15.4 .3角的平分线(判定)

O
E
P
PD = PE
用途：证线段相等
B
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点， 在这个角的平分线上。
∵ \
PD ^ OA
PE ^ OB
PD = PE OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
A
练一练
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE 不必再证全等
D
A C
P到OA的距离
角平分线上的点
P
O
E
B
P到OB的距离
如图，由 PD ^ OA 于点 D ， PE ^ OB 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A百度文库
E B
F
D
C
课堂练习
已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。
B
F
A
E
D
C
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
C
1 2
E
D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∠1= ∠2 ∴__________
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F
A F M
C
随堂练习3
已知：如图，△ABC 的∠B的外角的平分 线BD和∠C的外角平 分线CE相交于点P。 求证：点P在∠BAC的 平分线上。
A
B
C
E P
D
练习： 8、如图，三条公路相交，现在要修 建一加油站，使加油站到三条公路的距 离相等，问加油站该选在什么位置上？
A
O E
P
证明： 作射线OP
∵
PD ^ OA
\
PE ^ OB
B
PDO PEO 90
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL） \ AOP BOP （全等三角形的对应角相等） \ 点P在 AOB 角的平分线上
到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上。
已知：如图， PD ^ OA ，
PE ^ OB ，垂足分别是
D
A
O E
P
A、B，PD=PE ， 求证：点P在AOB 的角平分线上。 B
角平分线 到角的两边的距离相等的点 在角 的判定的平分线上。 D
已知：如图，PD ^ OA， ^ OB ， PE 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 AOB的角平分线上。
角平分线的判定的应用书写格式：
D
A
∵
PD ^ OA
PE ^ OB
O
P
PD= PE
\OP 是 AOB的平分线（到一个角的
E
B 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D
A C
∵ \
OP 是 AOB 的平分线
PD ^ OA
PE ^ OB
M D C F A E B N
3、已知PA=PB， ∠1+ ∠2=1800， 求证：OP平分∠AOB E
A
1 P
2 O F B
例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P。求证：点P也在∠A的平分线上。
• 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D、E、F • ∵BM是△ABC的角平分线，点P在 BM上（已知） D • ∴PD=PE N • （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） • 同理 PE=PF. • ∴ PD=PE=PF. P • 即点P到边 B E • AB、BC、CA的距离相等
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE