高一数学必修4同步练习:1-2-2同角三角函数的基本关系
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1-2-2同角三角函数的基本关系
一、选择题
1.已知cos α=2
3,则sin 2α等于( )
A.59 B .±59 C.53 D .±53 [答案] A
[解析] sin 2
α=1-cos 2
α=59
.
2.已知α是第四象限角,tan α=-5
12,则sin α=( )
A.15 B .-15
C.513 D .-513
[答案] D
[解析] 不妨设α对应的锐角为α′,tan α′=5
12,构造直角三
角形如图,则|sin α|=sin α′=5
13
,
∵α为第四象限角,∴sin α<0,∴sin α=-5
13
.
[点评] 已知角α的某三角函数值,求α的其它三角函数值时,可先判定其符号,然后构造直角三角形求其绝对值.
如cos α=-1
3,α为第三象限角,求sin α的值时,由于sin α<0,
构造直角三角形,如图可知|sin α|=22
3
,
∴sin α=-22
3
.
3.已知tan α>0,且sin α+cos α<0,则( ) A .cos α>0 B .cos α<0
C .cos α=0
D .cos α符号不确定
[答案] B
[解析] ∵tan α=sin αcos α>0,∴sin α
cos α>0,即sin α与cos α符号相
同.又sin α+cos α<0,则cos α<0.
4.若非零实数m ,n 满足tan α-sin α=m ,tan α+sin α=n ,则cos α等于( )
A.n -m
m +n B.m -n
2
C.m +n 2
D.m -n n +m
[答案] A
[解析] 已知两等式联立,得⎩⎪⎨⎪⎧
tan α-sin α=m ,
tan α+sin α=n ,
解得tan α=
m +n 2,sin α=n -m 2,则cos α=sin αtan α=n -m
n +m
. 5.化简(1sin α+1tan α)(1-cos α)的结果是( )
A .sin α
B .cos α
C .1+sin α
D .1+cos α
[答案] A
6.1+2sin αcos α的值是( ) A .sin α+cos α B .sin α-cos α C .cos α-sin α D .|sin α+cos α| [答案] D
7.如果tan θ=2,那么sin 2θ+cos 2θ
sin θcos θ( )
A.73
B.75
C.52
D.54
[答案] C
8.(2011~2012·琼海高一检测)若sin θ+cos θ
sin θ-cos θ=2,则sin θ·cos θ=
( )
A .-
310
B.310 C .±310
D.34
[答案] B
9.已知sin αcos α=18,且π4<α<π
2,则cos α-sin α的值为( )
A.3
2
B .-3
2
C.34 D .-34
[答案] B
[解析] ∵π4<α<π
2,∴sin α>cos α,
∴cos α-sin α=-(cos α-sin α)2 =-1-2sin αcos α=-
3
2
. 10.(08·浙江理)若cos α+2sin α=-5,则tan α=( ) A.12 B .2 C .-1
2
D .-2
[答案] B
[解析] 解法一:将已知等式两边平方得 cos 2α+4sin 2α+4sin αcos α=5(cos 2α+sin 2α), 化简得sin 2α-4sin αcos α+4cos 2α=0, 即(sin α-2cos α)2=0,故tan α=2.
解法二:设tan α=k ,则sin α=k cos α代入cos α+2sin α=-5中得cos α=-5
2k +1
,
∴sin α=5k
2k +1代入sin 2α+cos 2α=1中得,
5k 2(2k +1)2+5
(2k +1)2=1,∴k =2.
二、填空题
11.已知α是第三象限角,sin α=-12
13
,则cos α=________.
[答案] -5
13
[解析] ∵sin 2α+cos 2α=1, ∴cos α=±1-sin 2
α=±5
13
.
又α是第三象限角,∴cos α<0,∴cos α=-5
13.
12.已知tan α=2,则sin 2α-sin αcos α=________. [答案] 2
5
[解析] 原式=sin 2α-sin αcos αsin 2α+cos 2α=sin 2αcos 2α-sin αcos α
cos 2αsin 2αcos 2α+
cos 2αcos 2α=
tan 2α-tan α
tan 2α+1
=25
. 13.已知sin θ-cos θ=1
2,则sin 3θ-cos 3θ=________.
[答案] 11
16
[解析] ∵sin θ-cos θ=12,∴sin θ·cos θ=3
8
,
∴sin 3θ-cos 3θ=(sin θ-cos θ)(sin 2θ+sin θcos θ+cos 2θ)=12⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1+38=1116
. 14.已知tan α=cos α,那么sin α=________. [答案] -1+5
2
[解析] 由于tan α=sin α
cos α
=cos α,则sin α=cos 2α,所以sin α=1