2017年春季学期新版湘教版七年级数学下学期4.4、平行线的判定、利用等角转化,判定两条直线平行素材

利用等角转化，判定两条直线平行
两条直线平行的判定方法有两类：一是用平行线的定义进行判定，但更主要的是用平行的条件平行判定。

在利用平行的条件判定两条直线平行时，涉及到等角的转化，为了帮助大家复习，本文就等角的转化问题举例分析。

一、根据角平分线的条件及定义进行等角转化，创造出平行的条件：
例1．如图1，直线AB、CD被直线EF所截，MP平分∠EMB，NQ平分∠END，且∠EMP=∠QND，求证：①MP∥NQ，②AB∥CD。

分析：本例由∠EMP=∠QND和MP平分∠EMB，NQ平分
∠END，的条件可以进行等角的转化，进而证明直线的平行。

证明：①因为NQ平分∠END（已知），
所以∠ENQ=∠QND（角平分线的定义），
又因为∠EMP=∠QND（已知），所以∠EMP=∠ENQ（等量代换）
所以MP∥NQ（同位角相等，两直线平行）。

②因为MP平分∠EMB（已知），
所以∠EMP=1
2
∠EMB（角平分线的定义），同理得∠QND=
1
2
∠END，
又∠EMP=∠QND（已知），所以1
2
∠EMB=
1
2
∠END（等式的性质），即∠EMB=∠END
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。

点评：这类题目中，给出的条件一般不能直接推证结论，必须进行代换、转化，常见的转换应用的知识有：对顶角相等；邻补角互补；角的平分线的定义与性质等。

二、利用互余条件进行等角的转化，创造出平行的条件：
例2．如图2，已知∠1与∠D互余，CF⊥DF，求证：AB∥CD
分析：由于已知∠1与∠D互余，CF⊥DF，所以∠C与∠D互余，
所以∠1与∠C相等，可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。

证明略。

点评：通过同角或等角的余角相等，进行等角的转化，也是证明两直线平行时常用的转化方式。

本例还可以探索其他的证明方法。

三、利用三角形的内角和进行等角的转化，创造出平行的条件：
例3．如图3，AB⊥BF，CD⊥BF于D且∠GBF+∠G=900。

求证：AB∥EG。

分析：由于∠GBF+∠G=900，根据三角形的内角和可知：
∠GFB=900。

AB⊥BF，可知∠ABF=900，所以AB∥EG（内错
角相等，两直线平行）。

证明略。

点评：本例通过三角形的内角和进行等角的转化，也是证明两直线平行时常用的转化方式。

在此CD⊥BF于D是多余的条件，不要让这样多余的条件干扰正常的解题思路。

四、利用角的和、差条件进行等角转化，创造出平行的条件：
例4．如图4，∠B=∠C，∠DAC=∠B+∠C，AE平分∠DAC，求证：AE∥BC。

分析：由于∠B=∠C，∠DAC=∠B+∠C，所以有∠DAC=2∠B，而AE平分∠DAC，即∠DAC=2∠DAE，于是∠B=∠DAE，所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）。

点评：本例是利用角的和、差关系，结合角平分线的定义进行等角的转化，这也是证明两直线平行时常用的转化方式。

另外本例还可以通过证明∠EAC=∠C，来证明AE∥BC。