异面直线的判定练习题及答案

异面直线的判定

1.已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；

（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．

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是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，

（1）求证：直线EF与BD是异面直线；

3.已知：平面α∩平面β=a，b⊂α，b∩a=A，c⊂β且c∥a，求证：b、c是异面直线．

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4.已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与

BC是异面直线．

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5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．

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小结：常用方法是反证法

（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直

（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．

：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，

则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，∴AC、BD是异面直线．

（2）∵E、H分别是AB、AD的中点所以EH平行且等于1/2BD, 又F、G分别是BC、DC的三等分点，

EG平行等于2/3BD，．∴EH∥FG，且EH＜FG．∴FE与GH相交

设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．

同理，O在平面ABC内．从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．

2.（1）假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，得到A、B、C、D在同一平面内，矛盾．

3.（1）证明：用反证法．设EF与BD不是异面直线，

4.则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，

5.所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．

6.故直线EF与BD是异面直线．

7.3.证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交，证明b∥c或b与c相交都是不可能的，从而证明b、c是异面直线证明：用反证法：

8.若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交

9.（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b这与a∩b=A矛盾；

10.（2）若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b=A，

11.∴A∈β∴AB⊂β，即b⊂β这与b∩β=A矛盾

12.∴b，c是异面直线．

4.证明：法一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，

5.那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，

6.假设不成立，∴AD和BC是异面直线．

7.法二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，

8.设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，AD⊂平面α，B∉AD，∴AD和BC是异面直线．

9.证明：用反证法，

10.假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．

11.设直线CD1与BC1共面α．

12.∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，∴C，B，C1∈平面BB1C1C．

13.∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，∴平面α与平面BB1C1C重合．∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．

14.因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线

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