最大的k相乘问题
最大k乘积——精选推荐
最⼤k乘积思路：看到这道题，第⼀思路就要是动态规划，不要想着⽤啥暴⼒或者排列组合，只会搞得很复杂。
动态规划的思路是对这个整数，我们从后向前进⾏划分k个数字，我们知道对于划分后的最后⼀个整数，它的位数要保证前⾯的整数为k-1个（每个整数最少有⼀位），即最后⼀个整数的位数最⼤为s=n-k+1位，这样最后⼀个整数的位数取值为1到n-k+1中的⼀个，同样取好最后⼀个整数后，对这个整数前⾯的数字按照同样的⽅法进⾏选取，即⼤问题⼀步步变为⼩问题。
因为输⼊的数字可能为负数，所以n个数字相乘的绝对值应该是最⼩的。
为取得最优的结果要进⾏回溯。
1 #include<bits/stdc++.h>23using namespace std;4int n,k;5long int m;//⼗进制整数6int maxnum=-99999999;//当m为正整数时，记录最⼤的正整数乘积。
7int num=1;8int minnum=99999999;//当m为负整数时，记录最⼤的负整数乘积。
9int pw(int i){//返回10的i次⽅10int f=1;11for(int j=1;j<=i;j++){12 f*=10;13 }14return f;15 }1617int comp(int n,int m,int i,int j)//⽤来截取整数的第i位和第j位之间的数字，如123456789当i为5j为7时s为6718 {19int s=(m%pw(n-i))/pw(n-j);20return s;21 }2223int f(int k,int m,int n)//dp+回溯24 {25if(k==1 ){26 num*=m;27if(num>maxnum){//m为正整数时求最⼤乘积28 maxnum=num;29 }30if(num<minnum){//m为负整数时求最⼩乘积31 minnum=num;32 }33 num/=m;34 }else{35int s=n-k+1;//从后向前划分整数，s表⽰这个划分的数最⼤可以为⼏位36for(int i=1;i<=s;i++){37int as=comp(n,m,n-i,n);38 num*=as;39 f(k-1,comp(n,m,0,n-i),n-i);//递归40 num/=as;41 }42 }43return maxnum;44 }45int main()46 {47 cin >> n >> k;48 cin >> m;49if(m>=0){50 cout << f(k,m,n);51 }else{//考虑可能输⼊为负数52 m*=-1;53 f(k,m,n);54 cout << (-1)*minnum;55 }56return0;57 }。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题目录：矩阵连乘问题：1. 描述矩阵连乘问题2. 分析矩阵连乘问题以及对递归式的推导（1）直接递归思路（2）备忘录思路（3）动态规划思路3. 伪代码的方式描述算法：（1）直接递归算法（2）备忘录算法（3）动态规划算法4. 把算法转换成程序实现的过程及结果（1）直接递归算法程序（2）备忘录算法程序（3）动态规划算法程序1.描述矩阵连乘问题：，其中i A和1+i A是可乘的，给定n个矩阵{n AAA⋯,2,1}i=1,2,…,n-1。
考察这n个矩阵的连乘积n AAA⋯,1。
,2由于矩阵乘法具有结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。
这种计算次序可以用加括号的方式来确定。
若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说连乘积已完全加括号，则可依次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘B和C的乘积并加括号，即A=（BC）。
矩阵A和B可乘的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
若A是一个p×q的矩阵，B 是一个q×r的矩阵，那么C=A×B就是一个p ×r矩阵。
它的计算是三重循环的，计算量是pqr。
如果加括号后矩阵的量是不同的，所以我们的问题就是要讨论如何给连乘的矩阵加括号才能使矩阵的计算量最少。
穷举搜索法：对于n 个矩阵的连乘积，设有不同的计算次序P(n)。
由于可以先在第k 个和第k+1个矩阵之间将原矩阵序列分为两个矩阵子序列，k=1,2,...,n-1；然后分别对这两个矩阵子序列完全加括号；最后对所得的结果加括号，得到原矩阵序列的一种完全加括号方式。
由此可得P(n)的递归式如下：1 n=1 P （n ）=∑-=-11)()(n k k n P k P n>1解此递归方程可得，P(n)=C(n-1),而C(n)是一个指数增长的函数。
2022-2023学年上海市黄浦区八年级上学期期中考试数学试卷带讲解
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7.化简： =_______.
【分析】根据化简二次根式的法则计算即可.
【详解】解： =
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟练掌握化简二次根式的法则是解题的关键.
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，解决本题的关键是掌握正比例函数 中，当 时，y随x的减小而增大．
15.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品原来每盒200元，经过两次降价，每次降价的百分率相同，现在每盒售价128元，则这种药品每次降价的百分率为____________．
8.方程 的解为__________．
【分析】根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出△的值，最后套用求根公式解得．
【详解】解：
a=-1，b=-5，c=6，
△=b2-4ac=25+24=49
x= ，
所以 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法或配方法，这两种方法适用于任何一元二次方程．
9.函数y= 的定义域为_____．
x＞﹣3．
【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．【详解】∵函数y= 中，x+3＞0，
两个矩阵相乘所需要的乘法的次数
两个矩阵相乘所需要的乘法的次数
矩阵乘法是线性代数中的重要概念之一，常常用于解决各种数据处理和机器学习问题。
在实际应用中，矩阵乘法的计算量往往非常大，因此需要考虑如何优化计算效率。
两个矩阵相乘的乘法次数是矩阵乘法的一个重要指标，也是衡量矩阵乘法计算复杂度的主要方法。
假定有两个矩阵A和B，其维度分别为m×n和n×p，它们的乘积C=A×B的维度为m×p。
则矩阵乘法C(i,j)的计算方式为：
C(i,j)=∑k=1nA(i,k)×B(k,j)
因此，矩阵乘法的总计算次数为：
m×n×p
这意味着，矩阵乘法的计算复杂度与矩阵维度的大小有关，当矩阵维度增大时，矩阵乘法的计算复杂度也会增加。
因此，如何优化矩阵乘法的计算效率，是一个非常重要的问题。
在实际应用中，有许多优化矩阵乘法计算效率的方法，包括基于矩阵分块的算法、基于并行计算的算法、基于GPU加速的算法等。
这些算法的目的都是降低矩阵乘法的计算复杂度，提高计算效率。
通过优化矩阵乘法算法，可以在处理大规模数据时提高计算效率，进而提高数据处理和机器学习的效率。
总之，矩阵乘法是数据处理和机器学习中不可或缺的基础操作之一，其计算复杂度与矩阵维度的大小有关。
通过优化矩阵乘法算法，可以提高计算效率，进而提高数据处理和机器学习的效率。
人教版八年级数学上《同底数幂的乘法》拓展练习
《同底数幂的乘法》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）计算（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3的结果是（）A．﹣64B．﹣32C．64D．322．（5分）计算：（﹣a）2•a4的结果是（）A．a8B．﹣a6C．﹣a8D．a63．（5分）若a•24＝28，则a等于（）A．2B．4C．16D．184．（5分）若x，y为正整数，且2x•22y＝29，则x，y的值有（）A．1对B．2对C．3对D．4对5．（5分）为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1B．52013+1C．D．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知4×2a×2a+1＝29，且2a+b＝8，求a b＝．7．（5分）我们知道，同底数幂的乘法法则为：a m•a n＝a m+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空：（1）若h（1）＝，则h（2）＝；（2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）8．（5分）如果3a＝，3b＝，则＝．9．（5分）已知x•x m•x n＝x14（x≠1），且m比n大3，求m•n的值．10．（5分）已知a3•a m•a2m+1＝a25，求m的值．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：2m•2n＝16，求代数式2mn+n2+m2﹣4的值．12．（10分）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b ＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝；（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log a M+log a N＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．13．（10分）阅读理解：乘方的定义可知：a n＝a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：32×35＝（3×3）×（3×3×3×3×3）＝3×3×…×3＝37（7个3相乘）42×45＝（4×4）×（4×4×4×4×4）＝4×4×…×4＝47（7个4相乘）52×55＝（5×5）×（5×5×5×5×5）＝5×5×…×5＝57（7个5相乘）（1）20172×20175＝；（2）m2×m5＝；（3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017．14．（10分）已知x m＝5，x n＝7，求x2m+n的值．15．（10分）我们规定：a⊗b＝10a×10b，例如3⊗4＝103×104＝107，请解决以下问题：（1）试求7⊗8的值．（2）想一想（a+b）⊗c与a⊗（b+c）相等吗？请明理由．《同底数幂的乘法》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）计算（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3的结果是（）A．﹣64B．﹣32C．64D．32【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝（﹣2）6＝64．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．（5分）计算：（﹣a）2•a4的结果是（）A．a8B．﹣a6C．﹣a8D．a6【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣a）2•a4＝a6．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．（5分）若a•24＝28，则a等于（）A．2B．4C．16D．18【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：∵a•24＝28，∴a＝28÷24＝24＝16．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．（5分）若x，y为正整数，且2x•22y＝29，则x，y的值有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据同底数幂的运算即可求出答案．【解答】解：∵2x•22y＝29，∴2x+2y＝29，∴x+2y＝9，∵x，y为正整数，∴9﹣2y＞0，∴y＜，∴y＝1，2，3，4故x，y的值有4对，故选：D．【点评】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则，本题属于基础题型．5．（5分）为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1B．52013+1C．D．【分析】根据题目所给计算方法，令S＝1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．【解答】解：令S＝1+5+52+53+ (52012)则5S＝5+52+53+…+52012+52013，5S﹣S＝﹣1+52013，4S＝52013﹣1，则S＝．故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知4×2a×2a+1＝29，且2a+b＝8，求a b＝9．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案．【解答】解：∵4×2a×2a+1＝29，且2a+b＝8，∴22×2a×2a+1＝29，∴2+a+a+1＝9，解得：a＝3，故2×3+b＝8，解得：b＝2，∴a b＝32＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确应用同底数幂的乘法运算法则是解题关键．7．（5分）我们知道，同底数幂的乘法法则为：a m•a n＝a m+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空：（1）若h（1）＝，则h（2）＝；（2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝k n+2017（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）【分析】（1）将h（2）变形为h（1+1），再根据定义新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）计算即可求解；（2）根据h（1）＝k（k≠0），以及定义新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）将原式变形为k n•k2017，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．【解答】解：（1）∵h（1）＝，h（m+n）＝h（m）•h（n），∴h（2）＝h（1+1）＝×＝；（2）∵h（1）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），∴h（n）•h（2017）＝k n•k2017＝k n+2017．故答案为：；k n+2017．【点评】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．8．（5分）如果3a＝，3b＝，则＝．【分析】根据同底数幂的乘法和逆运算进行填空即可．【解答】解：∵3a＝，3b＝，∴3a•3b＝3a+b＝×＝，∴＝（32）a+b﹣＝32（a+b）÷3＝（3a+b）2÷3＝，故答案为．【点评】本题考查同底数幂的乘法，乘方的积等知识，解题的关键是灵活运用公式解决问题，属于中考常考题型．9．（5分）已知x•x m•x n＝x14（x≠1），且m比n大3，求m•n的值40．【分析】先根据同底数幂的乘法法则，求出m、n的一个关系式，再根据m比n大3，列出一个二元一次方程组，解方程组然后再代入m•n即可求解．【解答】解：∵x•x m•x n＝x1+m+n＝x14，∴1+m+n＝14，即m+n＝13．又∵m﹣n＝3，∴，解得，∴m•n＝8×5＝40．故应填40．【点评】根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解题的关键，也是本题的难点．10．（5分）已知a3•a m•a2m+1＝a25，求m的值7．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算，再根据指数相等列式求解即可．【解答】解：∵a3•a m•a2m+1，＝a3+m+2m+1＝a25，∴3+m+2m+1＝25，解得m＝7，故填7．【点评】运用同底数幂的乘法法则时需要注意：（1）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质：a m•a n•a p＝a m+n+p相乘时（m、n、p均为正整数）；（2）公式的特点：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂指数相加．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：2m•2n＝16，求代数式2mn+n2+m2﹣4的值．【分析】由2m•2n＝16即2m+n＝24，可得m+n＝4，代入原式＝（m+n）2﹣4计算可得．【解答】解：∵2m•2n＝16，∴2m+n＝24，则m+n＝4，所以原式＝（m+n）2﹣4＝42﹣4＝12．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则及完全平方公式．12．（10分）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b ＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．【分析】（1）根据a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b （即log a b＝n），进而得出答案；（2）利用（1）中所求进而得出答案；（3）利用（2）中所求规律进而得出答案；（4）利用发现的规律进而分析得出答案．【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；故答案为：2，4，6；（2）由（1）得：log2 4+log2 16＝log2 64；（3）由（2）得：log a M+log a N＝log a MN；故答案为：log a MN；（4）记log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，所以MN＝a m•a n＝a m+n，所以log a MN＝log a a m+n＝m+n，所以log a M+log a N＝log a MN．【点评】此题主要考查了新定义以及同底数幂的乘法运算，正确发现新定义的意义是解题关键．13．（10分）阅读理解：乘方的定义可知：a n＝a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：32×35＝（3×3）×（3×3×3×3×3）＝3×3×…×3＝37（7个3相乘）42×45＝（4×4）×（4×4×4×4×4）＝4×4×…×4＝47（7个4相乘）52×55＝（5×5）×（5×5×5×5×5）＝5×5×…×5＝57（7个5相乘）（1）20172×20175＝20177；（2）m2×m5＝m7；（3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017．【分析】（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（2）根据同底数幂的乘法可以解答本题；（3）根据同底数幂的乘法可以解答本题．【解答】解：（1）20172×20175＝20177，故答案为：20177；（2）m2×m5＝m7，故答案为：m7；（3）（﹣2）2016×（﹣2）2017＝（﹣2）2016+2017＝（﹣2）4033＝﹣24033．【点评】本题考查同底数幂的乘法，解答本题的关键是明确同底数幂乘法的计算方法．14．（10分）已知x m＝5，x n＝7，求x2m+n的值．【分析】根据同底数幂的乘法，即可解答．【解答】解：∵x m＝5，x n＝7，∴x2m+n＝x m•x m•x n＝5×5×7＝175．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法法则．15．（10分）我们规定：a⊗b＝10a×10b，例如3⊗4＝103×104＝107，请解决以下问题：（1）试求7⊗8的值．（2）想一想（a+b）⊗c与a⊗（b+c）相等吗？请明理由．【分析】（1）根据a⊗b＝10a×10b代入数据即可；（2）根据所给例子对应代入即可得到答案．【解答】解：（1）7⊗8＝107×108＝1015；（2）（a+b）⊗c＝10a+b×10c＝10a+b+c，a⊗（b+c）＝10a×10b+c＝10a+b+c，∴（a+b）⊗c与a⊗（b+c）相等．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．。
数值分析幂法和反幂法
数值分析幂法和反幂法数值分析中，幂法（Power method）和反幂法（Inverse Power method）是求解矩阵的特征值和特征向量的两种常用方法。
它们都是通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
1.幂法：幂法是求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。
幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵相乘，使其逼近对应最大特征值的特征向量。
幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{Ax^{(k)}}{\，Ax^{(k)}\，}$幂法的迭代过程是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最大特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最大特征值的估计。
2.反幂法：反幂法是幂法的一种变形，用于求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的原理是通过迭代过程，将一个任意选择的初始向量不断与矩阵的逆相乘，使其逼近对应最小特征值的特征向量。
反幂法的迭代公式为：$x^{(k+1)} = \frac{A^{-1}x^{(k)}}{\，A^{-1}x^{(k)}\，}$反幂法的迭代过程同样是不断对向量进行归一化，使其逐渐逼近最小特征值对应的特征向量。
当迭代次数足够多时，可以得到非常接近最小特征值的估计。
3.收敛性分析：幂法和反幂法的收敛性分析与矩阵的特征值分布有关。
对于幂法而言，如果矩阵$A$的最大特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值小于最大特征值的绝对值，那么幂法是收敛的，而且收敛速度是指数级的。
对于反幂法而言，如果矩阵$A$的最小特征值是唯一的，并且其他特征值的绝对值大于最小特征值的绝对值，那么反幂法是收敛的，而且同样是指数级的收敛速度。
4.实际应用：幂法和反幂法在实际中广泛应用于各个领域，例如物理、工程、计算机科学等。
比如在结构力学中，幂法可以用来求解结构的自振频率和相应的振型；在电力系统中，反幂法可以用来求解电力系统决定性特征值，例如功率稳定性的最小特征值。
数量关系49个常见问题公式
一.页码问题对多少页出现多少1或2的公式如果是X千里找几，公式是 1000+X00*3 如果是X百里找几，就是100+X0*2，X有多少个0 就*多少。
依次类推!请注意，要找的数一定要小于X ，如果大于X 就不要加1000或者100一类的了，比如，7000页中有多少3 就是 1000+700*3=3100(个)20000页中有多少6就是 2000*4=8000 (个)友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了二，握手问题N个人彼此握手，则总握手数S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2 =N×(N-1)/2例题：某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有( )人A、16B、17C、18D、19【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。
按照排列组合假设总数为X人则Cx取3=152 但是在计算X时却是相当的麻烦。
我们仔细来分析该题目。
以某个人为研究对象。
则这个人需要握x-3次手。
每个人都是这样。
则总共握了x×(x-3)次手。
但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。
则实际的握手次数是x×(x-3)÷2=152 计算的x=19人三，钟表重合公式钟表几分重合，公式为： x/5=(x+a)/60 a时钟前面的格数四，时钟成角度的问题设X时时，夹角为30X ， Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.(请大家掌握)钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。
1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义(求角度公式)变式与应用2.【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A (已知角度或时针或分针求其中一个角)五，往返平均速度公式及其应用(引用)某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b )。
整数乘法训练题及答案
整数乘法训练题及答案一．选择题（共11小题）1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌 D．美我宜昌2．若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（）A．m2B．m2 C．m2 D．m23．对（x2）3运算结果描述正确的是（）A．5个x相加B．5个x相乘C．6个x相加D．6个x相乘4．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣35．若x，y均为正整数，且2x+1•4y=128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 6．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）27．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）Aa2+4a﹣21=a（a+4）﹣21Ba2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 8．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．29．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形10．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．3611．已知x+y﹣3=0，则2y•2x的值是（）A．6 B．﹣6 C．D．8二．填空题（共12小题）12．若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为．13．已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=．14．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b=；a2+b2=．15．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为．16．已知x﹣=1，则x2+=．17．已知m2﹣6m﹣1=0，求2m2﹣6m+=．18．已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为．19．若4a2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k=．20．若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2=．21．已知=．22．若3x+2=36，则=．23．若（x2+mx+8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3和x2项，则mn的值是．三．解答题（共3小题）24．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？25．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．26．阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x=1．求：的值．解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0∴，即．∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7，求：（1）的值；（2）的值．试题解析一．选择题（共11小题）1．（2016•宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌 D．美我宜昌【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2016•濮阳校级自主招生）若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（）A．m2B．m2 C．m2 D．m2【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．【解答】解：∵x2+mx+k是一个完全平方式，∴k=m2，故选D【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2016•河南模拟）对（x2）3运算结果描述正确的是（）A．5个x相加B．5个x相乘C．6个x相加D．6个x相乘【分析】直接利用幂的乘方运算法则求出答案．【解答】解：∵（x2）3=x6，∴对（x2）3运算结果描述正确的是6个x相乘．故选：D．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．（2015•黄冈中学自主招生）如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，∴﹣（m+1）x=±2×1•x，解得：m=1或m=﹣3．故选D．【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．5．（2015春•苏州校级期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y=128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y=7，即x+2y=6因为x，y均为正整数，求出x，y，再求了出x+y．，【解答】解：∵2x+1•4y=2x+1+2y，27=128，∴x+1+2y=7，即x+2y=6∵x，y均为正整数，∴或∴x+y=5或4，故选：C．【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解．6．（2015•临沂）多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式．【解答】解：mx2﹣m=m（x﹣1）（x+1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．故选：A．【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．7．（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．【解答】解；A、a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；B、a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；C、（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；D、a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．8．（2015•佛山）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2【分析】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值．【解答】解：∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．9．（湖北自主招生）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】等式两边乘以2，利用配方法得到（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，根据非负数的性质得到2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，则a=b，且a2+b2=c2．然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法进行判断．【解答】解：∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0，∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，∴2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，∴c=a，c=b，∴a=b，且a2+b2=c2．∴△ABC为等腰直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键．10．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2=5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）=20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z=0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选C．【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．11．（2016春•保定校级期末）已知x+y﹣3=0，则2y•2x的值是（）A．6 B．﹣6 C．D．8【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．【解答】解：∵x+y﹣3=0，∴x+y=3，∴2y•2x=2x+y=23=8，故选：D．【点评】此题考查了同底数幂的乘法等知识，解题的关键是把2y•2x化为2x+y．二．填空题（共12小题）12．（2014•孝感）若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为1．【分析】运用平方差公式，化简代入求值，【解答】解：因为a﹣b=1，a2﹣b2﹣2b=（a+b）（a﹣b）﹣2b=a+b﹣2b=a﹣b=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了平方差公式，关键要注意运用公式来求值．13．（2015•合肥校级自主招生）已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=0．【分析】本题不应考虑直接求出2008﹣a与2007﹣a的值，而应根据已知等式的特点，用配方法进行求解．【解答】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，∴（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．【点评】本题考查了完全平方公式，根据式子特点，等式两边都减去2（2008﹣a）（2007﹣a），转化为完全平方式是解题的关键．14．（2012•厦门）已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b=5；a2+b2=6．【分析】由3a+ab+3b=3（a+b）+ab与a2+b2=（a+b）2﹣2ab，将a+b=2，ab=﹣1代入即可求得答案．【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣1，∴3a+ab+3b=3a+3b+ab=3（a+b）+ab=3×2+（﹣1）=5；a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣1）=6．故答案为：5，6．【点评】此题考查了完全平方公式的应用．此题难度不大，注意掌握公式变形是解此题的关键．15．（2014春•苏州期末）若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为y=4（x+1）2+1．【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可【解答】解：∵4m+1=22m×4=（2m）2×4，x=2m﹣1，∴2m=x+1，∵y=1+4m+1，∴y=4（x+1）2+1，故答案为：y=4（x+1）2+1．【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m的项代换掉．16．（2014•徐州一模）已知x﹣=1，则x2+=3．【分析】首先将x﹣=1的两边分别平方，可得（x﹣）2=1，然后利用完全平方公式展开，变形后即可求得x2+的值．或者首先把x2+凑成完全平方式x2+=（x﹣）2+2，然后将x﹣=1代入，即可求得x2+的值．【解答】解：方法一：∵x﹣=1，∴（x﹣）2=1，即x2+﹣2=1，∴x2+=3．方法二：∵x﹣=1，∴x2+=（x﹣）2+2，=12+2，=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查完全平方公式，利用了（x﹣）2的展开式中乘积项是个常数是解题的关键．17．（2015•绵阳校级自主招生）已知m2﹣6m﹣1=0，求2m2﹣6m+=39．【分析】依据等式的性质由m2﹣6m﹣1=0得到2m2﹣6m=1+m2，，故此所求代数式=1+m2+，然后利用完全平方公式科将所求代数式变形为1+2，最后代入数值进行计算即可．【解答】解：由m2﹣6m﹣1=0得；2m2﹣6m=1+m2，，∴2m2﹣6m+=1+m2+=1+2=1+62+3=39．故答案为：39．【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用、等式的性质，由m2﹣6m﹣1=0得到2m2﹣6m=1+m2是解题的关键．18．（2015•东营模拟）已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为0．【分析】将x=1代入已知等式中计算即可求出a+b+c的值．【解答】解：将x=1代入得：（1﹣1）2=a+b+c=0，则a+b+c=0．故答案为：0．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2016•富顺县校级模拟）若4a2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k=13或﹣11．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【解答】解：∵4a2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，∴k﹣1=±12，解得：k=13或﹣11，故答案为：13或﹣11【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．（2016•黄冈校级自主招生）若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2=3．【分析】先对原式进行变形得（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，经过观察后又可变为（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，又a2+b2≥0，即可得出本题的结果．【解答】解：有a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，变形后（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，又a2+b2≥0，即a2+b2=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了整体思想在因式分解中的应用，另应注意两个数的平方和为非负数．21．（2015•罗田县校级模拟）已知=6．【分析】把a﹣=2两边平方，然后整理即可得到a2+的值．【解答】解：∵（a﹣）2=a2﹣2+=4，∴a2+=4+2=6．【点评】本题主要考查了完全平方式的运用，利用好乘积二倍项不含字母是个常数，是解题的关键．22．若3x+2=36，则=2．【分析】根据同底数幂的乘法的性质等式左边可以转化为3x×32=36，即可求得3x的值，然后把3x的值代入所求代数式求解即可．【解答】解：原等式可转化为：3x×32=36，解得3x=4，把3x=4代入得，原式=2．故答案为：2．【点评】本题考查了同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键，注意运用整体思想解题可以简化运算．23．（2016春•姜堰区校级月考）若（x2+mx+8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3和x2项，则mn的值是3．【分析】利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：原式=x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m+8）x2+（mn﹣24）x+8n，（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）根据展开式中不含x2和x3项得：，解得：，∴mn=3，故答案为：3．【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三．解答题（共3小题）24．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．25．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．26．（2015春•金堂县期末）阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x=1．求：的值．解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0∴，即．∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7，求：（1）的值；（2）的值．【分析】（1）根据题意可得，再利用完全平方公式计算即可；（2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7=0，整理得：a2﹣2a﹣1=0∴，∴；（2）解：的倒数为，∵，∴．【点评】此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式进行变形解答．。
初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案解析
初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案解析一、一元二次方程1,已知关于x的方程x2- (2k+1) x+k2+i = 0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线L的长.【答案】(1)k> 3 ；(2) A.【解析】【分析】(1)根据关于x的方程x2—(2k+1)x+k2 + 1=0有两个不相等的实数根，得出 ^〉。
，再解不等式即可；(2)当k=2时，原方程x2-5x+5=0,设方程的两根是m、n,则矩形两邻边的长是m、n, 利用根与系数的关系得出m+n=5, mn=5,则矩形的对角线长为J m2n2,利用完全平方公式进行变形即可求得答案 . 【详解】(1) •••方程x2—(2k+1)x+ k2+1 = 0有两个不相等的实数根，A= [-(2k+1)]2-4X 1 x(史1)=4k-3>0, ,3. . k > 一,4(2)当k=2时，原方程为x2- 5x+ 5 = 0, 设方程的两个根为m, n,• - m + n= 5, mn= 5,矩形的对角线长为：Vm2~n2 jm n 2mn J15 .【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1) ^〉。
时，方程有两个不相等的实数根；( 2) 4=0时，方程有两个相等的实数根；(3) 4〈0时，方程没有实数根.2.父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过大众点评”或美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程5中，大众点评网上的购买价格比原有价格上涨一m%,购买数量和原计划一样：美团”网29上的购头价格比原有价格下降了一m元，购买数量在原计划基础上增加15m%,最终，在20【答案】(1) 120; (2) 20. 【解析】试题分析：(1)本题介绍两种解法：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x?80W7680解出即可；解法二：根据单价=总价一数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花 店的最高标价；(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在 大众点评120a (1-25%) (1+3m%),在 美团”网上的购买实际消费总额：a[120 (1 - 25%) - -9-m] (1+15m%)；根据 在两个网站的实际消费总额比原计划20的预算总额增加了 一 m%'列方程解出即可.2试题解析：(1)解：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x?80W7680 x<120解法二：7680+ 80+0.8=96 + 0.8=12兆), 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；(2)解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120X0由(1 — 25%) (1 + 5m%) +a[120 X 0.81 — 25%) - -m] (1+15m%) =120 x 0282 20(1 — 25%) X2 (1+ — m%)),即 72a (1+ — m%) +a (72 — — m) ( 1+15m%) =144a 2 220(1+ 15m%),整理得：0, 0675m 2-1.35m=0, m 2- 20m=0,解得：m 1=0 (舍)2m 2=20.答：m 的值是20.点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出 大众点评”或 美团”实际消费总额是解题关键.3.按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、 五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出 而的值.两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了一 m%,求出m 的值.2网上的购买实际消费总额:【答案】4. .. 1.7 X 35=59.5 1.7 X 80=136 151，这家酒店四月份用水量不超过m吨(或水费是按y=1.7x来计算的)，五月份用水量超过m吨(或水费是按F =1一■工-丽来计算的)w则有151=1.7X80+(80—m) X--100即m2-80m+1500=0解得m〔二30, m2=50.又..•四月份用水量为35吨，m1=30<35,「51=30舍去.m=50【解析】5.观察下列一组方程：①x2 x 0;②x2 3x 2 0;③x2 5x 6 0;④x2 7x 12 0；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为连根一元二次方程1若x2kx 56 0也是连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；2请写出第n个方程和它的根.【答案】(1) x1 = 7, x2= 8. (2) x1=n—1, x2= n.【解析】【分析】(1)根据十字相乘的方法和连根一元二次方程”的定义，找到56是7与8的乘积，确定k值即可解题，(2)找到规律，十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k=— 15,则原方程为x2—15x+56=0,则(x—7)(x—8)=0,解得x1=7, x2=8.(2)第n 个方程为x2-(2n- 1)x+ n(n -1)=0, (x- n)(x— n + 1)=0,解得x1 = n_1, x2= n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程，与十字相乘联系密切，连根一元二次方程是特殊的十字相乘，中等难度，会用十字相乘解题是解题关键.2 _ k6.关于x的万程kx k 2 x — 0有两个不相等的实数根.41求实数k的取值范围；2是否存在实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) k 1且k 0； (2)不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根.【解析】【分析】1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式V 0,由此可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围.2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k的等式，解出k值，然后判断k值是否在1中的取值范围内.【详解】解：1依题意得V (k 2)2 4k k 0,k 1 ,又Q k 0,k的取值范围是k 1且k 0；2解：不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，2 k理由是：设万程kx k 2 x - 0的两根分别为x1，X2,4k 2x1 x2由根与系数的关系有：k ,1x1 x24又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，由1知，k 1,且k 0,4 “人什一k —不符合题意，3因此不存在符合条件的实数k ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根.【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
矩阵求最优解的算法
矩阵求最优解的算法
矩阵求最优解的算法可以用来解决矩阵乘法的最优顺序问题。
具体步骤如下：
1. 输入n个矩阵A1，A2，...,An，其中每个矩阵的维度是已知的。
2. 创建一个二维数组m，用于存储从第i个矩阵到第j个矩阵的矩阵连乘的计算次数。
3. 创建一个二维数组p，用于存储每个矩阵的维度。
4. 创建一个递归函数，该函数接受三个参数：i（第一个矩阵的序列数），j （最后一个所乘的矩阵序列数），k（最后一次相乘时序列数i到j中间的任意一个断点数）。
5. 在递归函数中，首先计算从第i个矩阵到第k个矩阵的矩阵连乘的计算次数，即m[i][k] = m[i][k-1] + p[i-1]p[k-1]p[k]。
6. 然后计算从第k+1个矩阵到第j个矩阵的矩阵连乘的计算次数，即
m[k+1][j] = m[k+1][j-1] + p[k]p[j-1]p[j]。
7. 最后计算从第i个矩阵到第j个矩阵的矩阵连乘的计算次数，即m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]p[k]p[j]。
8. 重复步骤4-7，直到i=1且j=n。
9. 输出m[1][n]，即从第1个矩阵到第n个矩阵的最优连乘顺序的计算次数。
通过这个算法，我们可以找到相乘次数最少的矩阵相乘次数（最优值）和矩阵相乘次序（最优解）。
在实际应用中，可以使用动态规划等优化技术来提高算法的效率。
k积的范数
k积的范数
k积是指由k个数相乘而得到的数值。
在数学中，我们可以定义k积的范数来表示k个数之间的“距离”，这种范数是通过将k个数的绝对值相乘而得到的。
当k=2时，该范数称为欧几里得范数，它表示两个数之间的距离。
例如，对于三个实数a、b、c，我们可以定义它们的k积的范数为：
||a,b,c||k = |a| × |b| × |c|
其中，||a,b,c||k表示a、b、c的k积的范数，|a|表示a的绝对值。
这个范数可以用来衡量三个实数之间的“距离”，并且具有以下性质：
1. 非负性：对于任意的a、b、c，||a,b,c||k ≥ 0；
2. 同一性：当a、b、c中至少有一个为0时，||a,b,c||k = 0；
3. 三角不等式：对于任意的a、b、c和x、y、z，||a,b,c||k + ||x,y,z||k ≥ ||a+x,b+y,c+z||k。
k积的范数在一些数学问题中有重要的应用，如在统计学中，可以用k积的范数来衡量多个变量之间的相关性；在数据挖掘中，也可以用k积的范数来度量数据向量之间的相似性。
- 1 -。
十个利用矩阵乘法解决的经典题目
十个利用矩阵乘法解决的经典题目好像目前还没有这方面题目的总结。
这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。
这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。
不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。
在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。
一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m 个数对应相乘后所有m个乘积的和。
比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。
其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。
为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。
为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。
假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。
经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。
操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。
其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。
如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。
利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。
假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。
预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。
经典题目2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。
十个利用矩阵乘法解决的经典题目
我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项：
利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。
经典题目8给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数mod p的值
把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。
经典题目5《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）
大家自己去看看吧，书上讲得很详细。解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。
经典题目6给定n和p，求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过2^31
根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：
经典题目3 POJ3233 (感谢rmq)
题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + t;=10^9。
拆数求乘积最大原则
拆数求乘积最大原则
拆数求乘积最大原则是指将一个数拆分成若干个较小的因数，使得它们的乘积最大化。
拆数求乘积最大原则的基本思想是将一个数拆分成由若干个相对较小的因数相乘的形式，利用乘积的性质来求出最大的乘积。
例如，对于一个正整数n，我们可以将其拆分成若干个大于1的因数相乘，如n=a*b*c*d*...，其中a、b、c、d等都是大于1的因数。
根据乘积的性质，我们知道当每个因数的值都相等时，乘积最大。
因此，可以将n拆分成若干个相等的因数，即n=(n/k)^k，其中k是大于1的整数。
这样，乘积最大化就转化为求n/k的k次方的最大值。
拆数求乘积最大原则的应用可以在很多问题中看到，例如整数拆分、奇偶分割等。
在解决这些问题时，我们可以利用拆数求乘积最大原则来找出符合要求的拆分方案，从而求得最大的乘积。
函数垂直k相乘等于
函数垂直k相乘等于是一种数学概念，它指的是，在二维空间中，对两个函数f(x)和g(x)进行垂直k乘，得到的结果为f(x)k·g(x)，其中k是一个常量。
函数垂直k相乘是一种在线性代数中相当常见的运算，它可以用来求出两个函数的点乘积，点乘积的定义是，在二维空间中，两个函数f(x)和g(x)的点乘积等于f(x)k·g(x)，其中k是一个常量。
函数垂直k相乘的作用是，能够把两个函数组合起来，从而可以求出两个函数的点乘积，这一点乘积的值对于求解函数的极限值、求解函数的极值问题都非常有用。
函数垂直k相乘的计算可以用向量的点乘法来实现，如果两个函数f(x)和g(x)都可以用向量表示，那么它们的点乘积可以用f(x)和g(x)的向量点乘来求出，即f(x)·g(x)=k。
函数垂直k相乘是一种非常有用而又常用的数学概念，它在线性代数领域有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解和求解函数的特性。
第2课 桐桐的数学难题(fen)
第2课 桐桐的数学难题(fen)【问题描述】今天学课上，桐桐学习了质数的知识：一个正整数如果只能被1和它本身整除，那么这个整数便是质数。
桐桐就想：任意一个正整数是否都能分解成若干个质数相乘的形式呢？输入一个正整数n(2≤n≤109)，把它分解成质因子相乘的形式，如果为质数则输出该数本身。
如：36=2×2×3×3；19=19。
你能帮助桐桐解决这个难题吗？【输入样例】 99【输出样例】99=3*3*11分析问题根据质数的概念可知，一个正整数不是质数便是非质数：如果是质数，则分解出来即为它本身；如果是非质数，则肯定可以分解为若干比它小的质数相乘的形式，即非质数是由比它小的质数相乘得到的。
学习新知我们看一个例子，n=360，我们取2作为第一个质因子来考虑： 表3.2-1继续取3作为质因子考虑：n(360)1809045质因子222表3. 2-2n(45)155质因子33继续取4作为质因子考虑，显然4不是质数，那么我们需不需要先判断呢？其实此时的n已经无法整除4，可以用整除性来把4筛掉，为什么？因为4本身是非质数，可以由两个质数2相乘得到，而质数2已经在前面考虑的时候去掉。
这告诉我们：当前考虑的这个数是不是质因子，可以通过“能否整除”来判定！继续取5作为质因子考虑：表3.2-3n(5) 1质因子 5这时n=1，分解到此结束，不用再取后面的数来考虑，显然程序的结束条件即是n=1。
解决问题参考程序如下：我们来看看算法的效率：当n是质数时，②处语句要执行n次，时间复杂度为O(n)，题目中n最大为109，这样便超时了；当n是非质数时，②处语句执行次数肯定没有达到n，那么是多少呢？我们借此分析引出更高效的算法。
学习新知我们先举一些例子：n=20时，n=2×2×5，5大于20的平方根；n=25时，n=5×5，5正好是25的平方根；当n=36时，n=2×2×3×3，没有质因子大于36的平方根。
整数乘法训练题及答案
整数乘法训练题及答案一．选择题（共11小题）1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌 D．美我宜昌2．若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（）A．m2B．m2 C．m2 D．m23．对（x2）3运算结果描述正确的是（）A．5个x相加B．5个x相乘C．6个x相加D．6个x相乘4．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣35．若x，y均为正整数，且2x+1•4y=128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 6．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）27．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）Aa2+4a﹣21=a（a+4）﹣21Ba2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 8．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．29．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形10．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．3611．已知x+y﹣3=0，则2y•2x的值是（）A．6 B．﹣6 C．D．8二．填空题（共12小题）12．若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为．13．已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=．14．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b=；a2+b2=．15．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为．16．已知x﹣=1，则x2+=．17．已知m2﹣6m﹣1=0，求2m2﹣6m+=．18．已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为．19．若4a2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k=．20．若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2=．21．已知=．22．若3x+2=36，则=．23．若（x2+mx+8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3和x2项，则mn的值是．三．解答题（共3小题）24．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？25．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．26．阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x=1．求：的值．解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0∴，即．∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7，求：（1）的值；（2）的值．试题解析一．选择题（共11小题）1．（2016•宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌 D．美我宜昌【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2016•濮阳校级自主招生）若x2+mx+k是一个完全平方式，则k等于（）A．m2B．m2 C．m2 D．m2【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．【解答】解：∵x2+mx+k是一个完全平方式，∴k=m2，故选D【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2016•河南模拟）对（x2）3运算结果描述正确的是（）A．5个x相加B．5个x相乘C．6个x相加D．6个x相乘【分析】直接利用幂的乘方运算法则求出答案．【解答】解：∵（x2）3=x6，∴对（x2）3运算结果描述正确的是6个x相乘．故选：D．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．（2015•黄冈中学自主招生）如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，∴﹣（m+1）x=±2×1•x，解得：m=1或m=﹣3．故选D．【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．5．（2015春•苏州校级期末）若x，y均为正整数，且2x+1•4y=128，则x+y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y=7，即x+2y=6因为x，y均为正整数，求出x，y，再求了出x+y．，【解答】解：∵2x+1•4y=2x+1+2y，27=128，∴x+1+2y=7，即x+2y=6∵x，y均为正整数，∴或∴x+y=5或4，故选：C．【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解．6．（2015•临沂）多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式．【解答】解：mx2﹣m=m（x﹣1）（x+1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．故选：A．【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．7．（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．【解答】解；A、a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21，不是因式分解，故A选项错误；B、a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7），是因式分解，故B选项正确；C、（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21，不是因式分解，故C选项错误；D、a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25，不是因式分解，故D选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．8．（2015•佛山）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2【分析】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值．【解答】解：∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．9．（湖北自主招生）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】等式两边乘以2，利用配方法得到（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，根据非负数的性质得到2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，则a=b，且a2+b2=c2．然后根据等腰三角形和直角三角形的判定方法进行判断．【解答】解：∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0，∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，∴2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，∴c=a，c=b，∴a=b，且a2+b2=c2．∴△ABC为等腰直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式是解决问题的关键．10．（2015•黄冈中学自主招生）已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【分析】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，可以将（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2，用x2+y2+z2和（xy+yz+xz）表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2=5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）=20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z=0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．故选C．【点评】此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．11．（2016春•保定校级期末）已知x+y﹣3=0，则2y•2x的值是（）A．6 B．﹣6 C．D．8【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．【解答】解：∵x+y﹣3=0，∴x+y=3，∴2y•2x=2x+y=23=8，故选：D．【点评】此题考查了同底数幂的乘法等知识，解题的关键是把2y•2x化为2x+y．二．填空题（共12小题）12．（2014•孝感）若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为1．【分析】运用平方差公式，化简代入求值，【解答】解：因为a﹣b=1，a2﹣b2﹣2b=（a+b）（a﹣b）﹣2b=a+b﹣2b=a﹣b=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了平方差公式，关键要注意运用公式来求值．13．（2015•合肥校级自主招生）已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=0．【分析】本题不应考虑直接求出2008﹣a与2007﹣a的值，而应根据已知等式的特点，用配方法进行求解．【解答】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，∴（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．【点评】本题考查了完全平方公式，根据式子特点，等式两边都减去2（2008﹣a）（2007﹣a），转化为完全平方式是解题的关键．14．（2012•厦门）已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b=5；a2+b2=6．【分析】由3a+ab+3b=3（a+b）+ab与a2+b2=（a+b）2﹣2ab，将a+b=2，ab=﹣1代入即可求得答案．【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣1，∴3a+ab+3b=3a+3b+ab=3（a+b）+ab=3×2+（﹣1）=5；a2+b2=（a+b）2﹣2ab=22﹣2×（﹣1）=6．故答案为：5，6．【点评】此题考查了完全平方公式的应用．此题难度不大，注意掌握公式变形是解此题的关键．15．（2014春•苏州期末）若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为y=4（x+1）2+1．【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可【解答】解：∵4m+1=22m×4=（2m）2×4，x=2m﹣1，∴2m=x+1，∵y=1+4m+1，∴y=4（x+1）2+1，故答案为：y=4（x+1）2+1．【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m的项代换掉．16．（2014•徐州一模）已知x﹣=1，则x2+=3．【分析】首先将x﹣=1的两边分别平方，可得（x﹣）2=1，然后利用完全平方公式展开，变形后即可求得x2+的值．或者首先把x2+凑成完全平方式x2+=（x﹣）2+2，然后将x﹣=1代入，即可求得x2+的值．【解答】解：方法一：∵x﹣=1，∴（x﹣）2=1，即x2+﹣2=1，∴x2+=3．方法二：∵x﹣=1，∴x2+=（x﹣）2+2，=12+2，=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查完全平方公式，利用了（x﹣）2的展开式中乘积项是个常数是解题的关键．17．（2015•绵阳校级自主招生）已知m2﹣6m﹣1=0，求2m2﹣6m+=39．【分析】依据等式的性质由m2﹣6m﹣1=0得到2m2﹣6m=1+m2，，故此所求代数式=1+m2+，然后利用完全平方公式科将所求代数式变形为1+2，最后代入数值进行计算即可．【解答】解：由m2﹣6m﹣1=0得；2m2﹣6m=1+m2，，∴2m2﹣6m+=1+m2+=1+2=1+62+3=39．故答案为：39．【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用、等式的性质，由m2﹣6m﹣1=0得到2m2﹣6m=1+m2是解题的关键．18．（2015•东营模拟）已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为0．【分析】将x=1代入已知等式中计算即可求出a+b+c的值．【解答】解：将x=1代入得：（1﹣1）2=a+b+c=0，则a+b+c=0．故答案为：0．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2016•富顺县校级模拟）若4a2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k=13或﹣11．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【解答】解：∵4a2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，∴k﹣1=±12，解得：k=13或﹣11，故答案为：13或﹣11【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．（2016•黄冈校级自主招生）若a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，则a2+b2=3．【分析】先对原式进行变形得（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，经过观察后又可变为（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，又a2+b2≥0，即可得出本题的结果．【解答】解：有a4+b4=a2﹣2a2b2+b2+6，变形后（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）=0，又a2+b2≥0，即a2+b2=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了整体思想在因式分解中的应用，另应注意两个数的平方和为非负数．21．（2015•罗田县校级模拟）已知=6．【分析】把a﹣=2两边平方，然后整理即可得到a2+的值．【解答】解：∵（a﹣）2=a2﹣2+=4，∴a2+=4+2=6．【点评】本题主要考查了完全平方式的运用，利用好乘积二倍项不含字母是个常数，是解题的关键．22．若3x+2=36，则=2．【分析】根据同底数幂的乘法的性质等式左边可以转化为3x×32=36，即可求得3x的值，然后把3x的值代入所求代数式求解即可．【解答】解：原等式可转化为：3x×32=36，解得3x=4，把3x=4代入得，原式=2．故答案为：2．【点评】本题考查了同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键，注意运用整体思想解题可以简化运算．23．（2016春•姜堰区校级月考）若（x2+mx+8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x3和x2项，则mn的值是3．【分析】利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：原式=x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m+8）x2+（mn﹣24）x+8n，（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）根据展开式中不含x2和x3项得：，解得：，∴mn=3，故答案为：3．【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三．解答题（共3小题）24．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．25．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．26．（2015春•金堂县期末）阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x2﹣3x=1．求：的值．解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0∴，即．∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7，求：（1）的值；（2）的值．【分析】（1）根据题意可得，再利用完全平方公式计算即可；（2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7=0，整理得：a2﹣2a﹣1=0∴，∴；（2）解：的倒数为，∵，∴．【点评】此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式进行变形解答．。
2022年最新中考数学知识点梳理 考点02 整式与因式分解(教师版)
2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点02 整式与因式分解考点总结一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等. 二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.注：○1单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如2143a b -，这种表示就是错误的，应写成2133a b -；○2一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如325a b c -是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项. 3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项. 5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -.7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式与多项式相乘：m （a +b +c ）=ma +mb +mc . （3）多项式与多项式相乘：（m +n ）（a +b ）=ma +mb +na +nb . 8．乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-. （2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+.9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++.（2）公式法：运用平方差公式：²²()()a b a b a b -=+-. 运用完全平方公式：22²2()a ab b a b ±+=±. 3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•河北模拟）若（9m）2＝312，则m的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】化为同底数的幂的形式，列方程即可得到答案．【解答】解：∵（9m）2＝312，∴34m＝312，∴4m＝12，∴m＝3，故选：A．2．（2021•开平区一模）如果（）•m＝m6，那么（）＝（）A．m7B．m6C．m5D．5m【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．【解答】解：根据同底数幂的乘法，得m5•m＝m6．故选：C．3．（2021•桥东区二模）关于﹣a﹣b进行的变形或运算：①﹣a﹣b＝﹣（a+b）；②（﹣a﹣b）2＝（a+b）2；③|﹣a﹣b|＝a﹣b；④（﹣a﹣b）3＝﹣（a﹣b）3．其中不正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】利用完全平方公式，绝对值的定义，去括号和添括号法则逐一判断即可．【解答】解：①﹣a﹣b＝﹣（a+b），正确；②（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，正确；③|﹣a﹣b|＝a+b，故原说法错误；④（﹣a﹣b）3＝﹣（a+b）3，故原说法错误．其中不正确的有③④，故选：B．4．（2021•河北模拟）若k为正整数，则（k3）2表示的是（）A．2个k3相加B．3个k2相加C．2个k3相乘D．5个k相乘【分析】根据幂的定义判断即可． 【解答】解：（k 3）2表示的是2个k 3相乘． 故选：C ．5．（2021•安次区一模）计算a 6×（﹣a 2）的结果是（ ） A ．a 4B ．﹣a 8C ．a 8D ．﹣a 4【分析】利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案． 【解答】解：a 6×（﹣a 2）＝﹣a 8， 故选：B ．6．（2021•开平区一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10......这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16.......这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n （n 为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（ ）A ．n +n +2＝n 2B ．n （n +3）＝n 2C ．（n +1）（n ﹣1）＝n 2﹣1 D ．n(n+1)2+(n+1)(n+1+1)2=(n +1)2【分析】根据特殊到一般的数学思想解决此题． 【解答】解：第1个图形，（1+1）2＝4＝1+（1+2）； 第2个图形，（2+1）2＝9＝1+2+（1+2+3）； 第3个图形，（3+1）2＝16＝1+2+3+（1+2+3+4）； 第4个图形，（4+1）2＝25＝1+2+3+4+（1+2+3+4+5）； …第n ﹣1个图形，（n ﹣1+1）2＝n 2＝1+2+3+…+n ﹣1+（1+2+3+…+n ）； 第n 个图形，（n +1）2＝1+2+3+…+n +（1+2+3+…+n +n +1）． ∴(n +1)2=n(n+1)2+(n+1)(n+2)2． 故选：D ．7．（2021•桥东区二模）若33+33+33+⋯+33︸k 个33=3m （k ＞1，k ，m 都是正整数），则m 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．9【分析】提取公因式33，原式化为：33⋅(1+1+1+⋯+1)︷k=3m，根据k ＞1，k ，m 都是正整数，求出k 的最小值，进而求出m 的最小值．【解答】解：原式化为：33⋅(1+1+1+⋯+1)︷k=3m， ∴k ＝3m÷33＝3m ﹣3，∵k ＞1，k ，m 都是正整数， ∴k 的最小值为3， ∴m ﹣3＝1， ∴m 的最小值为4， 故选：B ．8．（2021•唐山一模）若1052﹣210×5+52＝k +992﹣1，则k 的值是（ ） A ．100B ．105C ．200D ．205【分析】由1052﹣210×5+52＝（105﹣5）2＝1002＝k +992﹣1＝k +100×98，可得k 的值． 【解答】解：∵1052﹣210×5+52＝（105﹣5）2＝1002，k +992﹣1＝k +（99+1）×（99﹣1）＝k +100×98，∴k +100×98＝1002， ∴k ＝200． 故选：C ．9．（2021•鸡泽县模拟）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数宁家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项和（a +b ）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． （a +b ）0…① （a +b ）1…①①（a+b）2…①②①（a+b）3…①③③①（a+b）4…①④⑥④①（a+b）5…①⑤⑩⑩⑤①…根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2017 B．2016 C．191 D．190 【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数．【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，故选：D．10．（2021•平泉市一模）下列运算正确的是（）A．x3+x3＝2x6B．（2x）3＝6x3C．2x2•3x＝6x3D．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2【分析】根据整式的加减运算以及乘法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝2x3，故A不符合题意．B、原式＝8x3，故B不符合题意．C、原式＝6x3，故C符合题意．D、原式＝4x2﹣4xy+y2，故D不符合题意．故选：C．二．填空题（共5小题）11．（2021•河北模拟）已知a2+ab＝0，b2﹣3ab＝4．（1）3ab﹣b2＝﹣4 ；（2）a﹣b＝±2 ．【分析】（1）加上一个负括号，然后整体代入；（2）已知两式相加，构成完全平方式，利用直接开平方法求解．【解答】解：（1）3ab ﹣b 2＝﹣（b 2﹣3ab ） ＝﹣4； 故答案为：﹣4；（2）∵a 2+ab ＝0，b 2﹣3ab ＝4， ∴a 2+ab +b 2﹣3ab ＝4． 即a 2﹣2ab +b 2＝4． ∴（a ﹣b ）2＝4． ∴a ﹣b ＝±2． 故答案为：±2．12．（2021•顺平县二模）如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记ω（a ），例如：a ＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：ω（23）＝ 5 ．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2（k +1），且ω（b ）＝8，则“跟斗数”b ＝ 26 ．（3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n ＝100，则ω（m ）+ω（n ）＝ 19 ． 【分析】（1）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出f （23）的值；（2）根据题意，可以得到关于k 的方程，从而可以求得k 的值，然后即可得到b 的值； （3）根据题意，可以表示出m 、n ，然后即可计算出f （m ）+f （n ）的值． 【解答】解：（1）ω(23)=23+3211=5． 故答案为：5；（2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2（k +1），且ω（b ）＝8， ∴[10k+2(k+1)]+[10×2(k+1)+k]11=8，解得k ＝2， ∴2（k +1）＝6，∴b＝26．故答案为：26；（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），∴ω（m）+ω（n）=(10x+y)+(10y+x)11+[10(9−x)+(10−y)]+[10(10−y)+(9−x)]11=10x+y+10y+x11+90−10x+10−y+100−10y+9−x11=11x+11y11+209−11x−11y11＝x+y+19﹣x﹣y＝19．故答案为：19．13．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 4 块．【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；（2）利用完全平方公式可求解．【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，故答案为：a2+b2；（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，∴x为4，故答案为：4．14．（2021•丰润区一模）计算：（﹣a）6÷a3＝a3．【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减．据此计算即可．【解答】解：（﹣a）6÷a3＝a6÷a3＝a3．故答案为：a3．15．（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2＝4x2﹣2（m﹣1）xy+16y2，则m的值为﹣7 ．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵（2x+4y）2＝4x2+16xy+16y2＝4x2﹣2（m﹣1）xy+16y2，∴﹣2（m﹣1）＝16，∴m＝﹣7．故答案为：﹣7．三．解答题（共3小题）16．（2021•河北模拟）在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当a=12，b＝﹣3时，求多项式2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）的值．”解完这道题后，小明指出：“a=12，b＝﹣3是多余的条件．”师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的．（1）请你说明正确的理由；（2）受此启发，王老师又出示了一道题目：“已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，求m+n的值．”请你解决这个问题．【分析】（1）去括号合并同类项可得代数式的值与a、b无关，即可得结论；（2）先求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：（1）2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）＝2a2+4ab+2b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2+2＝2，∴该多项式的值为常数．与a和b的取值无关，小明的说法是正确的；（2）2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）＝2x2﹣my+12﹣nx2﹣3y+6＝（2﹣n）x2+（﹣m﹣3）y+18，∵已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，∴2﹣n＝0，﹣m﹣3＝0，解得n＝2，m＝﹣3，∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．17．（2021•南皮县一模）已知：整式A＝2x+1，B＝2x﹣1．（1）化简A﹣2B；（2）若无论x为何值，A•B+k（k为常数）的值都是正数，求k的取值范围．【分析】（1）把相应的整式代入，再利用单项式乘多项式的法则，以及合并同类项的法则进行运算即可；（2）利用多项式乘多项式的法则进行运算，并结合条件进行分析即可．【解答】解：（1）A﹣2B＝（2x+1）﹣2（2x﹣1）＝2x+1﹣4x+2＝﹣2x+3；（2）A•B+k＝（2x+1）（2x﹣1）+k＝4x2﹣1+k，∵无论x为何值时，4x2≥0，若A•B+k的值是正数，则﹣1+k＞0，解得：k＞1．18．（2021•开平区一模）（1）化简求值：（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2），其中m＝﹣2．（2）老师出了一道整式计算题化简求值题：（5x2﹣9）+（2+ax2），其中的字母a为常数；小明计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，请你通过计算找到a的值．【分析】（1）先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值；（2）先化简，再根据计算后说这个题的最后结果与x的取值无关这个条件，列等式求出a．【解答】解：（1）（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2）＝﹣m2+3+2m﹣5m+4﹣3m2＝﹣4m2﹣3m+7；把m＝﹣2代入原式得，﹣4×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+7＝﹣3．（2）（5x2﹣9）+（2+ax2）＝5x2﹣9+2+ax2＝﹣7+（5+a）x2，∵计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，∴5+a＝0，∴a＝﹣5．。
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最大K乘积问题(DP专题) 收藏
/**//*
最大K乘积问题:
设I是一个n位十进制整数。
如果将I划分为k段，则可得到k个整数。
这k个整数的乘积称为I的一个k乘积。
试设计一个算法，对于给定的I和k，求出I的最大k乘积。
编程任务：
对于给定的I 和k，编程计算I 的最大k 乘积。
Input
输入的第1 行中有2个正整数n和k。
正整数n是序列的长度；正整数k是分割的段数。
接下来的一行中是一个n位十进制整数。
（n<=10）
Output
计算出的最大k乘积。
Sample Input
2 1
15Sample Output
15Source
FJOI 2005
*/
/**//*
解题思路：DP
设w(h,k) 表示:从第1位到第K位所组成的十进制数,设m(i,j)表示前i位(1-i)分成j段所得的最大乘积,则可得到如下经典的DP方程：
if(j==1) m(i,j) = w(1,i) ;
if(j >=1 && j<=i) m(i,j) = max{m(d,j-1)*m(d+1,i)} 其中：1<=d< i (即从1开始一直到i-1 中找最大值
else if(i < j) m(i,j) = 0 ;
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10
long m[MAXK][MAXN]=...{...{0,0}} ; /**//*初始化操作*/
long w[MAXN][MAXN]=...{...{0,0}} ;
void maxdp(int n,int k,int *a)
...{
int i,j,d,h,q,t,s;
long temp,max;
for(i=1; i<= n ; i++) /**//*分成1段*/
m[i][1] = w[1][i];
for(i=1 ; i<= n ; i++) /**//* DP过程*/
for(j=2; j<= k ; j++)
...{
max = 0;
for(d=1; d < i ; d++)
if ( (temp = m[d][j-1]*w[d+1][i]) > max)
max = temp ;
m[i][j] = max ;
}
}
int main(void)
...{
int n,k,i,j;
int a[MAXN]=...{0},la=0;
char c ;
scanf("%d %d ",&n,&k);
while ( ( c=getchar() )!=' ') /**//*读入数据*/
...{
a[++la] = c-'0' ;
}
for(i=1 ; i<= n; i++)
...{
w[i][i]= a[i] ;
for(j=i+1 ; j<= n; j++)
w[i][j] = w[i][j-1]*10 + a[j] ;
}
/**//*
for(i=1 ; i<= n; i++)
{
for(j=1 ; j<= n; j++)
printf("%d ",w[i][j]);
printf(" ");
}
*/
maxdp(n,k,a) ;
printf("%ld ",m[n][k]) ;
/**//*system("pause");*/
return 0;
}
/**//*NO.2*/
/**//*
设I是一个n位十进制整数。
如果将I划分为k段，则可得到k个整数。
这k个整数的乘积称为I的一个k乘积。
试设计一个算法，对于给定的I和k，求出I的最大k乘积。
编程任务：
对于给定的I 和k，编程计算I 的最大k 乘积。
Input
输入的第1 行中有2个正整数n和k。
正整数n是序列的长度；正整数k是分割的段数。
接下来的一行中是一个n位十进制整数。
（n<=10）
Output
计算出的最大k乘积。
Sample Input
2 1
15Sample Output
15Source
FJOI 2005
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10
long m[MAXK][MAXN]=...{...{0,0}} ; /**//*初始化操作*/ long w[MAXN][MAXN]=...{...{0,0}} ;
void maxdp(int n,int k,int *a)
...{
int i,j,d,h,q,t,s;
long temp,max;
for(i=1; i<= n ; i++) /**//*初始,分成1段*/
m[i][1] = w[1][i];
for(i=1 ; i<= n ; i++) /**//* DP过程*/
for(j=2; j<= k ; j++)
if( i >= j) /**//*剪枝*/
...{
max = 0;
for(d=1; d < i ; d++)
if ( (temp = m[d][j-1]*w[d+1][i]) > max)
max = temp ;
m[i][j] = max ;
}
}
int main(void)
...{
int n,k,i,j;
int a[MAXN]=...{0},la=0;
char c ;
scanf("%d %d ",&n,&k);
while ( ( c=getchar() )!=' ') /**//*读入数据*/
...{
a[++la] = c-'0' ;
}
for(i=1 ; i<= n; i++)
...{
w[i][i]= a[i] ;
for(j=i+1 ; j<= n; j++)
w[i][j] = w[i][j-1]*10 + a[j] ;
}
/**//*
for(i=1 ; i<= n; i++)
{
for(j=1 ; j<= n; j++)
printf("%d ",w[i][j]);
printf(" ");
}
*/
maxdp(n,k,a) ;
printf("%ld ",m[n][k]) ;
/**//*system("pause");*/
return 0;
}。