数学：2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件(新人教A版必修2)
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人教版高中数学必修2(A版) 2.3.2平面与平面垂直的判定 PPT课件
类似地，下面的这个二面角应该如何表示？
Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A
三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？
三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O
a
b/
A
B
b
二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱
三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC
高中数学人教A版必修二：2.3.2平面与平面垂直的判定课件
P
C
A
•O
B
练习1：如图：在Rt△ABC中，∠B=900 ， P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面 ABC，问：四面体PABC中有几个直角三角 形？并证明之.
P
答案：四个面
A
都是直角三角
形
C B
练习2.如图，A是BCD所在平面外一点，AB AD， ABC ADC 90，E是BD的中点， 求证：平面AEC 平面ABD
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB α
∪
求证：α⊥β.
α
A
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β，BE β，
A
B
D
E
C
作业
教材P69 练习 P73习题 A组1、2
O
O
B
B
10
二面角的 平面角的定义、范围及作法
1、二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的
平面角。
AOB=?= AOB
O l
A
B
注一同无量等:个，关的（（角角那，，12定））的么只一理二二两这与个：面面边两二二如角角分个面面果的是别角角角一平用平相的的个面它行等张平角角的，。角面的与平并）大角两点面且小多边的角方有大和位来向关，另置度相。就
l
l
5
上述变化过程中图形在变化，形成的 “角度”的大小如何来确定 ？
C
A
•O
B
练习1：如图：在Rt△ABC中，∠B=900 ， P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面 ABC，问：四面体PABC中有几个直角三角 形？并证明之.
P
答案：四个面
A
都是直角三角
形
C B
练习2.如图，A是BCD所在平面外一点，AB AD， ABC ADC 90，E是BD的中点， 求证：平面AEC 平面ABD
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB α
∪
求证：α⊥β.
α
A
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β，BE β，
A
B
D
E
C
作业
教材P69 练习 P73习题 A组1、2
O
O
B
B
10
二面角的 平面角的定义、范围及作法
1、二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的
平面角。
AOB=?= AOB
O l
A
B
注一同无量等:个，关的（（角角那，，12定））的么只一理二二两这与个：面面边两二二如角角分个面面果的是别角角角一平用平相的的个面它行等张平角角的，。角面的与平并）大角两点面且小多边的角方有大和位来向关，另置度相。就
l
l
5
上述变化过程中图形在变化，形成的 “角度”的大小如何来确定 ？
高中数学人教A版必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定》ppt课件
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
知识回顾
1. 直线与平面垂直的判定； 2. 直线与平面所成的角的定义； 3. 上述两个问题反映“线面”间怎样的 维度联系？
教材研读
A. 研读教材P68 1. 二面角的定义及其相关概念，画法，命名； 2. 二面角的平面角是如何定义的？这样的定
义是否科学？ 3. 二面角的平面角的定义体现了“线面”维 度间怎样的联系？
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
10
谢谢欣赏！
2019/8/29
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11
4. 例题精析： 三棱锥V－ABC中，VA=VB=VC=BC=2，
AB=2 3 ，VC=1，试画出二面角V－AB
－C的平面角，并ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ出它的度数。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
知识回顾
1. 直线与平面垂直的判定； 2. 直线与平面所成的角的定义； 3. 上述两个问题反映“线面”间怎样的 维度联系？
教材研读
A. 研读教材P68 1. 二面角的定义及其相关概念，画法，命名； 2. 二面角的平面角是如何定义的？这样的定
义是否科学？ 3. 二面角的平面角的定义体现了“线面”维 度间怎样的联系？
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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4. 例题精析： 三棱锥V－ABC中，VA=VB=VC=BC=2，
AB=2 3 ，VC=1，试画出二面角V－AB
－C的平面角，并ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ出它的度数。
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2
Q T
a
18
证明：法一：取 CD 的中点 E，连接 NE，ME，MC、PM. PA⊥平面 ABCD⇒PA⊥AD，
∠PDA＝45°⇒PA＝AD＝BC， 又 M 是 AB 的中点，
Rt△PAM≌Rt△NC是BMPC⇒的M中P＝点MC⇒MN⊥PC.
PA⊥CD AD⊥CD ⇒CD⊥平面 PAD⇒ PA∩AD＝A
C
在平面α内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
α
B E
D
∵AB⊥ α ，BE α ，
∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.
a
13
平面与平面垂直的判定
证一证
例2.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平
面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.
D1 A1
C1 D1 B1 A1
C1 B1
D A
D
C
B
A
a
O
C B
9
平面与平面垂直的判定
找一找
例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，找出下列二面角的平面角：
（1） 二面角 A1-DC-1 B
你能求其余弦值吗？
D1
C1
C1
A1
E B1 A1
D A
CD B
a
B 10
平面与平面垂直的判定
找一找
例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，找出下列二面角的平面角： （2） 二面角 A1-AB-D 和 D1-BD-C的大小？
D1 A1
C1 D1 B1 A1
o1
C1
B1
D A
C
D
B aA
人教A版必修22.3.2平面与平面垂直的判定课件
题型一
题型二
题型一
二面角的定义
【例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-BC-D的
平面角.
解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,所
以BC⊥平面D1C.
又D1C⊂平面D1C,所以BC⊥D1C,
所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.
1
2
【做一做1-1】 在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面
角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是 (
)
A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β
B.AO⊥l,BO⊥l
C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β
D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β
解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项.
答案:D
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
1
2
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告知我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
1
题型一
题型二
(方法二)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
则有OD⊥AB,OC⊥AB,
即∠COD是二面角C-AB-D的平面角.
2
AC=a,则 OC=OD= 2 a.
设
因为CD=AD=AC,
所以CD=a,所以CD2=OC2+OD2.
所以△COD是直角三角形,即∠COD=90°.
人教版数学必修二2-3-2《平面与平面垂直的判定》课件
则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.
图形语言:
B
l
A O
说明：二面角的大小可以用它的平面角来度量
概念剖析
练习：判断下列二面角的平面角是否为∠AOB ?
A
O
l
B
(1) A
A
O l B
(2)
l
O
B
(3)
O
Al
B
(4)
判断标准: 顶点在棱上， 边在两面内， 边垂直于棱.
概念剖析
说明： 1.二面角的大小的范围:
P
C
A
O
B
D
课堂小结
知识
1.二面角 2.二面角的平面角 3.证明面面垂直的方法 （1）二面角为直二面角 （2）判定定理
思想
数形结合 转化与化归
课后作业
1.必做题： 习题2.3A组 3 4 5 6.
2.选做题： 证明面面垂直的判定定理
3.研究性学习： 研究不同人造卫星的轨道 平面与赤道平面的关系.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
O
规律总结：
运用判定定理证明
面面垂直的关键是：
在一个面内寻找另
B
外一个面的垂线.
学以致用
例3 .如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆 周上不同于A,B的任意一点, (1)求证:平面PAC⊥平面PBC. (2)从图中，你还能发现哪些平面与面PAC垂直，并说明理由. (3)从图中，你还能发现哪些平面互相垂直.
0 180
2.直二面角： 平面角是直角的二面角叫直二面角.
新知探究
两个平面互相垂直
文字语言:
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
图形语言:
B
l
A O
说明：二面角的大小可以用它的平面角来度量
概念剖析
练习：判断下列二面角的平面角是否为∠AOB ?
A
O
l
B
(1) A
A
O l B
(2)
l
O
B
(3)
O
Al
B
(4)
判断标准: 顶点在棱上， 边在两面内， 边垂直于棱.
概念剖析
说明： 1.二面角的大小的范围:
P
C
A
O
B
D
课堂小结
知识
1.二面角 2.二面角的平面角 3.证明面面垂直的方法 （1）二面角为直二面角 （2）判定定理
思想
数形结合 转化与化归
课后作业
1.必做题： 习题2.3A组 3 4 5 6.
2.选做题： 证明面面垂直的判定定理
3.研究性学习： 研究不同人造卫星的轨道 平面与赤道平面的关系.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
O
规律总结：
运用判定定理证明
面面垂直的关键是：
在一个面内寻找另
B
外一个面的垂线.
学以致用
例3 .如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆 周上不同于A,B的任意一点, (1)求证:平面PAC⊥平面PBC. (2)从图中，你还能发现哪些平面与面PAC垂直，并说明理由. (3)从图中，你还能发现哪些平面互相垂直.
0 180
2.直二面角： 平面角是直角的二面角叫直二面角.
新知探究
两个平面互相垂直
文字语言:
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件1 新人教A版必修2
A' D' B' C' A D B C
结论：
当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A’C⊥B’D’
练习题（课本P67 1）
如图, 在三棱锥V ABC中,VA VC , AB BC 求证VB AC
V
A
C
B
解：取AC的中点P，连接VP、VB ∵VA=VC,且P为AC的中点 \ACVP 同理ACBP 又VP 面VPB,PB 面VPB A 且VP∩BP=P \ AC面VPB \ ACVB
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与 桌面所在的平面 垂直？
探究：
A
A
B
D
C
B C
D
结论：当且仅当折痕AD是BC边上 的高时，AD所在直线与桌面所在平 面α垂直
直线和平面垂直的判定定理：
判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直．
m , n mn P a a a m, a n 线线垂直→线面垂直
旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直． 与地面内任意一条不过点B的直线a也垂直．
垂线
l
垂面
垂足
P线面垂直的定义： Nhomakorabea如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l
直线和平面垂直的画法
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
V
P
C
B
O 的直 已知 PA 平面 ABC ， AB 是⊙ 径，C 是⊙O上的任一点，求证： PC BC ．
结论：
当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A’C⊥B’D’
练习题（课本P67 1）
如图, 在三棱锥V ABC中,VA VC , AB BC 求证VB AC
V
A
C
B
解：取AC的中点P，连接VP、VB ∵VA=VC,且P为AC的中点 \ACVP 同理ACBP 又VP 面VPB,PB 面VPB A 且VP∩BP=P \ AC面VPB \ ACVB
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与 桌面所在的平面 垂直？
探究：
A
A
B
D
C
B C
D
结论：当且仅当折痕AD是BC边上 的高时，AD所在直线与桌面所在平 面α垂直
直线和平面垂直的判定定理：
判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直．
m , n mn P a a a m, a n 线线垂直→线面垂直
旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直． 与地面内任意一条不过点B的直线a也垂直．
垂线
l
垂面
垂足
P线面垂直的定义： Nhomakorabea如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l
直线和平面垂直的画法
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
V
P
C
B
O 的直 已知 PA 平面 ABC ， AB 是⊙ 径，C 是⊙O上的任一点，求证： PC BC ．
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2 (2)
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24
规律技巧 用判定定理证明两平面垂直，就是在一个平面 内找一条直线垂直于另一平面内的两条相交直线，即a⊂β，b ⊂β，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥β，又l⊂α⇒α⊥β.
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25
随堂训练 1.设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是 () A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
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20
规律技巧 在立体几何中，常把空间问题转化为平面问 题，用平面几何知识求解.
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21
三 面面垂直的判定
【例3】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为 AB，BB1的中点．
求证：平面DEF⊥平面A1BD1. 【分析】 画出示意图，利用正方体的性质，证面面垂 直，可先证线面垂直，再用判定定理得证．
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18
【证明】 取BD的中点E，连接AE，CE.
由AB＝AD＝CB＝CD，知
AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．
在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝
2 2a
∴AE2＝AB2－BE2＝12a2
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19
同理在△BCD中，CE2＝12a2 ∴AE2＋CE2＝a2＝AC2 ∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°. ∴平面ABD⊥平面BCD.
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7
名师讲解 两平面相交成直二面角时，两平面垂直．两平面相交的这 一特殊位置关系，决定着平面与平面垂直的概念、性质和判 断，涉及的空间知识极为丰富，是高考的热点内容之一．
高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2
在如图长方体AC1中，判断下列结论 (jié lù n)的正误并说明理由
①平面ADD1A1 ┴ 平面ABCDD1
面ABCD
A
C1
B1
C
B
想一想：
平面ADD1A1 ┴平面ABCD，过点A在平 面ADD1A1内的直线满足什么条件才能 (cáinéng)与平面ABCD垂直呢？
线面垂直
第七页，共8页。
小 结：
1、两个平面互相(hù xiāng)垂直的定 义
2、两个平面(píngmià n)互相垂直的 判定定理 3、两个(liǎnɡ ɡè)平面互相垂直的性 质定理
第八页，共8页。
已知：AB┴β AB
求证(qiú zhèng)： ┴β
两个平面相交，如果 其中
(qízhōng)一个平面内只有一条直线 垂直于另一个平面，能否得到两个平 面垂直？
A
a
D
a
C B
第三页，共8页。
证明 设 ＝CD
(zhè n AB AB、CD共面
gmíng
)：
AB ┴ CD AB
设垂足(chuí zú)为B，过B点 在平面
第一页，共8页。
1、定义(dìngyì)：
一般地，两个平面相交(xiāngjiāo)，如
果它们所成的二面角是直二面角，就说这两
个平面互相垂直。 记作α⊥β
性质
(xìngz hì):
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如果 其中有一个是直二面角,那么其他各个二面
角都是直二面角
第二页，共8页。
AB a
第六页，共8页。
3、性质(xìngzhì)
定理： 如果两个平面垂直，那么在一个
平面内垂直于它们(tā men)交线的直
人教A版必修二：2.3.2《平面与平面垂直的判定》ppt课件
简记：
P l Q
二面角－AB－
A
二面角 C－AB－ D C
B
D
B
A
l
二面角－ l－
3．画二面角 ⑴ 平卧式：
B B A l
B l
A
A
l
⑵ 直立式：
二面角的大小
怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直 线所成的角？ l B 在二面角-l-的棱l上任取
∠ACB=90°，AC=BC=பைடு நூலகம்
1 2
AA1，D是棱AA1的中点.
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC.
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，
求这两部分体积的比.
面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析：找出在一个
面内与另一个面垂
直的直线. BC⊥平面PAC
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， 有PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC，
因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，
AB为⊙O的直径，
所以∠BCA＝90°， 即BC⊥CA.
又因为 PA与AC是△PAC所在平面内 的两条相交直线， 所以 BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β.（ × ） 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β.（ × ）
PA 面ABC 面PAC 面ABC PA 面PAC
PA 面ABC 面PAB 面ABC PA 面PAB
平面与平面垂直的判定课件_新人教A版必修2
BC为棱,以面BCD与BCA为面的二面角 90 为________.
11
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱
PD a, PA PC 2a.
(1)求证:PD⊥平面ABCD; (2)求证:平面PAC⊥平面PBD; (3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
3
题型二 用定义证明两平面垂直 例2:如图,在四面体ABCD中,
BD 2a, AB AD CB CD AC a
求证:平面ABD⊥平面BCD.
,
4
变式训练2:如图,已知:AB⊥β,AB∩β=B,AB 求证:α⊥β.
α.
5
题型三 面面垂直的判定 例3:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E､F分别为AB､BB1的中点. 求证:平面DEF⊥平面A1BD1.
2.过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为( A.1 B.2
C.无数 D.1或无数 答案:D 3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( )
A.α∥γ C.α与γ相交,但不垂直 B.α⊥γ D.以上都有可能 答案:D
9
5.若两条直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面( A.有且只有一个 B.可能有一个,也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在 答案:B
2.3.2 平面与平面垂直的判定
1
题型一 空间线与面的位置关系 例1:(1)已知m､l是直线,α､β是平面,给出下列命题: ①若l垂直于α内两条相交直线,则l⊥α;
②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;
③若m α,l β,则l⊥m,则α⊥β; ④若l β,且l⊥α,则α⊥β; ⑤若m α,l β,且α∥β,则l∥m.
) C.3条 D.4条
数学：2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2)
在二面角α ―l―β的棱l上任取一点O，以点O为垂 足，在半平面α 和β内分别作垂直于棱l的射线OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角 的平面角。
注意: （1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，“OB⊥L”； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是 直角时叫直二面角。 （4）二面角的平面角的范围是:
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高中数学课件
教学目的： 1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面 角的平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角: 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。
创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
求证：α ⊥β ． 证明：设a∩β=CD，则B∈CD． C β α
A
B D
∴AB⊥CD． 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是 二面角α -CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二 面角α -CD-β 是直二面角．
E
∴，不仅是判定两个平面互相垂直 的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑 工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平 面垂直，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面 面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．
课堂诊断: 1.如果平面α 内有一条直线垂直于平面β内的一条直线， 则α ⊥β.（ ） × 2.如果平面α 内有一条直线垂直于平面β内 的两条直线，则 α ⊥β.（ ） × 3. 如果平面α 内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直 线, 则α ⊥β.（ ） √ 4.若m⊥α ，m β，则α ⊥β.( ) √
高中数学 2.32.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直(chuízhí)的判定及其性
质 2.3.2 平面与平面垂直(chuízhí)的判定
第一页，共39页。
栏 目 链 接
第二页，共39页。
掌握二面角的概念，会求简单的二面角的大小(dàxiǎo)， 掌握平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用．
跟踪 训练
又∵PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，
∴CD⊥PA，而 CD⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面 PAD.
栏
∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，
目 链
接
∴AE⊥平面 PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面 PCD，
又 MN⊂平面 PMC，
∴平面 PMC⊥平面 PCD.
第三十六页，共39页。
链
主要是求两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角三种．求 接 角度问题解题的一般步骤是：①找出这个角；②证明该角符合题意；③ 作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角．求角度问题不论哪种情 况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案．
第三十二页，共39页。
跟踪
训练
2．如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩
接
在△AED 中，∵AE＝DE＝ 2，AD＝2，
∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°，
∴以△BCD 和△BCA 为面的二面角的大小为 90°.
第二十五页，共39页。
点评：(1)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需 要紧扣它的三个条件．即这个角的顶点是否在棱上，角的两边是否分 别在两个平面内，这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意
(1)AO与A′C′所成角的度数；
质 2.3.2 平面与平面垂直(chuízhí)的判定
第一页，共39页。
栏 目 链 接
第二页，共39页。
掌握二面角的概念，会求简单的二面角的大小(dàxiǎo)， 掌握平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用．
跟踪 训练
又∵PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，
∴CD⊥PA，而 CD⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面 PAD.
栏
∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，
目 链
接
∴AE⊥平面 PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面 PCD，
又 MN⊂平面 PMC，
∴平面 PMC⊥平面 PCD.
第三十六页，共39页。
链
主要是求两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角三种．求 接 角度问题解题的一般步骤是：①找出这个角；②证明该角符合题意；③ 作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角．求角度问题不论哪种情 况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案．
第三十二页，共39页。
跟踪
训练
2．如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩
接
在△AED 中，∵AE＝DE＝ 2，AD＝2，
∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°，
∴以△BCD 和△BCA 为面的二面角的大小为 90°.
第二十五页，共39页。
点评：(1)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需 要紧扣它的三个条件．即这个角的顶点是否在棱上，角的两边是否分 别在两个平面内，这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意
(1)AO与A′C′所成角的度数；
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研探新知 1、二面角的有关概念及其记法与表示 棱为AB，面分别为α ，β 的二面角记作二面角α － AB－β 。有时为了方便， 也可在α ，β 内（棱以外的 半平面部分）分别取点P， Q，将这个二面角记作二面 角P－AB－Q。如果棱记作l， 那么这个二面角记作二面角 α ―l―β 或P―l―Q。
2、二面角的度量 提出问题:二面角的大小反映了两个平面相交的位 置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二 面角大一些，那我们应如何度量二面角的大小呢？ 师生活动：在预先准备好的二面角的模型的棱上 取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线，通 过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二 面角的平面角。 在二面角α ―l―β 的棱l上任 取一点O，以点O为垂足，在半平 面α 和β 内分别作垂直于棱l的射 线OA和OB，则射线OA和OB构成的 ∠AOB叫做二面角的平面角。
课堂诊断:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的一条直线，则α⊥β.（ ） × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的 × 两条直线，则α⊥β.（ ） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的 √ 两条 相交直线, 则α⊥β.（ ） √ 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ) 5.二面角指的是（ B ） A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
问题2：在立体几何中，“异面直线所成 的角”、“直线和平面所成的角”又是 怎样定义的？它们有什么共同的特征？
问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两 个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问 题的一些例子吗？
这样的角有何特点，该如何表示呢？
研探新知 1、二面角的有关概念及其记法与表示 观察思考:展示一张纸面，并对折让学生观察其 形状，然后引导学生将它与角进行类比，归纳出 二面角的概念及记法与表示. 从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形叫二面角。 l 这条直线叫二面角的棱，这 两个半平面叫做二面角的面。
应用举例，强化所学
例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平
面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面 P PAC⊥平面PBC 证明：设⊙O所在平面为α ， 由已知条件，有 C PA⊥α ，BC在α 内， 所以，PA⊥BC， A O 因为，点C是不同于A，B的任意 一点，AB为⊙O的直径， 所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线， 所以，BC⊥平面PAC， 探究：你还能发现哪些面互 又因为BC在平面PBC内， 相垂直？ 所以，平面PAC⊥平面PBC。
4、两个平面垂直的判定 判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面 的判定定理．
两个平面垂直的判定定理：如果一个平 面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直．
注：这个定理简称
“线面垂直，则面面垂直”
O α β l
下面我们来证明这个定理
求证：α ⊥β ． 分析：要证明两个平面互相垂 直，只有根据两个平面互相垂 直的定义，证明由它们组成的 二面角是直二面角，因此必须 作出它的一个平面角，并证明 这个平面角是直角．如何作平 面角呢？根据平面角的定义， 可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面 角α -CD-β 的平面角．
2.3.2《平面与平面 垂直的判定》
教学目标
1.理解二面角及其平面角的概念,能 确认图形中的已知角是否为二面角的 平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法， 会求简单的二面角的平面角: 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能 用定义和定理判定面面垂直。
创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定 义的？
B D
E
特别注意：两个平面垂直的判定定理，不 仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且 是找出垂直于一个平面的另一个平面的依 据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系 有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平 面垂直，实际上，就是依据这个原理．另 外，这个定理说明要证明面面垂直，实质 上是转化为线面垂直来证明．
注意:
（1）在表示二面角的平面角时，要求 “OA⊥L” ，“OB⊥L”； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面 角是多少度，平面角是直角时叫直二面角。 （4）二面角的平面角的范围是: [0 ,180 ]
3、两个平面互相垂直 观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面 角，就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直的画法及其表示: 两个平面互相垂直通过画成：直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直，记 作：α ⊥β 。
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面互相垂直． 求证：α ⊥β ． 证明：设a∩β =CD，则B∈CD． ∴AB⊥CD． β 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD， 则∠ABE是二面角α -CD-β 的平 面角，又AB⊥BE，即二面角α CD-β 是直二面角． ∴α ⊥β ．
C
α
A
想一想:怎样求二面角?
附:角与二面角之间的关系
角 定义
从平面内一点出 发的两条射线所 组成的图形. A 边 边
二面角
从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形. 面
图形
顶点
O•
点
A
B
棱
面
பைடு நூலகம்
a
B
构成 射线
表示法
射线
半平面 棱 半平面
AOB
a 或 二面角 AB
B
运用反馈，深化巩固 1.指导完成课本P.69的探究问题 2.指导完成课本P.69的练习 小结归纳，整体认识 1.比较角与二面角之间的关系 2.二面角的度量； 3.两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线 与平面垂直的判定定理有何关系？ 课后巩固，拓展思维
课后作业：P.73习题2.3 A组1,2,3,4.