等价无穷小替换,极限的计算
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。
【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。
最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。
下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。
定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。
显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。
大学生数学竞赛辅导_2023年学习资料
例5设x在0,1止连续，在0,1内可导，f0=f①=0，f分=1-证明：1归5∈，1，使得5= -署nG0送F7袜亚-证明：1取Fx=fx-x,在，1用零点定理；-JJJJJJ-JJJJJ取Gx=efx-x,在0,1上用罗尔定理.-16
例6设fx在-o,+oo内具有二阶导数，∫"x>0,imf'x=a>0,-limf'x=B<0 且存在一点xo使得fx。<0.-证明方程fx=0在-o,+∞内恰有2个实根.2届预赛15分-证 ：由imf'x=a>0→a>x使得f'am>->0.-f"w>0→f"w7→r>a,f'x>f a>2>0.-由中值定理fx=fa+f'传x-a>fa+x-a-当x>a且x>--2fa-+时 fx>0:-故存在bb>a,使得fb>0.-在x,b]上用介值定理，3x',使得fx"=0.样，由imf'x=B<0,]a'<x,使得f'a'<-17
用定积分-二重积分、导数定义求极限：JJJJJJJJJJJJJJ JJJJJJJJJ-例1-lim-n-→ook=1-0-4-例2求极限-'1-dx-=n2.→on-J01+-7
例3设fx在x=1的附近有定义，且在x=1处可导，f1=0,-f'1=2,求极限lim-fsi x+cosx-x→0-x2+xtanx-解：lim-fsin2x+cosx-f1+sin2x+ osx-1-f1sin2x+cosx-1-sin2 x+cosx-1-=f'1.lim-sin x +cosx-1-cosx1-cosx-2lim-0x2+xtanx-=2lim-x→0x tanx-8-X
所有等价无穷小替换公式
所有等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种重要的工具，用于替换函数中的无穷小量，以便更方便地进行计算。
通过等价无穷小替换公式，我们可以将复杂的极限计算问题化简为简单的代数运算。
在本篇文章中，我将介绍一些常见的等价无穷小替换公式。
1.当x趋向于正无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x， tan(x) = x 和 sec(x) = x。
- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。
-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量x替换，即e^x-1=x。
-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量x替换，即1/(1+x)=x。
2.当x趋向于负无穷时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x)、tan(x) 和 sec(x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 sin(x) = -x， tan(x) = -x 和 sec(x) = -x。
- 无穷小量 1 - cos(x) 可以用等价无穷小量 x^2/2 替换，即 1 - cos(x) = x^2/2- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 -x 替换，即 ln(1+x) =-x。
-无穷小量e^x-1可以用等价无穷小量-x替换，即e^x-1=-x。
-无穷小量1/(1+x)可以用等价无穷小量-x替换，即1/(1+x)=-x。
3.当x趋向于0时，常见的等价无穷小替换公式包括：- 无穷小量 sin(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 sin(x) = x。
- 无穷小量 tan(x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 tan(x) = x。
- 无穷小量 sec(x) 可以用等价无穷小量 1 替换，即 sec(x) = 1- 无穷小量 ln(1+x) 可以用等价无穷小量 x 替换，即 ln(1+x) = x。
等价无穷小替换,极限的计算
无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、 理解无穷小与无穷大的概念；2、 掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、 不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、 无穷小与无穷大；2、 无穷小的比较；3、 几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、 求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】 首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法 （20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了 n —数列x n 的极限、X - - （ x r 厂「'、*—；工：）函数f x 的 极限、X — x 0 （ X —. x 0、x — x 0「函数f （x ）的极限这七种趋近方式。
下面我们用 X — *表示上述七种的某一种趋近方式，即*X r X r ： X rX 0 X —； X 0 X —； x 0定义：当在给定的X 》*下，f （x ）以零为极限，则称f （x ）是X > *下的无穷小，即lim* f x = 0。
例如，；limsi nx =0,.函数si nx 是当x 》0时的无穷小.1 1 — vlim =0, 函数 是当X T °°时的无穷小. x =x x【注意】不能把无穷大与很大的数混淆； 无穷大是极限不存在的情形之一。
lim 4=0, n —; • n.数列｛T ｝是当n >n::时的无穷小【注意】不能把无穷小与很小的数混淆； 零是可以作为无穷小的唯一的数, 不是无穷小。
任何非零常量都定义:当在给定的x 》*下, f X 无限增大，则称 f X 是X — *下的无穷大，即哩 f（x h- 。
显然,n —；时，n 、n 2、n 3、… 都是无穷大量,无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim e x 二 0 , X — ■.xmeX"，所以e x 当X )时为无穷小，当 X —时为无穷大。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题极限是数学中非常重要的概念，在求解数学问题时经常被使用。
它的性质之一就是求解极限的过程中，有时数值会改变，但最终答案却不会改变。
为了更好地求取极限，我们常常会将极限中有无穷小的量用一个相同或相近的数值来替换。
这就是所谓的“等价无穷小替换”。
等价无穷小替换是一种常见的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
下面就来详细讨论这一技巧。
首先，要理解等价无穷小替换，首先要明白极限的概念。
极限是数学中一个指的是一个数列中元素取值的极限的概念，它表示的就是某一数列的取值将要趋向于某一值，但又不会实际到达这一值，这一值称为极限。
因此，求取极限并不是实际到达极限值，而是求取在某种条件下，数列元素将趋于某个值，虽然不能够实际取到这个值，但是可以通过极限的性质来近似的求取这个值。
而在求取极限的过程中，有时数值会发生改变，但最终答案却不会改变，此时，就可以用等价无穷小替换的方式来帮助我们求取极限值。
所谓等价无穷小替换，就是将无穷小的或接近无穷小的量用一个等价的数值来代替，而这个等价的数值往往要比无穷小要大得多，这样就可以再计算中省去大量的计算量，从而达到求取极限的目的。
例如，求取极限∫ x*dx当x=1时，积分项为1/2如果我们使用等价无穷小替换的思想，就可以将x替换成接近1的数值。
比如x=1.001，这时积分项为1.0005，可以看出，即使把x 取值替换成1.001，最终积分结果也快准确，而且这种操作大大缩减了计算量。
上述就是等价无穷小替换的一般思想，即求取极限时，如果遇到无穷小或接近无穷小的量，就可以使用等价无穷小替换的思想，用一个小的数字来替代，从而达到节省计算量和提高精度的效果。
等价无穷小替换也有一定的局限性，它并不是永远可靠的。
在某些情况下，它会导致计算结果的误差变大。
因此，当使用等价无穷小替换时，需要谨慎细致，以免造成计算错误。
综上所述，等价无穷小替换是一种非常有用的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
等价无穷小替换-极限的计算
等价无穷小替换-极限的计算无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20 分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了 n 数列x n的极限、XX 、X )函数 f X 的极限、X x (x X 0、X X ) 函数f(X)的极限这七种趋近方式。
下面我们用 X *表示上述七种的某一种趋近方式，即衣 nX X X X X o X X o X X o定义：当在给定的X *下，f(x)以零为极限， 则称f(x)是X 水下的无穷小，即lim f X 0。
*函数sin x 是当X 0时的无穷小 函数-是当X 时的无穷小.X【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可 以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是 无穷小。
定义：当在给定的X *下，|fx |无限增大， 则称fX 是X *下的无穷大，即凹f X 。
显然， n 时，n 、n 2、n 3、都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大 是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相 对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是 无穷小也可能是无穷大，如例如,lim si nx 0,X 0lim - 0, li m(1)nn0,数列是当nn时的无穷小0 e x 0 ,lim e x,x所以e x 当x时为无穷小，当x 时为无穷大。
2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同 一变化过程中，如果f x 为无穷大，则丄为无穷小；反之，如果 f x 为无穷小，且 f xf x 0，则亠为无穷大。
等价无穷小替换极限的计算
等价无穷小替换极限的计算等价无穷小替换是一种常用的极限计算方法，它可以将一个极限问题转化为一个更简单的等价形式，从而更容易求解。
在处理极限问题时，我们常常会遇到无穷小的概念，无穷小是指当自变量趋于一些值时，函数值趋于零，且比自变量的变化幅度小得可以忽略不计的函数。
而等价无穷小则是指具有相同极限的无穷小。
等价无穷小替换的基本思想是用一个等价无穷小替换原来的无穷小，从而得到一个与原无穷小具有相同极限的极限问题。
具体来说，我们有以下几种常见的等价无穷小替换方法。
1.正比无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个非零常数k，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于k那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
2.同阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
3.高阶无穷小替换：如果函数f(x)和g(x)满足下面的条件：-当x趋于一些值c时，f(x)和g(x)的极限都为零；-存在一个正整数n，使得当x趋于c时，f(x)和g(x)的比值的n次幂趋于1那么，我们可以用g(x)代替f(x)作为等价无穷小进行极限计算。
通过使用等价无穷小替换，我们可以简化极限的计算过程。
例如，对于形如lim(x→0) sin(x)/x的极限，我们可以利用正比无穷小替换将sin(x)替换为x，从而得到lim(x→0) x/x=1的等价极限。
同理，对于形如lim(x→∞) (x+1)/x的极限，我们可以利用同阶无穷小替换将(x+1)替换为x，从而得到lim(x→∞) x/x=1的等价极限。
需要注意的是，等价无穷小替换方法只适用于具有相同极限的无穷小，要求在等价无穷小替换后的函数极限仍然存在。
高数等价无穷小替换公式
高数等价无穷小替换公式
高数中，等价无穷小替换公式是指在极限计算中将一个无穷小量替换为与它等价的另一个无穷小量的公式。
常见的等价无穷小替换公式有以下几种：
1. 当 x 趋于0时，可以将 sin(x) 替换为 x。
lim(x→0) sin(x) / x = 1
2. 当 x 趋于0时，可以将 tan(x) 替换为 x。
lim(x→0) tan(x) / x = 1
3. 当 x 趋于0时，可以将 arcsin(x) 替换为 x。
lim(x→0) arcsin(x) / x = 1
4. 当 x 趋于0时，可以将 arctan(x) 替换为 x。
lim(x→0) arctan(x) / x = 1
5. 当 x 趋于无穷大时，可以将 e^x - 1 替换为 x。
lim(x→∞) (e^x - 1) / x = 1
这些等价无穷小替换公式在极限计算中经常使用，可以简化计算过程，但需要注意使用的条件和适用范围。
重要的等价无穷小替换公式
重要的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中的重要概念，它在求极限、导数和积分等计算中起到了关键作用。
本文将介绍几个重要的等价无穷小替换公式，并解释其应用。
一、等价无穷小的定义等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数与某个已知无穷小函数之间的关系。
它表示在极限过程中，函数与另一个函数的差异可以忽略不计。
二、等价无穷小替换公式1. sinx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有sinx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用sinx替换x，而不会改变极限的结果。
2. tanx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有tanx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用tanx替换x，而不会改变极限的结果。
3. e^x-1与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有e^x-1/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用e^x-1替换x，而不会改变极限的结果。
4. ln(1+x)与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有ln(1+x)/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用ln(1+x)替换x，而不会改变极限的结果。
5. a^x-1与xlna的等价无穷小当x趋于0时，我们有a^x-1/xlna等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用a^x-1替换xlna，而不会改变极限的结果。
三、等价无穷小替换公式的应用1. 求极限等价无穷小替换公式在求极限的过程中经常被使用。
通过将原函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化计算过程并得到准确的极限值。
2. 导数的计算等价无穷小替换公式在求导数的过程中也有广泛的应用。
通过将函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化求导的过程，并得到准确的导数值。
3. 积分的计算等价无穷小替换公式在求积分的过程中同样起到了重要作用。
通过将被积函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化积分的过程，并得到准确的积分值。
四、总结等价无穷小替换公式是微积分中的重要工具，它在求极限、导数和积分等计算中发挥了关键作用。
极限的计算---无穷小等价替换
பைடு நூலகம்解:
所以原式
例3.
解:
原式= = = .
（选讲）（三）其它情形进行替换求极限： （三级）
例4. 求 .
解：
则 ，
用等价无穷小替换得 = =1.
例5. 求 .
解：因为 ， ，
所以
.
三、能力反馈部分
1、（考查学生对等价无穷小替换求极限的方法的掌握情况）
直接用等价替换：
（1） （2）
四则运算变换后进行替换
注：在教学中选择性地证明几个等价无穷小.
引例 =
3、等价无穷小的替换定理
定理
证：
4、等价无穷小替换求极限的求解案例
（一）直接替换求极限： （一级）
例1.（1） ； （2） .
解:（1）原式= = ;
（2） 故原式 = 2.
【注意】等价无穷小的替换能直接用在乘、除运算，一般不能用在加、减法运算中.
（二）四则运算变形后进行替换求极限： （二级）
（3） （4）
其它情况等价替换（选做）
（5） （6）
3、熟记等价替换的条件并能熟练掌握其应用；
能力目标
培养学生灵活运用知识的能力
时间分配
30分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订
熊文婷
二审
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：在熟记常用等价无穷小量的基础，按照由易到难得顺序讲题例题和习题使学生能够灵活运用无穷小量的的等价替换掌握 型极限的求解方法。
特点：通过例题及练习的变形，使学生学会灵活运用知识的能力。
模块基本信息
一级模块名称
函数与极限
二级模块名称
等价无穷小替换及洛必达法则
等价无穷小替换及洛必达法则等价无穷小及相关极限运算无穷小的比较例如，当0→x 时，xx x x x 1sin,sin ,,22都是无穷小，观察各极限：xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x 2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.定义:设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0≠α(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C C lim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作（3）如果),0,0(lim >≠=k C C k αβ就说β是α的k 阶无穷小。
例1.tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →例2.sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→常用等价无穷小:,0时当→x （1）x sin ～x ；（2）x arcsin ～x ；（3）x tan ～x ；（4）x arctan ～x ；（5）)1ln(x +～x ；（6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ（9）1xa -～ln a x*用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-=等价无穷小替换定理.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设证明αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
等价无穷小替换原理
等价无穷小替换原理：
等价无穷小替换原理主要是通过利用无穷小的性质，将一个复杂的问题化简为一个简单的问题来进行研究和计算。
它可以在求极限、求导、微积分等数学分析中得到广泛的应用。
等价无穷小替换原理的使用原理主要包括以下几个方面：
1.等价无穷小的替代：在一些极限计算中，可以将一个复杂的无穷小函数替代为一个
与之在无穷小阶上等价的无穷小函数，从而简化计算。
2.无穷小的性质：无穷小是一个以数零为极限的变量，可以视为一个非常接近于零但
不等于零的数。
因此，一些基于无穷小的性质和定理可以用于等价无穷小替换的推导和应用。
3.泰勒展开式：泰勒展开式是将一个函数表示为无穷多个幂函数的和的形式。
等价无
穷小替换可以看作是泰勒展开式在零点展开到一阶的特例。
通过泰勒展开式，我们可以更好地理解等价无穷小替换的原理和应用。
2015等价无穷小替换极限的计算知识总结
2015等价⽆穷⼩替换极限的计算知识总结⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念；2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤；2、⽆穷⼩的⽐较；3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换；4、求极限的⽅法。
【重点难点】重点是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩和⽆穷⼤的概念和性质（30分钟），在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念和性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常⽤⽅法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1.定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。
下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的⽆穷⼩，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆；零是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数，任何⾮零常量都不是⽆穷⼩。
定义：当在给定的→x ＊下，()x f ⽆限增⼤，则称()x f 是→x ＊下的⽆穷⼤，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时，、、、32n n n 都是⽆穷⼤量，【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆；⽆穷⼤是极限不存在的情形之⼀。
⽆穷⼩与⽆穷⼤是相对的，在不同的极限形式下，同⼀个函数可能是⽆穷⼩也可能是⽆穷⼤，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为⽆穷⼩，当+∞→x 时为⽆穷⼤。
等价无穷小替换,极限的计算
无贫小极限的简朴估计之阳早格格创做【教教手段】1、明白无贫小取无贫大的观念；2、掌握无贫小的本量取比较会用等价无贫小供极限；3、分歧典型的已定式的分歧解法.【教教真量】1、无贫小取无贫大；2、无贫小的比较；3、几个时常使用的等价无贫小等价无贫小替换；4、供极限的要领.【沉面易面】沉面是掌握无贫小的本量取比较用等价无贫小供极限.易面是已定式的极限的供法.【教教安排】最先介绍无贫小战无贫大的观念战本量（30分钟），正在明白无贫小取无贫大的观念战本量的前提上,让教死沉面掌握用等价无贫小供极限的要领（20分钟）.末尾归纳归纳供极限的时常使用要领战本领（25分钟），课堂训练（15分钟）.【授课真量】一、无贫小取无贫大前里咱们钻研了数列的极限、（、）函数的极限、（、）函数的极限那七种趋近办法.底下咱们用＊表示上述七种的某一种趋近办法，即＊定义：当正在给定的＊下，以整为极限，则称是＊下的无贫小，即.比圆,【注意】没有克没有及把无贫小取很小的数殽杂；整是不妨动做无贫小的唯一的数，所有非整常量皆没有是无贫小.定义：当正在给定的＊下，无限删大，则称是＊下的无贫大，即.隐然，时，皆是无贫洪量，【注意】没有克没有及把无贫大取很大的数殽杂；无贫大是极限没有存留的情形之一.无贫小取无贫大是相对付的，正在分歧的极限形式下，共一个函数大概是无贫小也大概是无贫大，如，，所以当时为无贫小，当时为无贫大.2．无贫小取无贫大的闭系：正在自变量的共一变更历程中，如果为无贫大，则为无贫小；反之，如果为无贫小，且，则为无贫大.小结：无贫洪量、无贫小量的观念是反映变量的变更趋势，果此所有常量皆没有是无贫洪量，所有非整常量皆没有是无贫小，道及无贫洪量、无贫小量之时，最先应给出自变量的变更趋势.3.无贫小取函数极限的闭系:定理1 其中是自变量正在共一变更历程（或者）中的无贫小.证：（需要性）设令则有（充分性）设其中是当时的无贫小，则【意思】（1）将普遍极限问题转移为特殊极限问题(无贫小);（2）定理2 正在共一历程中,有限个无贫小的代数战仍是无贫小.【注意】无贫多个无贫小的代数战一定是无贫小.定理????有界函数取无贫小的乘积是无贫小如：，，推论1 正在共一历程中,有极限的变量取无贫小的乘积是无贫小.推论2 常数取无贫小的乘积是无贫小.推论3 有限个无贫小的乘积也是无贫小.二、无贫小的比较比圆，瞅察各极限：没有成比.极限分歧, 反映了趋背于整的“快缓”程度分歧.1．定义:设是自变量正在共一变更历程中的二个无贫小，且例1证：例2解2．时常使用等价无贫小:（1）～；（2）～；（3）～；（4）～；（5）～；（6）～（7）～（8）～（9）～用等价无贫小可给出函数的近似表白式:比圆3．等价无贫小替换定理：证：例3（1）；（2）解: （1）故本极限= 8（2）本极限==例4错解:=0正解:故本极限例??解:本式三、极限的简朴估计1. 代进法：曲交将的代进所供极限的函数中去，若存留，即为其极限，比圆；若没有存留，咱们也能知讲属于哪种已定式，便于咱们采用分歧的要领.比圆，便代没有进去了，然而咱们瞅出了那是一个型已定式，咱们不妨用以下的要领去供解.2. 领会果式，消去整果子法比圆，.3. 分子（分母）有理化法比圆，又如，4. 化无贫大为无贫小法比圆，，本量上便是分子分母共时除以那个无贫洪量.由此没有罕见出又如，，（分子分母共除）.再如，，（分子分母共除）.5. 利用无贫小量本量、等价无贫小量替换供极限比圆，，（无贫小量乘以有界量）.又如，解：商的规则没有克没有及用由无贫小取无贫大的闭系,得再如，等价无贫小量替换供极限的例子睹本节例3—例5.6. 利用二个要害极限供极限（例题拜睹§1.4例3—例5）7. 分段函数、复合函数供极限比圆，解:安排极限存留且相等,【开收取计划】思索题：解：无界，没有是无贫大．论断：无贫大是一种特殊的无界变量,然而是无界变量一定是无贫大.思索题2：若，且，问：是可包管有的论断？试举例证明.思索题3：所有二个无贫小量皆不妨比较吗？解：没有克没有及．比圆当时皆是无贫小量然而没有存留且没有为无贫大，故当时战没有克没有及比较.【课堂训练】供下列函数的极限（1）；解：本极限=（2）供【领会】“”型，拆项.解：本极限===（3）；【领会】“抓大头法”，用于型解：本极限==，或者本极限（4）；【领会】分子有理化解：本极限===（5）【领会】型，是没有定型，四则运算规则无法应用，需先通分，后估计.解：===（6）【领会】“”型，是没有定型，四则运算规则做废，使用分母有理化消整果子.解：本极限==6（7）解:先变形再供极限.【真量小结】一、无贫小（大）的观念无贫小取无贫大是相对付于历程而止的.1、主要真量:二个定义;四个定理;三个推论.2、几面注意:(1) 无贫小（大）是变量,没有克没有及取很小（大）的数殽杂，整是唯一的无贫小的数；（2）无贫多个无贫小的代数战（乘积）一定是无贫小.（3）无界变量一定是无贫大.二、无贫小的比较:1.反映了共一历程中, 二无贫小趋于整的速度快缓, 然而本去没有是所有的无贫小皆可举止比较.下(矮)阶无贫小; 等价无贫小; 无贫小的阶.2.等价无贫小的替换:供极限的又一种要领, 注意适用条件.三、极限供法（分歧典型的已定式的分歧解法）;a.多项式取分式函数代进法供极限;b.消去整果子法供极限;c.无贫小果子分出法供极限;d.利用无贫小运算本量供极限;e.利用安排极限供分段函数极限.。
全部等价无穷小替换公式
全部等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一些有助于简化复杂问题的工具。
这些公式通过将一个变量替换为无穷小量来简化问题，从而使问题更易于处理。
以下是一些常见的等价无穷小替换公式：1.x趋近于0时，可以用等于x的无穷小量来替换：lim(x → 0) f(x) = lim(x → 0) f(0 + x) ≈ f(0)2.x趋近于无穷大时，可以用等于1/x的无穷小量来替换：lim(x → ∞) f(x) = lim(x → ∞) f(1/x) ≈ f(0)3.x趋近于正无穷大时，可以用等于1/x的无穷小量来替换：lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) f(1/x) ≈ f(0)4.x趋近于负无穷大时，可以用等于1/x的无穷小量来替换：lim(x → -∞) f(x) = lim(x → -∞) f(1/x) ≈ f(0)5.x趋近于a时，可以用等于x-a的无穷小量来替换：lim(x → a) f(x) = lim(x → a) f(a + x - a) ≈ f(a)6. x趋近于正无穷大时，可以用等于ln(x)的无穷小量来替换：lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) f(e^ln(x)) ≈ f(ln(x))7. x趋近于0时，可以用等于ln(x)的无穷小量来替换：lim(x → 0) f(x) = lim(x → 0) f(e^ln(x)) ≈ f(ln(x))8.x趋近于正无穷大时lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) f(ln(1 + e^x-1)) ≈f(e^x-1)9. sinh(x)趋近于x时，可以用等于1/2(x^2)的无穷小量来替换：sinh(x) ≈ x + 1/2(x^2)10. cosh(x)趋近于1时，可以用等于1/2(x^2)的无穷小量来替换：cosh(x) ≈ 1 + 1/2(x^2)这些等价无穷小替换公式在解决一些极限问题时非常有用。
不常见的等价无穷小替换公式
不常见的等价无穷小替换公式在微积分中，等价无穷小替换公式是一种常见的用于求解极限的方法。
但是，除了常见的等价无穷小替换公式之外，还有一些不常见的等价无穷小替换公式。
本文将介绍其中一些不常见的等价无穷小替换公式，并探讨它们的应用。
我们来看一个不常见的等价无穷小替换公式：当 x 趋近于无穷大时，sin(x) 可以被替换为 x。
这个公式的推导可以通过泰勒展开式来进行。
根据泰勒展开式，sin(x) 可以表示为 x 减去 x 的三阶无穷小量。
因此，当 x 趋近于无穷大时，sin(x) 可以忽略 x 的三阶无穷小量，从而被替换为 x。
接下来，我们来看另一个不常见的等价无穷小替换公式：当 x 趋近于无穷大时，e^x 可以被替换为无穷大。
这个公式的推导可以通过极限的定义来进行。
根据极限的定义，当 x 趋近于无穷大时，e^x 可以表示为无穷大加上一个小于任意正实数的无穷小量。
因此，当x 趋近于无穷大时，e^x 可以被替换为无穷大。
除了上述两个不常见的等价无穷小替换公式之外，还有一些其他的不常见的等价无穷小替换公式。
例如，当 x 趋近于无穷大时，ln(x+1) 可以被替换为 x。
这个公式的推导可以通过泰勒展开式来进行。
根据泰勒展开式，ln(x+1) 可以表示为 x 减去 x 的平方的一半。
因此，当 x 趋近于无穷大时，ln(x+1) 可以忽略 x 的平方的一半，从而被替换为 x。
在实际应用中，不常见的等价无穷小替换公式可能会用于简化复杂的极限计算。
例如，在求解某个函数的极限时，如果可以将函数中的某个部分替换为无穷大或其他等价无穷小量，就可以简化计算过程。
这在计算机科学、物理学等领域中经常会遇到。
然而，需要注意的是，不常见的等价无穷小替换公式并不适用于所有情况。
在使用这些替换公式时，需要进行严格的推导和分析，确保替换后的结果与原始函数在极限意义下相等。
否则，可能会导致计算结果的误差或错误。
不常见的等价无穷小替换公式是一种在极限计算中使用的方法。
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无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限：xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim xxx x →30)tan (lim 4x x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ；（4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20x x x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220x x x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim3xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim0xx x x +-→求解: ),(5tan x o x x += ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=- 原式22015()()2lim 3()x x o x x o x x o x ®+++=+xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim 3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个00型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x x x x x x x424lim 22--=→x x x()()()2222lim2--+=→x x x x 2=又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x xx x4. 化无穷大为无穷小法例如，222173373lim lim 142422x x x x x x x x xx +-+-==-+-+，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n nn n ，（分子分母同除n5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，()0131arctan lim2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求 解：)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim 21--+∴→x x x x .030==由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x 再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限 例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设 解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x )1(lim )(lim 00x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1= 左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin x yx x?当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0 =+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(0 ==k k x π取,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证. 例x x f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x .01lim ==+∞→A x x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =xxx g sin )(=都是无穷小量 但=+∞→)()(limx f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较. 【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→x xx e x x e x x x x x （2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “”型，拆项。