新教材高中数学第6章立体几何初步5垂直关系 平面与平面垂直素养作业北师大版必修第二册

第六章 5.2

A组·素养自测

一、选择题

1．如图所示,对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是( D )

A．α⊥β,α∩β＝l,b⊥l⇒b⊥β

B．α⊥β,α∩β＝l,b⊂α⇒b⊥β

C．α⊥β,b⊂α,b⊥l⇒b⊥β

D．α⊥β,α∩β＝l,b⊂α,b⊥l⇒b⊥β

[解析]根据面面垂直的性质定理知,D正确．

2．在棱长都相等的四面体P－ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,则下面四个结论中不成立的是( C )

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC

[解析]可画出对应图形,如图所示,则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊂/平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A成立；由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面PAE,故B成立；又DF⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面PAE,故D成立．

3．(多选)在四棱锥P－ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是( ABD )

A．平面PAB⊥平面PAD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．平面PBC⊥平面PCD

D．平面PCD⊥平面PAD

[解析]对于A选项,AB⊥PA,AB⊥AD,且PA∩AD＝A,所以AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD；对于B选项,由BC⊥AB,BC⊥PA,且AB∩PA＝A,所以BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB；对于D选项,CD⊥AD,CD⊥PA,且PA∩AD＝A,所以CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD．

4.如图所示,在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是( D )

A．平行

B．EF⊂平面A1B1C1D1

C．相交但不垂直

D．相交且垂直

[解析]由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF⊥平面A1B1C1D1,相交且垂直．

5.如图所示,三棱锥P－ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA＝PB,AD＝DB,则( B )

A．PD⊂平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

[解析]∵PA＝PB,AD＝DB,∴PD⊥AB．

又∵平面ABC⊥平面PAB,PD⊂平面PAB,平面ABC∩平面PAB＝AB,∴PD⊥平面ABC．

6．在二面角α－l－β中,A∈α,AB⊥平面β于B,BC⊥平面α于C,若AB＝6,BC＝3,则二面角α－l－β的平面角的大小为( D )

A．30°B．60°

C．30°或150°D．60°或120°

[解析]如图,∵AB⊥β,

∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l⊥平面ABC,

设平面ABC∩l＝D,

则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角,

∵AB＝6,BC＝3,∴∠BAC＝30°,

∴∠ADB＝60°,

∴二面角大小为60°或120°.

二、填空题

7.如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有 3 对．

[解析]∵AB⊥平面BCD,且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD,

∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD．

∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD．

又∵BC⊥CD,AB∩BC＝B,∴CD⊥平面ABC．

∵CD⊂平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD．

故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD．

8.如图,在三棱锥P－ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC＝90°,PA＝1,AB＝2,则PB＝5 .

[解析]∵侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC＝90°(即PA⊥AC),

∴PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,

∴PA⊥AB,

∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.

9．已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的高为3,底面对角线的长

为26,则侧面与底面所成的二面角的大小为 60° .

[解析] 设正四棱锥为S －ABCD , 如图所示,高为h ,底面边长为a ,

则2a 2

＝(26)2

, ∴a 2＝12.

设O 为S 在底面上的投影,作OE ⊥CD 于E ,连接SE , 可知SE ⊥CD ,∠SEO 为所求二面角的平面角． tan ∠SEO ＝h a 2

＝

3×2

12

＝3,

∴∠SEO ＝60°.

∴侧面与底面所成二面角的大小为60°. 三、解答题

10.如图所示,△ABC 为正三角形,CE ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,且CE ＝AC ＝2BD ,M 是AE 的中点．

(1)求证：DE ＝DA ；

(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ． [解析] (1)取EC 的中点F ,连接DF . ∵CE ⊥平面ABC , ∴CE ⊥BC ．易知DF ∥BC , ∴CE ⊥DF . ∵BD ∥CE , ∴BD ⊥平面ABC ． 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中,

EF ＝1

2

CE ＝DB ,DF ＝BC ＝AB ,

∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ．故DE ＝DA ．