不等式复习

2016年2月14日星期日 12:47:35
重点内容
一元二次不等式的解法
2、标根法：步骤： a、移项，使不等式右边为0；分解因式，保证 x的系数为正；b、令各因式等于0，求出x； c、在数轴上按从小到大顺序标出每一个根， 重复的根要重复标；d、画曲线（从右上角开 始）；e、写解集。 （数轴上方大于0，下方 小于0，数轴上的点使不等式等于0）
解 mx
1 (a b) 2
ab ( D) ab
1 2 1 (m x 2 ), ny (n 2 y 2 ) 2 2
m x ny
等号成立的充要条件是 m＝x 且n＝y ，但由于 a≠b ， 故等号不能成立，因此， （ a＋ mx ny ab(cos cos sin sin ) b） ab/2 cos(不是最大值， ) 则 这告诉我们一条重要经验：使用平均值不等式求最值 时，一定要认真研究等号能否成立。 mx ny cos( ) 1
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重点内容
含绝对值的不等式的解法：
1、两边平方法：例如|x－1|＜3 2、公式法： 若 a x a，则 |x|＜a （ 其中 a＞0） x a或x a |x|＞a（a＞0）那么____________ 特别注意a≤0的情况要特殊处理
|x|＜a在a≤0时解集是φ， |x|≥a在a≤0时解集是R
即
( x 15)(x 2) ( x 3)(x 5)
≤0
2
3
5
15
由标根法知原不等式的解是
{x | 2 x 3或5 x 15}
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课后练习
1、解不等式： （2x＋1 ） （ x2＋2x－8 ）＞0 2、a∈R，b∈R，用求差比较法和综合法 证明：a2＋b2≥2a＋2b－2。 3、a∈R+，b∈R+，2a＋3b=2,求 ab的最大 值及取得最大值时a，b的值
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重点内容
不等式性质的应用
不等式性质的主要应用——求最值
理论依据
1、两个正数，和为定值，积有最大值； 2、两个正数，积为定值，和有最小值。
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例 题
1、对于实数a,b,c，判断下列命题的真假
①c－b＞c－a，那么b＞a
＞0，b＋a＞0，而（b－a）2≥0
b2 a 2 ≥a＋b a b
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证明二：综合法
∵ a＞0，b＞0
∴
b2 ＋a≥2 a a2 ＋b≥2 b
b2 a ＝2b a
①
a2 b ＝2a ② b 2 2 a b ①＋②得 ＋a＋ ＋b ≥2a＋2b b a
时， 有最大值
上述解法正确吗？为什么？ 正解: 设 m a cos , n a sin , x b cos , y b sin
ab
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例题
x 5、解不等式 2 ≥2 x 8 x 15
x 2 17x 30 解：不等式等价于 ≥0 2 x 8 x 15 即 x 2 17x 30 ≤0 2 x 8 x 15
a , b R （条件 当且仅当
ab 2 ≥
ab
ab
时取等号。
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重点内容
证明不等式的方法：
1、求差比较法： “最基本的方法” (重点掌握）
2、综合法：“主要方法”（执因索果）
3、分析法：“常用方法”（特别注意格 式，执果索因） 4、求商比较法：（一般了解）
∴
b2 a
a2 ＋ ≥a＋b b
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例题
1 3、已知x＞1，求x＋ x 1 小值时x的值。
解：∵x＞1 ∴x－1＞0 的最小值以及取得最
1 ∴x＋ x 1
1 ＝（x－1）＋ ＋1 ( x 1)
≥2
1 ( x 1) ( x 1) ＋1＝3
1 当且仅当x－1＝ x 1 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去
②a＞b＞0，则
1 1 a b
（× ）
（×） （ ×） （ √） （√） （ √）
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③a＞b，则ac＞bc ④ac2＞bc2，则a＞b
1 1 ⑤a ＞ b ， a b
则a＞0，b＜0
⑥a＜b＜0，则|a|＞|b|
2、设a＞0，b＞0，用求差比较法和综合法证明：
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会考考试要求
1、能够比较差容易确定符号的两个代数式的大小。 2、理解不等式的性质定理及其推论，能够直接套用 性质定理及其推论去判断两个代数式的大小关系。
3、掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数 不小于他们的几何平均数的定理，且会简单的应用。 4、掌握求差比较法、综合法、分析法证明简单的 不等式。 5、掌握二次不等式，简单的绝对值不等式和简单 的分式不等式的解法。
c 0 ，ac＞bd
n
⑤、a＞b＞0 那么
a b（条件n N , n 2）
这些性质是推导不等式其他性质的基础，也是证明不等式的依据。
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⑥、|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
重点内容
证明不等式的主要依据有： ① a －b＞0 a＞b， a－b＜0 a＜b ②不等式的性质； ③几个重要不等式： a2≥0 （当且仅当 a 0 时取等号）； a2＋b2≥2ab （当且仅当 a b 时取等号，a，b∈ R ）；
1、分解因式符号法则法（参考教材，比较麻烦）
2016年2月14日星期日 12:47:35
重点内容
分式和高次不等式的解法——标根法
a、分解因式，保证x的系数为正；
b、令分子，分母等于0，求出x；
c、在数轴上按从小到大标出每一个根，重 复的根要重复标； d、画曲线（从右上角开始）；
e、写解集，数轴上方大于0，下方小于0， 数轴上的点使不等式等于0。
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
2016年2月14日星期日 12:47:35
4、若实数
例 题 m ,n, x , y
满足 m 2 n 2 a , x 2 y 2 b( a b ) ，
则 mx ny 的最大值是（ B ） 2 2 ab a b ( A) ( B) ab (C) 2 2
6、理解不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
2016年2月14日星期日 12:47:35
重点内容
不等式的主要性质有：
a b b a 传递性： a b, b c a c ①、对称性： _________
②、
a b, c R ，a+c＞b+c
③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc； a ＞b ，
例 题
b2 a 2 ≥a＋b a b 2 b2 a 2 a2 b 证明：∵ －（a＋b）＝（ －a）＋（ －b） a 2 b2 2 2 b a a b b a ＝ ＋ b a 1 1 ＝（b2－a2）（ a b ） 1 ＝ （b－a）2（b＋a） ab 1
又∵ a＞0，b＞0，∴
ab 1 ∴ ab（b－a）2（b＋a）≥0 即
2003年会考专题复习 不等式（一）
乌鲁木齐铁二中高中部 杨 帆
2016年2月14日星期日 12:47:35
知识点和考试水平 知 识 点
1.不等式的性质 2.算术平均数与几何平均数 3.不等式的证明 4.不等式的解法 √ √
考试水平
A √ √ B C D
5.含有绝对值的不等式
√
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