用数学归纳法证明数列不等式得到的启示
数学归纳法证明数列不等式
k 1
2(k 1) 1
对一切正整数 n , an 2n 1 都成立。 综上，
a 已知数列{an }中，1 2, an 1 ( 2 1)(an 2) n 1. 例2、 （1）求 {an } 的通项公式 3bn 4 （Fra Baidu bibliotek）若数列{bn } 中 b1 2, bn1 2b 3 , n 1, 2,3,
2 bk a4 k 3 0 bk 2 a4 k 3 2
则 n k 1 时，bk 1 又
1 1 2bk 3 2 2 3
2
3bk 4 (3 2 2)bk 4 3 2 2 2bk 3 2bk 3
(3 2 2)(bk 2) 0 2bk 3 3 2 2
1 （Ⅱ）设0＜c＜ ，当n＝1时，a1＝0，结论成立. 3
当n≥2时，由 an＝can13＋1-c,
∴1－an＝c(1－an1)(1+an1+an12)
1 ∵0＜c＜ ，且由(Ⅰ)知an1∈[0,1]所以 32
1+an1+an1 ≤3,1-an1≥0,因此1-an≤3c(1-an-1) ∴1－an≤3c(1－an1)≤(3c)2(1-an2)≤… ≤(3c)n1(1-a1)=(3c)n1, ∴an≥1-(3c)n1，n∈N*.
4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.1数学归纳法
一、教材分析：本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容，数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:
1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.
2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.
3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.
二、教学目标：
1、知识与技能：
（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题；
（2）能以递推思想为指导，规范数学归纳法证明中的2个步骤，1个结论。
2、过程与方法：
（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法；
（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的建构过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：
感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，体会数学来源于生活，养成言之有理、论证有据的习惯。
三、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
四、教学难点：学归纳法中递推思想的理解.
五、教学准备
1、课时安排：1课时
2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
用数学归纳法证明数列不等式
【例1】（2012全国大纲卷理22）函数2
()23f x x x =--，定义数列{}n x 如下：12x =，1
n x +是过两点(4,5)P 、(,())n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （1）证明:123n n x x +≤<<； （2）求数列{}n x 的通项公式.
【证】（1）证：直线n PQ 的方程为()5
5(4)4
n n f x y x x --=
--，即5(2)(4)n y x x -=+-，
令0y =，解得1435
422
n n n n x x x x ++=-
=++. 下用数学归纳法证明23n x ≤<： ① 当1n =时，12x =，所以123x ≤<.
② 假设当n k =时结论成立，即23k x ≤<，则当1n k =+时， 由1542k k x x +=-
+，得155442232
k x +-≤<-++，即111
34k x +≤<，故123k x +≤<.
由①②知，对一切*
n ∈N 都有23n x ≤<.
从而214323(3)(1)
0222
n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x ++-++-+-=-==>+++，故1n n x x +>.
综上，123n n x x +≤<<. （2）解：由（1）知，1432n n n x x x ++=
+，则 1332n n n x x x +--=+ ①，15(1)
12
数学归纳法在证明不等式中的应用
数学归纳法在证明不等式中的应用
一、数学归纳法概析
随着近几年考试命题对于考查学生的探索和归纳问题的能力的侧重，很多的考试题目开始广泛出现了利用数学归纳法进行不等式证明的应用.所谓数学归纳法，是用来证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法，主要用来探讨与正整数有关的一系列数学问题，在高考试题和数学联赛试题中应用非常频繁和广泛.数学归纳法的历史非常悠久，早在1575年就出现了数学家巧妙地利用递推关系证明出了前n个奇数的总和为n2，以此成功地总结出了数学归纳法的证明.数学归纳法总结起来有四种，分别是第一类数学归纳法、第二类数学归纳法、倒退归纳法（反向归纳法）以及螺旋式归纳法.最常见并且最简单的数学归纳法是用来证明当n隶属于全部的正整数时一个数学表达式是否成立，主要由两个步骤组成：进行递推的基础条件是证明当n为1时所要证明的数学表达式成立，进行递推的依据是证明假如n为正整数m时数学表达式成立，那么当n为m+1时数学表达式同样成立.此方法包含的原理是由第一步的递推基础证明起始数值在数学表达式中能够成立，然后证明从一个数值到另一个数值的证明过程是有效的，那么任意一个数值的证明都可以包括在这种不断重复的证明过程中.将这种方法类比于多米诺效应理解起来更容易：对于一排直立着的很长的多米诺骨牌，如果可以确定第一张牌将会倒下，只要是某一个牌倒下了，与它相
邻的下一个牌也会倒下，那么就可以以此确定出相应的递推关系来推断所有的多米诺骨牌都会倒下.
二、数学归纳法证明不等式之应用
1.数学归纳法证明不等式的方法
利用数学归纳法来证明不等式的方法可以分为两个步骤：第一步是验证当n取第一个初始数值n0时所要证明的不等式成立，第二步是对于任意的正整数k，假设当n的值等于k时不等式能够成立，以此来证明当n为k+1时所要证明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能够顺利证明完成，那么可以得出结论，即对于所有大于或等于n0的正整数n不等式成立.运用数学归纳法来证明不等式的方法中的这两个步骤体现了数学中的递推思想，对于证明格式要求比较严格，第一个步骤是递推思想应用的基础，第二个步骤是递推思想应用的依据.而且第二个步骤的变形是不等式证明的关键点，需要运用假设方法来作为递推证明的基础.利用数学归纳法证明不等式涉及的主要知识点有整除、恒等式、不等式和与几何教学相关的知识内容.数学归纳法来证明不等式的难点重点在于由n等于k时不等式成立来推出n等于k+1时不等式同样成立这一步骤.为了顺利完成这一步的推断，不仅仅要合理使用假设和归纳的方法，还要灵活地使用所给问题的其他相关条件和知识，证明时先比较n=k和n=k+1这两个等式间的共同点和差异，然后决定后者做哪一种变形，再利用分析、放缩、比较、综合的方法和不等式的传递
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式
数学归纳法是一种用来证明一些命题对于所有自然数都成立的方法。
在使用数学归纳法时，我们需要证明两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基
础步骤是证明当自变量取一些特定值时，命题成立；归纳步骤则是假设当
自变量取一些值时命题成立，通过这个假设来证明当自变量取其后继值时
命题也成立。下面我们将利用数学归纳法来证明一个不等式。
假设要证明对于所有的自然数n，不等式P(n)成立。其中P(n)是一
个待证的命题。
首先，我们证明基础步骤。即证明当n取一些特定值时不等式成立。
在这个例子中，假设当n=1时不等式成立。
接下来，我们证明归纳步骤。假设当n=k时，不等式P(k)成立。我
们需要证明当n=k+1时，不等式P(k+1)也成立。
在这个例子中，我们假设P(k)表示不等式1+2+3+...+k≤k²成立。我
们需要证明不等式1+2+3+...+k+(k+1)≤(k+1)²也成立。
根据归纳假设，我们可以得到：1+2+3+...+k≤k²，将k替换为k+1，我们得到：1+2+3+...+k+(k+1)≤(k+1)²。
根据数列的和公式，我们可以将等式左侧进行求和操作，得到：
(k(k+1))/2+(k+1)≤(k+1)²。
化简等式左侧，我们得到(k²+k+2k+2)/2≤(k+1)²。
进一步化简，我们得到(k²+3k+2)/2≤(k+1)²。
我们注意到等式右侧(k+1)²可以展开为k²+2k+1，因此我们需要证明(k²+3k+2)/2≤(k²+2k+1)。
将等式右侧展开，我们得到k²+3k+2≤2k²+4k+2
二 用数学归纳法证明不等式
2.用数学归纳法证明：对于任意大于1的 正整数n,不等式 12 12 ... 12 n 1 都成立.
2 3 n n
解： 1 21 1 当 n 2 时， ，命题成立. 2 2 2
来自百度文库
2 假设当n k k 2 时，命题成立，即
当n k 1时， 1 1 1 1 k 1 1 ... 22 32 k 2 k 1 2 k 1 k 1 2 k3 k2 k k 1 k 1 1 . k 1 所以当n k 1时命题成立.
当n=k+1时， │sin(k+1)θ│
=│sinkθcosθ+coskθsinθ│ │coskθsinθ│
≤│sinkθcosθ│+
= │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│ =(k+1) │sinθ│ 由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均 成立.
若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等，则它 们都是1.其和为k+1，命题成立. 若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1不全相等， 则其中必有大于1的数，也有小于1的数. 不妨设a1>1,a2<1 有归纳假设可得到： a1+a2+…+ak+ak+1 ≥k (1)
浅谈用数学归纳法证明数列不等式的技巧
点拨 ：１条件变形为 １ 旦 ： （ 一 （） 一 １
Ⅱ ｊ
）则 １ ，
原不 等 式 得 证 。
ｎｎ ｌ
一
求 １ 号 所 ＝ ． １ ＝ ， 例 ｎＮ，证寺 ＋ ＋ ＋ ＝， （ ） 主 ２设 ： １ … ２
ｌ
…
，
１
（ ｎ＋１ 、 ４ 。 ２ １
那么 ， ｎ＝ 当 ＋１时，
（ ＿ｎ ＞ （ ） 。 或 厂 ） ｇ ｎ ） （ 二 转化条件 寻 找 过 渡 命题
例 ３ 设 ０＜ｒ＜１ｎ ＝ １ ， ＋ ＝— ＋ ， 上 ，ｌ ＋ｎ ｎ １ 求
一
（ 一 １） １ ）． １ １ 了 （一 ．（ －
） １一 （
）＞（１ ＋
Ｕ
证 ： ＞１ 一 切 ｎ 都 成 立 。 ０ 对 ∈Ｎ
ｆ 中生之友 ２ ０．０上半月：］２１ 高 ０ ９１． Ｆ Ｊ ｉ
数 学 导学 ｏｉｇ ｉ ３ｍ ｈｘ 编 ｇ ｕａｙ 周 责 ｏｘ ∞ ｎ
点 拨 ： 用 数 字 纲 让 明 任 当 ｎ ＝ 利 ＋１盯 ，
满要 。把不 式 化 ：＋ １… 足 求 故原 等强 为 ＋ ＋ 古ｌ
１
ｌ ＝ ÷ ， 一 ＋ ÷
（） 略。 １解
＝故 不 式 强 ｏ 把等①化 ，
（ ｎ＋１ 、 （ ２ ） ４ ｎ＋１ 。 ） 证明 ： 。 略
数学归纳法在中学数学不等式证明中的应用
数学归纳法在中学数学不等式证明中的应用
【摘要】本文给出运用数学归纳法解题时经常出现的错误及其运用数学归纳法解题时的注意事项。
【关键词】数学归纳法；表现形式；解题技巧；常见错误
数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一，中学数学中的一些概念、公式、定理及很多命题，通过数学归纳法导出和证明更符合学生的认知特点，也符合人们从特殊到一般的认知规律。但是，数学归纳法应用于证明不等式，应该怎样去用，在运用过程中应注意哪些问题，这一直困扰着我们中学生。
事实上，数学归纳法只能证明与自然数有关的数学命题，且该命题中所讨论的对象必须属于Cantor集（通常意义上的集合），而Cantor集具备三条基本特征—确定性、互异性、无序性。在适用范围内，数学归纳法的实质就是将一个无穷验证或很难穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题：
①当时，命题成立。
②假设当时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
从而达到证明的目的。
数学归纳法的两个步骤看似呆板，但却有多种表现形式，我们对此做一个简要的阐述。
1、第一数学归纳法
表现形式：①验证n取第一个值n0时命题成立。
②由假设当n=k时命题成立，证明对于n=k+1时命题也成立。
则命题对任意的n≥n0命题成立。
2、第二数学归纳法
表现形式为：①验证n取第一个值n0时命题成立。
②由假设n≤k时结论成立，证明对于n=k+1时命题也成立。
则命题对任意的n≥n0命题成立。
3、第三数学归纳法
表现形式如下：设P（m、n）是与两个独立的自然数m和n有关的命题，若
①P（1、1）成立；
②对任意的自然数k、l，假设P（k、l）成立，可以推出P（k+1、l）和P （k、l+1）都成立；
数列通项及用归纳法证明不等式
数列通项及用归纳法证明不等式
例一、 在1与2间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这n+2个数成等比数列；又在1、2间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这n+2个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A +++== ．求：
（1）数列}{n A 和}{n B 的通项；
（2）当7≥n 时，比较A n 与B n 的大小，并证明你的结论．
分析：考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．
解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，
,221123121=⨯======∴+--- k n k n n n a a a a a a a a
))(())()((121231212
a a a a a a a a a a A n n n n n n ---=∴ .22,2)21(n n n n A =∴=⨯=
2,,,,,,1321n b b b b 成等差数列，
,3211=+=+∴n b b
.2
32)(1n n b b B n n =+=∴ 所以数列}{n A 的通项22n
n A =，数列}{n B 的通项.23n B n =
（2）,49,2,23,22222n B A n B A n n n n n
n ==∴=
= 要比较n A 与n B 的大小，只需比较22n n B A 与的大小，也就是比较当7≥n 时，n 2与24
9n 的大小． 当n=7时，4
1110494949,12822=⨯==n n ，知.4922n n > 经验证，n=8,n=9时，均有24
数列不等式的归纳法证明
一＋
＋一 （ ２ — ｋ３ ） ２ ＜ 一 ４一
—
＋
＋
要证 ：
＋ 一 ＋ ＋ 志 ≤ ｛ 一 ’ ，③ 而 由 归 纳 假 设 只 能 得 到 ９ ＋ 去 ＋ … ＋ ＋
． ． ＋ ＋
１
１
因 为 ４ 一 １ ＋ ＜ 丢 一
（ ｒ ｔ ∈ Ｎ ） ， 记Ｓ ＝ ｎ １ ＋ ｎ ２ ＋ …＋ ％， 求证 ： 当ｎ ∈Ｎ 时， （ １ ） ％＜ ％＋ ｌ ；
（ ２ ） Ｓ ｎ 一 ２ ．
百度文库
高考 、 自主招 生考 试 、 数 学竞 赛 中屡 见 不鲜 ， 成为 考试 的热 点 ； 但 是数 列不等 式 的证 明经常要 用 到放缩 法 ， 而
握 的数学归 纳法来加 以处理 ， 本文采用数 学归纳法 这一
下 面可用数学归纳法来证明 １ ． 当ｎ ＝ ｌ 时， ０ １ ＜ １ ， 结论 成立 ； 假设 当ｎ ＝ ｋ （ ｋ ≥１ ） 时， ａ ｋ ＜ １ ． 当ｎ ＝ ＋ １ （ ≥１ ） 时， ２＋ ａ ｋ ＋ 。 ＝１ ＋
综上 由数学归纳法可知命题 对任意ｎ ∈Ｎ都 成立
（ ２ ） 略．
（ ２ ） 既然加强命 题①成 立 ， 则 可以利用数学归纳法加
以证 明 ：
中・ 擞－ ？ 高 中 版
２ ０ １ ３ 年 ７月
：数学归纳法证明不等式
第四讲：数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：
（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就
是要认清不等式的结构特征；
（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置；
（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲
例1、用数学归纳法证明
n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-
分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明：
1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21
，所以等式成立。
2︒假设当n=k 时，等式成立，
即
k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-
。
那么，当n=k+1时，
221121211214131211+-++--++-+-
k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )2
2111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21
二用数学归纳法证明不等式
设0<a<1，定义a1＝1＋a，an＋1＝a1n＋a， 求证：对一切正整数n∈N*，有1<an<1－1 a. 【证明】 (1)当n＝1时，a1＝1＋a，且0<a<1， ∴a1>1. 又a1＝1＋a<1－1 a， 因此当n＝1时，
【思路探究】 验证n＝1,2,3时不等式成立⇒假设n＝k成 立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证
【自主解答】 (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1， 左边>右边；
当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右； 当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右． 因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
即f(2k－1)>2k，
则f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋
1 2k
＋
1 2k＋1
＋…＋
1 2k＋1－2
＋
1 2k＋1－1
>f(2k－1)＋2k＋1 1＋…＋2k1＋1，
＝f(2k－1)＋12>2k＋12＝k＋2 1.
∴当n＝k＋1时不等式也成立．
据①、②知对任何n∈N*原不等式均成立．
用数学归纳法证明数列不等式
【例1】（2012全国大纲卷理22）函数2
()23f x x x =--，定义数列{}n x 如下：12x =，1
n x +是过两点(4,5)P 、(,())n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （1）证明:123n n x x +≤<<； （2）求数列{}n x 的通项公式.
【证】（1）证：直线n PQ 的方程为()5
5(4)4
n n f x y x x --=
--，即5(2)(4)n y x x -=+-，
令0y =，解得1435
422
n n n n x x x x ++=-
=++. 下用数学归纳法证明23n x ≤<： ① 当1n =时，12x =，所以123x ≤<.
② 假设当n k =时结论成立，即23k x ≤<，则当1n k =+时， 由1542k k x x +=-
+，得155442232
k x +-≤<-++，即111
34k x +≤<，故123k x +≤<.
由①②知，对一切*
n ∈N 都有23n x ≤<.
从而214323(3)(1)
0222
n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x ++-++-+-=-==>+++，故1n n x x +>.
综上，123n n x x +≤<<. （2）解：由（1）知，1432n n n x x x ++=
+，则 1332n n n x x x +--=+ ①，15(1)
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高中数学第四讲数学归纳法证明不等式单元整合素材
第四讲数学归纳法证明不等式
单元整合
知识网络
专题探究
专题一正确使用数学归纳法
同学们在刚开始学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难,一是数学归纳法的思想实质不容易理解，二是归纳步骤的证明有时感到难以入手．本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理,以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，从而明确如何正确地使用数学归纳法．
（1)缺少数学归纳法的第二步．
有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立，那么由P(k)成立导出P(k＋1)成立是必然的，因此第二步归纳步骤是流于形式，证与不证似乎一样，显然这是不正确的．产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用,如果没有递推性，那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立，但是一般的并不成立，我们举几个例子来看看．
十七世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如221
n+的数，n＝0，1,2,3,4时,它的值分别为3,5,17,257,65 537。这5个数都是质数．因此费尔玛就猜想：对于任意的自然数n，式子22n＋1的值都是质数．但是在十八世纪另一位卓越的数学家欧拉指出n＝5时，
5
2
+＝4 294 967 297＝641×6 700 417.
21
是个合数,费尔玛的猜想错了．
这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明,用数学归纳法证明时第二步不可缺少．
（2）缺少数学归纳法的第一步．
也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用,而且k又可以任意取值，这样就够了，有没有第一步P（1）无关紧要．这种认识也是错误的，它忽视了第一步的奠基作用，因为如果没有P(1）成立，归纳假设P（k)成立就没有了依据，因此递推性也就成了无源之水,无本之木，下面我们看一个这样的例子．
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.
教学难点：理解经典不等式的证明思路.
教学过程：
复习回顾：
1、数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位；
2、复习数学归纳法的定义和数学归纳法证题的基本步骤；
一、复习导入：
1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？
（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。
（2）步骤：1）归纳奠基;
2）归纳递推。
习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
如采用下面的证法，对吗？
证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。
②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，
即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)
当n=k+1时，
2+4+6+8+……+2k+2(k+1)
∴n=k+1时，等式成立。
由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。
（1）学生思考讨论。
（2）师生总结：1）不正确
2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。
_______
97531______;7531______
531_____;31.
,)
12()1(531,=-+-+-=+-+-=-+-=+---++-+-并加以证明的结果猜想出通过计算下面的式子n n ,
用数学归纳法证明不等式举例
(2)设数列{an}(n∈N+)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常
数M,使得对于任意的n∈N+,都有an≤M.
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)解:由 h(x)=x3-x− 知,x∈[0,+∞),而 h(0)=0,且
故对任意的 n∈N+,an<x0 成立.
题型一
题型二
题型三
题型四
②当 a≥x0 时,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上单调递增,则
h(a)≥h(x0)=0,即 a3≥a+ ,
从而23 = 1 + 1 = + ≤a3,即 a2≤a.
由此猜测:an≤a.
下面用数学归纳法证明.
当 n=1 时,a1≤a 显然成立.
(2)当n≥3时(以下再对x进行分类):
①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn.
②若x=0,则Pn=Qn.
③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3<0,
所以P3<Q3.
题型一
题型二
题型三
题型四
P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.
假设当n=k(k≥3,k∈N+)时,有Pk<Qk(k≥3),