高中数学-向量与立体几何习题5

课时作业(五)

1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1与CE 的位置关系是( )

A ．重合

B ．垂直

C ．平行

D ．无法确定 答案 B

2．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，CC 1＝2，AA 1与AB ，AC 都成60°角，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.14 B.155 C.105 D.16 答案 D

3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，AM →＝12

MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN →

|等

于( )

A.

216 B.66 C.156 D.153 答案 A

4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是DD 1的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON 与AM 的位置关系是( )

A ．平行

B ．垂直

C ．相交但不垂直

D ．无法判断

答案 B

5．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B

解析 由题意，{OA →，OB →，OC →}构成空间的一个基底，OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面等价于x ＋y ＋z ＝1.若x ＝2，y ＝－3，z ＝2，则x ＋y ＋z ＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．若P ，A ，B ，C 四点共面，则x ＋y ＋z ＝1，不能得到“x ＝2，y ＝

－3，z ＝2.所以“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件． 6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )

A. 3

B. 2

C ．1 D.3－ 2 答案 D

解析 {BF →，FE →，ED →}构成空间的一个基底，因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →，所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE

→

|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →

|＝3－ 2.

7．已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，则MN ________AB (填“∥”或“⊥”)． 答案 ⊥

8．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，若VP →＝13VC →，VM →＝23

VB →

，

VN →＝23

VD →

，则VA 与平面PMN 的位置关系是________．

答案 平行

解析 设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底，VD →

＝a ＋c －b .由题意

知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c .因此VA →＝32PM →＋32PN →，所以VA →，PM →，PN →

共

面．又VA ⊄平面PMN ，所以VA ∥平面PMN .

9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面P AC .

解析 如图，连接BD ，则BD 过点O ，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→

＝c ， 设|a |＝|b |＝|c |＝1，

∵AC →＝AB →＋AD →

＝a ＋b ，

OB 1→＝OB →＋BB 1→＝12DB →＋BB 1→＝12(AB →－AD →)＋BB 1→＝1

2a －12

b ＋

c .

∴AC →·OB 1→＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c ＝12|a |2＋12a ·b －12a ·b －12|b |2＋a ·c ＋b ·c ＝12－12＝0. ∴AC →⊥OB 1→

，即AC ⊥OB 1.

又AP →＝AD →＋12DD 1→

＝b ＋12

c ，

∴OB 1→·AP →

＝⎝⎛⎭⎫12a －12b ＋c ·⎝⎛⎭

⎫b ＋12c ＝12a ·b －12|b |2＋c ·b ＋14a ·c －14b ·c ＋12|c |2＝－12＋1

2＝0， ∴OB 1→⊥AP →， 即OB 1⊥AP .

又AC ∩AP ＝A ，AC ，AP ⊂平面P AC ，

∴OB 1⊥平面P AC .

10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E ，F ，G ，H 分别是CC 1，BC ，CD 和A 1C 1的中点．

证明：(1)AB 1∥GE ，AB 1⊥EH ； (2)A 1G ⊥平面EFD .

证明 (1)如图，设正方体棱长为1，AB →＝i ，AD →＝j ，AA 1→

＝k ，

则{i ，j ，k }构成空间的一个单位正交基底.AB 1→＝AB →＋BB 1→

＝i ＋k ，

GE →＝GC →＋CE →＝12i ＋1

2k ＝12

AB 1→，∴AB 1∥GE .

EH →＝EC 1→＋C 1H →＝1

2k ＋⎝⎛⎭

⎫－12(i ＋j ) ＝－12i －12j ＋12k ，

∵AB 1→·EH →＝(i ＋k )·⎝⎛⎭⎫－12i －12j ＋12k ＝－12|i |2＋1

2|k |2＝0，

∴AB 1⊥EH .

(2)A 1G →＝A 1A →＋AD →＋DG →

＝－k ＋j ＋12

i .

DF →＝DC →＋CF →

＝i －12j ，DE →＝DC →＋CE →＝i ＋12k .

∴A 1G →·DF →

＝⎝⎛⎭⎫－k ＋j ＋12i ·⎝⎛⎭⎫i －12j ＝－12|j |2＋1

2|i |2＝0，

∴A 1G ⊥DF .

A 1G →·DE →

＝⎝⎛⎭⎫－k ＋j ＋12i ·⎝⎛⎭⎫i ＋12k ＝－12|k |2＋1

2|i |2＝0，

∴A 1G ⊥DE .

又DE ∩DF ＝D ，DE ，DF ⊂平面EFD ， ∴A 1G ⊥平面EFD .