异面直线的判断

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异面直线所成角的判定方法

异面直线所成角的判定方法异面直线是三维空间中的两条直线，它们不在同一个平面内。

在数学中，我们经常需要判断两条异面直线之间的角度，下面将详细介绍异面直线所成角的判定方法。

我们需要了解两条异面直线的基本概念。

两条异面直线可以用它们的方向向量来表示。

在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。

因此，如果我们知道了两条异面直线上的任意一点和它们的方向向量，就可以完全确定这两条直线。

接下来，我们来研究两条异面直线之间的角度。

首先，我们需要找到这两条直线的公垂线。

公垂线是垂直于两条直线的线段，它们的交点就是两条直线的最短距离。

我们可以通过向量积来求出两条直线的公垂线。

具体地，我们可以先求出两条直线的方向向量的向量积，然后再将得到的向量与其中一条直线的方向向量再次求向量积，即可得到公垂线的方向向量。

接下来，我们可以通过余弦定理来求出两条异面直线之间的夹角。

具体地，我们可以用两条直线的方向向量和公垂线的方向向量来求出两条直线之间的夹角的余弦值，然后再通过反余弦函数求出夹角的大小。

需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此我们需要判断两条异面直线之间的夹角是否大于π/2，如果大于π/2，则需要用π减去这个夹角来得到最终的夹角大小。

除了上述方法外，我们还可以通过向量投影来求解两条异面直线之间的夹角。

向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上得到的一个标量值。

具体地，我们可以求出两条直线的方向向量在对方上的投影，然后通过余弦定理求出它们之间的夹角。

需要注意的是，这种方法只适用于两条直线的方向向量都是单位向量的情况。

除了以上两种方法外，我们还可以通过点和直线之间的距离公式来求解两条异面直线之间的夹角。

具体地，我们可以先求出两条直线上的任意两个点，然后通过点和直线之间的距离公式求出它们到另一条直线的距离，最后通过余弦定理求出它们之间的夹角。

需要注意的是，这种方法的计算量较大，不太实用。

我们可以通过向量积、余弦定理、向量投影以及点和直线之间的距离公式来判断两条异面直线之间的夹角。

异面直线专题知识公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

∴ BE=DE ∴ △EBD是等腰三角形
∵EF是底边上中线 ∴EF⊥BD
同理：EAF
⊥AC， ∴EF是AC、BD公垂线段。
(2)△ABC中AB=BC=10，
E AC=16，E为AC中点 ∴BE=6
F B
D
Rt△BEF中，BF=4
异面直线AC ,BD的距离为
C
EF 2 5
第20页
例三、长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB、 BC、AA1长，作出BD1与AC所成角或补角，并指明能够在那一个三角形中求出此角。
点O，过O作两异面直线平行线
a1,b1,则称a1,b1所成锐角或直角为
两异面直线a,b所成角。
b a
O a1
b1
第7页
思考：
1、异面直线所成角取值范围是多少？
异面直线所成角a取值范围是 0°<a≤90°
2、在实际问题中，是否在空中任找一点作为O点，应如何找O点才有助于作平行线和计算？
第8页
O
a1
帮助
b1
解答
第5页
分别在与空异中面再直任线意平取行一相点交O直2线，a作1ab21∥所a成、直b角2∥或b锐.那角么只a1与b1异,a2面b2直所线成直位角置或相锐关角，与相O等点吗位？置这无阐关明。了什么问题？
O2 a2
b2
b a
O a1
b1 第6页
定义
a,b是两异面直线，在空中任取一
第1页
异面直线知识回顾：
异面直线定义：
不同在任一平面里直线
异面直线判断办法：
1、不平行也不相交直线。 2、过平面外一点与平面内一点直线，和平面内不通过该点直线是异面直线。

异面直线的判断方法

异面直线的判断方法一、异面直线的概念理解。

1.1 异面直线是空间中一种特殊的直线关系。

简单来说呢，就是两条直线不在同一个平面内。

这就好比两个人，一个在这个圈子里活动，另一个在完全不同的圈子里活动，两者没有交集的平面。

比如说，在一个正方体中，棱和不在这个棱所在平面的面对角线就是异面直线。

这概念看似简单，可真要准确判断，还得费点心思。

1.2 很多初学者容易混淆异面直线和相交直线。

相交直线是在同一个平面内有且只有一个交点的直线，而异面直线根本就不在同一个平面，这就是所谓的“差之毫厘，谬以千里”。

就像把香蕉和苹果放一起比较，虽然都是水果，但本质上有很大区别。

二、判断异面直线的方法。

2.1 定义法。

2.1.1 直接根据异面直线的定义来判断。

这就要求我们有很强的空间想象力。

例如，给你三条直线，你得想象它们是否能处在同一个平面。

如果怎么都不能让两条直线在一个平面里，那它们就是异面直线。

这就像你要把方形的积木塞进圆形的洞里，怎么塞都塞不进去，那就说明不匹配，是异面直线关系。

2.1.2 不过这种方法对于一些复杂的图形就有点吃力了。

就像走迷宫，简单的迷宫你能一眼看到出口，复杂的就容易晕头转向。

2.2 反证法。

2.2.1 这是个很巧妙的方法。

假设两条直线不是异面直线，也就是在同一个平面内，然后根据平面几何的知识进行推理。

如果推出矛盾，那就说明假设错误，这两条直线就是异面直线。

这就像是“欲擒故纵”，先假设不是，然后发现不行，那就只能是异面直线了。

2.2.2 已知直线a和直线b，假设它们在同一平面内，然后根据已知条件进行计算或者推导，结果发现与已知的某个条件冲突，比如角度或者长度关系不符合平面几何的定理，那就证明它们不在同一平面，是异面直线。

2.3 借助辅助平面法。

2.3.1 有时候我们可以通过构造辅助平面来判断。

先找到与其中一条直线平行或者包含这条直线的平面，然后看另一条直线与这个平面的关系。

如果另一条直线与这个平面相交，且交点不在第一条直线上，那这两条直线就是异面直线。

空间两直线异面的判定方法

空间两直线异面的判定方法空间中两直线的位置关系可以分为三种情况：重合、相交和异面。

判断两直线是否相交比较容易，而判断两直线是否异面则需要一定的数学知识和技巧。

本文将介绍空间中两直线异面的判定方法，希望对读者有所帮助。

一、异面直线的定义空间中的两条直线如果既不重合又不相交，则称它们为异面直线。

两条异面直线之间存在一个平面，这个平面称为它们的公共垂直平面。

1. 向量法向量法是判断异面直线位置关系的一种常见方法。

我们可以用两条直线上的向量来求它们的叉积，如果叉积不为零，就说明两条直线不在同一个平面上，也就是异面。

以空间直角坐标系为例，设两条直线分别为：l1: (x1,y1,z1) + t(a1,b1,c1)t和s为参数。

则l1上的向量为(a1,b1,c1)，l2上的向量为(a2,b2,c2)。

这两个向量的叉积为：(a1,b1,c1) × (a2,b2,c2) = [(b1c2-b2c1),(a2c1-a1c2),(a1b2-a2b1)]如果叉积不为零，则说明两条直线不在同一平面上，从而可以判断它们为异面直线。

2. 交点法两条异面直线如果有交点，则交点一定不在任何一个直线所在的平面上。

可以通过求解两条直线的交点来判断它们是否异面。

如果两条直线有交点，则它们一定不是异面的；否则，它们就是异面的。

设两条直线为：它们的交点为P，则有：可以得到一个二元一次方程组：x1 + ta1 = x2 + sa2对它们进行变形，得到：t(b1-sb2)+s(b2-y1)+(y1-y2) = 0写成矩阵形式，有：\begin{bmatrix}a1-sa2 & a2-x1 \\b1-sb2 & b2-y1 \\c1-sc2 & c2-z1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}t \\s \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x1-x2 \\y1-y2 \\z1-z2 \\\end{bmatrix}如果该方程组有解，则说明两条直线有交点，即不是异面的；否则，就是异面的。

异面直线垂直的判定

异面直线垂直的判定
异面直线垂直的判定
在三维空间中，两条直线可以相交、平行或异面。

当两条直线相交时，我们可以通过它们的夹角来描述它们的相对位置。

如果两条直线的夹
角为90度，那么它们就是垂直的。

本文将介绍如何判断两条异面直线是否垂直。

异面直线的定义
异面直线是指在三维空间中不在同一个平面上的两条直线。

它们既不
相交也不平行，而是呈现出一种斜交的状态。

由于它们不在同一个平
面上，因此它们的交点不在任何一个平面上。

垂直的定义
两条直线的夹角是指它们的方向向量之间的夹角。

如果两条直线的夹
角为90度，那么它们就是垂直的。

在三维空间中，两条直线垂直的条件是它们的方向向量的点积为0。

判断两条异面直线是否垂直的方法
方法一：求出两条直线的方向向量，然后计算它们的点积。

如果点积
为0，则两条直线垂直。

方法二：求出两条直线的法向量，然后计算它们的点积。

如果点积为0，则两条直线垂直。

这种方法适用于已知直线所在平面的情况。

方法三：求出两条直线的公垂线，然后判断公垂线是否在两条直线所
在平面内。

如果公垂线在两条直线所在平面内，则两条直线垂直。

这
种方法适用于已知两条直线所在平面的情况。

总结
判断两条异面直线是否垂直的方法有多种，其中最常用的是求出两条
直线的方向向量，然后计算它们的点积。

如果点积为0，则两条直线垂直。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的方法来判断两
条异面直线是否垂直。

异面直线位置关系

异面直线位置关系在几何学中，异面直线位置关系是描述两条不重合的直线的位置关系的在数学术语。

它们之间可以有三种可能情况：重合，平行和相交。

在本文中，将着重介绍异面直线位置关系，其中包含了直线之间的重合，平行和相交分析。

要理解异面直线位置关系，我们首先需要了解两条不重合的直线。

这两条直线可以在一个平面上出现，也可以在三维空间中出现。

在二维的情况下，它们有两个不同的斜率，而在三维的情况下，它们有三个不同的斜率。

因此，可以根据不同的斜率来区分它们之间的位置关系。

如果两条非重合的直线在一个平面上，且它们的斜率相同，那么这两条直线就是平行的。

这两条直线没有交点，一直保持一定的距离，永远不会相交。

表示两条直线平行的数学符号是“∥”。

另外，如果两条非重合的直线在一个平面上，且它们的斜率不同，那么这两条直线就是相交的。

也就是说，两条直线在一个平面上的位置关系是直线相交，这种情况下，它们有一个交点，并且两条直线的斜率也可以通过这个交点来计算。

表示两条直线相交的数学符号是“∩”。

最后，如果两条非重合的直线在同一个平面上，且它们的斜率都是零，那么这两条直线就是重合的。

也就是说，这两条直线在一个平面上的位置关系是直线重合，这种情况下，它们是完全重合的，也就是一条直线。

表示两条直线重合的数学符号是“=”。

综上所述，我们可以总结异面直线位置关系：两条不重合的直线可以有三种可能的位置关系，分别是重合，平行和相交。

它们的位置关系可以根据它们的斜率来判断，例如，斜率相同的直线是平行的；斜率不同的直线是相交的；斜率都是零的直线是重合的。

同时，它们也有不同的数学符号来表示，分别是“∥”，“∩”和“=”。

从数学角度来看，异面直线位置关系是一个非常重要的概念。

它有助于我们更好地理解和分析直线之间的位置关系，从而帮助我们更好地理解和解决数学问题。

【最新】异面直线定义把不同在平面内的两条直线叫做异面

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(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．由等角定理得∠BMC＝∠B1M1C1.
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法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形． ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形． ∴C1M1＝CM，又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
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[例2] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M， M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
[自主解答] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为 AD，A1D1的中点， ∴MM1綊AA1，又∵AA1綊BB1， ∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形．
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(2)连接A1C1，∵AA1C1C为平行四边形， ∴AC∥A1C1， ∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角．连接BC1，△A1BC1是正三角形，∴∠BA1C1＝60°， ∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
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求异面直线所成角的基本步骤 (1)作——即据定义作平行线，作出异面直线所成的角，作平行线时，若遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)证——证明这个角或其补角即为所求的角． (3)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

立体几何异面直线垂直概念-概述说明以及解释

立体几何异面直线垂直概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述立体几何是几何学的一个重要分支，研究的对象是三维空间中的图形和物体。

立体几何的基本概念和定理在数学和工程学科中都有着广泛的应用。

异面直线是立体几何中的一个重要概念，它指的是不在同一个平面上的两条直线。

本文将专注于异面直线的垂直概念。

本文将以引言、正文和结论三个部分来介绍立体几何中异面直线垂直的概念。

在引言部分，我们将对本文的结构和目的进行简要介绍。

接下来的正文部分将详细介绍立体几何的基本概念和异面直线的定义性质。

最后，在结论部分，我们将进一步讨论异面直线的垂直概念，并探讨其在实际应用中的意义和重要性。

通过阅读本文，读者将能够深入了解立体几何中的异面直线垂直概念，并理解其在实际问题中的应用。

对于对这一领域感兴趣的读者来说，本文将为他们提供一个全面而详尽的介绍。

同时，本文所介绍的内容也将为相关学科的研究者和从业人员提供有益的参考。

立体几何异面直线垂直概念的研究对于推动科学技术的发展具有重要的意义。

在建筑、工程、设计等领域中，对于异面直线垂直的理解和应用能够帮助我们更好地进行空间规划和设计。

同时，对立体几何的研究也为我们揭示了世界的另一种面貌，能够提高我们的空间思维能力和解决实际问题的能力。

在接下来的文章内容中，我们将深入探讨立体几何中异面直线垂直的概念，希望读者能够通过阅读本文，加深对立体几何的理解，并能够在实际问题中灵活运用。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来进行讨论立体几何中的异面直线垂直概念：1.2.1 章节一: 立体几何的基本概念在这一章节中，我们将介绍立体几何的基本概念，包括点、线、面等基本元素的定义和性质。

通过理解这些基础概念，为后续讨论异面直线的垂直概念打下基础。

1.2.2 章节二: 异面直线的定义和性质这一章节将深入探讨异面直线的定义以及相关性质。

我们将介绍异面直线的几何特征和判定方法，如何确定两条直线是否在三维空间中异面，并介绍一些典型的异面直线的性质和定理。

异面直线所成角定义

异面直线所成角定义1. 什么是异面直线？异面直线是在三维空间中的直线，它们既不共面也不互相平行。

2. 异面直线的性质异面直线上的任意两条线段，它们之间的夹角都是锐角、直角或钝角。

我们可以利用向量和点的坐标进行计算，来确定异面直线所成的角的类型。

2.1 向量判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s其中(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)为两条直线的方向向量。

两条异面直线不共面，即方向向量(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)不互相平行。

2.2 利用点坐标判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s设点P1(x1, y1, z1)为直线L1上的一点，点P2(x2, y2, z2)为直线L2上的一点。

若点P1和点P2不在一条直线上，则直线L1和直线L2异面。

3. 异面直线所成的角的定义异面直线L1和L2上的点A和B，它们与两条直线的交点分别为C和D，连接线段AD和BC。

定义：异面直线L1和L2所成的角是线段AD和BC之间的夹角。

4. 异面直线所成角的计算方法异面直线L1和L2所成的角，可以通过两条直线的方向向量来计算。

设L1的方向向量为(a1, b1, c1)，L2的方向向量为(a2, b2, c2)。

计算方式：cosθ = |a1a2 + b1b2 + c1c2| / √(a1^2 + b1^2 + c1^2) *√(a2^2 + b2^2 + c2^2)其中，|a1a2 + b1b2 + c1c2|表示两个向量的点积的绝对值。

通过求解得到的角的余弦值，我们可以判断异面直线所成的角是锐角、直角还是钝角。

异面直线公垂线

异面直线：两个不共面的直线，也就是不垂直不相交公垂线：和这两条线都垂直相交的直线，其中线段部分是两直线上点的最短距离如图：ab和cd就是两异面线段首先cd上一点做ab的平行线a'b'，其实就是把ab拷贝过来，这样ab,cd就确定一个面再通过ab上一点如图b点，做b到abcd面的垂线段bb''通过b''做ab或a'b'的平行线a''b'',这时候a''b''和cd交于o 通过o做ab的垂线就是我们所求下面是LISP代码，没加是否共面的判断(defun c:gcx(/)(defun c:gcx(/)(setq l1_en (entget (car (entsel))))(setq l2_en (entget (car (entsel))))(setq pt11 (cdr (assoc 10 l1_en)))(setq pt12 (cdr (assoc 11 l1_en)))(setq pt21 (cdr (assoc 10 l2_en)))(setq pt22 (cdr (assoc 11 l2_en)))(setq pt (list (- (+ (nth 0 pt21) (nth 0 pt12)) (nth 0 pt11)) (- (+ (nth 1 pt21) (nth 1 pt12)) (nth 1 pt11))(- (+ (nth 2 pt21) (nth 2 pt12)) (nth 2 pt11)))) (command "ucs" "3" pt21 pt22 pt)(setq pt110 (trans pt11 0 1))(setq h (nth 2 pt110))(setq pt110 (list (nth 0 pt110) (nth 1 pt110) 0))(setq pt120 (trans pt12 0 1))(setq pt120 (list (nth 0 pt120) (nth 1 pt120) 0)) (setq pt210 (trans pt21 0 1))(setq pt220 (trans pt22 0 1))(setq pt1 (inters pt110 pt120 pt210 pt220 nil)) (setq pt2 (list (nth 0 pt1) (nth 1 pt1) h)) (command "line" pt1 pt2 "")(command "ucs" "p")(princ))。

异面直线的判断与所成的角

异面直线的判断与所成的角一．选择题（共10小题）1．异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线2．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且.，则直线FH与直线EG（）A．平行B．相交C．异面D．垂直3．在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（）A．2 B．4 C．6 D．85．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线A1B成45°的棱有（）条．A．4 B．8 C．12 D．26．如图所示，在三棱锥P﹣ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．6对7．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角8．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A．12对B．24对C．36对D．48对9．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 是异面直线的一个图是（）A． B．C．D．10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③二．填空题（共5小题）11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．12．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，异面直线A'D与AB'所成角的大小是．14．如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是．15．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为．异面直线的判断与所成的角参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．【解答】解：A 不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．B 不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交．D 正确，这就是异面直线的定义．故选D．【点评】本题考查异面直线的定义，用举反例的方法判断一个命题是假命题，是一种简单有效的方法．2．已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且.，则直线FH与直线EG（）A．平行B．相交C．异面D．垂直【分析】由已知EF为三角形ABD的中位线，从而EF∥BD且EF=BD，由.，得在四边形EFHG中，EF∥HG，即E，F，G，H四点共面，且EF≠HG，由此能得出结论．【解答】解：：∵四边形ABCD是空间四边形，E、F分别是AB、AD的中点，∴EF为三角形ABD的中位线∴EF∥BD且EF=BD又∵.，∴△CHG∽△CDB，且HG∥BD，HG=BD∴在四边形EFHG中，EF∥HG即E，F，G，H四点共面，且EF≠HG，∴四边形EFGH是梯形，∴直线FH与直线EG相交，故选B．【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判断出EF∥HG且EF≠HG，是解答本题的关键．3．在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，线面的关系可判断GH、MN是异面直线的图形．【解答】解：由题意：G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，对于图1：G，M是中点，上下面平行，故得GH、MN平行；对于图2：过N点作GH的平行线，可得GH与MN相交．GH与MN不平行；且GH与MN 不在同一平面，故得直线GH、MN是异面直线；对于3：GH与MN不在同一平面，GH与MN不平行，延长必相交．故得直线GH、MN不是异面直线；对于4：取GH的中点为E，可得GENM是平行四边形．故得GH、MN平行；图2，图3中直线GH、MN是异面直线；故选：B．【点评】本题考查了两条直线在空间图形中的位置的判断．利用了正三棱柱的特征和中点的性质．属于基础题．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱．【解答】解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱有：BB1和DD1，∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2．故选：A．【点评】本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线A1B成45°的棱有（）条．A．4 B．8 C．12 D．2【分析】根据线线角的定义在正方体中逐一寻找判断即可．【解答】解：如图所示：在正方形ABB1A1中，AA1、AB、BB1、A1B1与A1B均成45°角，根据线线角的定义知，DD1、CC1、DC、D1C1都与A1B成45°角，所以满足条件的棱有8条，故选：B．【点评】本题考查空间中异面直线所成角的定义及其求法，属基础题．6．如图所示，在三棱锥P﹣ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．6对【分析】画出三棱锥，找出它的棱所在直线的异面直线即可．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC中，棱PA与BC是异面直线，棱PB与AC是异面直线，棱PC与AB是异面直线；共3对．故选：B．【点评】本题考查了空间中的异面直线的判定问题，解题时应结合图形进行解答，是基础题．7．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角【分析】以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE 即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠CDE=60°故选D．【点评】本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．8．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A．12对B．24对C．36对D．48对【分析】画出正方体，查出一条棱的异面直线的对数为4，用正方体的棱数乘以2即可得到结果．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，正方体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，∴异面直线共有12×2=24对．故选：B．【点评】本题考查异面直线的判定，体现了组合思想方法，是基础题．9．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 是异面直线的一个图是（）A． B．C．D．【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来．【解答】解：A 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件．B 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件．D 中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件．C 中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C满足条件．故选C【点评】本题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断2条直线的位置关系，属于基础题．10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③【分析】将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，故应选D【点评】考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．二．填空题（共5小题）11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．【分析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案为：【点评】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角．12．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为45°．【分析】连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，先证明∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即可得出结论．【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．△PBC中，PB=PC=2，BC=，∴2（4+2）=4+4BE2，∴BE=，∴OE2+OB2=BE2，所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故答案为为45°．【点评】本题考查异面直线所成角，考查线面垂直，比较基础．13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，异面直线A'D与AB'所成角的大小是．【分析】根据题意，连接B′C，得出∠AB′C是异面直线A'D与AB'所成的角，利用等边三角形求出它的大小．【解答】解：正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，连接A′D、AB′、B′C，如图所示；则A′B′∥DC，且A′B′=DC，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D∥B′C，∴∠AB′C是异面直线A'D与AB'所成的角，连接AC，则△AB′C是边长为等边三角形，∴∠AB′C=，即异面直线A'D与AB'所成角是．故答案为：．【点评】本题考查了空间中两条异面直线所成角的作法与计算问题，是基础题．14．如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．【分析】如图：由于AB∥MC 且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角，根据由△CMD为等边三角形，可得∠MCD=60°即为所求．【解答】解：原正方体如图所示：由于AB∥MC 且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD 与CM成的角．由△CMD为等边三角形，∴∠MCD=60°，故直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了数形结合的数学思想和转化的数学思想．15．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．【解答】解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得：|=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°【点评】本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型．。

异面直线的判断

面。
在三维空间中，平行直线和异面直线是两种不同的关系，不能混
淆。
02
异面直线的判断方法
利用定义进行判断
总结词
直接利用异面直线的定义进行判断是最基本的方法。
详细描述
根据异面直线的定义，两条直线若在不同的平面上，则它们为异面直线。因此，判断两条直线是否在不同的平面上即可确定它们是否为异面直线。
装配精度
在机械装配过程中，异面直线用于确定零部件之间的相对位置，以确保装配精度。
05
异面直线的扩展知识
异面直线的公垂线与公垂线段
公垂线
连接异面直线上的任意两点的直线，与两条异面直线都垂直。
公垂线段
公垂线与其中一条直线的交点到另一条直线的距离，即为公垂线段。
异面直线的性质定理与判定定理
性质定理
电路设计
在电路设计中，异面直线可以作为导线的路径，确保电流的顺畅流通。
水利工程
在水利工程中，异面直线可以作为水渠、水坝等的设计基础，以实现水流的控制和引导。
机械制造中的异面直线
加工工艺
质量控制
在机械制造的加工工艺中，异面直线是确定工件位置和加工路径的重要依据。
在机械制造的质量控制环节，异面直线是检测和评估工件质量的重要标准。
异面直线的性质
异面直线没有公共点，因为它们不在同一平面内。
异面直线与平行直线不同，平行直线一定在同一个平面内。
异面直线可以无限延长，但永远不会相交。

异面直线与平行直线的关系
平行直线一定在同一个平面内，而异面直线不在同一个平面内。
平行直线可以转化为异面直线，但需要将其中一条直线移出该平
03
异面直线在几何问题中的应用

同一平面内的两条直线有几种位置关系

1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.

b

a

⑴
b a

⑵
b
⑶
a

巩固：
2. 两条异面直线指： (
)
A. 空间中不相交的两条直线； B. 不在同一平面内的两条直线； C. 不同在任一平面内的两条直线； D. 分别在两个不同平面内的两条直线； E. 空间没有公共点的两条直线； F. 既不相交，又不平行的两条直线.
BACK
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
按是否共面分
相交直线同在一个平面内
平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线无公共点异面直线
2.异面直线的画法
b
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托. 如图：
平行，那么这两个角相等或互补 ”．那么空间中这一结论是
否仍然成立呢？
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
D1
C1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O
的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角。
b a′ ？ OP a
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]

高一必修二数学知识点异面

高一必修二数学知识点异面数学是一门理科，是以数、数量关系和空间形式为对象的一门学科。

在高中数学课程中，必修二是一个重要的学习阶段。

在这个阶段，学生需要掌握许多基础的数学知识点，包括异面的概念与性质。

本文将对高一必修二数学知识点中的异面进行探讨。

异面是指在空间中不在同一平面内的三个或三个以上的直线或者曲面。

在高一必修二中，我们需要掌握异面的概念、判断异面的方法，以及异面的性质等内容。

1. 异面的概念异面是指在空间中不存在一个平面同时包含所有的直线或者曲面。

也就是说，如果存在一个平面可以同时包含所有的直线或者曲面，那么这些直线或者曲面就不是异面的。

2. 判断异面的方法要判断直线或者曲面是否异面，我们可以利用以下方法：- 对于直线：可以将直线所在的平面方程表示出来，如果无法找到一个平面可以同时包含所有的直线，那么这些直线就是异面的。

- 对于曲面：可以通过曲面的方程进行判断，如果无法找到一个平面可以同时包含所有的曲面，那么这些曲面就是异面的。

3. 异面的性质异面的性质包括以下内容：- 异面的直线不相交：异面的直线不会相交，也就是说，两条异面的直线不会在空间中有公共的交点。

- 异面的曲面不相交：异面的曲面也不会相交，也就是说，两个异面的曲面不会在空间中有公共的交线或交点。

4. 异面的应用异面的概念在几何中有许多应用，例如在求解空间几何问题中，我们需要用到异面直线的求交问题。

通过了解异面的概念和性质，我们可以更好地理解和解决这些问题。

5. 异面的拓展异面的概念不仅仅局限于直线和曲面，还可以应用于其他几何图形，比如异面的点、异面的球等。

这些异面的拓展内容可以在高一必修二后的数学学习中进行深入学习。

总结：在高一必修二数学课程中，异面是一个重要的知识点。

通过了解异面的概念、判断方法和性质，我们可以更好地理解和应用异面的几何问题。

同时，在学习过程中，我们还可以进一步拓展异面的应用，提高我们的数学综合能力。

通过本文对高一必修二数学知识点异面的论述，我们希望能帮助学生们更好地掌握和理解这一知识点，为他们在数学学习中打下坚实的基础。

空间直角坐标系中异面直线距离

空间直角坐标系中异面直线距离1. 引言嘿，朋友们，今天我们来聊聊一个看似复杂但其实特别有趣的数学问题，那就是空间直角坐标系中的异面直线距离。

你可能会想，“这听起来像是从火星发来的数学难题”，但是别担心，我们会把它拆得像切蛋糕一样简单！生活中其实处处都能碰到这些“异面直线”，比如你和朋友在不同的地方约会，想知道离得有多远，这不就很有用嘛！2. 什么是异面直线？2.1 定义和特点首先，我们得弄清楚什么是异面直线。

简单来说，异面直线就是在三维空间中，互不相交也不平行的两条直线。

听上去是不是有点像你和邻居之间的微妙关系？总是隔着一条“看不见的直线”，不太交集，但又总在同一个空间里游走。

2.2 直线的表示在空间直角坐标系中，每条直线都可以用参数方程表示，比如说直线A的方程可能是 ( mathbf{r_1 = mathbf{a_1 + tmathbf{b_1 )，而直线B则是 ( mathbf{r_2 =mathbf{a_2 + smathbf{b_2 )。

其中，( mathbf{a )是起点，( mathbf{b )是方向向量，( t )和( s )是参数。

这就像每个人都有自己的起点和方向，努力朝着自己的目标前进。

3. 异面直线的距离计算3.1 公式推导好了，话说回来，怎么计算这两条线之间的距离呢？首先，我们需要找出一条连接这两条直线的线段，这条线段的长度就是我们想要的距离。

数学上，这个距离可以用公式表示为：d = frac{|(mathbf{a_2 mathbf{a_1) cdot (mathbf{b_1 times mathbf{b_2)|{|mathbf{b_1 times mathbf{b_2|。

看起来是不是有点复杂？别怕，咱们慢慢来，主要是要理解这个公式背后的意义。

简单来说，分子部分就是连接点的矢量和方向向量的叉乘，而分母则是这两个方向向量的叉乘的长度。

这就像是在找一个最短的路径，尽量不绕圈！3.2 实际应用说到实际应用，想象一下你和朋友在城市的不同角落，你们用地图定位，但没法直接相见。

证明两条直线是异面直线

证明两条直线是异面直线异面直线(Perpendicular Lines)是任何两条以相同点拉开的直线，且在一个平面上，互相垂直的两条直线。

如果给定直线l和m，若它们的斜率分别为m1和m2，则当m1*m2=-1时它们是异面直线；若 m1*m2=0时它们是共线直线；若 m1*m2不等于0、-1时，它们是相交直线。

一、异面直线的定义1、定义：异面直线是两条拉开的直线,并且在一个平面上，互相垂直的两条直线。

2、判断：如果它们的斜率分别为m1和m2，当m1*m2=-1时它们是异面直线。

二、异面直线的特性1、斜率相乘为负：两条异面直线在斜率上相乘等于-1，即m1*m2=-1。

2、由两端作垂直：两条异面直线再一定条件下，可以由两端绘制等同的垂直线，即其中一端的点落在另外一条线上，而形成一个垂直关系。

3、夹角为90度：由两条直线相交，其形成的夹角为90度，可由夹角公式和斜率的值来判断两条直线是不是异面直线。

三、绘制异面直线的方法1、由斜率：如果给定了两条直线的斜率，可直接求出它们的夹角，若夹角等于 90 度，则表明它们是异面直线；如果夹角不等于 90 度，则表明它们不是异面直线。

2、由法线向量：当两条直线的法线向量都不为（0,0）的时候，若给定法线向量A1=(a1,b1)和A2=(a2,b2)，若A1*A2=0,则表明它们是异面直线；若A1*A2不等于 0，则表明它们不是异面直线。

3、由公式：如果直线 l 和 m 准备了合适的系数，可以基于斜率两条直线 l 和 m 互相垂直，若 m1*m2=-1满足，则它们是异面直线；若m1*m2=0 时，它们是原视直线；若 m1*m2不等于0、-1时，它们是相交直线。

四、异面直线的应用1、形状背景：用异面直线可以画出棱形、正多边形、菱形、六边形等各种 beauty 的形状，从而美化这个背景。

2、几何证明：异面直线是几何形状的基本要素，在几何的证明中，我们常常使用两条异面直线来进行证明，以证明某事是事实。

异面直线有关概念

异面直线有关概念异面直线是几何学中的重要概念，是指在三维空间中不在同一个平面上且永不相交的两条直线。

本文将对异面直线的定义、性质和应用进行探讨。

1. 异面直线的定义异面直线是指两条直线位于三维空间中不在同一个平面上的情况，且永不相交。

具体而言，如果两条直线在三维空间中不平行，并且它们的法向量也不共线，则可以判断它们是异面直线。

2. 异面直线的性质2.1 异面直线不平行由于异面直线不在同一个平面上，所以它们不可能平行。

这是异面直线与平面直线的一个重要区别。

2.2 异面直线没有交点由于异面直线不相交，所以它们不存在交点。

这一性质与平面直线不同，平面直线在同一个平面内一定会相交或平行。

2.3 异面直线的距离在几何学中，两条直线之间的距离通常定义为它们之间最短的长度。

对于异面直线，可以通过求解两条直线之间的最短距离来衡量它们的远近。

3. 异面直线的应用3.1 空间几何问题在许多空间几何问题中，涉及到不同平面上的直线之间的关系。

而异面直线正是这种问题的典型例子。

通过研究异面直线的性质和特点，可以帮助解决一些空间几何问题，如直线的相交情况、距离计算等。

3.2 三维图形的建模在计算机图形学中，三维模型的建模是一个重要的研究方向。

异面直线常常用于描述和构建复杂的三维模型。

例如，通过定义不同平面上的直线，可以打造出各种形状的物体，如建筑、汽车、人物等，使它们更加真实和立体。

3.3 直线的投影问题异面直线还可以应用于直线的投影问题中。

在三维空间中，当一条直线被投影到不同的平面上时，可能会出现相交或平行的情况。

通过研究异面直线的性质和投影关系，可以更好地分析和解决直线的投影问题。

总结：异面直线是指在三维空间中不在同一个平面上且永不相交的两条直线。

它们具有不平行、没有交点和可以计算距离的性质。

异面直线在空间几何问题、三维图形的建模以及直线的投影问题中具有广泛的应用。

通过深入研究异面直线的性质和特点，可以更好地理解和解决与三维空间相关的几何问题。

异面直线的判定方法

异面直线的判定方法以异面直线的判定方法为标题，写一篇文章。

异面直线是指在空间中不共面的两条直线。

判断两条直线是否异面是空间几何中的一个重要问题，在实际应用中也具有一定的意义。

本文将介绍一种常用的判定方法。

判断两条直线是否异面，可以通过两种方法来进行判定：向量法和方程法。

我们来介绍向量法。

假设有两条直线L1和L2，其方向向量分别为a和b。

如果a和b不平行，则直线L1和L2异面；如果a和b平行但不共线，则直线L1和L2异面；如果a和b共线，则需要进一步判断两条直线的位置关系。

接下来，我们来介绍方程法。

设直线L1上一点为P1(x1,y1,z1)，直线L2上一点为P2(x2,y2,z2)，直线L1的方向向量为a=<a1,a2,a3>，直线L2的方向向量为b=<b1,b2,b3>。

则直线L1的参数方程可以表示为：x=x1+ta1y=y1+ta2z=z1+ta3直线L2的参数方程可以表示为：x=x2+tb1y=y2+tb2z=z2+tb3如果存在一组参数t1和t2，使得直线L1和L2的参数方程同时成立，则直线L1和L2相交，即不异面；如果不存在这样的一组参数，则直线L1和L2异面。

通过向量法和方程法，我们可以判断两条直线的位置关系，进而判断它们是否异面。

需要注意的是，方程法在实际应用中更为常用，可以通过解方程组的方法来判断两条直线的位置关系。

除了以上介绍的方法，还有一种常用的判定方法是使用点法向量。

设直线L1上一点为P1(x1,y1,z1)，直线L2上一点为P2(x2,y2,z2)，直线L1的方向向量为a=<a1,a2,a3>，直线L2的方向向量为b=<b1,b2,b3>。

则直线L1和L2异面的充要条件是向量a与向量P2P1的点积等于0，即a·(P2P1)=0。

通过以上介绍，我们了解了异面直线的判定方法。

无论是向量法、方程法还是点法向量，都可以用来判断两条直线是否异面。

判断异面直线的方法

判断异面直线的方法
1. 看它们是否永远不会相交呀！就像你和一个在另一个星球的人，永远没有交集，那这两条线很可能就是异面直线呢。

比如正方体中的一条棱和不在同一面上的面对角线就是异面呀！
2. 可以通过与第三条线的关系来判断呢！如果一条直线与另外两条直线都相交，而这两条直线又不平行，那它们不就是异面的嘛，这就好比你有两个朋友，他们互相看不顺眼，那他们的关系不就很特别嘛，哈哈。

就像教室的天花板和地板上的某两条线。

3. 观察它们是否在同一平面内呀！如果怎么找都找不到它们能在一个平面里，那肯定就是异面直线咯。

想象一下一根立在地上的杆子和天花板上的一道线，它们怎么可能在同一平面嘛！比如三棱锥的侧棱和底边的对角线。

4. 试着找找有没有平行的平面包含它们哟！如果两条直线分别在两个平行的平面里，它们不就是异面了吗，这就好像两条遥遥相望的铁道线呀。

像长方体里相对两个面的对角线就是异面呀。

5. 从方向上判断嘛！如果它们的方向完全不同，而且永远不会重合，那很有可能就是异面啦，就如同你选择走陆路，而另一个人选择走水路，根本不在一条道上嘛。

比如一个斜棱柱的侧棱和底面的一条边。

6. 想想它们的投影呀！如果两条直线在某个投影下的图像都不相交，那它们很可能就是异面的哟，这就像白天的太阳和晚上的月亮根本不会在同一片天空出现，嘿嘿。

就像正四面体里的一些棱。

7. 感受一下空间位置呀！要是怎么看它们之间的位置都怪怪的，不是平行也不是相交，那大概率就是异面直线啦，这有点像你和一个陌生人在不同的空间里各自活动。

比如一个棱锥中不同侧棱之间。

总之，判断异面直线的方法有好多呢，只要多观察多思考，就能轻松判断出来啦！。