【基础知识反馈卡】2015届九年级数学基础知识限时必过单：第二十八章 锐角三角函数(2小节)
【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数
【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数【人教版】初中数学九年级知识点总结28锐角三角函数【编者按】本章内容主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念以及研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。
通过本章的学习应该掌握锐角三角函数以及直角三角函数的相关内容。
一、目标与要求1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．3.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．4.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想．5.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．6.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．二、重点与难点1．重点（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．2．难点（1）锐角三角函数的概念．（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力．三、知识框架四、知识点、概念总结1.Rt△ABC中∠A的对边(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝斜边∠A的邻边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝斜边∠A的对边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的邻边∠A 的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的对边2.特殊值的三角函数：a30°45°60°3.互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.4.同角三角函数间的关系平方关系：sin(α)+cos(α)=1tan(α)+1=sec(α)cot(α)+1=csc(α)积的关系：sinα=tanαcosαcosα=cotαsinαtanα=sinαsecα222222sinacosatanacota1222323222123313313cotα=cosαcscαsecα=tanαcscαcscα=secαcotα倒数关系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=15.三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
九年级数学下册 第28章 锐角三角函数小结 精品导学案 新人教版
锐角三角函数课题：第28章小结序号32学习目标：1、知识和技能：进一步理解锐角三角函数的概念及性质，理解直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系及解直角三角形的方法。
2、过程和方法：会用锐角三角函数的概念及性质和直角三角形的边角关系解决有关的问题。
3、情感、态度、价值观：通过复习学习数学复习的方法，培养数学学习的兴趣。
学习重点：锐角三角函数的概念及性质，理解直角三角形的边角关系学习难点：利用所学知识解决有关的问题。
导学过程一、课前导学：阅读课本，解决《导学案》P99页“教材导读”。
课堂导学：情境导入：（1）锐角三角函数的定义和性质。
（2）直角三角形的边角关系。
（3）仰角、俯角、坡角、坡度等概念。
2、出示任务，自主学习：（1）理解锐角三角函数的概念及性质，理解直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系及解直角三角形的方法。
（2）会用锐角三角函数的概念及性质和直角三角形的边角关系解决有关的问题。
3、合作探究：（1）在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= =ac． sinA＝A aA c∠=∠的对边的斜边把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作，即把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作，即（2）30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式直角三角形的边角关系。
解直角三角形的类型。
三、展示与反馈选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC 的长是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．122．下列各式中不正确的是（ ）．A ．sin 260°+cos 260°=1B ．sin30°+cos30°=1C ．sin35°=cos55°D ．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．A ．2B ．3C ．2D ．14．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60°B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90° 5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12， cosB= 3 2，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形 D ．不能确定 四、学习小结：《导学案》P100-101“评价归纳”五、达标检测：《导学案》P101“深化拓展”课后练习：课本P97复习题28。
人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》知识点(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（ ）A ．圆锥的底面半径为3B ．2tan 2α=C ．该圆锥的主视图的面积为82D ．圆锥的表面积为12π2．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE CE =，3BAC CBD ∠=∠，6266BD =+，则AB 的长为（ ）A ．6B ．62C ．12D ．102 3．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC 如图放置，则sin ∠ABC 的值为（ ）A ．52B ．55C ．33D ．14．下列计算中错误的是( )A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒B ．22sin 45 cos 451︒+︒=C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）26．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．37．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2sin cos θθ-=( )A ．15B ．55C ．355D ．958．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB 的值等于（ ）A ．43B ．34C ．45D ．359．一把5m 长的梯子AB 斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为34，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA '的长度是（ ）433210．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．100m B．1002m C．1003m D．2003m311．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）A．35B．59C．512D．4512．点E在射线OA上，点F在射线OB 上，AO⊥BO，EM平分∠AEF，FM平分∠BFE，则tan∠EMF的值为( )A．12B．33C．1 D．313．如图，在矩形ABCD中，33AB=，AD＝9，点P是AD边上的一个动点，连接BP，将矩形ABCD沿BP折叠，得到△A1PB，连接A1C，取A1C的三等分点Q（CQ＜A1Q），当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为（）A．πB．3πC 43D2314．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cos A＝（）A ．12B ．52C ．255D ．5515．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题16．如果在某建筑物的A 处测得目标B 的俯角为37°，那么从目标B 可以测得这个建筑物的A 处的仰角为_____．17．01sin 4513(32018)6tan 302--+-+︒︒=________． 18．如图，在Rt ABC 中，,906A AC cm ∠==，8AB cm =，把AB 边翻折，使边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则tan DBE ∠的值为_______ ．19．如图所示，ABO 中，AB OB ⊥，OA=2，AB=1，把ABO 绕点O 旋转150°后得到11A B O ，则点1A 的坐标为_______20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OH ⊥AB 于H ．若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD =60°，则OH =_____．21．如图，已知在Rt ABC 中，C 90,AC BC 2∠=︒==，点D 在边BC 上，将ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C '处，联结AC '，直线AC '与边CB 的廷长线相交于点F ，如果DAB BAF ∠∠=，那么BF =_________．22．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是_____.23．已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,3A ，且抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y -->；当120x x <<时，()()12120x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为______．24．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠D=60°，∠A ＝105°，∠B ＝120°，则AD BC的值为__________．25．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB ,BC 长为6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号）26．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A =33，那么cos ∠B =_____． 三、解答题27．如图，以ABC ∆的一边BC 为直径的O ，交AB 于点D ，连结CD ，OD ，已知1902A DOC ∠+∠=︒．（1）判断AC 是否为O 的切线？请说明理由．（2）①若60A ∠=︒，1AD =，求O 的半径．②若DOC α∠=︒，AC m =，OB r =，请用含r 、α的代数式表示m ． 28．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.29．计算或解方程：（1）11754640.583⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭（2）3tan 602sin 45cos 60︒+︒-︒（3）2430x x -+=30．如图，在ABC ∆中，5AC =，3tan 4A =，45B ∠=︒．点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒4个单位长度的速度向终点B 运动（不与点A 、B 重合）．过点P 作PH AB ⊥，交折线--A C B 于点H ，点Q 为线段AP 的中点，以PH 、PQ 为边作矩形PQGH ．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出矩形PQGH 的边PH 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当点G 落在边AC 上时，求t 的值；（3）当矩形PQGH 与ABC ∆重叠部分图形是四边形时，设重叠部分图形的面积为S （平方单位）．求S 与t 之间的函数关系式；（4）当ABC ∆的重心落在矩形PQGH 的内部时，直接写出此时t 的取值范围．。
第28章《锐角三角函数》教材分析与教学建议(人教新课标九年级下)doc
第二十八章“锐角三角函数”教材分析与教学建议本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。
锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。
研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。
锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。
难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。
至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
本章内容与已学“相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：28．1 锐角三角函数约6课时28．2 解直角三角形约4课时数学活动小结约2课时一、教科书内容与课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识的展开顺序（二）教科书内容本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。
人教版九年级下册数学：第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角三角函数的概念
28.1 锐角三角函数(2)
——余弦、正切
斜边c
B
sinA
∠A的对边 a
斜边
c
∠A的对边a
A
C
∠A的邻边b
成果检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，
则sinA的（B ）．
A． 15
B. 1
C. 1
15
4
3
D. 15 4
B
1
4
A Ｃ
成果检测 2.如图，在△ABC中， AB=AC=5， BC= 6, 求sinB 。 A
. P(2,3)
┓
O
A
x
【试一试】
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13， AC=12，求sinA , cosA , tanA的值。
13
B
A
12
C
B
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
求sinA , cosA , tanA的值。
A
C
若∠A=45°，求sinA,cosA,tanA的值。
小结 反思
1.你有哪些收获？ 2.你学到哪些好方法？ 3.在学习中应注意什么？ 与大家一起分享。
七、作业布置:
A组：P65练习2 P68 第1题
B组：P68习题1 P69第10题
5
5
B
D
C
【问题探究 如图，在】Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，
∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之 间的比是否也确定了呢？为什么？
B
斜边c
对边aΒιβλιοθήκη A邻边bC
一般地,在Rt△ABC中，∠C=90°,
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。
人教版九年级数学上册知识点总结：第二十八章锐角三角函数
人教版九年级数学上册知识点总结第二十八章、锐角三角函数知识点一：锐角三角函数的定义1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac 余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc 正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA 122232cosA 322212tanA 331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cosA＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.例如17年14年中考题。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
《锐角三角函数》是九年级数学中的一个重要的章节，它在高中数学中也有重要的应用。
下面是对《锐角三角函数》的知识点进行总结归纳。
一、角度的度和弧度制1.角度的度制：一个圆周分为360等份，每一份称为一度，用符号°表示。
2.角度的弧度制：弧度制通过角对应的弧长与半径的比值来表示。
弧度制度数=角度的度数×π/180二、正弦、余弦、正切关系1. 正弦函数：对于任意锐角A，正弦函数表示为sinA=对边/斜边。
2. 余弦函数：对于任意锐角A，余弦函数表示为cosA=邻边/斜边。
3. 正切函数：对于任意锐角A，正切函数表示为tanA=对边/邻边。
三、特殊角的值1. 30°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√32. 45°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=13. 60°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3四、三角函数的基本性质1. 同角三角函数值的关系：sinA/cosA=tanA，cosA/sinA=1/tanA，sin^2A+cos^2A=12. 三角函数的周期性：sin(A+2π)=sinA，cos(A+2π)=cosA，tan(A+π)=tanA。
3. 正负关系：在第一象限，sinA>0，cosA>0，tanA>0，在第二象限，sinA>0，cosA<0，tanA<0，在第三象限，sinA<0，cosA<0，tanA>0，在第四象限，sinA<0，cosA>0，tanA<0。
五、三角函数的应用1.解三角形：根据已知两边和夹角，用余弦定理和正弦定理求解。
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数初中数学九年级知识点总结锐角三角函数「篇一」相关的角：1、对顶角：一个角的'两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。
3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。
角的性质1、对顶角相等。
2、同角或等角的余角相等。
3、同角或等角的补角相等。
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数「篇二」1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质;⑵菱形的四条边都相等;⑶菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
4、因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)5、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
6、公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
7、提取公因式步骤：①确定公因式。
②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
8、平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。
a叫被开方数。
9、中被开方数的取值范围：被开方数a≥010、平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
九年级下册数学第二十八章知识点
九年级下册数学第二十八章知识点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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九年级数学下册 第28章 锐角三角函数小结
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一、回顾思考
(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中 已知一条边和一个锐角(ruìjiǎo)，或已知两边，能够解这个直角三角 形？
答：两个直角三角形全等的判定方法有：①两条直角边对应(duìyìng)相等 的两个直角三角形全等，②斜边和一条直角边对应(duìyìng)相等的两个直 角三角形全等，③有一个锐角和一条直角边对应(duìyìng)相等的两个直角 三角形全等，④有一个锐角和斜边对应(duìyìng)相等的两个直角三角形全 等. 由直角三角形全等的判定定理可知，一个直角三角形可以由它的三条 边和两个锐角这五个元素中的两个（其中至少有一个是边）唯一确定， 因此在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这 个直角三角形.
（3）综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思维能力的灵活性.
（4）通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.（难点）
（5）经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.（难点）
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三、典例剖析
4.解直角三角形的实际(shíjì)应用
【点评】此题作垂线(chuíxiàn)构造出直角三角形后，两个直角三角形均不具备可解的条件， 需要设未知数列方程求解.
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四、归纳小结
请同学们回答下列问题： (1)通过对本章的学习(xuéxí)，你认为本章的核心知识是什么？
（5）在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.
【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数
【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数数学九年级知识点总结【28 锐角三角函数】一、基本概念1. 角度的定义：角度是两条半直线公共定点分割的平面成图的两条半平直线之间的夹角。
2. 同角的定义：具有相同动作线的角是同角。
3. 弧度的定义：所对的弧长等于半径的角叫做一个单位角。
4. 弧度制的与度-弧度制间的换算（1）度转换为弧度：${\alpha} = {\frac{{\pi}}{{180}}}$.（2）弧度转换为度：${\alpha} = 180{\pi}$.5. 角度的运算（1）角度的加法：角度的加法满足交换律与结合律。
（2）角度的减法：角度的减法满足减法原则。
6. 单位圆（1）单位圆的概念：圆心为原点，半径为 1.（2）角度和弧度的表示方法：在单位圆上，角度等于所对的弧长。
（3）三角函数：正弦函数，余弦函数和正切函数是角的函数。
二、正弦函数1. 正弦函数的定义：在单位圆上，对于给定的角 ${\theta}$，点$(\cos\theta,\sin\theta)$被定义为角度为 ${\theta}$ 的角上离圆心距离为 $\sin\theta$ 的点。
2. 正弦函数的图像：正弦函数的图像在 x 轴上方，且对称于 x 轴。
3. 正弦函数的性质：（1）定义域：${\mathbb{R}}$.（2）值域：[-1, 1].（3）奇函数：即 $\sin(-{\theta}) = -\sin{\theta}$.（4）周期性：$\sin({\theta} + {2n\pi}) = \sin{\theta}$.（5）同一正弦值的角：$\sin\theta = \sin{\alpha}$ 当且仅当${\theta} = (-1)^n\alpha + n\pi$.4. 正弦函数的图像性质：在 $y = A\sin{\theta}$ 中，A 表示振幅，若 A > 1，则图像的最高点和最低点将超过1和-1；若 A < 1，则图像的最高点和最低点将在1和-1之间。
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。
锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。
下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。
1个弧度对应360°/2π≈57.3°。
角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。
2.锐角：指角度小于90°的角。
3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。
二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。
三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。
九年级下册数学第28章《锐角三角函数》知识点梳理
九年级数学下册第28章《锐角三角函数》知识点梳理一．知识框架
二．知识概念
1.Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边
2.特殊值的三角函数：
本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。
并能应用这些概念解决一些实际问题。
的解，将其定义扩展到复数系。
】。
九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】求下列各式的值.
(1) cos260°+sin260°
(2) csoins4455
-tan45
【解析】（1）cos²60°+sin²60°
cos²60°表示 （cos60°）²， 即cos60°的平方.
=（ 12）²+（
3 2
）²
=1；
（2）cos 45 tan 45
九年级数学第28章锐角三角函数
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
则tanB＝（ B ）
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30 已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
B 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= 3 ，
求cosA，tanB的值.
5
B
【解析】 sinA BC ,
AB
6
AB BC 6 5 10，
sinA 3
又 AC AB2 BC2 102 62 8，
A
C
cosA AC 4 , tanB AC 4 .
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，
第28章 锐角三角函数 核心素养整合与提升-2022-2023学年九年级全一册初三数学(人教版)
第28章锐角三角函数核心素养整合与提升一、知识概述锐角三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角函数密切相关。
在本章中，我们将学习锐角三角函数的定义、性质和应用。
通过学习，我们将提高数学素养，加深对数学知识的理解和应用能力。
二、锐角三角函数的定义在一个锐角∠ABC中，我们可以定义三个与其相关的三角函数，分别为正弦函数sin(A)，余弦函数cos(A)和正切函数tan(A)。
正弦函数sin(A)表示锐角∠ABC的对边BC与斜边AC的比值，即sin(A) = BC/AC。
余弦函数cos(A)表示锐角∠ABC的邻边AB与斜边AC的比值，即cos(A) = AB/AC。
正切函数tan(A)表示锐角∠ABC的对边BC与邻边AB的比值，即tan(A) = BC/AB。
三、锐角三角函数的性质1.锐角三角函数的定义域：锐角三角函数在定义域上单调递增，并且定义域为[0, π/2)。
2.正弦函数的性质：–0 < A < π/2时，0 < sin(A) < 1；–A = π/2时，sin(A) = 1。
3.余弦函数的性质：–0 < A < π/2时，0 < cos(A) < 1；–A = π/2时，cos(A) = 0。
4.正切函数的性质：–0 < A < π/2时，tan(A) > 0；–A = π/2时，tan(A) = 无穷大。
四、锐角三角函数的应用锐角三角函数在很多实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.测量角度：通过测量边长的比值，可以利用锐角三角函数计算出角度的大小。
这对于测量倾斜角度、方向角、仰角等都非常有用。
2.三角形计算：利用锐角三角函数，我们可以求解三角形的各个边长和角度。
这在解决实际问题中的三角形相关计算非常常见。
3.建模和仿真：在物理学、工程学和计算机图形学等领域，锐角三角函数被广泛用于建模和仿真。
比如，通过正弦函数可以描述物体的振动和波动等现象。
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基础知识反馈卡·28.1
时间：10分钟 满分：25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．如图J28-1-1，若cos α＝1010，则sin α的值为( )
图J28-1-1 A.1010 B.23 C.34 D.31010 2．已知∠A 为锐角，且sin A ＝12
，那么∠A ＝( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．计算：(1)2cos30°－tan60°＝________；
(2)用计算器计算：
①sin13°15′＝________；②cos________°＝0.857 2.
4．如图J28-1-2，△ABC 是等边三角形，边长为2，AD ⊥BC ，则sin B ＝________，可得sin60°＝________.
图J28-1-2 三、解答题(共11分)
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，b ＝5，c ＝7，求sin A ，cos A ，tan A 的值．
基础知识反馈卡·28.2
时间：10分钟 满分：25分
一、选择题(每小题3分，共6分)
1．如图J28-2-1，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC ＝4，BC ＝3，则cos ∠BCD ＝( )
图J28-2-1 A.34 B.1225 C.35 D.45
2．小明由A 出发向正东方向走10米到达B 点，再由B 点向东南方向走10米到达C 点，则∠ABC ＝( )
A ．22.5°
B ．45°
C ．67.5°
D ．135°
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．在倾斜角为30°的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为6 m ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为________m.
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3 3，c ＝6，则b ＝________，∠B ＝________.
三、解答题(共11分)
5．如图J28-2-2，若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A 处沿直线方向开往对岸的B 处，AB 与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A 到B 处约需时间几分(参考数据：3≈1.7)．
图J28-2-2
基础知识反馈卡·28.1
1．D 2.B
3．(1)0 (2)①0.229 2 ②31
4.AD AB 32
5．解：∵∠C ＝90°，b ＝5，c ＝7，
∴a ＝c 2－b 2＝2 6.
∴sin A ＝a c ＝2 67
， cos A ＝b c ＝57
， tan A ＝a b ＝2 65
. 基础知识反馈卡·28.2
1．D 2.D 3.4 3 4.3 30°
5．解：如图DJ5，过点B 作BC 垂直对岸，垂足为C ，则
图DJ5
在Rt △ACB 中，有
AB ＝BC sin ∠BAC ＝900sin60°
＝600 3. ∴t ＝600 35×60
＝2 3≈3.4(分)． 答：船从A 处到B 处需时间3.4分．。