y = 1六、多元一次方程26. 解方程组：2x + 3y - z = 7 x + 2y + z = 4 3x - y + 2z = 1 27. 解方程组： x + y + z = 62x - y + 3z = 12 3x + y - 2z = 2 28. 解方程组： x + 2y - z = 5 2x + y + 3z = 9 x - 3y + 2z = 1 29. 解方程组： x - y + 2z = 1 2x + y + 3z = 9 3x - 2y + z = 4 30. 解方程组： x + 2y + 3z = 6 2x - y + z = 4 x + y - z = 2这是30道解方程的练习题，包括了一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程、二元二次方程以及多元一次方程。
方程(组)中考复习精要
方程（组）中考复习精要方程（组）知识是初中数学的核心内容之一，它主要包括代数教材中的《一元一次方程》、《二元一次方程组》与《一元二次方程》三章，另外在《分式》等部分章节中也有相关知识.据统计，这部分内容在全国各地中考中的分值比重占到17%左右.在这些中考题中，除考查常规的方程知识外，更主要考查方程思想和方法的运用，已经形成鲜明的特色，而要能在中考时得心应手，基础知识的把握也是必不可少的.根据中考命题，我们可以从以下五个方面进行系统复习.一、定义类1、各种方程与方程组的定义，尤其注意各自的成立条件；2、根（或解）的定义，增根及其产生的原因。
3、定义既可用作性质定理，又可用作判定定理.例1（2001年广东广州）已知2是关于x的方程(3/2)x2-2a=0的一个解，则2a-1的值是（）(A)3; (B)4; (C)5; (D)6.分析：方程的根必然满足方程，把x=2代入原方程，得6-2a=0,则2a=6.∴2a-1=6-1=5,故选（C）.例2（2001年重庆）若关于x的方程(ax+1)/(x-1)-1=0有增根，则a的值为___.分析：由于增根是在分式方程去分母后产生的，所以先将原方程转化为整式方程（a-1）x+2=0；再把增根x=1代入，解得a=-1.二、解法类1、整式方程尤其是一元二次方程的解法，重点为因式分解法与公式法.2、分式方程的解法（主要是去分母法与换元法）及其检验.3、无理方程的解法（主要是平方法与换元法）及其检验.4、方程组的解法：一次方程组重点为加减法与代入法，二次方程组重点为代入法以及利用根与系数的关系构造一元二次方程解对称方程组.5、解方程（组）时消元、降次、换元中所体现出的转化、整体等丰富的数学思想，以及定义法等特殊的解题方法.例3（2001年河北）用换元法解分式方程x/(x-1)+(2x-2)/x+3=0时，若设y= x/(x-1),则由原方程化成的关于y的整式方程是_________.分析：根据题目要求的换元方法得，(2x-2)/x =2（x-1）/x=2(1/y)=2/y，则原方程转化为y+2/y+3=0,两边都乘以y,得到一个整式方程y2+3y+2=0.例4（2001年山东聊城）方程组的解为__________.分析：把方程组中每一个方程的两个未知数x,y同时交换位置，每个方程都不变，这样的方程组就是对称方程组.对称方程组都能用根与系数的关系构造新方程解答.此题中的第二个方程可化为xy-(x+y)+1=0,把第一个方程代入得xy=4,所以x,y就是关于z的一元二次方程z2-5z+4=0的两个根，解得z=1或z=4，因此原方程组的解为三、性质类1、等式的基本性质是解方程的基石，凡产生增根或失根，都因与等式基本性质不符造成.2、一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系.使用根与系数的关系定理，一定要保证根的判别式△≥0；而使用根的判别式，首先要保证原方程为一元二次方程（二次项系数a≠0）.例5（2000年河北）若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有两个实数根，则k 的取值范围是_______.分析：因为原方程有两个实数根，所以△=[2(k+1)]2-4k(k-1)=12k+4≥0，解得k≥-1/3；又因为原方程为关于x的一元二次方程，所以k≠0.∴k的取值范围是k≥-1/3且k≠0.例6（2001年河北）若x1,x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根，则1/x1+1/x2的值是( )(A)-1; (B)0; (C)1; (D)2.分析：由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2= -1/3，x1x2= -1/3.∴1/x1+1/x2=（x1+x2）/x1x2= （-1/3）/（-1/3）=1.故选（C）.四、应用类应该承认，方程应用题的地位受到函数应用题的严峻挑战，其出路只有一条：改革创新.就其发展趋势而言，突出了具有时代气息的实际背景，关注社会热点，贴近现实生活；出现了开放性较强的试题，甚至让学生编拟应用题，培养和考查创新能力；加入了图表等多种信息，锻炼学生对各种信息的综合和分析处理能力.例7（2001年河北）某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生将增加10%.这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是（）(A)1400和2800；(B)1900和2300；(C)2800和1400；(D)2300和1900.分析：当前，由于种种原因，中学阶段的入学人数猛增，这一社会问题又贴近学生生活实际，让学生感到亲切自然.如果设这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是x，y，那么，根据题意可以列方程组解得x=1400,y=2800.故选（A）.例8（2001年黑龙江哈尔滨）“丽园”开发公司生产的960件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司需付给甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每天120元.（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品.（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成.在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的误餐补助费.请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由.分析：命题瞄准了市场经济的大背景，显示数学知识的巨大作用.（1）设甲工厂每天能加工x件新产品,则乙工厂每天能加工（x+8）件新产品，根据题意，得960/x=960/(x+8)+20,解得x1=16,x2= -24.经检验，x1=16,x2= -24都是原方程的根，但x2= -24不合题意，舍去.∴x+8=24.即甲、乙两个工厂每天各能加工16件、24件新产品.（2）根据公司制定的方案，有三种选择，应从中找出最优者.易得，甲工厂单独加工完这批产品所需时间为960/16=60（天）,所需费用为80×60+5×60=5100（元）；乙工厂单独加工完这批产品所需时间为960/24=40（天），所需费用为120×40+5×40=5000（元）；设两个厂家同时合作加工完这批产品所需时间为y天,则有y/60+y/40=1,解得y=24（天），所需费用为(80+120)×24+5×24=4920（元）.∴两个厂家同时合作完成比较合适.例9（2001年宁夏）编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答.编题要求：（1）题目完整，题意清楚。
最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编
中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。
(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。
注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。
初三复习专题之方程专题
初三复习专题之方程专题知识点一：一元一次方程1．等式及其性质：① 如果b a =，那么=±c a ； ② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca . 2. 方程、一元一次方程的概念：0b ax =+ ()0≠a .【例题精析】【例1】把方程103.02.017.07.0=--x x 中的分母化为整数，正确的是（ ） A.132177=--x x B.13217710=--x x C.1032017710=--x x D.132017710=--x x【例2】已知关于x 的方程2x+a ﹣5=0的解是x=2，则a 的值为 .【例3】若是关于的一元一次方程，则的值是( ) A. B.-2 C.2 D.4【例4】已知3是关于的方程的解,则的值是( )A.－5B.5C.7D.2【例5】某公园门票价格规定如下：购票张数1—50张51—100张100张以上每张票的价格13元11元9元班为单位购票，则一共应付1240元，问：（1）两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果一班单独组织去公园玩儿，如果你是组织者，将如何购票更省钱？知识点二：二元一次方程（组）1、二元一次方程2、二元一次方程组的解3、解题步骤：消元法【例6】下列方程组中是二元一次方程组的是（）A．12xyx y=⎧⎨+=⎩B．52313x yyx-=⎧⎪⎨+=⎪⎩C．20135x zx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．5723zx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩【例7】在方程yx413-＝5中，用含x的代数式表示y为y＝；当x＝3时，y＝.【例8】已知方程是一个二元一次方程，求m和n的值.【例9】二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是( ) A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．11x y =⎧⎨=⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．11x y =-⎧⎨=-⎩【例11】、求解下列方程⎩⎨⎧-=+--=++- 1)(3)( 52)(3)(5y x y x y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=931613y x y x y知识点三：一元一次不等式1、不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 2、解题步骤3、解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“同小取小”；x a x b>⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“同大取大”； x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大取中间”；x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.【例题精析】【例12】观察图，可以得出不等式组⎩⎨⎧>+->+015.0013x x 的解集是（ ） A ．x ＜31 B ．31-＜x ＜0 C ．0＜x ＜2 D ．31-＜x ＜2 【例13】若不等式ax ﹣2＞0的解集为x ＜﹣2，则关于y 的方程ay+2=0的解为（ ）A ． y=﹣1B ． y=1C ． y=﹣2D ．y=2【例14】若不等式组无解，则实数a 的取值范围（ ）A ．a ≥一1B ．a<－1C ．a ≤1 D.a ≤－1【例15】今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环境意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居月用水量（吨） 单价（元/吨）不大于10吨部分 1.5大于10吨不大于m 吨部分(2050m ≤≤) 2大于m 吨部分 3②记该用户六月份用水量为x 吨，缴纳水费为y 元，试列出y 与x 的函数式；③若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为7090y ≤≤，试求m 的取值范围。
人教版初三数学知识点总结之方程(组)
人教版初三数学知识点总结之方程(组)下面是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的人教版初三数学知识点总结之方程(组)，希望可以帮助到同学们!★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)☆ 内容提要☆一、基本概念1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)2. 分类：二、解方程的依据-等式性质1.a=ba+c=b+c2.a=bac=bc (c0)三、解法1.一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项系数化成1解。
2. 元一次方程组的解法：⑴基本思想：消元⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法(注意特征)⑵配方法(注意步骤-推倒求根公式)⑶公式法：⑷因式分解法(特征：左边=0)3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。
5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法(如， )⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例，)⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程(组)解应用题一概述列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数)。
①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出)，列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程)，在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。
初三方程总复习
初三：一元一次方程 一元二次方程 二元一次方程组 分式方程复习 1一元一次方程.只含有 个未知数，并且未知数的次数都是 的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式是： 。
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的 。
求解方程的基本步骤：2.常见列方程解应用题的几种类型：(1)和、差、倍、分问题 ①较大量＝较小量＋多余量②总量＝倍数×倍量(2)等积变形问题 3V V aabh ＝，＝正方体长方体hh S 31V S V ＝，＝锥体柱体(3)行程问题 相遇问题 追及问题 顺逆流问题(4)利润率问题 商品利润＝商品利润率＝×100％售价＝进价×(1＋利润率)(5)储蓄问题 利息＝本金×利率×期数（6)日历中的问题 日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大 ；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数 大 例1、 已知下列各式：①2x －5＝1；②8－7＝1；③x ＋y ；④21x －y＝x 2；⑤3x ＋y ＝6；⑥5x ＋3y ＋4z ＝0；⑦nm11－＝8；⑧x ＝0。
其中方程的个数是( )A 、5B 、6C 、7D 、8例2、解方程：xx 759279911－＝＋练习：解方程：7.023.107.0x x －－＝1例4、解方程：1642534331＝－＋－⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛x练习：5|x|－16＝3|x|－4解一元一次方程常用的技巧有：（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。
解方程时，认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，可达到事半功倍的效果。
例5.甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的32。
中考《方程》大盘点.doc
中考《方程》大盘点李培华广东省化州市文楼中学 525136类型一：一元一次方程知识点归纳：一、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为c b ax =+（c b a ,,为已知数，且0≠a ）。
使方程左右两边成立相等的未知数的值叫做方程的解（又叫做方程的根）二、等式的基本性质：⑴等式两边加上或减去同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式，即若b a =，则m b m a ±=±。
⑵等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，即：若b a =，则有bm am =，)0(≠=d db d a ⑶ 若b a =，c b =，则有c a =（传递性）三、解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1。
温馨提示：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意等式性质成立的条件四、列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审：分析题意，弄清题目中的数量关系；②设：用x 表示题目中的一个未知数；③找：找出一个能够表示应用题全部意义的相等关系；④列:对照这个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程；⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值；⑥答：检验所求出的解是否符合题意，写出答案。
温馨提示：列方程解决应用题的关键是找到“等量关系”，在得到方程的解后，还要检验它是否符合实际意义。
五、典题训练：1、已知方程02332=++m x m 是关于x 的一元一次方程，则___=m ，___=x 。
2、在2006年德国世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分。
若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（ ）两胜一负 B 一胜两平 C 一胜一平一负 D 一胜两负3、小王在解方程1522=-x a （x 是未知数）时，误将x 2-看作x 2，得方程的解为3=x ，请求出原方程的解。
初三数学知识点梳理之方程(组)
初三数学知识点梳理之方程(组 )数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，为此小编为大家整理了初三数学知识点梳理之方程(组 )，希望可以帮助到大家。
★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法 ; 方程的相关应用题 (特别是行程、工程问题 )☆ 内容纲要☆一、基本看法1.方程、方程的解(根 )、方程组的解、解方程(组 )2.分类：二、解方程的依据-等式性质1.a=ba+c=b+c2.a=bac=bc (c0)三、解法1.一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项系数化成 1 解。
2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：消元⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法(注意特色 )⑵配方法 (注意步骤 -推倒求根公式)⑶公式法：⑷因式分解法 (特色：左边 =0)3.根的鉴识式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。
5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法(如，)⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法(注意技巧 !!) ②换元法 (例，)⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程(组)解应用题一归纳列方程 (组 )解应用题是中学数学联系实质的一个重要方面。
其详尽步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元 (未知数 )。
①直接未知数②间接未知数(经常二者兼用)。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷搜寻相等关系(有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出) ，列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程 (组 )解应用题实质是先把本责问题转变成数学问题 (设元、列方程 ) ，在由数学问题的解决而以致本责问题的解决 (列方程、写出答案 )。
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方程复习一、一元一次方程归纳 1：有关概念一元一次方程的概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程．2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项．基本方法归纳：判断一元一次方程时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零．【例1】（2017湖南省永州市）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1归纳 2：一元一次方程的解法1、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式．2、解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．基本方法归纳：根据解一元一次方程的步骤计算即可．注意问题归纳：利用等式的性质2时注意：除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意应该变号．【例2】解方程：305 64x x--=．归纳 3：一元一次方程的应用1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】（2017湖南省常德市）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话． 请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包练习题：1．（2017浙江省杭州市）设x ，y ，c 是实数，（ ）A ．若x =y ，则x +c =y ﹣cB ．若x =y ，则xc =ycC ．若x =y ，则cy c x= D ．若c y c x 32=，则2x =3y 2．（2016内蒙古包头市）若2（a +3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．72- C ．﹣5 D ．123.（2017丽水）若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（）A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤24.（2017云南省）已知关于x的方程2x+a+5=0的解是x=1，则a的值为．5.（2016内蒙古赤峰市）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动43周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转周，时针和分针第一次相遇．6.（2017安徽省）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人这个物品的价格是多少二、二元一次方程归纳 1：二元一次方程的有关概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．4二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．基本方法归纳：判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数；判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可．注意问题归纳：判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是：未知项的最高次数而不是未知数的次数．【例1】（2017四川省眉山市）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则a ﹣2b 的值是（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．3 D ．﹣3归纳 2：二元一次方程的解法基础知识归纳：解一元二次方程组的方法（1）代入法（2）加减法基本方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元．当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为2时，一般采用加减消元． 注意问题归纳：根据题意选择适当的方法快速求解，注意计算中的错误．【例2】（2017广东省广州市）解方程组：52311x y x y +=⎧⎨+=⎩． 归纳 3：二元一次方程组的应用基础知识归纳：1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程组，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程组．（4）解方程组．（5）检验，看方程组的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程组→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程组再解方程组最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=×500+×（600﹣500）=87元】（1）甲定制了600MB 的月流量，花费48元；乙定制了2GB 的月流量，花费元，求a ，b 的值．（注：1GB =1024MB ）（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．【例4】（2017四川省遂宁市）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算练习题：1．（2016贵州省毕节市）已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）A ．m =1，n =﹣1B ．m =﹣1，n =1C ．m =13，n =43-D ．m =13-，n =43 2．（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y a x ，则a ﹣b =（ ） A ．1 B ．3 C ． 41- D ．473.（2017内蒙古包头市）若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=⎧⎨-=⎩的解是1x b y =⎧⎨=⎩，则b a 的值为 ．4.（2016广西钦州市）若x ，y 为实数，且满足2(2)0x y +=，则y x 的值是 ．5.（2016四川省达州市）已知x ，y 满足方程组52251x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，求代数式2()(2)(2)x y x y x y --+-的值．6.（2017四川省乐山市）二元一次方程组2322+=-=+x y x y x 的解是 7.（2017内蒙古呼和浩特市）某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折8.（2017四川省南充市）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少9.（2016湖南省长沙市）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案三、 分式方程考点归纳归纳 1：分式方程 的有关概念1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．【例1】（2017四川省成都市）已知x =3是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【例2】（2017四川省泸州市）若关于x 的分式方程2322x m m x x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．归纳 2：分式方程的解法1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．【例3】（2017上海市）解方程：231133x x x -=--． 归纳 3：分式方程的应用1、分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例4】（2017内蒙古通辽市）一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度． 练习题：1.（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ）A ．1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．﹣1或32．（2017山东省聊城市）如果解关于x 的分式方程2122m x x x-=--时出现增根，那么m 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．4D ．﹣43．（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ≥1且a ≠9D ．a ≤14.（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x+=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2016重庆市）如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ）A ．﹣3B ．0C ．3D ．96.（2017内蒙古赤峰市）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．四、一元二次方程 五、 一元一次不等式（组）归纳 1：有关概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3．用数轴表示不等式的方法4．一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5．一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．归纳 2：不等式基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】（2017江苏省常州市）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0归纳 3：一元一次不等式（组）的解法1．解一元一次不等式的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．2．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【例3】（2017四川省乐山市）求不等式组21312052x x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的所有整数解． 【例4】已知关于x 的不等式组523(1)138222x x x x a +>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解，求实数a 的取值范围．归纳 4：一元一次不等式（组）的应用1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．（5）检验，看解集是否符合题意．（6）写出答案．2．解应用题的书写格式：设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验． 【例5】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个 篮球 排球 进价（元/个） 80 50售价（元/个） 105 70（2）设商店所获利润为y （单位：元），购进篮球的个数为x （单位：个），请写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少 练习题：1.（2017湖南省株洲市）已知实数a ，b 满足a +1＞b +1，则下列选项错误的为（ ）A ．a ＞bB ．a +2＞b +2C ．﹣a ＜﹣bD ．2a ＞3b2．（2017山东省泰安市）不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ≥1D ．k ≤13.（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ≥1且a ≠9D ．a ≤14.（2017辽宁省鞍山市）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜2C ．m ＞2D ．﹣1＜m ＜25.（2016内蒙古包头市）不等式1123xx --≤的解集是（ ） A ．x ≤4 B ．x ≥4 C ．x ≤﹣1 D ．x ≥﹣16.（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，直线l 经过第一、二、四象限，l 的解析式是y =（m ﹣3）x +m +2，则m 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7.（2017内蒙古通辽市）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->+1312112x x x 的整数解是 ． 8.（2017内蒙古呼和浩特市）已知关于x 的不等式21122m mx x ->-． （1）当m =1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．。