高数第一章
高数红宝书——第一章_函数与极限
同理：在连续，在左连续。 在分界点： 所以为第一类跳跃间断点。
【】
解：
【】 解：
【】 解：
【例12】 求 的反函数。（提示：设） 解
故
【例13】 设 解：令
技巧：利用函数表示法的无关特性。 【例14】 设 （x≠0,1） 求。
解：令
………………① 再令 ………………② 由原式和①、②联立即可得到
1.4 复合函数，一般形式为：，指自变量为函数的函数。
1.4 反函数，存在一一映射的情况下，二者互为反函数，关于反函数 具有下列重要性质：
★ 若为的反函数，则在某些场合，常把的反函数记为或，此时已重新 把视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记
号。
★ 改变记号后，互为反函数的两个函数和的曲线关于直线对称；没有 改变记号，互为反函数的两个函数和的曲线重合。
考试要求
1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极
第一篇 高等数学
第一章 函数与极限
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数 和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及 其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有 界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
大学高数高数第一章(终)课后参考答案及知识总结
第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
高数 第一章
⑤奇，偶函数的运算性质 i) 有限个奇函数或偶函的和仍为奇（偶)（差不 一定）
ii) “同性”相乘为偶，“异性”相乘为奇 iii) 任意一个对称区间的函数可表达 为一个奇函数和一个偶函数之和：
xaa
ln xyln xln y(x>0, y>0)， O
x ln ln xln y(x>0, y>0)。 -1 y
5 .三角函数 ysin x与ycos x的定义域均为(, )，均以 2p为周期。ysin x为奇函数，ycos x为偶函数。 它们都是有界函数。
1
y=cosx y y=sinx
1
-2
-1
0
1
2
x
4 .对数函数y=logax 对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为 (0,),图形通过(1, 0)点。当 a>1 时, 函数单调增 加；当 0<a<1时, 函数单调减少。
常用公式： x ln eln x(x>0)， ln x(x>0)，
2 1
1 2 3 y y=log2x y=log10x 4 x y=log0.1x y=log0.5x
第一章
第一节函数
本节重点：
1、函数定义域与表达式求法
2、函数特性（4个）判别
3、区间与邻域的概念
一、 预备知识
1.绝对值:
①运算性质: ②绝对值不等式 :
2、区间与邻域
① 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
开 (a, b) x | a x b 有限区间 闭 a, b x | a x b 区间 半开半闭 a, b x a x b 半无限 a, , (, b) 无限区间 全无限 (-, +)
高数第一章 知识点总结
式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）
大学高数第一章函数和极限
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见，上例求极限，可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解：lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集，对于集合 X 中的任意一个数 x ， 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应，则称 y 是 x 的函数，记为：
y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量，
其中，集合 X 称为定义域，集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是 变量 x 的函数，即： y f (u)， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x
高数第1-6章
释 疑 解 难（第一章）一、证明：若0lim ≠=∞→A a n n ，则当n 充分大时，有2A a n >。
证：因为0lim ≠=∞→A a n n ，所以对2A =ε，N ∃，当N n >，2A A a n <-，即22A A a A A n +<<-若0>A ，则2A a n >若0<A ，则2Aa n <都有2A a n >。
二、函数x x y cos =在),(+∞-∞内是否有界？又当+∞→x 时，这个函数是否为无穷大，为什么？ 解：⑴ 无界。
M ∀，取πn x 20=，M n >，则M n n n x y >==πππ22cos 2)(0。
⑵ 当+∞→x 时，函数x x y cos =不是无穷大。
因为不论X 取得多么大，取X n >有X n x >+=220ππ，使M x y <=0)(0。
三、设)(x f 在]1,0[上连续，)1()0(f f =，证明：]43,0[0∈∃x ，使)41()(00+=x f x f 。
证：令)41()()(+-=x f x f x F因为)(x f 在]1,0[上连续，所以)(x F 在]43,0[上连续。
)41()0()0(f f F -=)21()41()41(f f F -= )43()21()21(f f F -= )0()43()1()43()43(f f f f F -=-= 则0)43()21()41()0(=+++F F F F⑴ 若)0(F 、)41(F 、)21(F 、)43(F 全等于0，则取]43,0[410∈=x 即可；⑵若)0(F 、)41(F 、)21(F 、)43(F 不全为0，这四个函数值中就一定有正有负，在取得正、负函数值之间，]43,0[0∈∃x ，使0)(0=x F ，即)41()(00+=x f x f 。
四、求极限xx x x e cos 1120)sin 1(lim -→+。
高数第一章
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义 定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0有定义.
......
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .
例2 若f(x)= | x - 2 | ,求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1
解 f(2)=0,f(-2)=|--41| 4, f(0)=|-12| 2, f(a)=|aa-+21|,
x
(b)偶函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x2 1 x)
=ln ( x2 1 x)( x2 1 x) ln
1
x2 1 x
x2 1 x
单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).
上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.
例4 证明f(x)= 1 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x
证 在区间(0,1)内任取两点x1, x2 ,设x1 x2 ,则x1 x2 0.因为
所以
f(x2
)
f(x1
函数y f (x)的图形与其反函数y f 1(x)的图形关于直线y = x对称.
专升本-高数
性质保号性：flim( xf)
(x) A 0 f (x) 0 0且limf (x) limf
(
x)
0
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 3.四则运算
注意：(1）有限次运算 （2） 若limf (x) A, limg (x)不存在,
则lim[f (x) g(x)]不存在
又若A 0,则lim[f (x)g(x)]不存在， lim[g (x) / f (x)]不存在
若limf (x),limg(x)都不存在, 则lim[f (x) g(x)]，lim[f (x)g(x)], lim[f (x) / g(x)]不确定
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
初等函数
函数
性质
复合函数
反函数
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
无穷小 无穷大
性质
极限
重要极限
四则运算
存在准则
第一章 函数、极限与连续
• 知识结构
概念
闭区间 连续函数
性质
连续性
运算性质
间断点 及分类
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
二、极限
21.极.极限限的的性概质概念念函数数列极极限限：：nlillxxmiimmaxffn((xx))
A,
收敛数列，发散数列
A lim f (x) A lim f (x)
x
高数第一章知识点总结笔记
高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。
1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。
- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。
- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。
- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。
3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。
- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。
4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。
- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。
5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。
- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。
高数第一章初等函数
2）反余弦函数 余弦函数
反余弦函数
y cos x
y
1
0
2
x [0, ]
y arccos x x [1,1]
y
y [1,1]
y [0, ]
x
1
1
0
x 1
余弦函数 y cos x 在 [0, ] 上的反函数，称为
反余弦函数，记为 y arccos x x [1,1] y [0, ]
10
例2 判断函数 f ( x) ln ( x 2 1 x) 的奇偶性. 解
f x f x
ln [ x 2 1 x] [ x 2 1 x]
ln1 0
则此函数为奇函数
11
（4）三角函数 1）正弦函数的性质
y sin x
x ,
解：
x e ln x , x 0
ln x 1 0 e 1 f ln x ln x ln x e e 1
ye
y
x
1 f x x e
0 e 1
x
e 1
x
0,1
x
1 x 0 f x x e 0 x
22
反余弦函数的性质
y arccos x
x [1,1]
y
y [0, ]
（1）在[ -1, 1 ]是有界函数；
0 arccos x
（2）是非奇非偶函数；
1
0
x 1
（3）在 [1, 1] 上是单调减函数。
23
3）反正切函数 正切函数 y tan x 在 (
高数一内容
高数一内容如下：第一章：函数定义，定义域的求法，函数性质。
第一章：反函数、基本初等函数、初等函数。
第一章：极限（数列极限、函数极限）及其性质、运算。
第一章：极限存在的准则，两个重要极限。
第一章：无穷小量与无穷大量，阶的比较。
第一章：函数的连续性，函数的间断点及其分类。
第一章：闭区间上连续函数的性质。
第二章：导数的概念、几何意义，可导与连续的关系。
第二章：导数的运算，高阶导数（二阶导数的计算）第二章：微分第二章：微分中值定理。
第二章：洛比达法则 1第二章：曲线的切线与法线方程，函数的增减性与单调区间、极值。
第二章：最值及其应用。
第二章：函数曲线的凹凸性，拐点与作用。
第三章：不定积分的概念、性质、基本公式，直接积分法。
第三章：换元积分法第三章：分部积分法，简单有理函数的积分。
第三章：定积分的概念、性质、估值定理应用。
第三章：牛一莱公式第三章：定积分的换元积分法与分部积分法。
第三章：无穷限广义积分。
第三章：应用（几何应用、物理应用）第四章：向量代数第四章：平面与直线的方程第四章：平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，简单二次曲面。
第五章：多元函数概念、二元函数的定义域、极限、连续、偏导数求法。
第五章：全微分、二阶偏导数求法第五章：多元复合函数微分法。
第五章：隐函数微分法。
第五章：二元函数的无条件极值。
第五章：二重积分的概念、性质。
第五章：直角坐标下的计算。
1第五章：在极坐标下计算二重积分、应用。
第六章：无穷级数、性质。
第六章：正项级数的收敛法。
第六章：任意项级数。
第六章：幂级数、初等函数展开成幂级数。
第七章：一阶微分方程。
第七章：可降阶的微分方程。
第七章：线性常系数微分方程。
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高数第一章
1 x0 y sgn x 0 x 0 1 x 0
t (10 t ) C (t ) k ( t 5 ) 25e
0t 5 t 5
1.1.3 函数的表示方法 （1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。 显函数、隐函数 （2）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数
设 f ( x) x 2 , g ( x) 2 x , 求 f g (x),
2
x 2 x
g f (x) .
f ( x)
f [ g ( x )]=[ g ( x )] =( 2 ) = 4 , g [ f ( x )] = 2
=
2 .
x2
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合 步骤所构成， 且用一个解析式表示的函数， 叫做初等函数， 否则就是非初等函数．
值列成一个表格来表示函数关系。
（3）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示 变量间的函数关系。
板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间的关系 保温时间x (h) 含量被破坏百 分比 y
32
4.55
64
12.27
96
15.45
128
18.18
1.1.4 几种特殊的函数性质
（1）奇偶性
设函数 f ( x ) 的定义域为对称区间（-L , L）（也可以 是[-L , L] , （－∞，＋∞）），如果对于定义域的任 一 x 都满足f ( －x ) = － f ( x )（f ( －x ) = f ( x ) ）， 则称函数 f ( x ) 为奇函数（或偶函数）。
本节内容 :
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、自变量趋于有限值时函数的极限
(完整版)专升本高数数学第一章_函数、极限与连续
例：求下列函数的定义域
［Ａ］(1) y
1
．
(x 1)(x 4)
(2) y x 1 1 x 1
解:(1)要使函数有意义，必须有分母 (x 1)(x 4) 0
x 1 0
即 x 4 0
x 1
x
4
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞)
(2)要使函数有意义,必须有 x 1 0
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x 2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
1 2
4 2 2
f[f
(x)]
f[ x 3] x2
x3 3 x2 x3 2
2x 9 (x 3x 1
1) 3
x2
2、函数的性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
y
y x
y x3
o
x
偶函数
o
x
奇函数
(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；
高数第一章函数与极限知识点总结
1.2.1 数列极限的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2
数列的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7.2
...................................... 5
1.7.3
定 ......................................... 5
1.8 函数的
与
...................................... 5
1.8.1 函数的
映射的定义
映射 g
映射的
g 的值域 Rg
f f 的定
1
义域
Rg ∈ D f
则
映射 g f 的
义
g◦ f
义
义
映射 f ◦ g 与 g ◦ f
映射 的 f ◦g f ◦g 与 g◦ f
1.1.2 函数
函数的概念
定义 1.4. 设数集 D ∈ R，则称映射 f : D → R 为定 义在 D 上的函数，通常简记为 y = f (x)，x ∈ D， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义 域，记作 D f , 即 D f = D。
). 如果
lim f (x) = a
x→x0
且 a > 0(或 a < 0), 所以 ∃(正整数 N), 当 n > N, 都有 xn > 0(或 xn < 0).
高等数学一教材目录
高等数学一教材目录第一章：函数与极限1.1 实数与数轴1.2 函数的概念1.3 极限的引入1.4 极限的性质1.5 无穷小与无穷大1.6 极限存在准则1.7 极限运算法则第二章：导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义2.3 基本导数公式2.4 高阶导数2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与性质2.7 函数的增量与微分近似计算2.8 高阶导数的应用第三章：微分学基本定理3.1 角度的测量3.2 三角函数3.3 幂函数与指数函数3.4 对数函数与指数方程3.5 反函数与反三角函数3.6 复合函数的导数3.7 高阶导数的计算3.8 微分中值定理与导数的应用第四章：一元函数积分学4.1 不定积分的概念与性质4.2 不定积分的基本公式4.3 定积分的概念与性质4.4 定积分的基本公式4.5 牛顿-莱布尼茨公式4.6 反常积分4.7 积分中值定理与定积分的应用第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的微分法则5.4 隐函数的导数5.5 多元复合函数的求导法则5.6 方向导数与梯度5.7 多元函数的极值5.8 多元函数的参数化曲线第六章：多元函数积分学6.1 二重积分6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用6.7 曲线与曲面积分6.8 曲线与曲面积分的计算方法6.9 曲线与曲面积分的应用第七章：无穷级数7.1 数列的极限7.2 数列极限的性质7.3 无穷级数的收敛与发散7.4 正项级数的审敛法7.5 幂级数与函数展开7.6 Taylor展开7.7 Fourier级数第八章：常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程8.3 高阶常微分方程8.4 常系数线性齐次微分方程8.5 非齐次线性微分方程8.6 变量分离的微分方程8.7 常微分方程的应用这是《高等数学一》教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分学基本定理、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数和常微分方程等各个章节的主要内容。
高数 第一章
第一章 函数、极限与连续在中学已经学过函数的定义，讨论过函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性等几何特性，为了“高等数学”的学习与研究方便，本章先回顾函数的有关知识。
第一节 函数的概念一、函数定义1.1 设x 和y 是两个变量，D 是给定的一个数集。
如果对应于每一个数D x ∈，变量y 按照一定的对应法则总有确定的数值与之对应，则称y 是关于x 的函数。
记作)(x f y =，D 是函数的定义域。
二、具有某些特性的函数1． 单调函数如果对于某区间X 内的任意两个点21x x <,总成立）21()(x f x f ≤(或）)((21x f x f ≥,则函数具有单调性。
2.奇函数与偶函数如果函数在定义域为关于原点对称的区间内，并且对定义域内的任意x 均满足)()(x f x f -=-，则)(x f 为奇函数，其图形关于原点对称；如果在定义域内有)()(x f x f =-，则)(x f 为偶函数，其图形关于y 轴对称。
3.周期函数能使)0)(()(≠=+ωωx f x f 成立的函数)(x f 称为周期函数，ω称为周期。
4.有界函数设函数)(x f 在数集X 内有定义，如果存在M>0。
使得对于任意的X x ∈，恒有M x f ≤|)(|，则称)(x f 在X 上有界。
三、复合函数与反函数1.复合函数若函数)(u f y =的定义域为U ，而函数)(x u ϕ=的定义域为X ，值域为U*，并且U U ⊆*，那么对于X 内的每一个x ，经过中间变量u ，相应的得到唯一确定的值y 。
于是y 经过中间变量u 而成为x 的函数，记为)]([x f y ϕ=这种函数称为复合函数，而u 称为中间变量。
2.反函数)()(1y fx x f y -==与互为反函数。
若函数)(x f y =在区间I 上严格单调，则)(x f y =在区间I 上一定存在反函数。
四、初等函数1. 幂函数)(R a x y a∈= 2. 指数函数)1,0(≠>=a a a y x3. 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a4. 三角函数5. 反三角函数五、邻域设δ与a 是两个实数，并且δ>0，把满足δ<|a -x |的全体实数集x 称为点a 的δ邻域，记作U （a ，δ），即}|||{}{),(δδδδ<-=+<<-=a x x a x a a U点a 称为淋邻域的中心，δ称为邻域的半径。
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高数上册目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的性质1.1.3 反函数与复合函数1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.3.1 无穷小的性质1.3.2 无穷大的性质1.4 极限的运算法则1.4.1 极限的四则运算法则1.4.2 极限的复合运算法则1.5 极限存在准则及两个重要极限1.5.1 极限存在准则1.5.2 两个重要极限公式第二章导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的几何意义2.2 函数的求导法则2.2.1 基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则2.2.3 复合函数的导数2.3 高阶导数2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 高阶导数的计算2.4 微分2.4.1 微分的定义2.4.2 微分的计算第三章微分中值定理3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 洛必达法则3.2.1 洛必达法则的形式3.2.2 洛必达法则的应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 不定积分的计算4.2.1 基本积分公式4.2.2 换元积分法4.2.3 分部积分法第五章定积分5.1 定积分的概念与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 定积分的计算方法5.2.2 定积分的几何意义5.3 定积分的应用5.3.1 定积分在几何学中的应用5.3.2 定积分在物理学中的应用第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.1.1 微分方程的定义6.1.2 微分方程的阶6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程6.2.2 一阶线性微分方程6.3 高阶微分方程6.3.1 高阶微分方程的解法6.3.2 线性微分方程第七章空间解析几何7.1 向量及其运算7.1.1 向量的概念7.1.2 向量的运算7.2 平面与直线7.2.1 平面的方程7.2.2 直线的方程7.3 曲面与空间曲线7.3.1 曲面的方程7.3.2 空间曲线的方程第八章多元函数微分8.1 多元函数的概念8.1.1 多元函数的定义8.1.2 多元函数的性质8.2 偏导数8.2.1 偏导数的定义8.2.2 偏导数的计算8.3 全微分8.3.1 全微分的定义8.3.2 全微分的计算8.4 多元函数的极值8.4.1 极值的定义8.4.2 极值的求法。
(完整版)高数上册知识点
高等数学上册知识点第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
01高数第一章
分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数.
(2) 隐函数 如果自变量与因变量的对应关系是用一个方程 F(x，y)=0确定的，这种函数称为隐函数. 例如x2+y2=r2，x+y=exy等， 相应地，我们将前面讨论的函数称为显函数. (3) 参数方程所确定的函数 在许多实际问题中，变量x与y之间的函数关系还可以 用含某一参数的方程组来确定，如
f(x)=
就不是初等函数，我们将这样的函数，叫做非初等函数.
【例3】已知(1) f(2x-1)=x2;
【解】(1) 令2x-1=t，解出
(2)
由题设，得
由于函数关系与变量的记号t无关，将变量的记号t换成x， 得所求函数为
(2) 令
由题设，得
将变量的记号t换成x，得所求函数
函数关系与变量的记号无关， 例如， 是同一函数.
【例3】就函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内来说，数1是它 的一个上界，数-1是它的一个下界(当然，大于1的任 何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它的下界). 又 |sinx|≤1 对任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内 是有界的. 这里M=1 (当然也可取大于1的任何数作为M而使|f(x)|≤M成立).
二、复合函数
定义1若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包 含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对 应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变 量,x是自变量,通常将 y=f(u),u=g(x) 合并写成 y=f［g(x)］
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;复合函 数也可以由两个以上的函数经过复合构成.
【例4】试设置中间变量，将复合函数y=lnsinx/2分解成 若干个简单函数. 【解】由内层依次到外层，层层设置中间变量，即令
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第一章1、()=≠≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+→0,01lim 0b a a x xb x 极限2、()∞=→x f x 0lim ，则当0→x 时，一定是无穷小的是（） A ()x xf B ()x x f - C ()x x f x - D ()x x f 1- 3、下列函数在点0=x 无定义，其中0=x 振荡为振荡间断点的函数为（）A ()⎪⎩⎪⎨⎧><=0001x x ex f x B ()x x x f 1sin = C ()x x f 1cos = D ()211x x x x f +-= 4、=+---→x x xx x e e e e 111102lim 极限5、=-→xx x cos 22lim 0极限6、()A x f x x =←0lim ，则下列正确的说法是（） A {}n x ∃，对应有()()∞→→n A x f n B ()()x A x f α+=，()x α为单调减少趋于零的函数C ()()x A x f α+=，()0lim 0=←x x x α D ()x f 在点0x x =连续 7、若数列{}n x 有极限a ，则在a 的ε邻域之外，数列的点有（）A 不存在B 至多有有限多个C 必定无限多个D 可以有有限个也可以有无限个8、数列有界是数列具有极限的（ ）9、若)(lim 0x f x x →极限存在，则下列极限一定存在的是（）A []α)(lim 0x f x x → （α为实数）B )(lim 0x f x x → C )(ln lim 0x f x x → D )(arcsin lim 0x f x x →10、=∞→xx x 1sin lim 0 11、无穷大与有界量的关系是（ ）12、无穷大与无界量的关系是（ ）13、若22lim 222=--++→x x b ax x x 极限，则=a ( ) 14、若()()x x f ϕ>且()A x f a x =→lim ，()B x ax =→ϕlim ,则必有（） A A>B B A ≥B C B A > D B A ≥15、两无穷小量βα与 之和βα+（）A 仍为无穷小量且至少与βα,中的一个同阶B 仍为无穷小量且比βα,的阶数高C 仍为无穷小量且可能比βα,的阶数低D βα+不一定是无穷小量16、当1→x 时，kx 31- （0≠k ）是无穷小量，且（） A 比()1-x 高阶B 比()1-x 低阶C 与()1-x 同阶D 它的阶数不确定17、已知9lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∞→xx a x a x 则a ＝（ ） 18、()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=01cos 000sin x x x x x x x x x f ，则0=x 为（） A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 振荡间断点19、=+----∞→x x x x x e e ee 11112lim20、求=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→42cos2lim n n n x21、=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x 2cot 04tan lim π22、试确定常数 b a ,使()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--+=<++=02tan )(1sin 10201arctan 132x x b a x x x x x b a x x f ππ在0=x 连续23、⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0, 0,1sin )(2x a x x e x x f ax 当当，在0=x 处连续，则a = 。
24、=++∞→312lim 2x x x A 、2 B 、-2 C 、2± D 、不存在25、设n n n n n ！a x ·=其中0>a 是常数，n 为正整数，求极限.1lim nn x x x +∞→26、设n n n n n ！a x ·=其中0>a 是常数，n 为正整数，求极限.1lim nn x x x +∞→27、指出xx x x f --=221)(的间断点，并判别其类型.28、1、极限=+∞→x x x x x x lim29.设x x f sin )(= +∞<<∞-x ，则此函数是A 、奇函数B 、非奇非偶函数C 、周期为π2的函数D 、周期为π的函数30、求极限x k x x ln 1)(sin lim ++∞→（k 为常数）31.求极限n n x e n)1(lim 1++∞→32.设,134)4)(3()(2x x x x x x f -+-++-=确定)(x f 的连续区间，如果有间断点，试判定间断点的类型33.函数,11)(x arctgx f -=当1→x 时的极限值为（ ）A 、2π B 、2π- C 、0 D 、不存在 34.=-⋅∞→12sin 2lim n x n n ；35.)1(lim 1-∞→xx e x = 36.=⋅→x x x x sin 1sin02lim37.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+=<<∞-=1x 1- arccos -1 x -1x - 1)(2x a b x x f 试确定b a ,之值，使)(x f 在1-=x 处连续38.计算)1ln(1)3cos 2(02lim x x x +-→39.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+=<<∞-=1x 1- arccos -1 x -1x - 1)(2x a b x x f 试确定b a ,之值，使)(x f 在1-=x 处连续。
40.当1→x 时，函数11211---x e x x 的极限为 A 、2 B 、0 C 、无穷大 D 、不存在，但不为无穷大41.=-++∞→]ln cos )1ln([cos lim x x x A 、0 B 、∞ C 、不存在，亦不为∞ D 、21-42.=-→sin sin 0lim x a a x x xA 、b 1B 、a lnC 、a bln 1 D 、1 43.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=0 x 210 x 11)(x x x f 则0=x 处有A 、不连续B 、连续不可导C 、连续且仅有一所导数D 、连续且有二阶导数 44.)cot 1(lim 22x xx -∞→45.当的是时2)2cos (cos 320x x x x -→（ ） A 、高阶无穷小 B 、同阶大穷小但不是等阶 C 、低阶无穷小，但不是等阶无穷小 D 、等阶无穷小46.求1ln )(-=x x x f 的间断点，并判断其类型。
47.极限xx e +∞→11lim 的结果是（ ）A 、0 B 、1 C 、不存在但不是∞ D 、∞ 48求极限121)12(lim -→+x x x x x49.讨论函数)(x f 的连续性与可导性。
⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1)x ( ,1-x 1)x ( 2cos )(x x f π50.=-→)2()1(lim 1x tg x x π51.0→x 时（1cos 1)1212--+x ax 与）为等阶无穷小则a=52.己知9)]/()[(lim =-+∞→x x a x a x 则a= 53.点0=x 是)1()(xaratg x f =的（ ）A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、无穷间断点54.函数x x x f sin )(=A 、 当+∞→x 时为无穷大B 、在),(∞-∞内有界C 、在),(∞-∞上无界D 、∞→x 时存在有限极限 55.若函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分dy 是：（ ） A 、 与x ∆等阶的无穷小 B 、与x ∆同阶的无穷小 C 、比x ∆低阶的无穷小 D 、比x ∆高阶的无穷小56.当1→x 时，函数112)1(1---x e x x 的极限为（ ）A 、2 B 、0 C 、∞ D 、不存在，但不为∞ 57.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0)(x 00)(x )1sin()(2x x x f 则在)(x f 0=x 处（ ） A 、极限不存在 B 、极限存在但不连续 C 、连续不可导 D 、可导58.设⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0)(x )0(0)(x )()(f x x f x F 其中)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(=≠'f f ，则0=x是)(x F 的（ ）A 、连续点B 、第一类间断点C 、第二类间断点D 、连续点或间断点不由此决定59.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0)(x 00)(x )1()(2x e x f x 则)0(f '为（ ）A 、0 B 、21 C 、1 D 、-1 60.设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0)(x 0)(x )(22x x x x f 则（ ） A 、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=-0)(x )(0)(x )(22x x x x f B 、⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-=-0)(x0)(x x)()(22x x x f C 、⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0)(x x -0)(x )(22x x x f D 、⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0)(x 0)(x x )(22x x x f 61. ),(0)(x20)(x )cos (sin )(+∞-∞⎩⎨⎧≤+>+=是a x x x e x f x 上的连续函数，则a=。