第5课时——余弦定理(2)(教、学案)
余弦定理教案设计
余弦定理教案设计一、教学目标：1.知识目标：了解余弦定理的概念和计算公式。
2.能力目标：能够运用余弦定理解决实际问题，并扩展到其他三角形的计算中。
3.情感目标：培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高他们的数学兴趣和学习兴趣。
二、教学重点：1.余弦定理的定义和计算公式。
2.运用余弦定理解决实际问题。
三、教学难点：1.运用余弦定理解决实际问题。
2.引导学生理解余弦定理的原理和意义。
四、教学过程：1.导入（5分钟）首先，老师可以设置一个问题引发学生的思考，比如两条直角边分别为3cm和4cm的直角三角形，求斜边的长度。
2.概念讲解（10分钟）通过上述问题引发学生的思考，引出正弦定理的概念，并简单解释其意义和应用范围。
3.公式推导（15分钟）根据直角三角形的定义和勾股定理，老师可以引导学生推导出余弦定理的公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
4.实例演练（20分钟）通过几个实例的演示，引导学生运用余弦定理解决实际问题。
比如已知一个三角形的两边和夹角，求第三边的长度。
5.练习与拓展（20分钟）老师可以提供一些练习题供学生独立解答，并引导学生想一想如何扩展余弦定理到其他类型的三角形中。
6.深化与拓展（15分钟）引导学生思考并讨论如何应用余弦定理解决实际问题，比如船只的航行问题、建筑物的高度测量等。
7.总结与归纳（5分钟）老师与学生一起总结整个学习内容，以及余弦定理的概念、公式和应用范围。
8.小结反思（5分钟）帮助学生回顾整个学习过程，了解自己的学习情况和存在的问题，借助老师的指导进行思考和反思。
五、教学辅助手段：1.教具准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
2.工具准备：尺子、直角三角板等。
六、教学评价与反馈：1.教师可以设置一些练习题和思考题，对学生的综合能力和问题解决能力进行评价。
2.教师可以利用课后作业和课堂讨论等形式，对学生的学习情况和问题进行反馈。
余弦定理教案设计
余弦定理教案设计一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解余弦定理的定义和表达式；（2）学会运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，引导学生发现余弦定理的规律；（2）运用几何画板或实物模型，直观演示余弦定理的应用。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生合作交流、解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）余弦定理的定义和表达式；（2）运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题。
2. 教学难点：（1）余弦定理在实际问题中的应用；（2）灵活运用余弦定理解决复杂问题。
三、教学准备1. 教师准备：（1）熟悉余弦定理的相关知识；（2）准备几何画板或实物模型。
2. 学生准备：（1）掌握三角形的性质；（2）了解勾股定理。
四、教学过程1. 导入新课（1）回顾三角形的性质和勾股定理；（2）提出问题：如何解决三角形中的边角关系问题？2. 探究新知（1）引导学生观察和分析三角形中的边角关系；（2）引导学生发现余弦定理的规律；（3）给出余弦定理的定义和表达式。
3. 动手实践（1）让学生利用几何画板或实物模型，验证余弦定理；（2）让学生尝试解决一些简单的三角形边角关系问题。
4. 拓展应用（1）让学生运用余弦定理解决复杂问题；（2）引导学生发现余弦定理在实际生活中的应用。
五、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结余弦定理的定义和表达式；2. 强调余弦定理在解决三角形边角关系问题中的应用；3. 鼓励学生课后思考和探索余弦定理在其他领域的应用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组合作交流的表现，评价学生的学习态度和合作能力。
2. 作业评价：通过学生提交的作业，评价学生对余弦定理的理解和运用情况，以及解题的准确性。
3. 课后反馈评价：通过与学生的交流或家长反馈，了解学生对余弦定理的掌握程度和在学习过程中遇到的问题。
余弦定理(二)(优秀经典导学案)
1.1.2余弦定理（二） 教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A思考。
解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知下列条件解三角形（1） 30=A ，10=a ，20=b （2） 30=A ，10=a ，6=b （3）30=A ，10=a ，15=b （4） 120=A ，10=a ，5=b （5） 120=A ，10=a ，15=b[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。
（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
余弦定理教案
余弦定理教案【余弦定理教案】一、教学目标1. 理解余弦定理的概念和原理。
2. 学会运用余弦定理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学准备1. 教材《数学》2. 教学课件3. 黑板和粉笔4. 教学实例和练习题三、教学过程【引入】1. 使用生活中的实例引入余弦定理的概念，例如：树木倾斜、建筑物斜倚等。
2. 引发学生思考，概括出三角形中的边与角之间的关系。
【讲解】1. 介绍余弦定理的定义和公式：c² = a² + b² - 2abcosC。
2. 解读余弦定理中的各个变量及其意义：c为第三边，a和b为两边，C为夹角。
3. 通过示例演示如何运用余弦定理计算三角形的边长和角度。
4. 引导学生发现余弦定理的应用范围和特点。
【示范】1. 给出几道实际问题，如建筑物斜坡的高度计算、航海中船舶航线的计算等。
2. 详细演示解决实际问题的步骤和计算方法。
3. 注重解题思路的讲解，培养学生的问题解决思维能力。
【练习】1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 审阅学生练习题，及时纠正错误，解答疑惑。
3. 批评与表扬结合，激发学生的学习兴趣和主动性。
【拓展】1. 引导学生思考余弦定理与正弦定理的关系和区别。
2. 鼓励学生自主学习与探究，拓展应用。
四、课堂总结1. 通过本节课的学习，希望学生能够熟练掌握余弦定理的应用方法。
2. 提醒学生在实际问题中合理选择使用余弦定理还是其他方法。
五、课后作业1. 完成课后练习题。
2. 总结复习余弦定理的要点和注意事项。
六、教学反思本节课通过引入实际问题，结合示范和练习，使学生理解和掌握了余弦定理的原理和应用方法。
教材和课件的使用，以及实践演示的方式，能够有效地提高学生的学习兴趣和主动性。
需要注意的是，在讲解过程中要注重与学生的互动，引导他们思考，并及时纠正误区，保证学习效果的最大化。
(完整版)《余弦定理》教案完美版
《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理教案
余弦定理教案一、教学目标1.知识目标：理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的公式及其应用。
2.能力目标：培养学生运用余弦定理解题的能力，发展学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的团队协作精神。
二、教学重点和难点1.重点：余弦定理的公式及其应用。
2.难点：余弦定理的推导过程以及如何根据实际问题选择适当的解法。
三、教学过程1.导入：回顾上节课学过的正弦定理，引导学生思考余弦定理与正弦定理的关系。
2.呈现新知识：通过实例和图形的演示，向学生介绍余弦定理的概念和公式。
强调余弦定理在解决三角形问题中的作用。
3.推导过程：详细讲解余弦定理的推导过程，引导学生理解余弦定理的实质。
通过例题解析，让学生熟悉余弦定理的应用。
4.课堂练习：布置相关练习题，要求学生运用所学知识解决具体问题。
及时反馈学生练习中出现的问题，强调解题思路和计算步骤的规范性。
5.归纳小结：总结本节课的主要内容，强调余弦定理的重要性以及在实际问题中的应用。
四、教学方法和手段1.教学方法：采用直观教学法和例题解析法，引导学生主动思考和动手实践。
组织小组讨论，鼓励学生相互交流和合作。
2.教学手段：利用多媒体课件展示图形和实例，帮助学生更好地理解余弦定理。
同时，注重传统板书的运用，加强学生对关键步骤的记忆和理解。
五、课堂练习、作业与评价方式1.课堂练习：设计相关练习题，要求学生运用余弦定理解题。
教师巡视课堂，及时发现并纠正学生的错误。
2.作业：布置适量的课后练习题，要求学生按时完成。
强调解题思路的清晰性和答案的准确性。
3.评价方式：采用多种评价方式，包括教师评价、学生互评和学生自评等。
综合评价学生的知识掌握情况、解题能力和学习态度等方面。
六、辅助教学资源与工具1.教学课件：制作精美的多媒体课件，包含余弦定理的推导过程、公式和应用实例等。
2.教学工具：准备三角板、量角器和计算器等工具，辅助学生进行课堂练习和解题计算。
余弦定理优秀教学设计优秀5篇
余弦定理优秀教学设计优秀5篇作为一位杰出的教职工，时常会需要准备好教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。
怎样写教案才更能起到其作用呢？下面是的我为您带来的余弦定理优秀教学设计优秀5篇，希望大家可以爱好并共享出去。
余弦定理教案篇一《余弦定理》教案一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。
本节课的紧要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。
余弦定理的学习有充分的基础，中学的勾股定理、必修一中的向量学问、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的学问基础，同时又对本节课的学习供应了确定的方法引导。
其次，余弦定理在高中解三角形问题中有侧紧要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也常常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个特别紧要的内容。
二、教学目标学问与技能：1、理解并把握余弦定理和余弦定理的推论。
2、把握余弦定理的推导、证明过程。
3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。
过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培育同学学问的迁移本领。
2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培育同学归纳总结本领。
3、通过余弦定理推导证明的过程，培育同学运用所学学问解决实际问题的本领。
情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中加强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。
2、感受数学一般规律的美感，培育数学学习的喜好。
三、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。
难点：余弦定理的发觉和推导过程以及多解情况的判定。
四、教学用具一般教学工具、多媒体工具（以上均为命题教学的准备）余弦定理教案篇二一、教材（一）教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等改换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
人教版高中数学余弦定理教案
人教版高中数学余弦定理教案一、教学目标1. 理解余弦定理的概念和意义，掌握余弦定理的表达式。
2. 能够运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 余弦定理的定义和表达式2. 余弦定理的应用3. 余弦定理在三角形中的证明三、教学重点与难点1. 重点：余弦定理的概念和意义，余弦定理的表达式。
2. 难点：运用余弦定理解决实际问题，余弦定理在三角形中的证明。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握余弦定理。
2. 通过举例和练习题，培养学生的实际应用能力。
3. 利用几何图形和动画演示，帮助学生直观地理解余弦定理。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考三角形中的边角关系。
2. 讲解：介绍余弦定理的定义和表达式，解释余弦定理的意义。
3. 演示：利用几何图形和动画演示余弦定理的应用和证明过程。
4. 练习：给出一些练习题，让学生运用余弦定理解决问题。
5. 总结：回顾本节课的内容，强调余弦定理的重要性和应用范围。
教案示例：一、教学目标1. 理解余弦定理的概念和意义，掌握余弦定理的表达式。
2. 能够运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 余弦定理的定义和表达式2. 余弦定理的应用3. 余弦定理在三角形中的证明三、教学重点与难点1. 重点：余弦定理的概念和意义，余弦定理的表达式。
2. 难点：运用余弦定理解决实际问题，余弦定理在三角形中的证明。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握余弦定理。
2. 通过举例和练习题，培养学生的实际应用能力。
3. 利用几何图形和动画演示，帮助学生直观地理解余弦定理。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引导学生思考三角形中的边角关系。
问题：在三角形ABC中，已知边长AB=5，边长BC=8，角C=45°，求边长AC 的长度。
第5课时——余弦定理(2)(教师版)
听课随笔第2课时【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状航运问题中的应用余弦定理学习要求1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；3．初步利用定理判断三角形的形状。
【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）______________________________．【精典范例】【例1】在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？ 【解】【例2】在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状． 【解】【例3】如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：AM =【证明】追踪训练一1. 在△ＡＢＣ中，如果C B A sin :sin :sin ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（ ）． Ａ．32 Ｂ．32- Ｃ．31- Ｄ．41- 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上听课随笔６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．【选修延伸】【例4】在△ABC 中，设3332a b c c a b c+-=+-，且3sin sin 4A B =，请判断三角形的形状。
人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 余弦定理(二)
1.1.2 余弦定理(二)1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．1．以下问题不能用余弦定理求解的是 ． (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形． (2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (2)2．利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 ． (1)在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形． (2)在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则△ABC 为锐角三角形． (3)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形． 答案 (1)(3)1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)． (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(3)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.要点一 正、余弦定理的综合应用例1 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解 在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ， ∴142＝102＋x 2－2×10·x cos 60°，即x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.规律方法 余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． 跟踪演练1 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .解 方法一 在△ABC 中，∵sin A cos C ＝3cos A sin C ， 则由正弦定理及余弦定理有： a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3(b 2＋c 2－a 22bc )c ，化简并整理得： 2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，∴4b ＝b 2.解得b ＝4或b ＝0(舍)．方法二 由余弦定理得：a 2－c 2＝b 2－2bc cos A . 又a 2－c 2＝2b ，b ≠0.所以b ＝2c cos A ＋2. ①又sin A cos C ＝3cos A sin C ，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ， sin(A ＋C )＝4cos A sin C ， 即sin B ＝4cos A sin C ，由正弦定理得sin B ＝bc sin C ，故b ＝4c cos A ． ②由①②解得b ＝4.要点二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 例2 在△ABC 中，有： (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明． 证明 方法一 (1)设△ABC 外接圆半径为R ， 由正弦定理得b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C )＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a ＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .规律方法 (1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化． 跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A .证明 方法一 因为左边＝a 2＋c 2－b 22aca 2＋b 2－c 22ab ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，右边＝c －b ·b 2＋c 2－a 22bc b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)，∴等式成立．方法二 设△ABC 外接圆半径为R ， ∵右边＝2R sin C －2R sin B ·cos A2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin (A ＋B )－sin B cos Asin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos B cos C ＝左边．∴等式成立．要点三 利用正、余弦定理判断三角形形状例3 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，又sin A ＝2sin B cos C ，由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a ，∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．规律方法 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断． 跟踪演练3 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解 方法一 根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c . 又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2a ，即b ＝a . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )， 整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为 ( )A.13 B ．－23 C.14 D ．－14 答案 A解析 根据正弦定理， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)． 则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k＝13.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ，∴2×a 2＋c 2－b 22ac ×a ＝c ，∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为 ． 答案 π6解析 根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.4．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有几个？ 解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴22＝a 2＋(23)2－2a ×23cos 30°， 即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形； 当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个．1．已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单． 2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．一、基础达标1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形答案 B解析 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·AC →等于( ) A.152 B ．－152 C.1532 D ．15 答案 B解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝5×3×(－12)＝－152，故选B.3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac .∴原式为0. 5．在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ . 答案 30°解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝ .答案 4解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，即4＋(c －b )(c ＋b )4c ＝4＋7(c －b )4c ＝－14，∴8c －7b ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝7，8c －7b ＋4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3.∴b ＝4.7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .证明 ∵右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c2＝左边．∴等式成立． 二、能力提升8．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是 ( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不确定 答案 A解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝(b －c 2)2＋3c 242bc>0，∴0°<A <90°.9．已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为( ) A ．120° B ．90° C ．150° D ．60° 答案 A解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12.∵0°<C <180°，∴C ＝120°.故选A10．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ． 答案 (2,8)解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2 化简得0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8.11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解 (1)由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22， 又0°<B <180°，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝2＋64.故a ＝b sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解 (1)∵cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.三、探究与创新13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由已知，由正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，即(32)2＝sin 2B＋sin2C＋sin B sin C，又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝12.，∴B＝C，∴△ABC为等腰的钝角三角形．又0<B，C<π3。
《余弦定理教案》课件
《余弦定理教案》课件一、教学目标1. 让学生理解余弦定理的定义及表达式。
2. 让学生掌握余弦定理在解决三角形问题中的应用。
3. 培养学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 余弦定理的定义及表达式余弦定理：在三角形ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，则有：cosA = (b^2 + c^2 a^2) / (2bc)cosB = (a^2 + c^2 b^2) / (2ac)cosC = (a^2 + b^2 c^2) / (2ab)2. 余弦定理在解三角形中的应用（1）已知两边及夹角，求第三边例1：在三角形ABC中，已知a=5，b=8，∠A=30°，求c的长度。
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的长度例2：在三角形ABC中，已知a=5，b=6，∠B=45°，求c的长度。
（3）已知三边，判断三角形的形状例3：在三角形ABC中，已知a=6，b=8，c=10，判断三角形的形状。
三、教学方法1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示余弦定理的定义及应用。
2. 通过例题讲解，让学生掌握余弦定理在解三角形问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
四、教学步骤1. 引入新课，讲解余弦定理的定义及表达式。
2. 演示多媒体课件，让学生直观理解余弦定理。
3. 讲解余弦定理在解三角形中的应用，举例说明。
4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
五、课后作业1. 复习余弦定理的定义及表达式。
2. 练习运用余弦定理解决三角形问题。
3. 总结余弦定理在解三角形中的应用方法。
教学评价：通过课后作业的完成情况，以及课堂练习的答题正确率，评估学生对余弦定理的理解和应用能力。
在课后与学生交流，了解他们在解决问题过程中遇到的困难和问题，为下一步教学提供参考。
六、教学拓展1. 引导学生思考：余弦定理是否适用于任意三角形？2. 探讨余弦定理的推导过程，加深对定理的理解。
3. 介绍余弦定理在现实生活中的应用，如测量学、工程设计等。
关于高中数学余弦定理教案5篇
关于高中数学余弦定理教案5篇关于高中数学余弦定理教案5篇通过编写教案，教师可以清晰地规划教学内容、目标和步骤，确保教学的有序进行。
下面是小编为大家整理的高中数学余弦定理教案，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。
高中数学余弦定理教案（精选篇1）一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。
本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。
余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。
其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。
二、教学目标知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。
2、掌握余弦定理的推导、证明过程。
3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。
过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。
2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。
3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。
2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。
三、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。
难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。
四、教学用具普通教学工具、多媒体工具(以上均为命题教学的准备)高中数学余弦定理教案（精选篇2）一、教材分析1.地位及作用余弦定理是人教A版数学必修5主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中勾股定理内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启下的作用。
余弦定理2学案
一、课题：余弦定理（1）二、教学目标：知识目标：使学生能初步运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决斜三角形的计算问题。
能力目标：在问题解决中，培养学生的自主学习和自主探索能力．情感目标：通过多样的课堂活动，激发学生探索未知知识的兴趣，让他们享受到探究未知世界的乐趣。
三、教学重点：余弦定理的证明及其运用。
四、教学难点：能灵活运用正弦定理和余弦定理解斜三角形。
五、教学过程：宜万铁路建设中要设计隧道，须测出山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A,再利用经纬仪测出A 对出脚BC 的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC ，你知道工程技术人员是怎样计算的吗？1.2化归问题（师生共同完成）已知两边和它们的夹角如何求出第三边？1.3特殊探路：在Rt ABC ∆中(若90C =)有：222c a b =+，在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角会有什么关系呢？ （二）探究、猜想当角A 变化时考虑极端情形：A ＝0和A ＝180度，对比A ＝90度结果，猜想A bc c b a cos 2222-+= （三）余弦定理的推导：证明恒等式通常用什么方法？从结构上看什么地方见过？联系向量的数量积？[问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？ [推导] 如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵+= ∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+ 222AB AB BC BC =+⋅+ 222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．即：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理教案
余弦定理教案教案：余弦定理的推导和应用一、教学目标1.了解余弦定理的概念和原理；2.掌握余弦定理的推导过程；3.能够运用余弦定理解决实际问题。
二、教学重点1.余弦定理的推导过程；2.利用余弦定理解决实际问题。
三、教学准备1.教学课件或黑板；2.教学练习题。
四、教学过程1.导入：复习勾股定理的概念和应用。
提问学生是否了解三角形的边长关系以及如何应用勾股定理解决问题。
引出本课的新内容：余弦定理。
2.引入：给出一个任意三角形ABC，边长分别为a、b、c，通过引入余弦公式cosθ=邻边/斜边，引导学生讨论如何通过余弦公式推导出余弦定理。
3.推导：将三角形ABC分别看作AB与BC、AC与BC之间的两个夹角。
设∠ABC的对边为a，∠CAb的对边为b，∠ACB的对边为c。
根据余弦公式，我们可以得到两个等式：cosA = b/c (1)cosB = a/c (2)通过两式除法运算得到：a/c = cosB，b/c = cosA。
令cosB = acosC，cosA = b/cosC化简得到：a = ccosB，b = ccosA。
4.总结：根据上述推导过程，总结出余弦定理的公式形式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
5.应用：通过一些实际问题的例子，引导学生灵活运用余弦定理解决问题。
例如，给出一个三角形ABC，边长分别为5、7、8，求∠ABC的大小。
根据余弦定理可得：8^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos∠ABC。
解方程可得：cos∠ABC = 15/35，计算得到∠ABC的近似值为68.2度。
6.练习：在课堂上布置一些练习题，要求学生分别利用勾股定理和余弦定理解决问题。
让学生体会到在不同情况下，不同定理的应用灵活性。
7.总结：通过本课的学习，学生对余弦定理的概念、推导过程以及应用有了初步的理解。
同时要求学生反思巩固本课所学知识，为以后的学习打下坚实基础。
五、板书设计余弦定理的推导过程：cosA = b/ccosB = a/ca/c = cosB，b/c = cosAa = ccosB，b = ccosAc^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC六、课后作业1.完成教师布置的课堂练习题；2.整理好本节课的笔记，并回答以下问题：（1）余弦定理适用于哪些情况？（2）余弦定理与勾股定理有何异同点？（3）利用余弦定理解决问题的基本步骤是什么？。
余弦定理教案
余弦定理教案引言：余弦定理是初中数学中重要的定理之一，它能够帮助我们计算不等边三角形的边长和角度。
本教案将详细介绍余弦定理的基本概念、公式推导以及应用方法，并通过实例讲解，帮助学生掌握余弦定理的运用技巧。
一、余弦定理的基本概念：余弦定理用于解决非直角三角形中的边长和角度问题。
它的基本概念是根据三角形的边长和夹角之间的关系来进行计算。
二、余弦定理的公式推导：假设我们有一个任意非直角三角形ABC，边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。
利用余弦定理可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)这个公式可以用来计算三角形的第三边长，也可以用来计算非直角的角度。
三、余弦定理的应用方法：根据余弦定理的公式，我们可以应用以下两种典型的情况进行计算。
1. 已知两边和它们之间的夹角，求第三边长：假设我们已知三角形ABC的边长a、b和它们之间的夹角C，我们想要求第三边c的长度。
根据余弦定理的公式，我们可以将已知的值代入计算。
2. 已知三边长度，求角度大小：假设我们已知三角形ABC的边长a、b、c，我们想要求某个角（例如夹角C）的大小。
根据余弦定理的公式，我们可以进行如下计算：cos(C) = (a² + b² - c²) / 2ab四、实例讲解：为了更好地理解余弦定理的应用，我们通过一个实例来进行讲解。
假设我们有一个三角形ABC，AB = 5cm，AC = 7cm，夹角BAC = 60°，我们想要求BC的长度。
根据余弦定理的应用方法1，我们可以将已知的值代入公式：BC² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * cos(60°)根据余弦定理的公式进行计算，得到BC ≈ 6.6cm。
因此，我们得出BC的长度约为6.6cm。
五、总结：本教案通过引言介绍了余弦定理的重要性和应用场景，并在正文中详细讲解了其基本概念、公式推导和应用方法。
余弦定理教学教案
余弦定理教学教案一、教学目标：1. 让学生了解余弦定理的定义及应用范围。
2. 使学生掌握余弦定理的证明过程。
3. 培养学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 余弦定理的定义及表达式。
2. 余弦定理的证明。
3. 余弦定理在三角形中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：余弦定理的定义、证明及应用。
2. 难点：余弦定理的证明过程。
四、教学方法：1. 采用讲授法讲解余弦定理的定义、证明及应用。
2. 利用几何画板软件展示三角形中余弦定理的应用，增强直观性。
3. 布置练习题，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾正弦定理和余弦函数的基础知识，引导学生思考余弦定理的定义及应用。
2. 讲解余弦定理：（1）介绍余弦定理的定义及表达式。
（2）讲解余弦定理的证明过程。
3. 应用余弦定理解决实际问题：（1）利用余弦定理计算三角形的边长。
（2）利用余弦定理判断三角形的角度关系。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，引导学生思考余弦定理在其他领域的应用。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固课堂所学知识。
六、教学评价：1. 评价学生对余弦定理的定义和证明的理解程度。
2. 评估学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
3. 观察学生在课堂练习和课后作业中的表现，了解其对余弦定理的掌握情况。
七、教学反馈：1. 收集学生课堂练习和课后作业的反馈，了解其在应用余弦定理过程中遇到的问题。
2. 根据学生反馈，及时调整教学方法和节奏，针对性地进行辅导。
3. 与学生交流，了解其对余弦定理的学习兴趣和需求，为后续教学提供参考。
八、教学资源：1. 教材：选用权威、适合学生的数学教材，如《高等数学》、《数学分析》等。
2. 辅助教材：选用一些辅导书、学习指导书等，为学生提供更多的学习资源。
3. 网络资源：利用互联网查找相关教学视频、动画、案例等，丰富教学手段。
4. 软件工具：几何画板、数学软件等，用于展示和验证余弦定理。
余弦定理教案(5篇)
余弦定理教案(5篇)余弦定理教案(5篇)余弦定理教案范文第1篇【关键词】学习方式；预习方式；科技手段；教学效率课堂教学效率是关于学习收益和教学时间的综合概念，是指在课堂单位时间内同学的学习收益与老师、同学的教学活动量在时间尺度上的量度。
同学的学习方式，会直接影响到学习收益，从而影响到教学效率。
传统的课堂教学过于强调同学的接受学习、机械训练和对结果学问的教学，表面上看似教学效率高，实质忽视了很重要的一个方面，即同学对过程学问与方法的理解与获得，长远来看不利于同学今后的学习与进展。
同学学问的猎取与力量的提高基本上是在课堂内完成的，所以课堂上应通过老师的设计与引导，使同学能够转变传统的学习方式，从而提高课堂教学效率。
通过实践，我们发觉是现阶段比较符合新课程改革课堂教学基本理念的一种模式，具有很大的研讨价值与空间，是一种理念的革新。
“学案导学”突出同学的自学行为，注意学法指导，培育同学学习力量、情感态度，做到把学习的主动权真正还给了同学，从而提高了课堂教学效率，也解决了课时紧急的冲突。
1 转变备课和预习方式“工欲善其事，必先利其器”，备课是上好课的先决条件，要想提高课堂教学效率，课前不仅老师要做好充分的预备，而且同学也要做相应的预备或预习。
1.1 师生共同备课。
在传统备课模式下，备课时老师对同学的设想，与其在课堂教学实施中的实际状况，有的时候出入较大。
师生共同备课转变了传统备课中，老师依据自己的理解和以往的主观阅历来“备同学”的状况。
老师在集体备课的基础上，实行每班选出三名具有不同数学学业水平的同学，事先让他们依据课本进行初步预习，然后以座谈的方式，了解他们在预习中的困惑，这样更简单在“导学案”编制过程中有的放矢，以提高它在实施过程中的效率，从而使“备同学”这一环节更加客观、精确。
1.2 同学依据“导学案”进行预习。
老师历来强调课前预习的重要性，但由于同学没有具体、周密的预习指导性材料，导致他们对预习缺乏乐观性与主动性，更是由于最重要的检查环节较弱，使同学的课前预备工作有很强的随便性，有的同学走过场。
数学：1.2《余弦定理（2）》教案（苏教版必修5）
数学：1.2《余弦定理（2）》教案（苏教版必修5）第 4 课时：§1.2 余弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在ABC ?中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ?中，已知CB A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ?中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ?中，设=?→CB a r ,=?→?AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r ?b r 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ?中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________3.已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。
《余弦定理》教学案
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义）
1、背景说明：
三角形是最基本的几何图形。三角形中数量关系在天文、地理、航海等领域中有着极其广泛的应用，我们将在以前的学习的三角形、三角函数和解直角三角形等知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用他们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
教学目标:
1．知识与技能：
（1）掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
（2）能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
2．过程与方法：
（1）经历实验观察、实例探究讨论交流的过程，体验三角形的边角关系。
（2）利用向量关系证明余弦定理。
3．情感、态度与价值观：
（1）注重数学知识的应用性，体现学以致用的原则；
（2）体验自主学习过程，养成乐于观察、勤于思考和合作交流的能力和学习习惯。
（3）注重数学内部不同分支之间的联系、数学与日常生活的联系、数学与其他学科的联系，从而提高学生对数学的整体认识，体现数学的文化价值。
教学重点：
掌握余弦定理证明
教学难点：
探究余弦定理证明过程
教学方法：
实验探究法
活动教学法
合作学习法
2、课题的意义：
课题是在学习了三角函数与平面向量的基础上，对任意三角形的边长和角度关系所作的探索和研究，是知识的迁移和应用部分，因此本节是本章的一个比较重要的、典型的应用型知识点。表现其一：教材先引导学生回顾用向量的数量积证明正弦定理的方法，然后提出，还有其他方法将向量等式数量化吗？从而，得出余弦定理，体现了向量方法在解三角形中作用，让学生进一步感受数学的和谐美，也有助于培养学生的探究能力．其二，这是一个与日常生活密切的问题，能激发学生的学习兴趣和体会数学的生活化。
高中数学备课精选 1.1.2《余弦定理》学案2 新人教B版必修5
高中数学备课精选 1.1.2《余弦定理》学案2 新人教B 版必修5 【学习目标】1.熟练掌握余弦定理的两种表示形式；2.会灵活运用余弦定理解决两类基本的三角形问题；【复习回顾】1、余弦定理 ：（求边）（1） （2） （3）2、余弦定理的变形：（求角）（1） （2） （3）【典例探究】例1：在ABC ∆中，已知bc c b a ++=222，求角A.变式练习：在ABC ∆中，已知()()3,a b c a b c ac ++-+=求角B.例2：在ABC ∆中，已知6:5:4sin :sin :sin =C B A ，求cos A:cos B:cos C.变式练习：在△ABC 中，已知sin :sin :sin 6:5:4A B C =，则=A cos的面积？求四边形的边长分别为形：如图所示圆内接四边例ABCD 4,DA CD 6,BC 2,AB ABCD 3====【课堂检测】1.若(a+b+c)(b+c －a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是：A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．()=∠-+∆C ,41222则，它的面积为、、的三边为若c b a c b a ABC 。
() 边长等于那么的两实根，方程最大边和最小边的长是中，、已知在BC 032273,60A 32=+-=∆︒x x ABC====∆BC 那么边的中线中，已知、在,27AD BC 7,AC 4,AB ABC 4 .【小试高考】 1、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2、（2010天津理数）（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=3、（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【布置作业】【反思总结】。
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第5课时 余弦定理（2） 【学习导航】
知识网络
⎩⎨⎧判断三角形的形状航运问题中的应用余弦定理
学习要求
1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；
2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
3．初步利用定理判断三角形的形状。
【课堂互动】
自学评价
1．余弦定理：
(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B ac c a b cos 2222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=.
(2) 变形：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab
2c b a C cos 222-+= 2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（１）已知三边，求三个角；
（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
【精典范例】
【例1】在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？
【解】如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．
在ABC ∆中，由余弦定理，得
)
1590cos(5.02.125.02.100222-⋅⋅⋅-+=BC 所以 1.17()AD BC km =≈．
因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．
在ABC ∆中，由正弦定理
，得 0
sin 0.5sin 75sin 0.41281.17
AC BAC ABC BC ∠∠==≈所以 024.4ABC ∠≈
所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈
答：渡船应按北偏西0
9.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．
【例2】在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．
【解】由正弦定理及余弦定理，得222
sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab
+-==， 所以 22222a a b c b ab
+-=，整理得 22b c = 因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．
【例3】如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：AM =
【证明】
设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，
得 2222cos AB AM BM AM BM α=+-．
在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--因为 01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==
， 所以2222122AB AC AM BC +=+
，
因此， AM = 追踪训练一
1. 在△ＡＢＣ中，如果C B A sin :sin :sin ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（ Ｄ ）． Ａ．32 Ｂ．32- Ｃ．31- Ｄ．4
1- 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．
略解：5972.0cos -≈α
07.126≈∴α
3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．
【选修延伸】
【例4】在△ABC 中，设333
2a b c c a b c
+-=+-，且3sin sin 4A B =，请判断三角形的形状。
【解】由333
2a b c c a b c
+-=+-,33323()a b c a b c c +-=+-即222()()0,a b a ab b c +-+-=而0a b +≠，得2222220,,a ab b c c a b ab -+-==+-
22201cos ,6022
a b c C C ab +-=== 而由3sin sin 4A B =得13[cos()cos()]24
A B A B -+--= 13[cos cos()],cos()124
C A B A B ----=-=而,0,A B A B A B ππ-<-<-==， ∴三角形为等边三角形。
追踪训练二
1．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则
sin sin sin a b c A B C ++++等于( B ) A ．33 B ．3392 C ．338 D ．2
39 2．在△ＡＢＣ中，设=，=，且｜｜＝２，｜｜＝3，·＝－3，求ＡＢ的长．
略解：3272-=AB
88.1≈∴AB
3.用余弦定理证明：在△ＡＢＣ中，
（１）ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ；
（２）ｂ＝ｃｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＣ；
（３）ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．
【师生互动】。