平面向量的几何应用
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物
2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ． 反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大． 正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决空间内几何问题的重要工具之一，具有广泛的应用。
它们可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍平面向量的应用，包括力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件等方面。
1. 力的作用平面向量可以用来描述力的作用。
在物体上施加力可以使其发生位移。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，它们的大小和方向可以用平面向量表示。
若这两个力的向量分别为A和B，它们的合力可以表示为A + B。
通过求解合力向量的大小和方向，可以确定物体所受的合力。
2. 力的分解平面向量还可以用来对力进行分解。
在力的分析中，我们常常需要将一个力分解为两个或多个分力，以便更好地理解和研究物体受力情况。
将一个力F进行分解，可以得到两个力F1和F2，它们的合力等于F。
通过适当地选择分解方向和大小，可以使得问题的处理更加简单。
3. 面积计算平面向量可以用来计算平面上的面积。
设有三个非共线的向量A、B和C，它们的起点相同，可以构成一个三角形。
这个三角形的面积可以用向量的叉乘来计算，即：面积 = 1/2 * |A × B|其中，|A × B|表示叉乘的模。
通过面积计算公式，我们可以快速准确地计算出平面上各种形状的面积，如矩形、梯形、圆等。
4. 平衡条件平面向量还可以应用于力系统的平衡条件。
对于一个物体受到多个力的作用，若物体保持平衡，则所有作用力的合力必须为零。
可以将每个力表示为一个平面向量，然后将它们相加得到合力向量。
若合力向量为零，则说明物体处于平衡状态。
在实际问题中，通过平面向量的分析和计算，可以解决许多与平面运动、平衡、受力分析等相关的问题。
例如，在建筑物的结构设计中，我们可以利用平面向量对各个支点受力进行分析，保证建筑物结构的稳定性。
总结平面向量的应用广泛且重要，它们可以用于描述力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件的分析等方面。
通过适当地选择和计算向量，可以解决各种实际问题，并提高问题处理的准确性和效率。
5.5平面向量应用
= .
A
B
解： = ∙ = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
同理：
=
− ∙ + （）
（1）+（2）得：
+
= （
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，对 与 进行计算.
（1） ， 分别对质点所做的功；
（2） ， 的合力F对质点所做的功。
17.在风速为（ − ）/的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
作
业
答
案
(3)基底向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基底向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
3.用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则：
选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.具有公共原点的两
条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直
A
Q
B
P
C
课后作业：
4.在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，用向量方法证明 ⊥ .
5.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点。求证： ⊥ （利用向量证明）.
D
C
F
A
E
B
6.如下图，在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠ = ，求对角线AC和BD的长.
又因为 = − = − ； 与共线，所以我们设： = = ( − )
平面向量的应用(教师版)
平面向量的应用1 平面几何中的向量方法① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；② 力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】 设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】① 证明四边形是平行四边形⇔AB =DC 且AB//DC ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】 已知平行四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，求证AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).【证明】由 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两式相加得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) 即AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)【点拨】利用|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB |2可证明线段长度关系.【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析 设H 是高线BE 、CF 的交点，再证明AH ⊥BC ，则三条高线就交于一点.)设H 是高线BE 、CF 的交点，则有BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 化简得AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 则AH ⊥BC (向量中证明AB ⊥CD ，只需要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析 设BE 、AF 交于O ，证明C 、O 、D 三点共线便可)AF 、CD 、BE 是三角形ABC 的三条中线设BE 、AF 交于点O ，∵点D 是中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 连接EF ，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，∴BO =23BE,∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即C 、O 、D 三点共线， (向量中证明三点A 、B 、C 共线，只需证明AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AF 、CD 、BE 交于一点，即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★) 如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，AB =1，CD =2，∠ABC =75°，∠BCD =45°，则线段EF 的长是 ．【答案】√72【解析】 由图象，得EF →=EA →+AB →+BF →，EF →=ED →+DC →+CF →．∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴2EF →=(EA →+ED →)+(AB →+DC →)+(BF →+CF →)=AB →+DC →．∵∠ABC =75°，∠BCD =45°，∴＜AB →，DC →＞=60°，∴|EF|→=12√(AB →+DC →)2=12√AB →2+DC →2+2|AB|→⋅|DC|→cos ＜AB →，DC →＞=12√12+22+2×1×2×12=√72． ∴EF 的长为√72． 故答案为 √72． 2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC 中，AC ⊥BC ，AC =b ，BC =a ,AB =c ，则c 2=a 2+b 2.【证明】 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 故c 2=a 2+b 2.3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | A BC∴四边形ABCD 是菱形.4(★★)用向量方法证明 设平面上A ，B ，C ，D 四点满足条件AD ⊥BC ，BD ⊥AC ，则AB ⊥CD ．【证明】 因AD ⊥BC ，所以AD →⋅BC →=AD →⋅(AC →−AB →)=0，因BD ⊥AC ，所以AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=0，于是AD →⋅AC →=AD →⋅AB →，AC →⋅AD →=AC →⋅AB →，所以AD →⋅AB →=AC →⋅AB →，(AD →−AC →)⋅AB →=0，即CD →⋅AB →=0，所以CD →⊥AB →，即AB ⊥CD ．5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O,设OA =a ，∵对角线相等 ∴OB =OD =a∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−a 2=0 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB ⊥AD∴四边形ABCD 是矩形.6(★★★) 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1．求证 △P 1P 2P 3是正三角形．【证明】法一 ∵OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，∴OP 1→+OP 2→=−OP 3→．∴|OP 1→+OP 2→|=|−OP 3→|．∴|OP 1→|2+|OP 2→|2+2OP1→•OP 2→=|OP 3→|2． 又∵|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，∴OP 1→•OP 2→=−12．∴|OP 1→||OP 2→|cos∠P 1OP 2=−12，即∠P 1OP 2=120°．B C同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°．∴△P 1P 2P 3为等边三角形．法二 以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则OP 1→=(x 1，y 1)，OP 2→=(x 2，y 2)，OP 3→=(x 3，y 3)．由OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，得{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0.∴{x 1+x 2=−x 3y 1+y 2=−y 3.， 由|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1∴2+2(x 1x 2+y 1y 2)=1∴|P 1P 2→|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√x 12+x 22+y 12+y 22−2x 1x 2−2y 1y 2=√2(1−x 1x 2−y 1y 2)=√3同理|P 1P 3→|=√3，|P 2P 3→|=√3∴△P 1P 2P 3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v 0|=1m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|=√3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|=√3m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．【解析】如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 2⃗⃗⃗⃗ ，则由题意知v 2⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ +v 1⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC =√3，如下图所示，则在直角△OAC中，|v2⃗⃗⃗⃗ |=OC=√OA2+AC2=2，tan∠AOC=√31=√3，又α=∠AOC∈(0 ,π2)，所以α=π3；(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2⃗⃗⃗⃗ |=|OC|=√3，BC=1，如下图所示，则在直角△OBC中，|v1⃗⃗⃗⃗ |=OB=√OC2+BC2=2，tan∠BOC=√3=√33，又∠AOC∈(0 ,π2)，所以∠BOC=π6，则β=π2+π6=2π3，答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1⃗⃗⃗ ，F2⃗⃗⃗⃗ ，且|F1⃗⃗⃗ |=|F2⃗⃗⃗⃗ |，F1⃗⃗⃗ 与F2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．给出以下结论①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0 ,π]；③当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|；④当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|．其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G|=|F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ |为定值，所以G2=|F1⃗⃗⃗ |2+|F2⃗⃗⃗⃗ |2+2|F1⃗⃗⃗ |×|F2⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=2|F1⃗⃗⃗ |2(1+cosθ)，解得|F1⃗⃗⃗ |2=|G|22(1+cosθ)；由题意知θ∈(0 ,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F1⃗⃗⃗ |2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 ,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |2=G22，所以|F1⃗⃗⃗ |=√22|G|，③错误．对于④，当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |2=|G|2，所以|F1⃗⃗⃗ |=|G|，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N⃗，则N⃗=10sinα，设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，AD=6tanα2，由动力矩等于阻力矩得|f|×20cosα=|N⃗|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，∴|f|=6020cosα⋅sinα⋅tanα2=3cosα(1−cosα)≥3(cosα+1−cosα2)2=314=12，∴当且仅当 cosα=1−cosα 即cosα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．巩固练习1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．【答案】2√10km/ℎ【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为v AC →=v 船→+v 水→；大小为|v AC →|=|v 船→+v 水→|=√62+22 =2√10km/ℎ．2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1 ,F 2，且F 1 ,F 2与水平夹角均为45°，|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=10√2N ，则物体的重力大小为 ．【答案】20【解析】如图，∵|F 1→|=|F 2→|=10√2N ，∴|F 1→+F 2→|=10√2×√2N =20N ，∴物体的重力大小为20．故答案为 20．3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】5√3km/ℎ【解析】如图，设AD →表示船垂直于对岸的速度，AB →表示水流的速度，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度．在Rt△ABC 中，∠CAB =30°，|AD →|=|BC →|=5，∴|AC →|=|BC →|sin30°=10，|AB →|=|BC →|tan30°=5√3．故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度5√3km/ℎ．4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|=2N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6N ，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F 所做的功．【答案】24√6 J【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，建立直角坐标系． 则由已知可得OF 1→=(1，√3)，OF 2→=(2√3，2)，OF 3→=(﹣3，3√3)．∴OF →=OF 1→+OF 2→+OF 3→=(2√3−2，4√3+2)．又位移OS →=(4√2，4√2)．∴OF →•OS →=(2√3−2)×4√2+(4√3+2)×4√2=24√6(J)．。
平面向量与立体几何体
平面向量与立体几何体一、平面向量的概念及基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
平面向量具有以下基本性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，记作|AB|，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
向量的模可以通过平行四边形法则计算得到。
2. 向量的方向角：指向量与某个基准方向之间的夹角，通常用α表示。
方向角的取值范围是0°到360°。
3. 向量的方向余弦：是指向量与x轴正方向夹角的余弦值，记作cosα。
4. 向量的加法和减法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相接，新得到的向量即为两个向量的和。
向量的减法表示将减去的向量反向后与被减向量相加。
5. 向量的数量积：向量的数量积又称为内积或点积，表示两个向量之间的乘积，结果是一个标量。
向量的数量积计算公式为：A·B =|A|·|B|·cosθ，其中θ表示A与B之间的夹角。
二、平面向量在立体几何体中的应用平面向量在立体几何体中有着广泛的应用，可以用于描述平面上的图形、计算面积和体积等。
1. 平面上的图形：利用平面向量可以方便地描述平面上的图形。
以三角形为例，设三角形的三个顶点分别为A、B、C，利用向量表示法可以得到向量AB、BC、CA。
根据向量的性质，若三个向量满足向量AB+BC+CA=0，则表示这三个向量所对应的三角形是一个闭合图形。
2. 平面图形的面积：平面上的图形的面积可以利用向量的数量积来计算。
以平行四边形为例，设平行四边形的两个边向量为A、B，夹角为θ，则平行四边形的面积可以表示为S = |A|·|B|·sinθ。
3. 立体几何体的体积：平面向量在计算立体几何体的体积时也扮演重要角色。
以长方体为例，设长方体的三个相邻边分别为a、b、c，可以得到长方体的体积V = |a·(b×c)|，其中×表示向量的叉积。
《平面向量在几何、物理中的应用举例》知识拓展
《平面向量在几何、物理中的应用举例》知识拓展 知识要点1.余弦定理三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ca B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩余弦定理的推论222222222cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc c a b B ca a b c C ab ⎧+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎩-⎪ 余弦定理对任意三角形都成立.2.余弦定理常见应用(1)已知三角形两边及其夹角,求其他元素;(2)已知三角形三边,求其他元素.问题探究问题1用向量法解答物理问题的过程中,在给出答案时除了要考虑向量本身的意义，还要考虑什么?提示 在给出答案时,还要考虑所给出的结果是否满足实际意义.问题2如何理解余弦定理?提示 (1)三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C =+-=+-=+-.(2)余弦定理反映了三角形各元素间的动态结构,揭示了三角形的边角关系,它是勾股定理的进一步推广,其主要作用是将已知条件中边的关系转化为角的关系或者将角的关系转化为边的关系.同时大家要熟练掌握余弦定理的推论222222cos ,cos ,cos 22b c a c a b A B C bc ca +-+-===2222a b c ab+-(已知三边求三角). 问题3怎样证明余弦定理?方法一:作高法(以角A 为标准分锐角、直角、钝角三角形)如图,在ABC ∆中,过点A 作AD BC ⊥,垂足为D .设,,AB c AC b BC a ===,则sin ,cos .cos AD b C CD b C BD BC CD a b C ==∴=-=-.在直角三角形ABD 中,由勾股定理得222(sin )(cos )c b C a b C =+-,整理得2222cos c a b ab C =+-.同理可得,2222222cos ,2cos a b c bc A b a c ac B =+-=+-.方法二:坐标法设,,AB c BC a AC b === .如图,以点C 为坐标原点,BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则(cos ,sin ),(,0)A b C b C B a ,||c AB ∴===2222cos c a b ab C =∴=+-.同理可得,2222222cos ,2cos a b c bc A b a c ac B =+-=+-.方法三:利用向量法证明余弦定理设,,,CB CA AB ===∴=-a b c c a b ,222||()()22||||cos ,C ∴=⋅=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-c c c a b a b a a b b a b a b a b 2222||||cos C ∴=+-⋅c a b a b .同理可得2222222||||cos ,2||||cos A B =+-⋅=+-⋅a b c b c b a c a c .。
平面向量及其应用向量的几何表示
平面向量及其应用：向量的几何表示在数学和物理学中，向量是一个有着大小和方向的量。
平面向量是其中一种特殊的向量，它只存在于二维平面上。
本文将介绍平面向量的几何表示及其在实际应用中的重要性。
平面向量的定义平面向量通常用箭头符号（→）表示，表示从一个点到另一个点的有向线段。
一个平面向量可以由其起点和终点坐标表示。
例如，向量V可以表示为V = (V, V)，其中V和V分别是起点和终点的坐标。
向量的几何表示平面向量可以使用几何方法表示，其中最常用的方法之一是使用位移向量。
位移向量是由一个点到另一个点的有向线段。
位移向量的起点被称为原点，终点是通过坐标表示的。
位移向量经常用于描述物体在二维平面上的运动。
向量的长度也被称为向量的模或大小。
用数学符号表示向量V的模为∥V∥，即两点之间的欧几里德距离。
在几何表示中，向量的模可以通过勾股定理计算。
另一个向量的重要几何属性是向量的方向。
向量的方向通常使用角度来表示，具体来说是与坐标轴之间的夹角。
在几何表示中，向量的角度可以通过三角函数计算。
向量的应用平面向量在许多实际应用中扮演着重要的角色。
以下是一些常见应用：1. 平面几何平面向量在平面几何中经常用于描述图形的位置和变换。
例如，可以使用向量描述线段的位移、直线的斜率和角的方向。
2. 物理学在物理学中，平面向量可以表示力、速度和加速度等物理量。
例如，质点的位移可以使用向量来描述，速度可以定义为单位时间内位移的变化率。
3. 工程学在工程学中，平面向量广泛应用于力学、电路分析和结构设计等领域。
例如，可以使用向量描述结构物的受力情况，计算力的合成和分解。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，平面向量用于描述物体的位置、旋转和缩放。
例如，可以使用向量表示三维模型的顶点坐标，通过变换矩阵来进行视图变换。
平面向量作为一个有大小和方向的量，可以用几何方法进行表示。
其在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
通过理解平面向量的几何表示以及其应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
平面向量在立体几何中的应用
平面向量在立体几何中的应用立体几何是几何学中的一个重要方向，它是研究空间中的物体的形态、大小和位置关系的学科。
而平面向量是空间几何学中的一个基本概念，它在立体几何中也有很重要的应用。
下面我将从距离、角度、点和面积四个方面介绍平面向量在立体几何中的应用。
一、距离平面向量在立体几何中最常见的应用之一就是计算空间中两点之间的距离。
对于空间中的两个点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，它们之间的距离可以用如下公式来计算：|PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)其中|PQ|表示P和Q之间的距离。
如果我们用向量来表示P和Q，则可以将公式改写成如下形式：|PQ| = |→PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)此处的|→PQ|表示从P指向Q的向量。
二、角度除了距离，平面向量还可以用来计算空间中向量之间的夹角。
设两个非零向量→a和→b，它们之间的夹角θ用下面的公式来计算：θ = arccos((→a·→b)/(∥→a∥∥→b∥))其中，'·'表示向量的点积，'∥→a∥'表示向量→a的模长（即向量的长度）三、点空间中的点可以用向量表示。
例如，对于点P(x,y,z)，我们可以用向量→OP=<x,y,z>来表示它。
对于空间中给定的三个点A、B、C和一个普通点P，我们可以使用向量来判断P是否在ABC三角形内部。
具体方法是：将A、B、C三点看作向量，再将P点看作三条边组成的三角形的顶点向量，通过向量的叉积计算出向量→AP和→AB，→AP和→AC，→AP和→BC的方向，如果三个向量的方向都一致，那么P就在ABC三角形内部。
四、面积平面向量在立体几何中还可以用来计算三角形的面积。
设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用
解析几何是学习数学中非常重要的一个领域，它用图形来操作几何问题。
在解析几何中，一方面涉及表达几何图形中形状和大小的变化，另一方面也涉及有关平面两物体的关系或者克服已知信息，求出未知信息的方法。
在解析几何的应用中，平面向量是运用的非常普遍的概念。
平面向量是指在三维空间中，只由两个分量构成的空间向量，其分量向量都从端点指向一个空间点，是从端点指向空间点的有序偏移量。
向量的加法是平面向量能够运用的基本技巧，向量的加法可以从矢量图中看出来，矢量图是在平面上用线按照指定的规则连接两个点所绘制出来的图形。
比如在两个向量的加法运算中，指向同一点的两个向量，如果是正向量，对其进行相加，则可以得到指向该点的向量的方向和大小的改变；如果是反向量，对其进行相加，则可以得到相反的方向和大小的改变。
平面向量也可以用来解决一些更加复杂的几何问题，比如传统的莱布尼茨公式可以用来解决求取直线与平面的交点问题。
该公式利用向量与数值乘法相加，把求解交点问题转化为求解方程组的问题。
另外，平面向量也可以应用于求解解析几何中一些可能涉及标准坐标的问题，如果两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则它们之间的连线就是一个向量，其方向可以由向量的偏移量来描述，如（x2-x1，y2-y1）。
这时，我们就可以使用平面向量对连线进行描述，也可以使用向量进行旋转、缩放和投影等变换。
总之，平面向量在解析几何中有着普遍的应用，要想正确的使用平面向量，除了掌握平面向量的基本概念，还应该深入了解向量的性质和用途，以达到最佳的效果。
平面向量与空间向量
平面向量与空间向量在数学中，向量是一种有大小和方向的量，常用于描述物理力、速度、位移等等。
根据向量所处的维度，向量可以分为平面向量和空间向量两种类型。
本文将探讨平面向量和空间向量的特点和应用。
一、平面向量平面向量是指位于同一个平面内的向量。
平面向量通常用箭头在笛卡尔坐标系上标示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量可以用坐标形式表示为：<x, y>，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
平面向量具有以下特点：1. 平面向量可以进行加法和乘法运算。
向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量乘法包括数量乘法和点乘法。
数量乘法是指用一个标量乘以一个向量的每个分量，得到一个新的向量。
点乘法是指将两个向量的对应分量相乘，然后将乘积相加，得到一个标量。
2. 平面向量可以用几何方法进行表示。
向量的起点可以任意选择，终点与起点之间的位移即为向量的大小和方向。
3. 平面向量之间可以进行运算性质的证明和推导。
例如，向量加法满足交换律和结合律，向量乘法满足分配律等等。
平面向量在几何、物理等学科中有广泛的应用。
例如，在几何中，平面向量可以用于研究线段的长度和方向。
在物理学中，平面向量可以用于描述力、速度等物理量的大小和方向。
此外，在计算机图形学等领域，平面向量也被广泛应用于三维模型的表示与计算。
二、空间向量空间向量是指位于三维空间中的向量。
与平面向量类似，空间向量也可以用箭头在三维坐标系上标示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
空间向量可以用坐标形式表示为：<x, y, z>，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
空间向量具有以下特点：1. 空间向量可以进行加法和乘法运算，运算规则与平面向量相似。
向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量乘法包括数量乘法和点乘法，运算规则与平面向量一致。
2. 空间向量可以用几何方法进行表示。
借助平面向量处理平面几何问题
借助平面向量处理平面几何问题【用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 】(1)建立平面几何与向量的联系——用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题.(2)通过向量运算——线性运算和数量积，研究几何元素之间的关系，如距离、平行、垂直及夹角等问题.(3)把运算结果通过“翻译”——还原成几何元素间的关系. 流程图为：形转换成向量→向量运算→运算结果还原为形.向量在平面几何中的应用是非常广泛的.下面我们就五个方面来进行初步研究. (一) 点共线与线共点问题:例1.设两个非零向量e 1，e 2不共线,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2, 求证:A 、B 、D 三点共线.证明：∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+3e 2)+(6e 1+23e 2)+( 4e 1-8e 2)=12e 1+18e 2 =6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵ AB 与AD 共点A ， 故 A 、B 、D 三点共线.例2.如图1.5—1.在三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 是DA 的中点，F 是AC 上的点，3AF=FC. 求证：B 、E 、F 三点共线. 证明：设BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2，由定比分点的向量形式得， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12(e 1+e 2). BF ⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BA⃗⃗⃗⃗⃗ =34(e 1+e 2). ∴ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 23BF ⃗⃗⃗⃗ ，⇒ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BF ⃗⃗⃗⃗ . 又∵ BE 与BF 共点B ， 故 B 、E 、F 三点共线.说明：证明A 、B 、C 三点共线的基本思路是：先选取两不共线线段所对应的向量作为基底，然后将所证三点对应的两向量用基底表示出来，从而得到某个定值λ，使得AB⃗⃗⃗⃗⃗ = λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 再说明AB 与AC 共点A,从而推出A 、B 、C 三点共线.想一想①： 如图1.5—2.已知∆ABC ，在AC 上取点N ，使3AN=AC ， 在AB 上取点M 使3AM=AB ，在BN 的延长线上取点P ，使2NP=BN ， 在CM 的延长线上取点Q ，使2MQ=CM. 求证：P 、A 、Q 三点共线. 例3.用向量方法证明：三角形的三中线交于一点.已知：在∆ABC 中，G 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 交于点P.求证：AD 、BE 、CL 三线共点.证明：设AD∩BE=P . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a , AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则 AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 b . CL ⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +12b . 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ =m(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴ CP ⃗⃗⃗⃗ =(−1+m )AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +mCD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1+m 2)a +m2 b . ① 又设 EP⃗⃗⃗⃗ =n EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CP ⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ =n(EC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CP ⃗⃗⃗⃗ =(1−n )CE ⃗⃗⃗⃗ +nCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+n 2a +nb ② 由①、②得:m =23且n =13. ∴CP ⃗⃗⃗⃗ = -23a +13b = 23(-a +12b )= 23CL⃗⃗⃗⃗ B D C F AE 图1.5—1e 1 e 2B MCN PA Q 图1.5—2A LB D CE Pa b 图1.5—3∴ C 、P 、L 三点共线, 故 AD 、BE 、CL 三线共点.说明:1.证明三线共点的基本思路是：先假设两线交于一点P ，然后说明第三条线也过该点.通常要用平面向量基本定理得出参数的等量关系式.2.此题的证明也可参见§1.6【与重心有关的问题】中，命题1的证明.例4.如图1.5—4.设P 、Q 、R 分别是三角形ABC 三边(异于顶点)上的点，若AR=xRB ，BP=yPC ，CQ=zQA. 求证:AP 、BQ 、CR 三线共点的充要条件是：xyz=1.证明:①必要性:设AP 、BQ 、CR 交于点G, ∵ A 、G 、P 三点共线,∴ CB 1CA )-(1CP CA )-(1CG y++=+=αααα(0<α<1). 又∵ B 、G 、Q 三点共线,∴ CA 1CB )-(1CQ CB )-(1CG zz ++=+=ββββ,(0<β<1）.另外可令:))CB AC (11()11()(CG +++=++=+==xCA r AB x CA r AR CA r CR r=CB xxr CA xxr +++11.由平面向量基本定理知：,111,111xr y x rx z z +=+=-+=+=-αββα且⇒1111,11,11-+-=--+=-+-=--+=r r x z y ββααβααββα.由关于x 的两个等式,⇒0)2(=-++r r βα,⇒2=++r βα,⇒ αβ--=11x , ⇒ xyz=1.②充分性:设 xyz=1 ,设AP 与BQ 交于G,连CG 并延长交AB 于R 1,又设AR 1=x 1R 1B.由必要性知 x 1yz=1,⇒ x=x 1 , ⇒R 与R 1重合. AP 、BQ 、CR 三线共点. 由①②知命题成立.想一想②：由例4的结论，你能否给出三角形的三中线、三内角的平分线都是交于一点的.(二)垂直性的证明：例5.已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ， PF ⊥BC 于点F ，连接DP 、EF.求证DP ⊥EF.证明：选择正交(相互垂直)基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1) 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a)，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，a).∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1).∵ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1) ∙(1−a ，a)=0， ∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗ ， 因此DP ⊥EF.例6.若非零向量a ，b 满足|a -b |=|a +b |，则向量a ，b 的关系是_________________. 解法1：(把向量用坐标表示，利用坐标关系体现向量关系).设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，.则a + b=( x 1+ x 2，y 1+ y 2) ，a -b=( x 1-x 2，y 1-y 2).∵ |a -b |=|a +b |，()221221221221)()()(y y x x y y x x -+-=+++，B CP QA RG 图1.5—4 图1.5—5即 x 1x 2+y 1y 2=0，∴ a ⊥b . 解法2：(通过等价转化寻找向量a ，b 的关系). 将|a -b |=|a +b |两边平方得，a 2+b 2-2a ·b=a 2+b 2+2a ·b ， 化简得a ·b =0，∴ a ⊥b .解法3：(利用向量加法，减法的几何意义). 如图1.5—6.根据向量加法，减法的三角形及平行四边 形法则知，对角线相等的平行四边形ABCD 是矩形.所以相邻两边垂直，因此 a ⊥b .例7.已知a 、b 是单位向量，a ·b =0.若向量c 满足| c -a -b |=1，求|c |的取值范围. 分析1.由|a |=|b |=1，将|c -a -b |=1，两边平方可得|c |2-2|a+b ||c |cos θ+1=0 (1).其中θ为向量(a +b )与c 成的角. 再由a ·b =0，⇒|a +b |=√2. 从而由(1)式可得， ]1,1[||221||cos 2-∈+=c c θ，解得 |c |]12,12[+-∈.上述解答过程无论是解题思路、还是计算过程都是比较繁琐的.倘若我们换一个角度来思考，其解答过程将要简洁得多. 分析2.由已知，a 、b 是互相垂直的单位向量，设O 为坐标原点. 则a +b为正方形OACB 的对角线OC 所对应的向量.如图1.5—7(1). 而|c -a -b |=1的几何意义为：向量c 的终点在以C 为圆心， 以1为半径的圆上运动.由圆的性质易得|c |]12,12[+-∈.分析3.建立如图1.5—7(2)所示的平面直角坐标系.设a =OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)， b =OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1)，c =(x ，y).可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =(1，1)， 由|c -a -b |=1可得(x -1)2+(y -1)2=1. ∴|c |=√x 2+y 2, 再由圆的性质易知|c |]12,12[+-∈.例8.在平面上，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12(O 为坐标原点)，则|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 分析：此题若仿例7的法1，从数的角度去处理，将比例7要繁杂得多，因为这里的变数更多.若从几何意义出发，由，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可知点B 1、B 2在单位圆上运动.作为填空题，在这里我们不妨将点B 1放在 特殊位置——单位圆与x 轴的正半轴的交点.如图1.5—8.结合图形知，当点A 在B 1A 上移动时，点P 在B 1O 间移动. 当点A移动到A ′ (此时|B 1A ′|= √32，|OP|= 12).当点在A ′A间移动 时(AB 2与单位圆相切)，点P 在OP 间移动，且满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |< 12. 由此易知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是(√72，√2].至于点B 2在单位圆的其它位置移动时，由圆的对称性，上述结论仍然成立.说明：从以上几例可以看出，“以形代数”，再利用其对应的几何意义和几何特性来处理一些A 图1.5—6CD aba+b a -bxy B 1 B 2 AP P O图1.5—8O AB C ab a+b图1.5—7(1) OAB C yx与向量的模有关的问题时，往往可以收到化繁为简、事半功倍的效果.这也是数形结合思想方法的重要体现.例9.如图1.5—9在四边形ABCD 中，若AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，则AC ⊥BD. 证明：由AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，⇒2222DA B C CD A B +=+， ⇒2222CD DA BC AB -=-，⇒)CD -DA ()CD DA ()B C -AB ()B C AB (⋅+=⋅+， ⇒)CD -DA (CA )B C -AB (AC ⋅=⋅，⇒0)]CD B C (-DA AB [AC =++⋅，⇒0DB 2AC =⋅，⇒ 0DB AC =⋅，⇒AC ⊥BD.说明：欲证AB ⊥CD ，只需证明 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.想一想③：1.例9的逆命题成立吗？2.求证：平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是：两对角线AC ⊥BD.3.若在Rt △ACB 中，∠ACB=900，AC=BC,D 为AC 的中点，E 为AB 上的点，且2AE=EB ，求证：BD ⊥CE(三)线段的等量关系：例10.如图1.5—10.已知平行四边形ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，并且BE =FD .求证AECF 是平行四边形. 证明：由已知设==DC AB a ，==FD BE b.=+=BE AB AE a + b ，=+=DC FD FC b + a ， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即边AE 、FC 平行且相等，AECF 是平行四边形.例11.求证平行四边形对角线互相平分．证明：如图1.5—11.设平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，.,BD y BM AC x AM == 则AD x AB x AC x AM +==.∵ AD y AB y AB AD y AB BD y AB BM AB AM +-=-+=+=+=)1()(.根据平面向量基本定理知，∴ x=1-y 且x=y ，⇒ x=y=12.∴ 点M 是AC 、BD 的中点，即两条对角线互相平分.例12.如图1.5—12. 在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？ 猜想：AR=RT=TC解：设.,,AB r AR b AD a === 则 =AC a+b. 由于 AC AR 与 共线，故设r=n(a+b ). 又∵ EB ,ER 共线，故设)21(ER b a m -=，∵ ER AE AR +=, ∴ )21(21b a m b r -+=， 因此n(a+b )=)21(21b a m b -+，⇒ m=n=13 ，⇒AR=13AC. 同理 TC=13.AC. 故AT=RT=TCAB CD图1.5—9CADM B图1.5—11ABCD EFRT 图1.5—12A B C D EF图1.5—10例13.如图1.5—13.设AC 是平行四边形ABCD 的长对角线，从C 引AB 、AD 的的垂线CE 、CF ，垂足分别是E 、F.试用向量方法证明：AB·AE+AD·AF=AC 2. 证明：在Rt △AEC 中，cos |AC ||AE |=∠BAC ， 在Rt △AFC 中，cos |AC ||AF |=∠DAC ，∴ |AC ||AB ||AE ||AB |=⋅cos ∠BAC=AC AB ⋅，|AC ||AD ||AF ||AD |=⋅cos ∠DAC=AC AD ⋅,⇒+⋅|AE ||AB |=⋅|AF ||AD |AC AB ⋅+AC AD ⋅=2AC AC )AD AB (=⋅+.即：AB ·AE+AD ·AF=AC 2.点评：证明线段的等量关系时,通常要用向量加减法的三角形及平行四边形法则、平面向量基本定理及a 2=|a|2等基本结论.想一想④：用向量证明三角形及梯形的中位线性质定理.(四)平面几何中基本定理的向量证法： 例14.证明直径所对的圆周角是直角.如图1.5—14.已知⊙O ，AB 为直径，C 为⊙O 上任意一点. 求证∠ACB=900.证明：设b OC a ==,AO ，由已知得|a |=|b |. , 则0)()(22=-=-⋅+=⋅b a b a b a BC AC ，∴ AC ⊥BC . 即 ∠ACB=900.例15.(任意三角形中的射影定理).在三角形ABC 中，设AB=c ，AC=b ，BC=a. 求证：b=a·cosC+c·cosA ①.c=a·cosB+b·cosA ②. a=c·cosB+b·cosC ③. 证明：如图1.5—15.设=AB c ，=BC a ，=AC b . 则a+c =b ，⇒(a+c )·b =b 2，⇒a ·b+c ·b=b 2，⇒|a ||b |cosC+|c ||b |cosA=|b |2，⇒|a | cosC+|c |cosA=|b |， 即 b=a·cosC+c·cosA ①类似地可得 c=a·cosB+b·cosA ② a=c·cosB+b·cosC ③说明：此问题的证明方法较多，比喻可用正弦定理，也可以用余弦定理，还可以用直角三角形中三角函数的定义来证明.例16.(直角三角形中的射影定理)如图1.5—16.在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：AC 2=AD ·AB ① BC 2=BD ·AB ② 证明：∵ BA -BC AC =.(1) DC AD AC +=.（2）又 ∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，⇒ 0DC B A 0,AC B C =⋅=⋅.AEBC FD图1.5—13AOBC图1.5—14A CBb ca 图1.5—15 ADBC图1.5—16由(1)、(2)得：AD BA -)DC AD (BC )DC AD ()BA -BC (AC 2⋅+⋅=+⋅= =||||cos |AD ||B A |-AC B C AD BA =⋅⋅π， 即 AC 2=AD ·AB. ① 类似地可得: BC 2=BD ·AB.②想一想⑤：用向量方法证明勾股定理.例17.已知PT 是圆O 的切线，PAB 是圆的割线.求证：PT 2=PA ·PB.(圆幂定理). 证明：设圆O 的半径为R ，P 是平面上任意一点，如图1.5—17.过P 引射线交圆O 于A 、B ，e 为PB 上的单位向量，21,λλ分别表示PA 、PB 的长度， 则 1OP OA λ+=e ，2OP OB λ+= e. 设M 是PB 上的一动点，|PM |为x ，则x +=OP OM e.∵ 点M 在圆O 上的充要条件是22R OM =. 即22R e)OP (=+x . ∴ 0||)(2222=-+⋅+R OP x e OP x (1) 当点M 与A 重合时，得到PA 的长度1λ是方程（1）的根， 当点M 与B 重合时，得到B P 的长度也2λ是方程（1）的根. 由一元二次方程根与系数的关系知：2221R |OP |—=⋅λλ. 当P 在圆外时，过P 引切线PT(T 为切点). 则由勾股定理易得：222R |OP |PT —=, ∴ PB PA PT 212⋅=⋅=λλ说明：换一个角度看：如果A 与B 重合，PA 即切线，此时PA 2也应等于22R |OP |-.由勾股定理之逆便可得到：过切点的半径垂直于切线这一结论.想一想⑥：你能否用例17的结论来证明相交弦及垂径定理.(五)最值问题：例18.如图1.5—18.在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值．解法1.解题思维的入手点是在“Rt △ABC 中”，据此进行翻译和转化．∵AC AB ⊥，∴ 0=⋅AC AB .AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,, ，)()(AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴AC AB AQ AB AC AP AQ AP ⋅+⋅-⋅-⋅=AP AB AC AP a ⋅+⋅--=2)(2AC AB AP a -⋅--=22cos a a θ=-+． cos 1,0(),0PQ BC BP CQ θθ==⋅故当即与方向相同时最大,其最大值为．解法2.以直角项点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图1.5—19所示的平面直角坐标系.设|AB|=c, |AC|=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ），且|PQ|=2a ，|BC|=a.设点P 的坐标为(x ，y)，则Q(-x ，-y).ABCQP 图1.5—18PT A 图1.5—17OMB·∴),(),,(b y x CQ y c x BP ---=-=，(,),(2,2)BC c b PQ x y =-=-- ∴ )())((b y y x c x CQ BP --+--=⋅=by cx y x -++-)(22. ∵ 2||||cos a by cx BC PQ BC PQ -=⋅⋅=θ； ∴ θcos 2a by cx =-. ∴ θcos 22a a CQ BP +-=⋅. 故当1cos =θ，即0=θ(PQ 与BC 方向相同)时，CQ BP ⋅最大， 其最大值为0.例20.在锐角∆P 1P 2P 3内找一点P ，使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短.解:设在锐角三角形P 1P 2P 3内有一点P 使得:∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=∠P 3P P 1=1200.令：的长度是是单位向量i i i i i i PP ,,PP αεεα=（i=1，2，3） 易知0321=++εεε，又设Q 是任意一点，|||||||||QP |i i i i i i i QP QP PP QP εαεεα+=+=+=≥)(i i i QP εαε+⋅三式相加得：233222211321321)(|||||QP |εαεαεαεεε+++++≥++QP QP QP =321ααα++=|P 1P|+|P 2P|+|P 3P|由此可知点P 是使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短的点. 为了找到这样的点P ，可在∆P 1P 2P 3外分别以P 1P 2与P 2P 3为边作两个正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B ，再分别作正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B 的外接圆，两圆除P 2外的另一个交点即为所求的点P ，这是因为∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=1200.习题1.51.设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ·b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ).A.3.B.4.C.5.D.6.2. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b =0，(a -c ) ·(b -c )≤ 0，则|a+b -c |的最大值为( ). A.12-. B.1. C..2 D.2.3.在∆ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 为DA 的中点， F 是AC 上一点，如图1.5—21.3AF=FC ，求证：B 、E 、F 三点共线.4.已知OA ⊥BC ，B ⊥AC ，求证：OC ⊥AB5.如图1.5—22. 以AB 、AC 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，M 是BC 的中点，求证：AM ⊥EF.6.证明∆ABC 三边的中垂线交于一点.7.在∆ABC 中，若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = b .求证：S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2. 8.已知G 为∆ABC 的重心，且GA=3，GB=5，GC=7.(1)证明﹕GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2)求GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值﹒(3)求△AGB 的面积﹒P 1P 2P 3P图1.5—20BACDEF 图1.5—21 A B M CD EN FG图1.5—22ABCQP图1.5—19xy参考答案想一想①：证明：∵ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又∵A 是公共点，∴ P 、A 、Q 三点共线. 想一想②：对于三中线易知x=y=z=1;对于三内角平分线,可利用内角平分线的性质，得到x.y.z=1. 想一想③：1.成立. 设AC 与BD 交于P ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵ AP ⊥PB, ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，于是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 即：AB 2=AP 2+PB 2 ①(实质是证明了勾股定理).同理CD 2=DP 2+PC 2 ② 由①、②得：AB 2 +CD 2=AP 2+PB 2 +DP 2+PC 2=BC 2+DA 2. 2.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = a+b ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2-b 2 =|a |2-|b |2=0，|a |=|b |. ∴ 命题成立. 3.证明：如图D1.5—1.以两直角边为坐标轴，C 为原点建立坐标系，设A(1，0)、B(0，1)、C(0，0)，则D(12，0)，E(23，13). 得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，−1)，CE ⃗⃗⃗⃗ =(23，13), BD ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE ⃗⃗⃗⃗ =0， ∴ BD⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CE ⃗⃗⃗⃗ 即BD ⊥CE. 想一想④：利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则. 想一想⑤： (略). 想一想⑥：当P 在圆内时，由例4的结论知：λ1λ2=R 2-|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，易得相交弦定理. 当P 是弦AB 的中点时，λ1λ2=PA 2(或PB 2)也易得结论成立.习题1.5 1.C. 2.B.3.如图D1.5—2.设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =b.则易得： BF⃗⃗⃗⃗ =34(13b + a )，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13b + a ). (下略). 4.证明：如图1.5—3.∵OA ⊥BC ，B ⊥AC ，∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， OB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ① 及 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ② ①-② 得OC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴ .则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OC ⊥AB. 5.证明：∵ AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12[-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC )+|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC)] =0. ∴ AM ⊥EF.6.证明：如图D1.5—4.设边BC 、AC 的中垂线交于点O ，则OA=OB=OC ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAFB ，由向量加法的平行四边形法则知OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA B D E xy图D1.5—1BACDE F图D1.5—2A B M CD ENFG图D1.5—3 AFBCD EO图D1.5—4∴ 四边形OAFB 是菱形，则OF 垂直平分AB.即边AB 的中垂线也过点O.∴三角形ABC 三边的中垂线交于一点. 7.证明：设a ，b 的夹角为θ，则S ∆ABC =12|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ，∵ sin 2θ=cos 2θ=1-(a∙b)2(|a|∙|b|)2∴ S ∆ABC 2=14(|a|∙|b|)2sin 2θ=14[(|a|∙|b|)2-(a ∙b)2]故 S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2 .8.解(1)连AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 交BC⃗⃗⃗⃗⃗ 于D ，∵ G 是三角形ABC 的重心﹐∴ D 为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点﹒ 延长AD⃗⃗⃗⃗⃗ 使得GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒因此D 亦为GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点.故GB G ′ C 为平行四边形﹒ ∵ G 是△ABC 的重心﹐∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒又∵D 是GG′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中点﹐所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒ 因此﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2) ∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2﹐可得GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =152. (3) 由(2)得知﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =52﹒利用数量积的定义得知，|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AGB=152， 解得∠AGB=600 ﹒∴ S △ABG =15√34.。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将探讨平面向量在几何、力学和电磁学等方面的实际应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平面向量的位移应用平面向量在几何中常用于描述物体的位移。
假设有一个起点为A，终点为B的平面向量AB，表示从A点移动到B点的位移。
通过平面向量的加法和减法，我们可以准确地计算出物体在平面上的位移及其方向。
2. 平面向量的无理数倍应用在几何中，平面向量的无理数倍也有重要的应用。
通过无理数倍，我们可以精确地描述两个向量之间的比例关系。
这在相似三角形的问题中常常用到，可以帮助我们得到精确的比例值。
二、平面向量在力学中的应用3. 平面向量的力的应用平面向量在力学中广泛应用于描述作用力和力的平衡问题。
通过将力的大小和方向表示成向量，我们可以方便地进行加减运算，并准确地计算出合力和分力。
4. 平面向量的力矩应用在力学中，平面向量的力矩也有重要的应用。
力矩是描述力偏转或转动作用的物理量。
通过平面向量的叉乘运算，我们可以计算出力矩的大小和方向，进而分析物体的旋转和平衡问题。
三、平面向量在电磁学中的应用5. 平面向量的电场强度应用在电磁学中，平面向量广泛应用于描述电场和电荷之间的关系。
通过平面向量表示电场强度和电荷的分布情况，我们可以方便地计算电场的强度和方向，并分析电荷之间的相互作用。
6. 平面向量的磁场强度应用在电磁学中，平面向量也用于描述磁场的强度和方向。
通过平面向量表示磁场强度和电流的分布情况，我们可以准确地计算磁场的强度和方向，并分析电流之间的相互作用。
综上所述，平面向量在几何、力学和电磁学等领域中都具有重要的应用。
通过运用平面向量的概念和运算法则，我们可以更加准确地描述和分析相关问题，为实际应用提供有力的支持。
平面向量在几何中的应用
n１ ＝ (
a,
b),
n２ ＝ (
２,－１)．
设两直线的夹角为θ,则
整理,得 ３
a２ －８
a
b－３
b２ ＝０,即(
a－３
b)(
３
a＋b)＝
→ →
n１ n２
|２a－b|
２
c
o
s
θ＝ → → ＝
＝ ．
２
２
２
|n１||n２|
５ a ＋b
→ QP →
又由 Q ,
P,
D 三点共线,可得QP ＝ QD ,则有
QD
→ QP → QP →
QP ＝ λQC＋ μQA ．
QD
QD
→
→ ,所以
而Q→
P ＝mQC＋nQA
QP
QP
QP
QP
(
m ＋n＝ λ＋ μ＝
λ＋μ)＝
．
QD QD
QD
QD
QP
由数形 直 观 可 知,当 点 P 为 点 P０ 时,此 时
取
QD
得最大值 １,即 m ＋n 的最大值为 １． (下转第 ８０ 页)
x)min ＞－a．
生自己去 探 究 与 领 悟,亲 身 经 历 知 识 的 发 生 与 发 展
学会解题需要长期的 模 仿 与 练 习,解 决 一 道 数 学
问题不仅需要具备扎实的 专 业 知 识,还 需 要 掌 握 灵 活
由绝对值的几何意义可知,
x)min 即 为 数 轴 上 x
f(
到a 和 －３ 的距离之和的最小值 ．
面向量与平面解析几何 之 间 的 联 系,也 是 平 面 向 量 知
４ １６ ４
λ＋μ＝ ＋ ＝ ．
平面向量的几何意义的应用
龙源期刊网
平面向量的几何意义的应用
作者：徐勇
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2008年第06期
平面向量作为一种基本工具，在平面几何问题的求解中有极其重要的地位与作用，而教材中对于平面向量给出了几何表示和坐标表示两种形式，相比较而言，学生对于向量的坐标表示更容易接受和理解，但对向量的几何表示包括几何运算往往感到比较困难，然而从平面向量的几何意义来看，其中又有很多独特之处，如能合理地运用向量的加法、减法的平行四边形法则或三角形法则以及向量平行与垂直的充要条件，结合平面向量的基本定理等这些几何意义，那么在解决平面几何问题时往往也能起到避繁就简的效果．
感悟：平面向量中与数值有关的计算问题，往往是通过向量与向量之间的特殊的位置关系，通过转化、结合向量的线性运算，数量积运算而形成求解思路．
总之，在遇到平面几何问题时，除了直接考虑几何图形中的点、线位置关系外，如能适当地运用平面向量的几何意义去将线线平行、垂直的证明，点共线、线共点的问题的证明，以及线段长度之比，数值的求解问题等进行转化并求解，往往使问题简单化、明了化，避免了平面几何中一味寻找点线、线线关系的复杂的推理，也避免了建立平面直角坐标系后，运用解析几
何求解的繁琐运算，可以收到事半功倍的效果．
本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
平面向量在几何问题中的应用
平面向量在几何问题中的应用平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量，它在几何学中具有广泛的应用。
本文将从几何问题的角度，探讨平面向量在几何问题中的应用。
1. 向量在平面平行四边形中的应用平行四边形是指有两组对边平行的四边形。
在平行四边形中，向量的性质得到了很好的应用。
例如，在平行四边形中，对角线互相平分，并且对角线所对应的向量相等。
这个特性可以用来证明两条线段平行或者两个向量相等。
2. 向量在三角形中的应用在三角形中，向量的性质可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，可以利用向量来证明三角形的中线互相平行且等于三角形的和向量。
此外，向量还可以帮助我们证明三角形的内心、外心、垂心等特殊点的相关性质。
3. 向量在平面曲线运动中的应用平面向量在描述平面上物体的运动过程中也具有重要的应用。
例如，我们可以用向量来表示物体的位移向量，速度向量和加速度向量。
通过分析这些向量之间的关系，我们可以获得物体的运动轨迹、速度大小和方向上的变化，以及物体受到的加速度的大小和方向。
4. 向量在平面图形的平移、旋转和缩放中的应用平面向量在平面图形的平移、旋转和缩放中也起到了重要的作用。
例如，平移可以通过向量的加法来实现，旋转可以通过向量的旋转公式来实现，缩放可以通过向量的数乘来实现。
通过使用向量进行这些变换，我们可以方便地描述和计算平面图形的变化过程。
5. 向量在解析几何中的应用解析几何是利用代数方法研究几何图形的一门数学学科。
在解析几何中，平面向量可以用来描述和计算图形的性质和变化。
例如，通过向量的点乘和叉乘可以求解两条直线的夹角、判定点是否在直线上、判断两条直线是否相交、求解三角形的面积等问题。
总结：平面向量在几何问题中具有重要的应用，它可以帮助我们解决平行四边形、三角形、平面曲线运动、平面图形变换和解析几何等问题。
通过合理使用向量的概念、运算规则和几何性质，我们可以更加简洁、准确地描述和分析几何问题，进而提高问题解决的效率和准确性。
1-7 平面向量的应用举例(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
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必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
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跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
高中数学平面向量在几何中的应用
平面向量应用举例2．5.1 平面几何中的向量方法知识点梳理1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰(非等边)三角形 D ．等边三角形二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝__________________.三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .提升练习13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB ·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．总结1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．平面向量应用举例 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B )1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22.∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0， ∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H .。
平面向量的几何应用
平面向量的几何应用在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，可以用于解决许多几何问题。
平面向量的几何应用广泛，涵盖了平面几何、三角学、解析几何等多个领域。
本文将探讨一些关于平面向量的几何应用，帮助读者更好地理解和运用这一重要概念。
一、平移和位移平面向量的一个重要应用是描述平移和位移。
平移是指将平面中的点沿着一个向量的方向移动一定的距离。
这个向量称为平移向量，它的大小和方向决定了平移的距离和方向。
通过平移向量，我们可以准确描述物体在平面上的移动。
位移是平移的一个特例，它指的是物体在平面上从一个位置移动到另一个位置的变化量。
位移向量可以表示为起点到终点的向量，它的大小等于两点之间的距离，方向为从起点指向终点的方向。
二、向量的投影向量的投影在几何学中有着重要的应用。
在平面上，一个向量在另一个向量上的投影即为这两个向量的数量积除以投影向量的模长。
投影的概念可以帮助我们求解两个向量之间的夹角，以及解决与直线、平面垂直性等几何问题。
例如，对于一个平面向量a，它在另一个向量b上的投影可以表示为(a·b)/|b|，其中·表示向量的数量积，|b|表示向量b的模长。
通过向量投影，我们可以计算出两个向量之间的夹角，进而解决相关的几何问题。
三、向量的线性组合向量的线性组合是指通过对向量进行加法和数量乘法的运算得到的新向量。
它在几何学中具有广泛的应用，特别是在矢量空间和线性代数中。
通过向量的线性组合，我们可以描述和分析平面中各种各样的运动、变形以及空间中多个向量的关系。
举一个简单的例子，假设有两个向量a和b，它们的线性组合可以表示为c = ma + nb，其中m和n为实数。
这个线性组合表示了由向量a和b加权得到的新向量c。
通过调整m和n的值，我们可以改变c的方向和长度，从而实现对平面中物体的控制和变换。
四、平面向量的运算在平面向量的几何应用中，向量的运算是非常重要的一部分。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法等，它们的结果仍然是一个向量。
平面向量的投影与几何应用
平面向量的投影与几何应用在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的量，常用于描述平面上的位移、力、速度等物理概念。
而平面向量的投影则是指一个向量在另一个向量上的投影长度，它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
一、平面向量与投影的定义平面向量通常表示为有序数对 (a, b)，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 和 y 轴上的分量。
设有两个平面向量 a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，则向量 a 在向量 b 上的投影可以表示为：proj_b a = ((a1 * b1) + (a2 * b2)) / (b1^2 + b2^2) * b二、平面向量投影的几何解释平面向量的投影可以通过几何方法求解。
在平面上，向量 a 在向量b 上的投影可以看作是向量 a 所在射影线上的一个点，与向量 b 垂直相交的点。
通过计算可以得到具体的投影长度。
三、平面向量投影的应用1. 空间直线的投影在三维空间中，一个点与一个直线的投影可以表示为平面向量之间的投影。
这在计算机图形学中经常用到，用于将三维物体投影到二维屏幕上进行显示。
2. 空间向量的投影在三维空间中，一个向量在另一个向量上的投影可以用于求解两个向量之间的夹角。
具体而言，可以利用投影的长度以及两个向量的模长来计算它们之间的夹角。
3. 平面上点到直线的投影在平面几何中，求解一个点到直线的投影可以通过向量的投影来实现。
通过将直线表示为平面上的一个向量，然后求解点在该向量上的投影，即可得到投影点。
4. 平面上向量的投影在平面几何中，求解一个向量在另一个向量上的投影可以用于求解两个向量之间的夹角。
类似于三维空间中的情况，可以利用投影的长度和两个向量的模长来计算它们之间的夹角。
总结：平面向量的投影与几何应用广泛，它可以用于求解空间直线的投影、空间向量的投影、平面上点到直线的投影以及平面上向量的投影等问题。
通过计算投影的长度，可以得到具体的数值结果，帮助我们进一步分析和理解几何和物理问题。
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平面向量的几何应用
平面向量是研究几何的重要工具，它们不仅可以描述物体的位置和方向，还可以用于求解几何问题。
本文将详细介绍平面向量在几何中的应用，包括向量的平移、旋转、投影以及共线、垂直等概念。
一、向量的平移
向量的平移是指将一个向量沿着指定方向移动一定距离的操作。
平移后的向量与原向量具有相同的大小和方向。
使用平移向量可以方便地描述物体的位移以及多边形的平移。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量M表示平移向量，平移后的向量为AM=M+AB。
通过平移向量，我们可以方便地计算出物体的新位置。
二、向量的旋转
向量的旋转是指将一个向量绕某个点或轴旋转一定角度的操作。
向量在旋转后具有相同的大小，但方向发生改变。
向量的旋转常用于描述物体的旋转以及多边形的旋转。
例如，有一向量OA表示物体的位置，向量θ表示旋转向量，旋转后的向量为OA'=OA*cosθ+OB*sinθ，OB为垂直于OA的单位向量。
通过向量的旋转，可以方便地计算出物体旋转后的新位置。
三、向量的投影
向量的投影是指将一个向量在指定方向上的投影长度。
设有向量a
和向量b，向量a在向量b上的投影长度为a•cosθ，其中θ为a与b之
间的夹角。
向量的投影可用于计算物体在某个方向上的分量。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量n表示指定方向，物体
在指定方向上的分量为AB•cosθ。
通过向量的投影，我们可以方便地计算出向量在指定方向上的分量大小。
四、向量的共线和垂直
两个向量共线意味着它们的方向相同或相反，可以表示为a=k*b，
其中k为常数。
共线的向量在几何中常用于求解相似三角形或线段的
比例关系。
两个向量垂直意味着它们的夹角为90度，可以表示为a•b=0。
垂直
的向量在几何中常用于求解垂直平分线、垂直平面等概念。
总结：
平面向量具有广泛的几何应用，包括向量的平移、旋转、投影以及
共线、垂直等概念。
通过运用向量的几何性质，我们可以更加便捷地
解决各类几何问题。
掌握平面向量的几何应用，有助于提高解题效率，深入理解几何学中的相关概念和原理。
通过以上介绍，希望读者能够对平面向量的几何应用有一个较为全
面的了解，并能灵活运用平面向量来解决几何问题。