1.3&1.4 动量和角动量

MdV = – udM
V
u dV = − dM M
∑
i≠ j
r Fj +
∑
i≠ j
N
r f ji =
r dp j dt
Fi
pj
fi j · · · fj i
· j
对所有质点求和
Fj
∑ ∑∑
i=1 i=1 i ≠ j
N
r Fi +
r d fij = dt
∑
i=1
N
r pi
内力和
∑∑
i=1 i≠ j
N
r fij = 0
∑
i =1
N
r d Fi = dt
1.3.3 动量守恒定律 （law of conservation of momentum)
一、质点动量守恒定律 由质点的动量定理
r F 当合外力 = 0时
∫
t2
t1
r r r Fdt = P2 − P 1
r P = 常矢量
质点动量守恒定律：若质点所受合外力为零， 质点动量守恒定律：若质点所受合外力为零， 则质点的总动量不随时间改变 二、质点系动量守恒定律 由质点系的动量定理 t1 r r r r F 常矢量， P 当和外力 = 0时 P = 常矢量，即：1 = P2
∑
i=1
N
r pi
r 和外力： F 和外力： =
∑
i =1 r
N
r Fi
r P 总动量： 总动量： =
∑
i =1
N
r pi
r dP F= dt
∫
t2
r Fdt =
t1
∫
2
r r r dP = P2 − P 1
1
质点系的动量定理与质点动量定理形式一样， 质点系的动量定理与质点动量定理形式一样， 但各量的含义却不同。 但各量的含义却不同。 质点系的动量定理表明， 质点系的动量定理表明，一个系统总动量的变化仅决定 于系统所受的外力，与系统的内力无关。 于系统所受的外力，与系统的内力无关。即只有外力的 冲量才能改变整个质点组的动量， 冲量才能改变整个质点组的动量，内力的冲量虽然可以 使个别质点的动量改变，但不能改变整个质点组的动量。 使个别质点的动量改变，但不能改变整个质点组的动量。
v u
t
v u
t + dt
火箭 P1 = （M–dm）(V+dV) ）
v dm M , v
v v M − dm, v + dv
v v v V气地 = V气箭 +V箭地
x
MV= （M–dm）(V+dV)+ dm(V+dV – u) ）
MV= MV–Vdm + MdV– dmdV+Vdm +dmdV– udm MdV = udm dm = – dM MdV= – udM
一. 质点系 把相互作用的若干个质点看作为一个整体, 把相互作用的若干个质点看作为一个整体 这组质 r 点就称为质点系. 点就称为质点系 二. 质点系的动量定理 r 内力: f1 , 内力 m1 , m2 系统 : r 外力: 1 外力 F , 分别运用牛顿第二定律: 分别运用牛顿第二定律 r r r dP 1 m1: F + f1 = 1 dt r r r dP 2 m2: F2 + f2 = dt
−3
t = 3×10 (sec)
3
∴
1 3×10−3 4 [400 − ×105 t ]dt m= ∫ 300 0 3
1 [1.2 − 0.6] = 0.002 (kg) = 2 (g) = 300
1.3.2
质点系的动量定理
（theorem of momentum for system of particles)
r F
r 方向沿 j −
已知： [例] 已知：子弹在枪筒内受到推进力
4 F(t ) = 400 − ×105t (N) 3 其加速过程 v0 = 0 到 v = 300 m/s
求：子弹质量 m = ? 解： m 在枪内水平只受力 F(t) 在枪内水平 水平只受力 子弹在枪筒内加速时间 0→ t → 水平方向 t = 0 时，x = 0，v0 = 0，p = 0 ， ，
t2
1∫t1Fra bibliotekr Fdt
∫
(
)
∫
讨论
t2
t1
r Fdt
r r = mv2 − mv1
r F 平均冲力： 平均冲力： =
∫
t2
r r mv2 − mv1 t1 = t2 − t1 t2 − t1
r Fdt
(m不变)
1）直角坐标系中的分量式( 二维 ): ）直角坐标系中的分量式
Ix = ∫t Fx ⋅ dt = P x − P x 2 1
讨论： 讨论：
1. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多（如爆 当合外力为零，或外力与内力相比小很多（ 炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动量守恒。 ），这时可忽略外力 炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动量守恒。 2. 合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒 合外力沿某一方向为零，
如: 当Fx = 0
Mv + m(v − u) = ( M + m)v3
mu v3 = v − M +m
例：水平光滑平面上有一小车，长度为 l，质量为 。车 水平光滑平面上有一小车， ，质量为M。 上站有一人， 车原来都静止。 上站有一人，质量为 m，人、车原来都静止。若人从车 ， 的一端走到另外一端，问人和车各移动了多少距离？ 的一端走到另外一端，问人和车各移动了多少距离？ v 解：人与车在水平方向受外力 v v 为零， 为零，水平方向动量守恒
t1
三 . 动量定理 （theorem of momentum ） r r dP r r 瞬时） 由 F= ⇒ Fdt = dP （瞬时） dt t2 r 2 r r r 过程： Fdt = dP = P − P 过程： 2 1
r r = mv2 − mv1 (m不变) 质点的动量定理 ∫ t1 r r r r F(t2 − t1 ) = mv2 − mv1 F不变
t2
1
I y = ∫t Fy ⋅ dt = P y − P y 2 1
t2
1
2） 动量定理在碰撞问题中具有特殊重要的意义。 ） 动量定理在碰撞问题中具有特殊重要的意义。 在碰撞过程中由于作用时间极短,作用力（冲力） 在碰撞过程中由于作用时间极短 作用力（冲力）却 作用力 很大. 并且随时间变化很难测定，但可借助始﹑ 很大 并且随时间变化很难测定，但可借助始﹑末动 量变化和作用时间来计算平均冲力。 量变化和作用时间来计算平均冲力。
∫
t2
r r r Fdt = P2 − P 1
其中
r r r p2 = ∑ pi 2 = ∑mivi 2
i i
r r r p1 = ∑ pi1 = ∑mivi1
i i
动量守恒定律：若系统所受合外力为零,则系统 动量守恒定律： 系统所受合外力为零, 所受合外力为零 的总动量保持不变。 的总动量保持不变。
冲量（ 二 . 冲量（impulse） ） 力在一段时间内持续作用的效果，是由力 F 和力 力在一段时间内持续作用的效果， 的作用时间∆ 两个因素决定的。 的作用时间∆t 两个因素决定的。 r r r F为恒力） 定义: 冲量 I = F ∆t （ 为恒力）
r t2 r r I = ∫ F ⋅ dt （F为变力） 为变力）
u 3
⋅⋅
2
u 1
v v
Mv + m(v + u) = ( M + m)v1
2) 以小船 及2m为研究对象 以小船(2)及 为研究对象
mu v1 = v + M +m
Mv = ( M − 2m)v2 + m(v + u) + m(v − u)
v2 = v
3) 以小船 及m为研究对象 以小船(3)及 为研究对象
∫
0
t
例：火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行，因 火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行， 而不受任何外力的作用， 而不受任何外力的作用，设火箭某一时刻连同携带 的燃料总质量为 M，喷出的气体相对火箭的速率为 ， u，且保持不变，求：火箭在任一时刻的速度。 火箭在任一时刻的速度。 ，且保持不变， 解：初态动量 P0 = MV 末态动量 气体 P2 = dm(V+dV – u) P0 = P1 + P2
1.3 动量（momentum)
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4
质点的动量定理 质点系的动量定理 动量守恒定律 质心
1.3.质点的动量定理 1.3.质点的动量定理
(impulse and theorem of momentum) 牛顿第二定律 F = ma 给出物体所受和外力与它所 得加速度之间的瞬时关系 瞬时关系。 得加速度之间的瞬时关系。 物体在力的持续作用 持续作用下 力对物体将产生累积效应 累积效应。 物体在力的持续作用下，力对物体将产生累积效应。 这种累积效应有两种： 这种累积效应有两种： 1) 力的时间累积效应，如：冲量 ，冲量矩 力的时间累积效应， 2) 力的空间累积效应，如：功 A= F• dS 力的空间累积效应 累积效应， 动量（ 一. 动量（ momentum ） r r 动量即物体运动的量， P 状态量） 动量即物体运动的量， 定义为 = mV (状态量） 动量由物体的m和 两个因素决定， 动量由物体的 和V 两个因素决定，如高速运动的 子弹，低速运动的夯。 子弹，低速运动的夯。 动量性质：矢量性，瞬时性, 相对性。 动量性质：矢量性，瞬时性 相对性。
v v v mv mv = −MV V = − v Mv v v v v ′ v人对车 = v人地 −V车地 = v −V