初三数学一轮复习课件--┃直线与圆的位置关系

考点2 切线的性质 定理：圆的切线___垂__直___于经过切点的半径． 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
第29讲┃直线与圆的位置关系
考点3 切线的判定
定理：经过半径的外端并且__垂__直____于这条半径的直线是圆 的切线．
证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”． (2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径 ”．
例2 [2012·湛江] 如图29－1，已知点E在Rt△ABC的 斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
图29－1
第29讲┃直线与圆的位置关系
解 析 (1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再 由平行从而得证； (2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求 出半径．
第29讲┃直线与圆的位置关系
在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法， 也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系 进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选 择正确的方法．
第29讲┃直线与圆的位置关系
探究二 圆的切线的性质 命题角度： 1. 已知圆的切线得出结论； 2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．
解 析 由题意，得点(－1，2)到x轴的距离为2(大于半 径)，到y轴的距离为1(等于半径)，所以以点(－1，2)为 圆心，1为半径的圆必与y轴相切．
第29讲┃直线与圆的位置关系
2．如图29－5，已知在⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O 的切线，连接CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是
⊙O的切线．
第29讲┃直线与圆的位置关系
解
(1)证明： 连接OD，
∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.
又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC.
第29讲┃直线与圆的位置关系
解 (2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2 ＋ OD2. ∵BE＝2，BD＝4, ∴(BE＋OE)2＝ BD2 ＋OD2， 即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3， 故⊙O的半径为3.
第29讲┃直线与圆的位置关系
考点4 三角形的内切圆
三角形的 内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆，这个三角形叫圆的
外切三角形
三角形 的内心
三角形内切圆的圆心叫做三角形
的内心．它是三角形 __三__条__角__平__分__线__的交点，三角形
的内心到三边的__距__离____相等
第29讲┃直线与圆的位置关系
图29－5
第29讲┃直线与圆的位置关系
解 证明：连接OD， ∵AD∥OC， ∴∠COB＝∠DAO，∠COD＝∠ODA. ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠COB＝∠COD.
第29讲┃直线与圆的位置关系
解 又∵CO为公共边，OD＝OB， ∴△COB≌△COD， ∴∠CBO＝∠ODC. 又∵BC是⊙O的切线，AB是直径， ∴∠CBO＝∠ODC＝90°， ∴CD是⊙O的切线．
例 3 [2013·湖州] 如图 29－2，已知 P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点 C，OC＝CP＝2，弦 AB⊥OC，劣弧A︵B的度数为 120°，连接 PB.
(1)求 BC 的长； (2)求证：PB 是⊙O 的切线．
图29－2
第29讲┃直线与圆的位置关系
解 (1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°， ∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB， ∴△OBC是正三角形， ∴BC＝OC＝2.
BC 分别交于点 M，N，若⊙O 的半径为 r，则 Rt△MBN
的周长为( C )
A．r
3 B.2r
C．2r
5 D.2r
图29－3
第29讲┃直线与圆的位置关系
解 析 连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝ 90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD ＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE, Rt△MBN的周长为：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE ＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选C.
直线与圆的位置关系
第29讲┃直线与圆的位置关系
考点聚焦
考点1 直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r， 圆心O到直线l的距
离为d，那么
(1)直线l和⊙O相交
⇔___d_<_r___
(2)直线l和⊙O相切
⇔___d_=_r___
(3)直线l和⊙O相离
⇔__d__>_r___
第29讲┃直线与圆的位置关系
第29讲┃直线与圆的位置关系
“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点 和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算 的常用方法．
第29讲┃直线与圆的位置关系
探究三 圆的切线的判定方法 命题角度： 1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线 是圆的切线； 2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定 这条直线是圆的切线．
⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，如 图．则(1)∠BIC＝90°＋2∠BAC；
规律 清单
(2)△ABC三边长分别为a、b、c，⊙I的半径为 r，则有S△ABC＝21r(a＋b＋c)；
(3)(选学)△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b， BC＝a，AB＝c，则内切圆半径r＝a＋b2－c
第29讲┃直线与圆的位置关系
解 析 r 的长即为斜边 AB 上的高，由勾股定理易求得 AB 的长， 根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出 r 的值．
Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm， 由勾股定理，得 AB2＝32＋42＝25， ∴AB＝5. 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. ∵AB 是⊙C 的切线， ∴CD＝r. ∵S△ABC＝21AC·BC＝12AB·r， ∴r＝2.4 cm.
第29讲┃直线与圆的位置关系
归类探究
探究一 直线和圆的位置关系的判别
命题角度： 1. 定义法判别直线和圆的位置关系； 2. d，r比较法判别直线和圆的位置关系． 例1 [2013·南州] Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC ＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切， 则r的值为( B ) A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm
第29讲┃直线与圆的位置关系
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
例 4 [2012·玉林] 如图 29－3，Rt△ABC 的内切圆⊙O
与两直角边 AB，BC 分别相切于点 D、E，过劣弧D︵E(不
包括端点 D、E)上任一点 P 作⊙O 的切线 MN，与 AB，
第29讲┃直线与圆的位置关系
解 (2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB. ∵△OBC是正三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝60°. ∴∠CBP＝30°， ∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°， ∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上， ∴PB是⊙O的切线．
第29讲┃直线与圆的位置关系
在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证 明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．若已知 直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直 线垂直于半径；若直线与圆的公共点没有确定，则应 过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半 径．
第29讲┃直线与圆的位置关系
解三角形内切圆问题，常转化到直角三角形中，利 用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．
第29讲┃直线与圆的位置关系
回归教材
切线的判别
如图29－4，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB ，那么直线AB是⊙O的切线吗？为什么？
图29－4
第29讲┃直线与圆的位置关系
解：直线AB是⊙O的切线． 理由：连接OC， ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB. ∵OC为⊙O的半径， ∴直线AB是⊙O的切线．
第29讲┃直线与圆的位置关系
中考预测
1．在平面直角坐标系中，以点(－1，2)为圆心，1为半径 的圆必与( D ) A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切