二项分布性质研究

二项分布性质研究 二项分布定义：二项分布（Binomial Distribution ），即重复n 次的伯努利试验（Bernoulli Experiment ），用ξ表示随机试验的结果。

如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ，N 次独立重复试验中发生K 次的概率是

P(ξ=k)=C n k p k (1−p)n−k ,

其中k=1,2,···，n. C n k =n!k!(n−k )!

那么就说这个分布属于二项分布。

二项分布也属于自然指数分布族

设X~b （n ，θ），其概率函数为

P(x)=P θ(X=x)=C n x θx (1−θ)n−x

=C n x exp(ln θx (1−θ)n−x )

= C n x exp[x ln θ+(n −x)ln(1−θ)]

其中

θ=ln θ

h (x )=C n x

φ(x )=−(n −x)ln(1−θ)

二项分布数字特征.

（1） 二项分布的数学期望为E ξ=np

证明：设随机变量),(~p n B ，则

应用组合公式

得

（2） 二项分布的方差D ξ=npq

证明

故Dξ=npq

二项分布图像

以事件A出现的次数为横坐标，以概率为纵坐标，画出二项分布的图象，可以看出：

（1）、二项分布是一种离散性分布

（2）、当p=q=0.5时，图象对称；当p不等于q时，图形是偏斜的．当p<0.5时右偏,当p>0.5时左偏.

(3) 二项分布的形状取决于p和n的大小，高峰在前面研究的最大可能值m 处

(4)、n→∞时，只要p不太靠近0或1,它趋近于正态分布N(np,npq）,一般认为1/2np>=5且nq>=5时，二项分布就非常接近正态分布．

二项分布性质

（1）我们来看看概率b(k;n,p)如何随着k的变化而变化的规律．写q=1-p,对k≥1，我们有

b(k;n,p) b(k-1;n,p)= (n-k+1)p

kq

= 1+(n+1)p-k

kq

所以，当k<(n+1)p时，有b(k;n,p)> b(k-1;n,p);而当k>(n+1)p时，则有b(k;n,p)< b(k-1;n,p).这就是说，在分布律b(n,p)中，概率b(k;n,p)的值先随着k的增大而增

大，而当k>b(k;n,p)后，则随着k的增大而减小．因此b(k;n,p)必可达到其最大值．易见，如果m=(n+1)p为整数，则b(m;n,p)= b(m-1;n,p)同为其最大值；而如果(n+1)p 不是整数，则b(k;n,p)在k=[(n+1)p]处取得最大值．其中[x]表示不超过实数x的最大整数．我们称使b(k;n,p)达到最大值的正整数m为服从二项分布b(n,p)的随机变量的最大可能值。

ζ，服从二项分布，（2）两个二项分布的和仍然是一个二项分布。若随机变量η

则随机变量ζ的数学期望为Eζ.随机变量η的数学期望为Eη. 而二者和的数学期望为E(ζ+η)，经计算E(ζ+η)=Eζ+ Eη，也即两个二项分布的和仍服从二项分布

证明：设X服从B(p,m),Y服从B(p,n)(下面∑(l;0,k)为0到k对l求和)

P(X+Y=k)=∑(l;0,k)P(X=l,y=k-l)=∑(l;0,k)[P(x=l)*P(Y=k-l)]

=∑(l;0,k)[C(m,l)p^l*q^(m-l)*C(n,k-l)p^(k-l)*q^(n-k+l)]

=∑(l;0,k)[C(m,l)*C(n,k-l)]*p^k*q^(m+n-k)

=C(m+n.k)*p^k*q^(m+n-k)

注：C(m+n.k)=∑(l;0,k)[C(m,l)*C(n,k-l)] 为组合公式

故X+Y服从B(p,m+n)

（3）当n=1时，ξ只能取0,1，此时我们称该分布为伯努利分布，或两点分布P(X=m)=p m q1−m，m=0，1

二点分布b(1,p)主要是用来描述一次伯努利实验中成功出现的次数（0或1）它是二项分布的一种特殊情形．二项分布和二点分布可以看成是二项分布随机变量是n个独立同分布的二点分布随机变量之和.