角平分线、等腰三角形性质及判定的应用--学生版

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角平分线和平行线构成等腰三角形的探究

角平分线和平行线构成等腰三角形的探究-----李春蕊北京市育英学校一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。

等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。

这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据.学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。

学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。

二、教学目标：（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.（3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题.教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题.突出重点方法:观察，思考，证明.突出难点方法:自主探究教学方法：启发与探究相结合教学准备：PPT，课本，作图工具三、教学设计：（一）复习等腰三角形相关知识1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）（二）探究过程问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？解：是；EB=ED发现：无论点D 在BD 上如何运动，△EBD 都是等腰三角形结论：角平分线+平行线等腰三角形我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是借助图形，比如在三角形中研究问题，上面问题如果放在三角形中，我们可以作三角形中一个角的角平分线，然后过角平分线上一点，作这个角的一边的平行线。

等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册

第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则知识点02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm ，则第三边的长为cm ．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm ，则底边为4cm ，则第三边的长为8cm ，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm ，则底边为8cm ，则第三边的长为4cm ，448+=，故不能组成三角形．故答案为：8．【变式训练】1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为3cm 和8cm ，则周长是cm ．【答案】19【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为3cm 和8cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3cm ，底边是8cm 时：338+<，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm ，腰长是8cm 时，388+>，能构成三角形，则其周长()38819cm =++=．故答案为：19．2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若()2450a b -+-=，则以a ，b 为边长的等腰三角形的周长为．【答案】13或14【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a ，b 的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案．【详解】解：∵()2450a b -+-=，且()240a -≥，50b -≥，∴40a -=，50b -=，解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE ∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ⊥，90BAD ∠=︒∴EBA BAE BAE ∠+∠=∠+EBA CAD BAE ∠=∠∠=，【答案】10【详解】解：AB 5BD CD ∴==，210BC BD ∴==，故答案为：10．2．两个同样大小的含(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，题型04根据等腰三角形三线合一进行证明(1)若106BAC DAE ∠∠=︒，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1180ADE AED ∠=∠=︒∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =∠=∠=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ⊥，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD⊥连接AC AD，∵AB AE ABC AED BC ED=∠=∠=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ⊥．2．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形∠，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BC是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C ∠=∠，即可证明ABC 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，∵AD 平分CAE ∠，∴EAD CAD ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x ∠=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到13BEC x ABC =-∠∠，A =∠【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ．(1)若40C ∠=︒，求BAD ∠的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC 的周长，AEF △的周长为15，求ABC 的周长．【详解】（1）解：AB AC = ，C ABC ∴∠=∠，∵40C ∠=︒，∴40ABC ∠=︒，AB AC = ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90BDA ∴∠=︒，∴90904050BAD ABC ︒︒︒︒∠=-∠=-=；（2）证明：BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠，∴EBF FEB ∠=∠，BF EF ∴=，BEF ∴ 是等腰三角形；（3）解：AEF 的周长为15，15AE AF EF ∴++=，BF EF = ，15AE AF BF ∴++=，即15AE AB +=，BE 平分ABC 的周长，=15AE AB BC CE ∴++=，ABC ∴ 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(2)若6,3,4AD BE EF ===，求线段AB 的长．(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80︒，则这个等腰三角形的顶角为（）．A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．20︒或100︒【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80︒，∴等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B ∠=︒，则CAD ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC 是等腰三角形的是（）A ．40B ∠=︒，80C ∠=︒B ．123A BC ∠∠∠=::::C ．2A B C∠=∠+∠D ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．【详解】解：A ．∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，A ．16【答案】A 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．先得出ABD ACF ∠=∠，进而得到AF 长，求出AB 出即可．【详解】CE BD ⊥ ，90BEF ∴∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90CAF ∴∠=︒，90FAC BAD ∴∠=∠=︒ABD ACF ∴∠=∠．在ABD △和ACF △中【答案】10︒，80︒，140︒或20︒【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，+∵BAC ∠是ABP 的一个外角，∴20BAC APB ABP ∠=∠+∠=︒，∵AB AP =，∵AB AP=，20BAP∠=︒，∴180802BAPABP APB︒-∠∠=∠==︒；当BA BP=时，如图：∵BA BP=，∴20BAP BPA∠=∠=︒，∴180140ABP BAP BPA∠=︒-∠-∠=︒；当PA PB=时，如图：∵PA PB=，∴20BAP ABP∠=∠=︒；综上所述：当ABP是等腰三角形时，故答案为：10︒，80︒，140︒或20︒．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．【答案】(1)三角形的三边分别为3cm9cm9cm、、(2)能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．（1）设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ⊥Q ，AD AC =，AE ∴平分CAD ∠，CAE DAE ∴∠=∠，在CAE V 和DAE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAE DAE ∴ ≌，CE DE ∴=，90ADE ACE ∠=∠=︒，设BE x =，则8CE DE x ==-，由勾股定理可得：222DE BD BE +=，()22284x x ∴-+=，解得：5x =，5BE ∴=．14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，ED AB ∥，分别交BC 、AC 于点D 、E ，点F 在BC 的延长线上，且CF DE =，(1)求证：CEF △是等腰三角形；(2)连接AD ，当AD BC ⊥，8BC =，CEF △的周长为16时，求DEF 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)20【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键．（1）利用等腰三角形的性质得到B ACB ∠=∠，然后推出EDC ECD ∠=∠，DE EC =，结合已知条件，得到结论．当AD BC ⊥时，AB AC =，∴142BD CD BC ===， DEF 的周长DE DF EF =++，∴DEF 的周长CE EF CD =+++15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）的平分线，DF AB 交AE 的延长线于(1)若120BAC ∠=︒，求BAD ∠(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE ∠=∠，求【答案】(1)见解析(2)108BAC ∠=︒【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C ∠=∠，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =∠∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C ∠=∠∠=∠，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD ∠，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC ∠=∠∠=∠，∴A ABC CB =∠∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（3）当ACD 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒∴100ACB ACD BCD ∠=∠+=︒∠；当ACD 是等腰三角形，DA AC =时，如图，则65ACD ADC ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒，∴5065115ACB ∠=︒+︒=︒；当ACD 是等腰三角形，CD AC =的情况不存在；当BCD △是等腰三角形，DC BD =时，如图，则1803ACD BCD B ︒-∠=∠=∠=∴2603ACB ACD BCD ∠=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD ∠=∠，设BDC BCD x ∠=∠=，则B ∠=则1802ACD B x ∠=∠=︒-，由题意得，180250x x ︒-+︒=，解得，2303x ︒=，∴8018023ACD x ︒∠=︒-=，∴3103ACB ︒∠=，综上所述：ACB ∠的度数为100。

专题角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

P O N M B AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

等腰三角形的性质与判断及应用

等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。

(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。

(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。

①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。

最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。

当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。

若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。

另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。

【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。

例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。

例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。

等腰三角形的性质及判定方法

等腰三角形的性质及判定方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形有着独特的性质和判定方法。

本文将介绍等腰三角形的性质以及判定方法。

1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。

根据定义，等腰三角形的两边是等长的，它们被称为等腰三角形的腰，而剩下的边则被称为底边。

2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的底边上的两个底角相等。

这是等腰三角形最基本的性质之一。

由于底边两边等长，所以两个底角的两边也相等，根据三角形内角和定理，两个底角相等。

（2）等腰三角形的顶角等于180度减去底角的一半。

这个性质可以通过角度和边的关系来推导。

设等腰三角形的两个底角为x度，则顶角为180度减去两个底角的和2x度。

（3）等腰三角形的高线线对称于底边中点的垂直平分线。

等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，而底边的中点是由两点确定的垂直平分线。

这两条线通过等腰三角形的顶点，并且垂直于底边。

3. 等腰三角形的判定方法（1）边长判定：如果一个三角形的两边长度相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的两边长度，如果相等，则可以判定为等腰三角形。

（2）角度判定：如果一个三角形的两个底角相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的两个底角，如果相等，则可以判定为等腰三角形。

（3）边角关系判定：如果一个三角形的一边与另外两边的边长比相等，并且底角相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的边长和角度，如果满足该条件，则可判定为等腰三角形。

4. 实际应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。

例如，在建筑物的设计中，等腰三角形常用于门窗的设计，通过运用等腰三角形的性质，可以确保门窗的开合顺畅和美观。

此外，在数学问题解答中，等腰三角形的性质和判定方法也经常被使用。

例如，在解决几何证明问题时，可以通过利用等腰三角形的性质进行推理和证明。

综上所述，等腰三角形具有底边两个底角相等和顶角等于底角的一半等独特性质。

等腰三角形、平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明平行四边形的性质定理和判定定理及其证明一、一周知识概述1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)．2、等腰三角形性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3、等腰三角形的判定定理两个角相等的三角形是等腰三角形．4、等腰三角形判定定理的推论推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．5、直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．6、平行四边形的性质定理定理1：平行四边形的对边相等．定理2、平行四边形的对角相等．定理3、平行四边形的对角线互相平分．7、平行四边形的判定定理定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．8、三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．二、重难点知识1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明．2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点．三、典型例题讲解例1、如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE．分析：因为DE=DF＋FE，即结论为BD＋EC=DF＋FE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立．证明：∵DE∥BC(已知)，∴∠3=∠2(两直线平行，内错角相等)．又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DB=DF(等角对等边)．同理可证EF=CE．∴BD＋EC=DF＋EF，即BD＋EC=DE．小结：过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交，所构成的三角形是一个等腰三角形，这是一个常见的构图，应熟练掌握．例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．小结：本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，要注意灵活运用与牢固掌握相结合．例3、如图，在△ABC 中，AB=AC=CB ，AE=CD ，AD 、BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ．求证：BP=2PQ 。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中经常遇到的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。

在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

一、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。

它具有以下几个重要的性质：1. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线也是底边的中线。

这意味着等腰三角形的顶角平分线与底边相等，并且平分线的中点与底边的中点重合。

2. 底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的。

这是等腰三角形最基本的性质之一，也是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。

3. 高线重合：等腰三角形的两条高线重合于底边中点。

这意味着等腰三角形的两条高线相等，并且它们的交点与底边的中点重合。

二、判定等腰三角形的方法判定一个三角形是否为等腰三角形，我们可以运用以下几种方法：1. 两边相等：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。

这是最简单的判定方法，只需要比较两条边的长度即可。

2. 底角相等：如果一个三角形的两个底角相等，那么它就是一个等腰三角形。

这个方法也比较简单，只需要用量角器或直尺测量两个角的度数即可。

3. 顶角平分线：如果一个三角形的顶角平分线与底边的中线重合，那么它就是一个等腰三角形。

这个方法需要用到直尺和量角器，先画出顶角平分线，再测量底边中线的长度，如果两者重合，就可以判定为等腰三角形。

三、实际应用等腰三角形在现实生活中有许多实际应用。

例如，在建筑设计中，我们经常会遇到等腰三角形的形状，比如屋顶的斜面。

通过了解等腰三角形的性质和判定方法，我们可以更好地理解和应用这些形状。

此外，等腰三角形还与数学中的其他概念有着密切的联系。

例如，等腰三角形的顶角平分线与底边的中线重合这一性质，与中位线的性质有着相似之处。

通过比较和分析这些概念之间的关系，我们可以更深入地理解数学知识。

总结：等腰三角形是初中数学中的重要概念，它具有独特的性质和判定方法。

八年级上册角平分线的性质(学生版)

初中数学班别：初中数学角平分线的性质姓名：角平分线的性质讲之篇【教学目标】1、掌握角平分线的性质以及角平分线性质的应用，会用直尺圆规作一个已知角的平分线；2、通过作图直观地理解角平分线的性质定理，经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3、培养学生的观察、分析、归纳能力，探究精神和创新意识．【教法指导】本节课是在学习了全等三角形的基础上进行的，角平分线的性质是证明线段相等的重要手段，角平分线的判定为证明两个角相等提供了一种新的证明方法.重点是领会角的平分线的性质定理，难点是角的平分线的性质定理的实际应用．【教学过程】☆知识回顾☆议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB 和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分别在∠CAD和∠CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．证明：☆探索新知☆如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”【总结】角平分线的性质：__________________________．已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD∠OA，PE∠OB，垂足分别是D、E 求证：PD=PE．证明：【探究】从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换，可得以下的命题：__________________________________________证明如下：已知：PD∠OA，PE∠OB，垂足分别是D、E，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：【归纳】角平分线的判定定理：_______________________________________☆尝试应用☆例1 如图，BE∠AC 、CF∠AB 于点E 、F ，BE 与CF 交于点D ，DE=DF ，连结AD 。

2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题7 等腰、等边三角形的性质与判定(学生版)

2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题7 等腰、等边三角形的性质与判定一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021八上·金华期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，EC 在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”2．（2021八上·诸暨期中）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰△ABC 的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（）A．10个B．9个C．8个D．7个3．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，△B＝68°，△C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于0.5AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则△BAD的度数为（）A．50°B．52°C．54°D．56°4．（2021八上·台州期中）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，则△ABC底角的度数为（）A．45º或75ºB．60º或75ºC．15º或75ºD．45º或75º或15º5．（2021八上·温州期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=15，BC=18，O是△ABC内一点，过点O作三边BC，AB，AC的垂线段，垂足分别为D，E，F，若OD：OE：OF=1：3：3，则A，O两点间距离是（）A．8B．9C．10D．116．（2021八上·拱墅期中）下列说法正确的是（）A．顶角相等的两个等腰三角形全等B．有一个角是60°的三角形是等边三角形C．等腰三角形两底角相等D．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合7．（2020八上·滨江期中）如图，在△ABC中，△B＝50°，CD△AB于点D，△BCD和△BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则△ACD+△CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°8．（2020八上·温岭期中）如图，在△ABC中，AD△BC，AB=AC，△BAD=30°，AD=AE，则△EDC=（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°9．（2021八上·诸暨期中）如图，在△ABC中，ED△BC，△ABC和△ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝3，ED＝6，则EB＋DC的值为（）A．7B．8C．9D．1010．（2021八上·长兴期中）如图，在△ABC中，AD是△BAC的平分线，EF△AD，交AB于F，交CA 延长线于G，下列说法正确的是()A．△ABD是等腰三角形B．△AGF是等腰三角形C．△BEF是等腰三角形D．△ADC是等腰三角形二、填空题（每题4分，共24分）11．（2021八上·诸暨期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是秒.12．（2021八上·温州期中）如图，根据尺规作图的痕迹，若BD⊥AD，BD=CD，则∠A=度.13．（2021八上·义乌期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝20cm，若衣架收拢时，△AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm．14．（2020八上·永嘉期中）如图，在△ABC中，△C=90°，△B=30°，D是斜边AB的中点，P是边BC 上的点，且PC=AC= √2，以AP为边在AP右侧作等边△APQ ，连结DQ，则DQ=；连结PD，则PD=。

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。

本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。

一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠ABC和∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。

不妨设∠ABC ＞∠ACB。

由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。

又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。

根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD-∠ABD=∠ADC。

而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。

所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。

性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

假设∠BAC和∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。

不妨设∠BAC ＞∠BCA。

由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。

又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。

根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC-∠BCA=∠CDB。

而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。

所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。

性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。

证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。

过顶点A作边BC的垂线，交边BC于点D。

连接AD，BD与CD。

首先证明AD是三角形ABC的高。

根据性质定理1可知∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°，∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。

接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。

等腰三角形(讲义--学生版)

13．3 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质基础题知识点1等边对等角1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于( )A．30°B．75°C．150°D．125°2．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于( )A．30°B．40°C．75°D．120°3．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是________．#4．等腰直角三角形的底角的度数为________．5．一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为________________．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.知识点2三线合一7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是()A．过顶点的直线B．底边的垂线:C．顶角的角平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线8．(苏州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．60°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3 cm.则∠ADB的度数是________，BD的长是________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．：11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．中档题13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是()\A．100°B．80°C．70°D．50°14．(新疆中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是________．15．(云南中考)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________．16．(贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A 的度数是________．17．如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想∠A与∠E的大小关系，并说明理由．]18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE＝PF.19．(十堰中考)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.…20．已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．综合题21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.(1)试求∠DAE的度数；{(2)如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗为什么参考答案1．B ° °，20°或50°，50° 6.证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵BD ＝CD.∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠ABC －∠DBC ＝∠ACB －∠DCB ，即∠ABD ＝∠ACD. ° cm ° 12.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC.∵∠BAC ＝50°，∴∠DAE ＝12∠BAC ＝25°.又∵DE ⊥AC ，∴∠AED ＝90°.∴∠ADE ＝90°－∠DAE ＝90°－25°＝65°. ° ° ° 17.∠A ＝∠E.理由如下：∵CB ＝CE ，∴∠E ＝∠CBE.∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠CBE.∴∠A ＝∠E. 18.证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是∠BAC 的平分线．又∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴PE ＝PF. 19.证明：过点A 作AF ⊥BC 于点F.又∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF.∵BD ＝CE ，∴DF ＝EF.∴AD ＝AE. 20.①当(2x －2)°作为顶角时，即(2x －2)＋2×(3x －5)＝180，解得x ＝24，三角形三个角的度数分别为46°，67°，67°；②当(3x －5)°为顶角时，即(3x －5)＋2×(2x －2)＝180，解得x ＝27，三角形三个角的度数分别为52°，52°，76°；③当以上两个角均为底角时，即2x －2＝3x －5，解得x ＝3，三角形三个内角分别为4°，4°，172°. 21.(1)∵△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∵BD ＝BA ，CE ＝CA ，∴∠BAD ＝(180°－45°)÷2，∠CAE ＝45°÷2.∴∠DAE ＝90°－∠BAD ＋∠CAE ＝45°.(2)不变．∠DAE ＝90°－180°－∠B 2＋12∠ACB ＝12(∠B ＋∠ACB)＝45°，从上式可看出当AB 和AC 不相等时，∠B ＋∠ACB 也是90°.所以∠DAE 的度数不变．）第2课时等腰三角形的判定基础题】知识点1等腰三角形的判定1．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是( )A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形2．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于()A．3 cm B．4 cm C．cm D．2 cm3．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( )（A．3个B．4个C．5个D．6个4．如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，那么这个三角形一定是( )A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形5．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则这个三角形是________三角形．6．在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶3，那么△ABC是________三角形．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________________________．8．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________．&9．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗为什么10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，求证：△ABC为等腰三角形．知识点2用尺规作等腰三角形11．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．&中档题12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有( )A．6个B．7个C．8个D．9个13．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()：A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4) D．(1)(3)(4)14．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是________．15．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C ＝________．16．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：AB＝AC.17．如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从A向北航行30海里到B，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．!(1)求∠ACB的度数；(2)轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少18．(襄阳中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有成立的情形)'(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．综合题19．已知：D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. (1)当点D在BC边上时(如图)，判断△ABC的形状(直接写出答案)；(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论是否一定成立若成立，请证明；若不成立，请举出反例(画图说明)．参考答案1．B 5.等腰 6.等腰＝CD 或∠BAD ＝∠CAD cm 9.△ADE 是等腰三角形．理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C.∴∠ADE ＝∠AED.∴AD ＝AE.∴△ADE 是等腰三角形． 10.证明：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 11.(1)作线段AB ＝a ；(2)作线段AB 的垂直平分线MN ，与AB 交于点D ；(3)在MN 上取一点C ，使CD ＝b ；(4)连接AC ，BC ，则△ABC 就是所求作的三角形．14．30 °或45° 16.证明：∵AD 平分∠EDC ，∴∠ADE ＝∠ADC.又∵ED ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADC.∴∠E ＝∠C.又∵∠E ＝∠B ，∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC. 17.(1)∵∠NAC ＝38°，∠NBC ＝76°，∠NBC ＝∠ACB ＋∠NAC ，∴∠ACB ＝∠NBC －∠NAC ＝76°－38°＝38°.(2)∵∠ACB ＝∠NAC ＝38°，∴AB ＝BC.∵AB ＝30海里，∴BC ＝30海里．即轮船在B 处时，到灯塔C 的距离是30海里． 18.(1)①②；①③.(2)选①③，证明如下：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.∵∠EBO ＝∠DCO ，且∠ABC ＝∠EBO ＋∠OBC ，∠ACB ＝∠DCO ＋∠OCB ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴△ABC 是等腰三角形． 19.(1)△ABC 是等腰三角形．(2)如图，当点D 在△ABC 内部时，△ABC 是等腰三角形成立．理由：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △EBD 与Rt △FCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ，DB ＝DC ，∴Rt △EBD ≌Rt △FCD(HL)．∴∠EBD ＝∠FCD.∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB.∴∠EBD ＋∠DBC ＝∠FCD ＋∠DCB ，即∠EBC ＝∠FCB.∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和判定方法。

本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

一、等腰三角形的性质1. 底角相等性质：等腰三角形的底边上的两个角相等。

设等腰三角形ABC，其中AB=AC，那么∠ABC=∠ACB。

2. 顶角平分性质：等腰三角形的顶角被底边平分。

同样设等腰三角形ABC，有AB=AC，那么∠BAC被BC平分。

3. 等腰三角形的高：等腰三角形的高线同时也是它的中位线和角平分线。

在等腰三角形ABC中，若AB=AC，那么从顶点A向底边BC引一条垂线，该垂线会平分底边BC，同时也平分∠BAC。

二、等腰三角形的判定1. 根据两边相等判定：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。

例如给定三角形ABC，若AB=AC，那么可以判定ABC为等腰三角形。

2. 根据底角相等判定：如果一个三角形的底边上的两个角相等，那么它就是一个等腰三角形。

例如给定三角形ABC，若∠ABC=∠ACB，那么可以判定ABC为等腰三角形。

3. 根据顶角平分判定：如果一个三角形的顶角被底边平分，那么它就是一个等腰三角形。

例如给定三角形ABC，若∠BAC被BC平分，那么可以判定ABC为等腰三角形。

4. 根据高线判定：如果一个三角形的高线同时也是它的中位线和角平分线，那么它就是一个等腰三角形。

例如给定三角形ABC，若从顶点A向底边BC引一条垂线，该垂线既平分底边BC，又平分∠BAC，那么可以判定ABC为等腰三角形。

三、等腰三角形在实际生活中的应用等腰三角形在现实生活中有着广泛的应用。

下面举几个例子：1. 圆锥的底面是等腰三角形，当我们在日常生活中压缩一根圆锥形雨伞时，底部展开的形状就是一个等腰三角形。

2. 音箱的设计常常采用等腰三角形，因为等腰三角形的稳定性好，并且能够有效地防止共振。

3. 手机屏幕的倾斜角度一般为45度，这是由于45度等腰三角形的边长比例十分均匀，可以使我们的视觉效果更佳。

2.5第1课时等腰三角形的性质与判定(十一大题型)(解析版)

（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》2.4 等腰三角形的轴对称性第1课时等腰三角形的性质和判定◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).★用符号语言表示为：在△ABC 中，∵ AB =AC （已知），∴ ∠B ＝∠C （等边对等角）.◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.★用符号语言表示为：在△ABC 中，（1）∵AB =AC , ∠1=∠2(已知)，∴BD =CD , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（2）∵AB =AC , BD =CD (已知)，∴∠1=∠2 , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（3）∵AB =AC , AD ⊥BC (已知)，∴BD =CD , ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.等腰三角形的判定方法：◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形.◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.◆3、等腰三角形的判定与性质的区别条件结论作用性质(等边对等角)在同一个三角形中，两边相等.这两边所对的角也相等.证明角相等.判定(等角对等边)在同一个三角形中，两个角相等.这两个角所对的边也相等.证明线段相等.【例题1】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°．BD 平分∠ABC ，则∠BDC 是（）A ．36°B ．60°C ．72°D ．80°【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义可得∠ABD 的度数，然后根据三角形的外角性质解答即可．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC =180°36°2=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；【变式1-1】（2022春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝ °．【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE⊥BD，∴∠ARD＝90°，∵∠DAE＝28°，∴∠ADB＝62°，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠ABD=12×（180°﹣62°）＝59°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝31°，故答案为：31．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】（2022春•三原县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝40°，则∠CBD＝．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，又由∠ADE ＝40°，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝∠ABD＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式1-3】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（）A．30°B．32°C．34°D．36°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，可得∠DBA 的度数，进一步即可求出∠DBC的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∵AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴DA ＝DB ，∴∠DBA ＝∠A ＝40°，∴∠DBC ＝30°，故选：A ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．【变式1-4】（2022春•铁西区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝CA ，连接AD ，若∠D ＝25°，求∠BAC 的度数．【分析】两次利用等边对等角求得∠B ＝∠BCA ＝50°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．【解答】解：∵CD ＝CA ，∠D ＝25°，∴∠BCA ＝2∠D ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝50°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”，难度不大．【例题2】（2022秋•云梦县期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DB ，DE ⊥AB 于点E ，若BC ＝3，且△BDC 的周长为8，则AE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，∴BD+CD＝8﹣3＝5，∵AD＝BD，∴AD+DC＝5，∴AC＝5，∵AB＝AC，∴AB＝5，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE=12AB＝2.5，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（）A ．17cmB ．12cmC ．14cmD ．34cm【分析】根据垂直平分线的性质可得：AN=BN ，根据△BNC 的周长和BC 的长度得出AC=14cm,再利用AB=AC ，则AB=AC=14cm ．【解答】解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AN ＝BN ，∵△BNC 的周长是24cm ，BC ＝10cm ，∴BN +NC +BC ＝AN +NC +BC ＝AC +BC ＝24（cm ），∴AC ＝14cm ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝14cm ，故选：C ．【点评】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，求出AC=14cm ．【变式2-2】（2023春•西安月考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE ＝5cm ，则BF ＝（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【分析】先得出AD 是△ABC 的中线，得出S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，又S △ABC =12AC •BF ，将AC ＝AB 代入即可求出BF ．【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，∵S △ABC =12AC •BF ，∴12AC •BF ＝5AB ，∵AC ＝AB ，∴12BF ＝5，∴BF ＝10（cm ），故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．【例题3】（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ．则下列结论：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ；④OD ＝2CD ．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°，∠ABC ＝∠BDC ＝∠C ＝72°，继而求得：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ．【解答】解：∵AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠C＝2∠A，故①正确；∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC，故②正确；∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BC＝BD＝AD，故③正确；由条件不能得出OD＝2CD，故④错误．故选：C．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式3-1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°；②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（）A．①③④B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=180°∠A2=72°，故①正确；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∴BD是∠ABC的平分线，故②错误；∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．故③错误；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD∴△ABD是等腰三角形；故④正确；∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠CBD＝36°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．【变式3-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°∴DE＝DF∴AD垂直平分EF∴（4）错误；又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．故选：C．【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．【变式3-3】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，∴DA＝DM，ME＝EC，即△ADM和△CEM都是等腰三角形；故①正确；∴DE＝DM+EM＝AD+CE，∵AC＞DE，∴AD+CE＜AC，故④错误；∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．【变式3-4】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC 与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴GA＝GP，故①正确；②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP＝∠BCP，故②正确；③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．【例题4】（2022春•巴中期末）在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（）A．50°、80°B．50°、80°或65°、65°C．65°、65°D．无法确定【分析】根据等腰三角形的性质分∠B为顶角或底角两种情况求解即可．【解答】解：当∠B＝50°为顶角时，此时∠A＝∠C=180°50°2=65°；当∠B＝50°为底角时，此时另一底角为50°，顶角为80°，故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况．【变式4-1】（2022•上杭县校级开学）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（）A．30°B．75°C．30°或75°D．60°【分析】根据等腰三角形的一个外角等于150°，进行讨论可能是底角的外角是150°，也有可能顶角的外角是150°，从而求出答案．【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×12=75°，∴底角为30°或75°．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况．【变式4-2】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（）A．13B．17C．18D．19【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．【变式4-3】（2022春•榆次区期中）一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（）A．3cm，5cm B．4cm，4cmC．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形．故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．【变式4-4】（2022春•文登区期末）若实数m，n=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（）A．6B．8C．10D．8或10【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可．【解答】解：=0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得：m＝2，n＝4，当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，当4是底时，2，2，4不能构成三角形．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．【变式4-5】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，如图（1），∠ABD＝60°，则∠A＝30°；如图（2），∠ABD＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°．故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．方法2：①当为锐角三角形时可以画图，高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．【例题5】已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且AB=AC ，AP=AQ ．求证：BP=CQ ．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO ，PO=QO ，根据等式的性质，可得答案．【解答】证明：过点A 作AO ⊥BC 于O ．∵AB=AC ，AO ⊥BC ，∴BO=CO ， ∵AP=AQ ，AO ⊥BC ，∴PO=QO , ∴BO -PO=CO -QO∴BP=CQ ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．【变式5-1】已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC的角平分线．求证：BD ＝CE ．【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BD＝CE．【解答】证明：如图所示，∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BD＝CE．【点评】本题利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．【变式5-2】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC．【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC．【解答】解：在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=AD，BD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴AE⊥BC．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【变式5-3】（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．【解答】证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，AE=AF∠EAD=∠FAD，AD=AD∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠CBE＝∠BAD；（2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD．【分析】（1）根据∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，得出∠CBE ＝∠CAD ，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD ＝∠BAD 即可得证结论；（2）根据AAS 证△BCE ≌△AFE ，得出AF ＝BC ，根据BC ＝2BD ，即可得证结论．【解答】证明：（1）∵∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CBE ＝∠BAD ；（2）由（1）知∠CBE ＝∠CAD ，在△BCE 和△AFE 中，∠CBE =∠AFE ∠BEC =∠FEA =90°CE =EF，∴△BCE ≌△AFE （AAS ），∴AF ＝BC ，∵BC ＝2BD ，∴AF ＝2BD ．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【例题6】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键．【变式6-1】如图所示，共有等腰三角形（）A．4个B．5个C．3个D．2个【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB＝∠COD＝72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选：B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．【变式6-2】（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝54°，∵BC＝BD，∴∠CDB＝∠DCB＝72°，∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，∴CE＝BE，AE＝CE，∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．【变式6-3】如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解．【解答】解：∵AD是边BC上的高线，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE为等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．【变式6-4】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．【变式6-5】（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（）A ．5B ．6C ．8D ．9【分析】分三种情况：当BA ＝BC 时，当AB ＝AC 时，当CA ＝CB 时，然后进行分析即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA ＝BC 时，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆，点C 1，C 2，C 3即为所求；当AB ＝AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作圆，点C 4，C 5，C 6，C 7，C 8即为所求；当CA ＝CB 时，作AB 的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，综上所述：满足条件的格点C 的个数是8，故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．【例题7】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDDE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C；∴AB=AC∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF 是解题的关键．【变式7-1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠CAD∴AE＝ED，∴△AED是等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．【变式7-2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD ＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．【解答】证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°．∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D．∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF．∴∠A＝∠C．∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键．【变式7-3】已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC 是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【变式7-4】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC 是等腰三角形．【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF ≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中，∠GDF=∠CEFDF=EF，∠DFG=∠CFE∴△GDF≌△CEF（ASA），∴DG＝CE又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（）A．15B．18C．20D．23【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵△AMN的周长为33，AB＝15，∴AM+MN+AN＝33，∴AM+OM+ON+AN＝33，∴AM+MB+CN+AN＝33，∴AB+AC＝33，∴AC＝18，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．【变式8-1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（）A．12B．16C．20D．8【分析】根据角平分线的性质，平行线的性质，可以求得∠B的度数，再根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．【点评】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（）A．10B．11C．13D．15【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证．【解答】解：延长BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM＝5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE＝6，∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5+∠C，∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM＝6，∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键．【变式8-3】（2022春•神木市期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．【分析】由题意可求得∠ABC＝∠ACB，再由高得∠BQC＝∠CPB＝90°，从而可求得∠OBC＝∠OCB，即有OB＝OC，从而得证△BCO是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，∴∠BQC＝∠CPB＝90°，∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴△BCO为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．【变式8-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B 即可得出结论；（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD=CE ∠B=∠C BE=CF，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；。

初中数学《等腰三角形的性质及应用》单元教学设计以及思维导图

等腰三角形的性质及应用适用年初中二年级级所需时2课时间主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500) 《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。

安排在轴对称图形的认识之后，明确了等腰三角形的性质与轴对称图形的联系，起到承上启下的作用。

等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的重要的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛，为进一步学习等边三角形、等腰梯形、平行四边形等知识打下重要的基础。

本单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，其中等腰三角形的性质和判定是重点、难点内容，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据。

在本主题单元设计中，我设计成两个专题。

专题一，等腰三角形的性质及应用，通过学生实际画图操作、总结得出等腰三角形的性质，理解、掌握等腰三角形中“等边对等角”、“三线合一”等性质，应用其性质解决简单的题目；专题二，等腰三角形的判定及应用，通过实例，让学生思考交流救牛船同时到达出事地点的条件，从而得出等腰三角形的判定方法。

重点是等腰三角形的性质的探索及应用。

让学生通过动手操作、独立思考、主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1、探究等腰三角形的性质及判定定理。

2、等腰三角形性质的应用。

过程与方法：1、通过学生自己动手剪等腰三角形，根据剪出来的图形折叠探索等腰三角形的性质。

2、通过实际例子（海上救牛船救援事例），探索等腰三角形的判定。

情感态度与价值观：1、通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯。

2、通过对等腰三角形的判定定理的探究，让学生体会探究、交流、合作学习的乐趣，通过对性质、判定定理的应用，进一步加深认识理解，培养学生分析、解决实际问题的能力。

专题13.3-13.4 等腰三角形与最短路径问题(学生版)

专题13.3-13.4 等腰三角形与最短路径问题典例体系一、知识点1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬②等边三角形的每条边都存在三线合一；4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）5、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半；7、最短路径的选择①当两点在某一条直线的两侧时,这两点的最短距离就是连接这两点的线段与直线的交点就是最短路径的点.②当两点在某条直线的同侧时,这两点到直线上某一点的最短距离的作法:作任意一个点关于这条直线的对称点,然后再连接对称点与另一点之间的线段,与直线的交点就是最短距离的点的位置.注意：在解决最短路径的问题时,我们通常利用平移、轴对称等变化把已知问题转化成容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.二、考点点拨与训练考点1：等腰三角形的性质典例：（2020·河北河间初二期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB 与∠B有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．进而得到△ABD≌△AED ，便可得到∠ACB 与∠B 的数量关系．请结合小明的思路，写出两个角的数量关系，并证明结论．方法或规律点拨本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．巩固练习1．（2020·山东芝罘初一期中）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，腰AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交AC 于点D ，且∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是（）A ．50°B ．36°C ．40°D ．45°2．（2020·四川成华初一期末）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°3．（2020·陕西西安高新一中初一期末）如图，ABC 中，,AB AC AD =是BAC ∠的角平分线，AC 的垂直平分线分别交AC AD AB 、、于点E O F 、、，则下列结论不一定成立的是（）A ．AD BC ⊥B ．OC OD AD += C ．OA OB =D ．ACO BOF ∠=∠4．（2020·四川龙泉驿初一期末）如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于( )A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°5．（2020·山东槐荫初一期末）如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的底角度数是（）A ．（12）n •75° B ．（12）n ﹣1•65° C ．（12）n ﹣1•75° D ．（12）n •85° 6．（2020·河南罗山初二期末）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°7．（2020·山东中区济南外国语学校初二期末）如图，在ABC △中，AB AC =，130BAC ︒∠=，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，连接AF ，则FAB ∠的度数（）A．50︒B．35︒C．30︒D．25︒8．（2020·浙江南浔初三其他）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（）A．63°B．65°C．75°D．84°9．（2020·山东历下初一期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°10．（2019·河南宜阳初二期末）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C=______．11．（2020·广东龙岗初一期末）如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA=OC，OB=OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC=∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．（1）试说明：CB=AD；（2）若∠COD=70°，求∠APB的度数．12．（2020·陕西渭滨初一期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延长BC至D，使BD＝BA，连接AD．点E在AC上，且CE＝CD，连接BE并延长BE交AD于点F．（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）求证：BF 是AD 的垂直平分线；（3）连接DE ，若AB ＝10，求△DCE 的周长．考点2：等腰三角形的判定典例：（2020·黑龙江牡丹江）在等腰ABC 中，AB BC =，点D ，E 在射线BA 上，BD DE =，过点E 作//EF BC ，交射线CA 于点F ．请解答下列问题：（1）当点E 在线段AB 上，CD 是ACB △的角平分线时，如图①，求证：AE BC CF +=；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．）（2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是ACB △的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是ACB △的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若26DE AE ==，则CF =___________．方法或规律点拨本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．巩固练习1．（2019·薛城区祁连山路中学初一期中）如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作//EF BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若3,2BE CF ==，则线段EF 的长为（）A ．8B ．．7C ．6D ．52．（2020·湖北黄州初二期末）如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；③△ADE 的周长为AB+AC ；④BD=CE ．其中正确的是____．3．（2020·广东英德初二期中）如图所示，在四边形ABCD 中，//AD BC ，5BC =，4AB =，AE 平分BAD ∠交BC 边于点E ，求CE 的长．4．（2020·广东高州初三月考）如图，已知等腰△ABC 顶角∠A=36°．（1）尺规作图：在AC 上作一点D ，使AD=BD ；（保留作图痕迹，不必写作法和证明）（2）求证：△BCD 是等腰三角形．5．（2020·广东佛山初二月考）如图，在ABC ∆和DCB ∆中，90A D ︒∠=∠=，AC BD =，AC 与BD 相交于点O .（1）求证：ABC DCB ∆≅∆；（2）OBC ∆是何种三角形？6．（2020·江苏海安初二月考）已知∠MAN=30°，点B 在射线AM 上，且 AB=6，点C 在射线AN 上．（1）若△ABC 是直角三角形，求AC 的长；（2）若△ABC 是等腰三角形，则满足条件的C 点有个；（3）设BC=x ，当△ABC 唯一确定时，直接写出x 的取值范围．7．（2020·黑龙江南岗初三其他）已知:在ABC ∆中,AC AB BC ,线段AB 的垂直平分线交BC 于点D ,点E 在BC 上，且BE AB =,连接,,3.AD AE AEC BAD ∠=∠()1如图1 ,求证:;AD AE =()2如图2,当2B CAE ∠=∠时.在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形．∴AD=BD ，8．（2020·黑龙江哈尔滨初三二模）图1、图2分别是86⨯的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求：（1）在图1中画一个ABC ∆，使得ABC ∆是面积为10的直角三角形，所画图形的各顶点必须在小正方形的顶点上；（2）在图2中画一个以线段AB 为一边的钝角等腰三角形，并且面积等于10，所画等腰三角形的各顶点必须在小正方形的顶点上．9．（2020·镇江实验学校初三一模）（1）如图1,△ABC 中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC 分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.10．（2018·额尔古纳市三河中学初二期末）如图，在四边形ABCD 中， //AD BC ，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且GDF ADF ∠=∠．（1）求证：ADE ∆≌BFE ∆．（2）连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系并说明理由．考点3：与等腰三角形有关的分类讨论典例：（2020·福建宁德初一期末）如图，已知等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A ＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P ．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．方法或规律点拨本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.巩固练习1．（2020·河北河间初二期末）已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对2．（2020·鸡东县第三中学初一期中）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm或9cm C．6.5cm D．4cm或6.5cm3．（2020·山东中区济南外国语学校初二期末）如果一个等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长为( ) A．17B．22C．17或22D．无法计算4．（2020·广东龙岗初一期末）如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（）A．50°，80°B．65°，65°C．50°，65°D．50°，80°或65°，65°5．（2020·山东招远初一期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，则顶角的度数为（）A．30B．60︒C．60︒或120︒D．30或150︒6．（2018·河南孟津初二期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）A．4个B．5个C．6个D．77．（2019·河南偃师初二期末）在一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形边上），这个等腰三角形有几种剪法（）A．1B．2C．3D．48．（2020·四川前锋初三其他）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有A．5个B．4个C．3个D．2个9．（2020·贵州松桃初三其他）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5B．6C．7D．810．（2020·四川内江初一期末）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是______________；考点4：等边三角形的性质边AB、BC上的动点（端点除外），点典例：（2020·四川凉山中考真题）如图，点P、Q分别是等边ABCP、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．∆≅∆（1）如图1，连接AQ、CP求证：ABQ CAP∠的大小是否变化？（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，QMC若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数∠的大小是否变（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，QMC化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．方法或规律点拨本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质证全等是解题的关键．巩固练习1．（2020·内蒙古林西初二期末）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD；②CN=CM；③MN∥AB；④∠CDB=∠NBE．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．12．（2020·山东槐荫初一期末）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DP A＝60°；③AC ＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是__________（填序号）△都是等边三角形，∠EBD=78°，则∠3．（2020·武汉市梅苑学校初二期中）如图，ABC和CDEAEB=_________度．4．（2020·河南嵩县初二期末）如图，在等边三角形ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，将△ADE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，则∠BDF +∠CEF ＝_____．5．（2020·广东新丰初三其他）如图，点1236,,,⋯A A A A 在射线OA 上，点123,,,⋯k B B B B 在射线OB 上，11OB =，130︒∠=AOB ，△12AB B 、△223A B B 、⋯△1n n n A B B +均为等边三角形，则20192020A A 的长为__．6．（2020·宁夏银川市教育局初三其他）如图，是由9个等边三角形拼成的一个六边形，如果中间最小的等边三角形的边长是1，则右上角的最大的正三角形的边长是_____．7．（2020·福建安溪初三二模）如图，△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ．求证：BD ＝CE ．8．（2020·山东章丘初一期末）(1)问题发现：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE．①请直接写出∠AEB的度数为_____；②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；(2)拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同－直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．9．（2020·广东龙岗初二期末）如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：BE=AD；（2）求∠BFD的度数．10．（2020·江西广丰初一期末）在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．（1）如图1重叠部分∠AOD=30°，求∠COB的大小；（2）如图2重叠部分∠AOD=15°，求∠COB的大小；（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD=10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．11．（2020·陕西西安初一期末）（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．考点5：等边三角形的判定典例：（2018·山西吕梁初二期末）问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．方法或规律点拨本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.巩固练习1．（2020·山东广饶初一期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC=DC；③△ABC≌△ADC；④△ABD 是等边三角形．其中正确的是( )A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④2．（2019·山东肥城初二开学考试）如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF 的形状是（）．A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形3．（2019·湖南长沙初二期中）已知，如图，等腰△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D ，点P是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP ＝OC ，下列结论：①AC 平分∠PAD ；②∠APO ＝∠DCO ；③△OPC 是等边三角形；④AC ＝AO+AP ；其中正确的序号是（）A ．①③④B ．②③C ．①②④D ．①③4．（2019·北京师大附中初二期中）如图，∠AOB=120°，OP 平分∠AOB ，且OP=2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上5．（2019·东安县舜德学校初二期中）如图所示，E 是等边ABC ∆中AC 边上的点，1=2∠∠，BE CD =，则对ADE ∆的形状判断最准确的是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状6．（2019·山东曹县）如图，ABC 为等边三角形，D 为BC 延长线上一点，CE=BD ，CE 平分ACD ∠，下列结论:(1)BAC DAE ∠=∠；(2) AE AD =；(3)ADE 是等边三角形，其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．（2020·广西初三三模）如图，Rt ABC ∆中，ACB=90∠︒，，BAD=ADE=60∠∠︒，AD=5，CE 平分ACB ∠，DE 与CE 相交于点E ，则DE 的长等于_____.8．（2019·广西兴宾初二期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AH ⊥BC ，垂足为H ，D 为直线BC 上一动点(不与点B 、C 重合)，在AD 的右侧作△ADE ，使得AE =AD ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）求证：BD =CE ；（2）若点D 在线段BC 上，问点D 运动到何处时，AC ⊥DE ？请说明理由；（3）当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为20°，试探究∠ADB 的度数．(直接写出结果，无需写出求解过程)9．（2020·佛山市南海区桂城街道映月中学初二月考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于E ，两线相交于F 点．（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB 的大小；（2）若D 是BC 的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC 是等边三角形．考点6：含30°锐角三角函数的直角三角形典例：（2020·广西东兰初二期末）如图，已知ABC ∆为等边三角形，AE =CD ,AD ,BE 相交于点 F ,BQ AD ⊥于点Q ．（1）求证：ADC ∆≌BEA ∆；（2）若4,1FQ EF ==，求AD 的长．方法或规律点拨本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．巩固练习1．（2020·甘肃兰州初二期末）如图，在ABC 中，AB AC 10==，BAC 120∠=，AD 是ABC 的中线，AE 是BAD ∠的角平分线，DF//AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长是( )A ．2B ．4C ．5D ．522．（2020·内蒙古杭锦后旗初二期末）如图，∠AOB ＝150°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ．若OD ＝4，则PE 的长为（）A．2B．2.5C．3D．43．（2020·广西防城港初二期中）如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．15米C．25米D．30米4．（2020·山东岚山初二期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，E是高AD上的一个动点，连结CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到CF，连结DF．则在点E运动过程中，线段DF长度的最小值是__________．5．（2020·湖南渌口初三其他）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则在①3.6②4，③5.5，④7，这四个数中AP长不可能是_____ （填序号）6．（2020·广东南海初二期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________．7．（2020·贵州铜仁伟才学校初二期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=_______.8．（2020·山西寿阳初二期中）如图，将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm ，则阴影部分的面积是__．9．（2020·广东高州初二期中）如图，已知在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F .（1）求证：DE DF =；（2）若60A ∠=︒，1BE =，求ABC ∆的周长.10．（2020·甘肃省武威市第十中学初三三模）如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2，求OM 的长．考点7：最短路径问题典例：（2019·湖北十堰初二期中）如图，在平面直角坐标系中（1）做出△A BC 关于y 轴对称的111A B C ∆,并求出111A B C ∆三个顶点的坐标；（2）计算△ABC 的面积；（3）在x 轴上画点P ，使P A +PC 最小．方法或规律点拨本题考查了作坐标系中的对称图形，利用构造法来求三角形面积和将军饮马的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．巩固练习1．（2020·山东槐荫初一期末）某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.A ．B ．C ．D ．2．（2020·河南内黄初二期末）如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（0，3）3．（2019·河南汝州初二期末）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交,AC AB 边于,E F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．124．（2020·山东历下初一期末）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝8，M 、N 分别是射线OA 和OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值为8，则∠AOB ＝__________．5．（2020·山东历下初一期末）如图，AD 为等边△ABC 的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE ＝CF ，当BF ＋CE 取得最小值时，∠AFB ＝_______°．6．（2020·武汉市梅苑学校初二期中）如图，在Rt ABC 中，AC ⊥BC ，若AC ＝7，BC ＝24，AB ＝25，将Rt ABC 折叠，使得点C 恰好落在AB 边的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___________．7．（2020·沈阳市第一二七中学初一期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q 分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值为_____cm8．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值____．CDM9．（2020·重庆南岸初一期末）如图所示，在街道l的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD．现准备在街道l旁设置一个快递中转站．（1）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD 的理由；（2）如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠P AC与∠PBD的数量关系；（3）为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠P AC与∠PBD的数量关系．10．（2019·河南汝州初一期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A、B和直线l．（1）求作点A关于直线l的对称点1A；（2）P为直线l上的点，连接BP、AP，求ABP△周长的最小值．。

专题三角形中的重要模型-平分平行(平分射影)构等腰、角平分线第二定理模型(学生版)

专题08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图3条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON.结论：△OPQ 是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 。

结论：△BDE 是等腰三角形。

条件：如图3，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°.结论：三角形CEF 是等腰三角形。

上，以点长为半径画弧，两弧交于点A．20︒B．25︒C．30︒例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC点D，OE//AC交BC于点E．若AB=5cm，BC=10例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，90∠的平分线BE⊥于点D，ABCBAC∠=︒，AD BC交AD于F，交AC于E，若3AE=，2DF=，则AD=_____________．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB=AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC 中，若AD 是∠BAC 的平分线。

等腰三角形与等边三角形的性质和判定学生版

2014年秋季同步课初二年级学生姓名：上课时间：等腰三角形与等边三角形的性质和判定内容基本要求略高要求较高要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这两种图形；理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题知识框架图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧判定性质定义等边三角形判定性质定义等腰三角形等腰三角形知识点讲解一、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

二、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论中考考纲知识体系定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

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