2018-2019学年高三理科数学二轮复习:小题专项限时突破1.集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数-含解析
2018届高考数学理科二轮总复习高考小题限时练 2 含解
高考小题限时练21.(2017·江苏运河中学质检)设集合M ={2,0,x },集合N ={0,1},若N ⊆M ,则x =________. 答案 1解析 ∵集合M ={2,0,x },N ={0,1},∴若N ⊆M ,则集合N 中元素均在集合M 中,∴x =1.2.已知集合M ={x |x 2-2x <0},N ={x |x <a },若M ⊆N ,则实数a 的取值范围是____________. 答案 [2,+∞)解析 M ={x |x 2-2x <0}=(0,2), 因为M ⊆N ,所以a ≥2.3.(2017·江苏如东、丰县中学联考)函数f (x )=log 2x 在点A (1,0)处切线的斜率为________. 答案1ln 2解析 ∵f ′(x )=1x ln 2,∴k =f ′(1)=1ln 2.4.从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和能被3整除的概率为________. 答案 13解析 从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数,基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个,所取2个数的和能被3整除的基本事件有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5),共5个.∴所取2个数的和能被3整除的概率为515=13.5.已知Ω1是集合{(x ,y )|x 2+y 2≤1}所表示的区域,Ω2是集合{(x ,y )|y ≤|x |}所表示的区域,向区域Ω1内随机地投一个点,则该点落在Ω2内的概率为________. 答案 34解析 区域Ω1是半径为1的圆面,其中在区域Ω2内的部分是34个圆面,故所求的概率是34.6.如图是一个算法流程图,则输出S 的值是________.答案 1 326解析 初始值S =4,k =2;第一次循环,S =4>8×2+5=21不成立.S =42-5=11,k =2+1=3;第二次循环,S =11>8×3+5=29不成立,S =113-5=1 326,k =3+1=4;第三次循环,S =1 326>8×4+5=37成立,此时结束循环.故输出S 的值是1 326. 7.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0,2x +3y -6≥0,3x +2y -9≤0,则目标函数z =2x +5y 的最小值为________.答案 6解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示,目标函数可化为y =-25x +15z ,在图中画出直线y =-25x ,平移该直线,易知经过点A 时z 最小.又知点A 的坐标为(3,0),∴z min =2×3+5×0=6.8.若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是__________. 答案 [3,+∞)解析 依题意可知双曲线的渐近线方程为y =±ba x ,与抛物线方程联立消去y ,得x 2±bax +2=0.∵渐近线与抛物线有交点,∴Δ=b 2a 2-8≥0,求得b 2≥8a 2,∴c =a 2+b 2≥3a ,∴e =ca≥3.9.已知角α,β满足tan αtan β=-4,cos(α+β)=13,则cos(α-β)=________.答案 -15解析 方法一 设cos(α-β)=x ,即 cos αcos β+sin αsin β=x .①又cos(α+β)=13,即cos αcos β-sin αsin β=13.②由①②得cos αcos β=16+x 2,sin αsin β=x 2-16,所以tan αtan β=x 2-16x 2+16=-4,解得x =-15.方法二 由tan αtan β=-4,得 sin αsin β=-4cos αcos β,①由cos(α+β)=13,得cos αcos β-sin αsin β=13.②由①②得cos αcos β=115,sin αsin β=-415,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-15.10.已知函数f (x )=x 2-4x 的图象上有两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1<x 2,若曲线y =f (x )在点A ,B 处的切线互相垂直,则3x 1-2x 2的最大值是________. 答案 2- 6解析 由题意得f ′(x )=2x -4,因为曲线y =f (x )在点A ,B 处的切线互相垂直, 所以x 1≠2,x 2≠2,(2x 1-4)·(2x 2-4)=-1. 又x 1<x 2,所以2x 1-4<0,2x 2-4>0,x 1=-14x 2-8+2,则3x 1-2x 2=3×⎝⎛⎭⎪⎫-14x 2-8+2-2x 2=-2x 2-34x 2-8+6=-⎣⎡⎦⎤12(4x 2-8)+34x 2-8+2≤-212(4x 2-8)·34x 2-8+2=2-6, 当且仅当12(4x 2-8)=34x 2-8时,上式取等号,因此3x 1-2x 2的最大值为2- 6.11.已知公差为2的等差数列{a n }及公比为2的等比数列{b n }满足a 1+b 1>0,a 2+b 2<0,则a 3+b 3的取值范围是________.答案 (-∞,-2)解析 ∵a 1+b 1>0,a 2+b 2=a 1+2+2b 1<0, ∴0<a 1+b 1<-2-b 1,b 1<-2,b 2=2b 1<-4.∴a 3+b 3=a 2+2+2b 2=a 2+b 2+2+b 2<0+2-4=-2, 则a 3+b 3的取值范围是(-∞,-2).12.已知在矩形ABCD 中,AB =2,AD =1,P 为边CD 上的一个动点(含端点C ,D ),则AP →·BP →的取值范围是________. 答案 [0,1]解析 方法一 由题意得当点P 与点D 或点C 重合时,AP →·BP →取得最大值,且最大值为AD →·BD →=|AD →|·|BD →|·cos 〈AD →,BD →〉=1×5×15=1;当P 在DC 的中点时,AP →·BP →取得最小值,且最小值为AP →·BP →=|AP →|·|BP →|·cos 90°=0.故AP →·BP →的取值范围为[0,1]. 方法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.A (0,0),B (2,0),设P (x,1),x ∈[0,2].AP →·BP →=x (x -2)+1=x 2-2x +1=(x -1)2∈[0,1].13.已知在三角形ABC 中,AC ⊥AB ,AB =3,AC =4.若点P 在三角形ABC 的内切圆上运动,则P A →·(PB →+PC →)的最小值为________. 答案 -2解析 因为AC ⊥AB ,所以以A 为坐标原点,AB ,AC 所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (3,0),C (0,4).由题意可知三角形ABC 的内切圆的圆心为(1,1),半径为1. 因为点P 在三角形的内切圆上运动, 所以可设P (1+cos θ,1+sin θ)(0≤θ<2π).所以P A →·(PB →+PC →)=(-1-cos θ)·(1-2cos θ)+(-1-sin θ)(2-2sin θ)=-1+cos θ+2cos 2θ-2+2sin 2θ=-1+cos θ≥-1-1=-2,当且仅当cos θ=-1,即P (0,1)时,P A →·(PB →+PC →)取到最小值,且最小值为-2.14.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x e ax,x <0,x e x ,x ≥0的图象过点⎝⎛⎭⎫-1,1e (其中e 为自然对数的底数),若关于x 的方程[f (x )]2-mf (x )+1=0(m ∈R )有四个不同的实数根,则实数m 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫e 2+1e ,+∞解析 由题意可得a =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x e x,x <0,x e x ,x ≥0.当x ≥0时,f ′(x )=e x +x e x >0恒成立,所以f (x )在区间[0,+∞)上为增函数;当x <0,f ′(x )=-e x -x e x =-e x (x +1),由f ′(x )=0,得x =-1,当x =(-∞,-1)时,f ′(x )>0,f (x )为增函数,当x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0,f (x )为减函数,所以函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x e x,x <0,x e x ,x ≥0在(-∞,0)上有一个极大值f (-1)=1e ,结合函数图象(图略),得要使方程[f (x )]2-mf (x )+1=0(m ∈R )有四个不同的实数根, 令f (x )=t ,则方程t 2-mt +1=0有两个不相等的实根,且一个根在⎝⎛⎭⎫0,1e 内,一个根在⎝⎛⎭⎫1e ,+∞内.令g (t )=t 2-mt +1,因为g (0)=1>0, 则只需g ⎝⎛⎭⎫1e <0,即⎝⎛⎭⎫1e 2-m ×1e+1<0, 解得m >e 2+1e ,所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e 2+1e ,+∞.。
【通用版】2018年高考理科数学二轮复习:教学案全集(含答案)
[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1.(2017·全国卷Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C .{1,3}D .{1,5}解析:选C 因为A ∩B ={1},所以1∈B ,所以1是方程x 2-4x +m =0的根,所以1-4+m =0,m =3,方程为x 2-4x +3=0,解得x =1或x =3,所以B ={1,3}.2.(2018届高三·安徽名校阶段测试)设A ={x |x 2-4x +3≤0},B ={x |ln(3-2x )<0},则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1≤x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x ≤3 解析:选B A ={x |x 2-4x +3≤0}={x |1≤x ≤3},B ={x |ln(3-2x )<0}={x |0<3-2x <1}=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1<x <32,结合Venn 图知,图中阴影部分表示的集合为A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <32. 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( )A .3B .2C .1D .0解析:选B 因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2.4.已知集合P ={n |n =2k -1,k ∈N *,k ≤50},Q ={2,3,5},则集合T ={xy |x ∈P ,y ∈Q }中元素的个数为( )A .147B .140C .130D .117解析:选B 由题意得,y 的取值一共有3种情况,当y =2时,xy 是偶数,与y =3,y =5时,没有相同的元素,当y =3,x =5,15,25,…,95时,与y =5,x =3,9,15,…,57时有相同的元素,共10个,故所求元素个数为3×50-10=140.5.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,B ={x |mx -1=0,m ∈R},若A ∩B =B ,则所有符合条件的实数m 组成的集合是( )A .{-1,0,2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,0,1 C .{-1,2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12解析:选A 因为A ∩B =B ,所以B ⊆A .若B 为∅,则m =0;若B ≠∅,则-m -1=0或12m -1=0,解得m =-1或2.综上,m ∈{-1,0,2}. [准解·快解·悟通][题点·考法·全练] 1.(2017·天津高考)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B由2-x≥0,得x≤2,由|x-1|≤1,得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2,故“2-x ≥0”是“|x -1|≤1”的必要而不充分条件.2.(2017·惠州三调)设函数y =f (x ),x ∈R ,“y =|f (x )|是偶函数”是“y =f (x )的图象关于原点对称”的( )A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 设f (x )=x 2,y =|f (x )|是偶函数,但是不能推出y =f (x )的图象关于原点对称.反之,若y =f (x )的图象关于原点对称,则y =f (x )是奇函数,这时y =|f (x )|是偶函数,故选C.3.(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 因为{a n }为等差数列,所以S 4+S 6=4a 1+6d +6a 1+15d =10a 1+21d,2S 5=10a 1+20d ,S 4+S 6-2S 5=d ,所以d >0⇔S 4+S 6>2S 5.4.已知“x >k ”是“3x +1<1”的充分不必要条件,则k 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .[1,+∞) C .(2,+∞)D .(-∞,-1]解析:选A 由3x +1<1,可得3x +1-1=-x +2x +1<0,所以x <-1或x >2,因为“x >k ”是“3x +1<1”的充分不必要条件,所以k ≥2. 5.已知条件p :x +y ≠-2,条件q :x ,y 不都是-1,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 因为p :x +y ≠-2,q :x ≠-1或y ≠-1, 所以綈p :x +y =-2,綈q :x =-1且y =-1,因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件.[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.下列命题中为真命题的是( ) A .命题“若x >1,则x 2>1”的否命题 B .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题 C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题 D .命题“若tan x =3,则x =π3”的逆否命题解析:选B 对于选项A ,命题“若x >1,则x 2>1”的否命题为“若x ≤1,则x 2≤1”,易知当x =-2时,x 2=4>1,故选项A 为假命题;对于选项B ,命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |,则x >y ”,分析可知选项B 为真命题;对于选项C ,命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x -2≠0”,易知当x =-2时,x 2+x -2=0,故选项C 为假命题;对于选项D ,命题“若tan x =3,则x =π3”为假命题,故其逆否命题为假命题,综上可知,选B.2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p :∃n ∈N ,n 2>2n ,则綈p 为( ) A .∀n ∈N ,n 2>2n B .∃n ∈N ,n 2≤2n C .∀n ∈N ,n 2≤2nD .∃n ∈N ,n 2=2n解析:选C 因为“∃x ∈M ,p (x )”的否定是“∀x ∈M ,綈p (x )”,所以命题“∃n ∈N ,n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ,n 2≤2n ”.3.(2017·山东高考)已知命题p :∀x >0,ln(x +1)>0;命题q :若a >b ,则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .p ∧綈qC .綈p ∧qD .綈p ∧綈q解析:选B 当x >0时,x +1>1,因此ln(x +1)>0,即p 为真命题;取a =1,b =-2,这时满足a >b ,显然a 2>b 2不成立,因此q 为假命题.由复合命题的真假性,知B 为真命题.[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)·(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=() A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}解析:选C因为B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.2.(2017·成都一诊)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是()A.若a≤b,则a+c≤b+c B.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c≤b+c解析:选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”.3.(2017·广西三市第一次联考)设集合A={x|8+2x-x2>0},集合B={x|x=2n-1,n ∈N*},则A∩B等于()A.{-1,1} B.{-1,3}C.{1,3} D.{3,1,-1}解析:选C∵A={x|-2<x<4},B={1,3,5,…},∴A ∩B ={1,3}.4.(2017·郑州第二次质量预测)已知集合A ={x |log 2x ≤1},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x>1,则A ∩(∁R B )=( )A .(-∞,2]B .(0,1]C .[1,2]D .(2,+∞)解析:选C 因为A ={x |0<x ≤2},B ={x |0<x <1},所以A ∩(∁R B )={x |0<x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥1}={x |1≤x ≤2}.5.(2017·北京高考)设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A ∵m =λn ,∴m ·n =λn ·n =λ|n |2. ∴当λ<0,n ≠0时,m ·n <0.反之,由m ·n =|m ||n |cos 〈m ,n 〉<0⇔cos 〈m ,n 〉<0⇔〈m ,n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2,π, 当〈m ,n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,m ,n 不共线. 故“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件.6.(2018届高三·湘中名校联考)已知集合A ={x |x 2-11x -12<0},B ={x |x =2(3n +1),n ∈Z},则A ∩B 等于( )A .{2}B .{2,8}C .{4,10}D .{2,4,8,10}解析:选B 因为集合A ={x |x 2-11x -12<0}={x |-1<x <12},集合B 为被6整除余数为2的数.又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,故被6整除余数为2的数有2和8,所以A ∩B ={2,8}.7.(2017·石家庄调研)设全集U =R ,集合A ={x |x ≥1},B ={x |(x +2)(x -1)<0},则( ) A .A ∩B =∅ B .A ∪B =U C .∁U B ⊆AD .∁U A ⊆B解析:选A 由(x +2)(x -1)<0,解得-2<x <1,所以B ={x |-2<x <1},则A ∩B =∅,A ∪B ={x |x >-2},∁U B ={x |x ≥1或x ≤-2},A ⊆∁U B ,∁U A ={x |x <1},B ⊆∁U A ,故选A.8.若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是伙伴关系集合,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )A .15B .16C .28D .25解析:选A 本题关键看清-1和1本身也具备这种运算,这样所求集合即由-1,1,3和13,2和12这“四大”元素所能组成的集合.所以满足条件的集合的个数为24-1=15. 9.(2017·郑州第一次质量预测)已知命题p :1a >14,命题q :∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0,则p 成立是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 命题p 等价于0<a <4.命题q ,对∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0,必有a =0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a 2-4a <0,则0≤a <4,所以命题p 是命题q 的充分不必要条件. 10.已知f (x )=3sin x -πx ,命题p :∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,f (x )<0,则( ) A .p 是假命题,綈p :∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,f (x )≥0 B .p 是假命题,綈p :∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,f (x 0)≥0 C .p 是真命题,綈p :∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,f (x 0)≥0 D .p 是真命题,綈p :∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,f (x )>0 解析:选C 因为f ′(x )=3cos x -π,所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2 时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,f (x )<f (0)=0恒成立,所以p 是真命题.而p 的否定为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,f (x 0)≥0,故选C. 11.已知命题p :函数f (x )=2ax 2-x -1在(0,1)内恰有一个零点;命题q :函数y =x 2-a在(0,+∞)上是减函数.若p 且綈q 为真命题,则实数a 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(-∞,2]C .(1,2]D .(-∞,1]∪(2,+∞)解析:选C 由题意可得,对命题p ,令f (0)·f (1)<0,即-1·(2a -2)<0,得a >1;对命题q ,令2-a <0,即a >2,则綈q 对应的a 的范围是(-∞,2].因为p 且綈q 为真命题,所以实数a 的取值范围是(1,2].12.在下列结论中,正确的个数是( )①命题p :“∃x 0∈R ,x 20-2≥0”的否定形式为綈p :“∀x ∈R ,x 2-2<0”;②O 是△ABC 所在平面上一点,若OA ―→·OB ―→=OB ―→·OC ―→=OC ―→·OA ―→,则O 是△ABC 的垂心;③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N”的充分不必要条件;④命题“若x 2-3x -4=0,则x =4”的逆否命题为“若x ≠4,则x 2-3x -4≠0”. A .1 B .2 C .3D .4解析:选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确. ∵OA ―→·OB ―→=OB ―→·OC ―→,∴OB ―→·(OA ―→-OC ―→)=0,即OB ―→·CA ―→=0, ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→,OC ―→⊥BA ―→,故点O 是△ABC 的垂心,∴②正确. ∵y =⎝⎛⎭⎫23x是减函数,∴当M >N 时,⎝⎛⎭⎫23M <⎝⎛⎭⎫23N ,当⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N 时,M <N . ∴“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的既不充分也不必要条件,∴③错误. 由逆否命题的写法可知,④正确. ∴正确的结论有3个. 二、填空题13.设命题p :∀a >0,a ≠1,函数f (x )=a x -x -a 有零点,则綈p :________________________.解析:全称命题的否定为特称(存在性)命题,綈p :∃a 0>0,a 0≠1,函数f (x )=a x 0-x-a 0没有零点.答案:∃a 0>0,a 0≠1,函数f (x )=a x 0-x -a 0没有零点14.设全集U ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R},集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪ y -3x -2=1,P ={(x ,y )|y ≠x +1},则∁U (M ∪P )=________.解析:集合M ={(x ,y )|y =x +1,且x ≠2,y ≠3}, 所以M ∪P ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R ,且x ≠2,y ≠3}. 则∁U (M ∪P )={(2,3)}. 答案:{(2,3)}15.已知命题p :不等式xx -1<0的解集为{x |0<x <1};命题q :在△ABC 中,“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件.有下列四个结论:①p 真q 假;②“p ∧q ”为真;③“p ∨q ”为真;④p 假q 真,其中正确结论的序号是________.解析:解不等式知,命题p是真命题,在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,所以命题q是假命题,所以①③正确.答案:①③16.a,b,c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大,那么a的年龄最小”和命题B:“如果c不是年龄最小,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄由小到大依次是________.解析:显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此我们应该从它们的逆否命题来看.由命题A可知,当b不是最大时,则a是最小,所以c最大,即c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“若a的年龄不是最小,则b的年龄是最大”为真,即b>a>c.同理,由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c,所以a,b,c三人的年龄大小顺序是:b最大,a次之,c最小.答案:c,a,b送分专题(二)函数的图象与性质[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1.(2017·广州综合测试)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≤0,1-log 2x ,x >0,则f (f (-3))=( ) A.43B .23C .-43D .3解析:选D 因为f (-3)=2-2=14,所以f (f (-3))=f ⎝⎛⎭⎫14=1-log 214=3. 2.函数y =1-x 22x 2-3x -2的定义域为( )A .(-∞,1]B .[-1,1]C .[1,2)∪(2,+∞)D.⎣⎡⎭⎫-1,-12∪⎝⎛⎦⎤-12,1 解析:选D 要使函数y =1-x 22x 2-3x -2有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,2x 2-3x -2≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤1,x ≠2且x ≠-12,即-1≤x ≤1且x ≠-12,所以该函数的定义域为⎣⎡⎭⎫-1,-12∪⎝⎛⎦⎤-12,1. 3.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞.答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 4.若函数f (x )=(x +a )(bx +2a )(常数a ,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,2],则该函数的解析式为________.解析:由题意知:a ≠0,f (x )=(x +a )(bx +2a )=bx 2+(2a +ab )x +2a 2是偶函数,则其图象关于y 轴对称,所以2a +ab =0,b =-2.所以f (x )=-2x 2+2a 2,因为它的值域为(-∞,2],所以2a 2=2.所以f (x )=-2x 2+2.答案:f (x )=-2x 2+25.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(1-2a )x +3a ,x <1,2x -1,x ≥1的值域为R ,则实数a 的取值范围是________.解析:当x ≥1时,f (x )=2x -1≥1,∵函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(1-2a )x +3a ,x <1,2x -1,x ≥1的值域为R ,∴当x <1时,y =(1-2a )x +3a 必须取遍(-∞,1]内的所有实数,则⎩⎪⎨⎪⎧1-2a >0,1-2a +3a ≥1,解得0≤a <12.答案:⎣⎡⎭⎫0,12 [准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.(2018届高三·安徽名校阶段性测试)函数y =x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析:选D 易知函数y =x 2ln|x ||x |是偶函数,可排除B ,当x >0时,y =x ln x ,y ′=ln x+1,令y ′>0,得x >e -1,所以当x >0时,函数在(e -1,+∞)上单调递增,结合图象可知D正确,故选D.2.已知函数f (x -1)是定义在R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则函数f (x )的图象可能是( )解析:选B 函数f (x -1)的图象向左平移1个单位,即可得到函数f (x )的图象,因为函数f (x -1)是定义在R 上的奇函数,所以函数f (x -1)的图象关于原点对称,所以函数f (x )的图象关于点(-1,0)对称,排除A 、C 、D ,选B.3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧m +x 2,|x |≥1,x ,|x |<1的图象过点(1,1),函数g (x )是二次函数,若函数f (g (x ))的值域是[0,+∞),则函数g (x )的值域是( )A .(-∞,-1]∪[1,+∞)B .(-∞,-1]∪[0,+∞)C .[0,+∞)D .[1,+∞)解析:选C 因为函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧m +x 2,|x |≥1,x ,|x |<1的图象过点(1,1),所以m +1=1,解得m =0,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,|x |≥1,x ,|x |<1.画出函数y =f (x )的图象(如图所示),由于函数g (x )是二次函数,值域不会是选项A 、B ,易知,当g (x )的值域是[0,+∞)时,f (g (x ))的值域是[0,+∞).[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的是()A.f(x)=1x-x B.f(x)=x3C.f(x)=ln x D.f(x)=2x解析:选A“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”等价于f(x)在(0,+∞)上为减函数,易判断f(x)=1x-x满足条件.2.(2017·广西三市第一次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,若实数a满足f(2log3a)>f(-2),则a的取值范围是()A.(-∞,3) B.(0,3)C.(3,+∞) D.(1,3)解析:选B∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.根据函数的对称性,可得f(-2)=f(2),∴f(2log3a)>f(2).∵2log 3a >0,f (x )在区间[0,+∞)上单调递减,∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.3.(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x ,则f (919)=________.解析:∵f (x +4)=f (x -2),∴f (x +6)=f (x ), ∴f (x )的周期为6,∵919=153×6+1,∴f (919)=f (1). 又f (x )为偶函数,∴f (919)=f (1)=f (-1)=6. 答案:64.(2017·福建普通高中质量检测)已知函数f (x )=x 2(2x -2-x ),则不等式f (2x +1)+f (1)≥0的解集是________.解析:因为f (-x )=(-x )2(2-x -2x )=-x 2(2x -2-x )=-f (x ),所以函数f (x )是奇函数.不等式f (2x +1)+f (1)≥0等价于f (2x +1)≥f (-1).易知,当x >0时,函数f (x )为增函数,所以函数f (x )在R 上为增函数,所以f (2x +1)≥f (-1)等价于2x +1≥-1,解得x ≥-1.答案:{x |x ≥-1}[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题 1.函数f (x )=1x -1+x 的定义域为( ) A .[0,+∞) B .(1,+∞) C .[0,1)∪(1,+∞)D .[0,1)解析:选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠0,x ≥0,∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1,+∞).2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A .y =1xB .y =|x |-1C .y =lg xD .y =⎝⎛⎭⎫12|x |解析:选B A 中函数y =1x 不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故A 错误;B 中函数满足题意,故B 正确;C 中函数不是偶函数,故C 错误;D 中函数不满足在(0,+∞)上单调递增,故选B.3.已知函数f (x )=2×4x -a2x的图象关于原点对称,g (x )=ln(e x +1)-bx 是偶函数,则log a b =( )A .1B .-1C .-12D .14解析:选B 由题意得f (0)=0,∴a =2. ∵g (1)=g (-1),∴ln(e +1)-b =ln ⎝⎛⎭⎫1e +1+b , ∴b =12,∴log 212=-1.4.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <-1,ln (x +a ),x ≥-1的图象如图所示,则f (-3)等于( )A .-12B .-54C .-1D .-2解析:选C 由图象可得a (-1)+b =3,ln(-1+a )=0,∴a =2,b =5,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +5,x <-1,ln (x +2),x ≥-1, 故f (-3)=2×(-3)+5=-1.5.已知函数f (x )的定义域为(-∞,+∞),若f (x +2 017)=⎩⎨⎧2sin x ,x ≥0,lg (-x ),x <0,则f ⎝⎛⎭⎫2 017+π4·f (-7 983)=( ) A .2 016 B.14C .4 D.12 016解析:选C 由题意得,f ⎝⎛⎭⎫2 017+π4=2sin π4=1, f (-7 983)=f (2 017-10 000)=lg 10 000=4, ∴f ⎝⎛⎭⎫2 017+π4·f (-7 983)=4. 6.函数y =sin xx ,x ∈(-π,0)∪(0,π)的图象大致是( )解析:选A 函数y =sin xx ,x ∈(-π,0)∪(0,π)为偶函数,所以图象关于y 轴对称,排除B 、C ,又当x 趋近于π时,y =sin xx 趋近于0,故选A.7.(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x >12时,f ⎝⎛⎭⎫x +12=f ⎝⎛⎭⎫x -12,则f (6)=( ) A .-2 B .-1 C .0D .2解析:选D 由题意知,当x >12时,f ⎝⎛⎭⎫x +12=fx -12,则f (x +1)=f (x ). 又当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ), ∴f (6)=f (1)=-f (-1).又当x <0时,f (x )=x 3-1, ∴f (-1)=-2,∴f (6)=2.8.如图,动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上.过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线,与正方体的表面相交于M ,N 两点.设BP =x ,MN =y ,则函数y =f (x )的图象大致是( )解析:选B 设正方体的棱长为1,显然,当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时,函数y =MN =AC =2取得唯一的最大值,所以排除A 、C ;当P 在BE 上时,分别过M ,N ,P 作底面的垂线,垂足分别为M 1,N 1,P 1,则y =MN =M 1N 1=2BP 1=2x cos ∠D 1BD =263x ,是一次函数,所以排除D.故选B.9.(2017·贵阳模拟)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C 由已知得当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2, 当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2.∵f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)=23-2=6. 10.函数f (x )=ax +b(x +c )2的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .a >0,b >0,c <0B .a <0,b >0,c >0C .a <0,b >0,c <0D .a <0,b <0,c <0 解析:选C ∵f (x )=ax +b(x +c )2的图象与x 轴,y 轴分别交于N ,M ,且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正,∴x =-b a >0,y =bc 2>0,故a <0,b >0,又函数图象间断点的横坐标为正,∴-c >0,c <0,故选C.11.定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<1,且函数y =f (x )的图象关于原点对称,若f (2)=2,则不等式f (x )-x >0的解集是( )A .(-2,0)∪(0,2)B .(-∞,-2)∪(2,+∞)C .(-∞,-2)∪(0,2)D .(-2,0)∪(2,+∞)解析:选C (转化法)由f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<1,可得[f (x 1)-x 1]-[f (x 2)-x 2]x 1-x 2<0.令F (x )=f (x )-x ,由题意知F (x )在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,且是奇函数,F (2)=0,F (-2)=0,所以结合图象,令F (x )>0,得x <-2或0<x <2.12.已知函数f (x )=2x -1,g (x )=1-x 2,规定:当|f (x )|≥g (x )时,h (x )=|f (x )|;当|f (x )|<g (x )时,h (x )=-g (x ),则h (x )( )A .有最小值-1,最大值1B .有最大值1,无最小值C .有最小值-1,无最大值D .有最大值-1,无最小值解析:选C 作出函数g (x )=1-x 2和函数|f (x )|=|2x -1|的图象如图①所示,得到函数h (x )的图象如图②所示,由图象得函数h (x )有最小值-1,无最大值.二、填空题13.函数f (x )=ln 1|x |+1的值域是________.解析:因为|x |≥0,所以|x |+1≥1. 所以0<1|x |+1≤1.所以ln 1|x |+1≤0, 即f (x )=ln1|x |+1的值域为(-∞,0]. 答案:(-∞,0]14.(2018届高三·安徽名校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x <0时,f (x )=2x ,则f (log 49)=________.解析:因为log 49=log 23>0,又f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x <0时,f (x )=2x ,所以f (log 49)=f (log 23)=-2-log 23=-2log 213=-13.答案:-1315.若当x ∈(1,2)时,函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方,则实数a 的取值范围是________.解析:如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象,由于当x ∈(1,2)时,函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方,则⎩⎪⎨⎪⎧a >1,log a 2≥1,解得1<a ≤2.答案:(1,2]16.(2017·惠州三调)已知定义在R 上的函数y =f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x +32=-f (x ),且函数y =f ⎝⎛⎭⎫x -34为奇函数,给出以下四个命题: ①函数f (x )是周期函数;②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫-34,0对称; ③函数f (x )为R 上的偶函数; ④函数f (x )为R 上的单调函数. 其中真命题的序号为____________.解析:f (x +3)=f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x +32+32=-f ⎝⎛⎭⎫x +32=f (x ),所以f (x )是周期为3的周期函数,①正确;函数f ⎝⎛⎭⎫x -34是奇函数,其图象关于点(0,0)对称,则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫-34,0对称,②正确;因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫-34,0对称,-34=-x +⎝⎛⎭⎫-32+x 2,所以f (-x )=-f ⎝⎛⎭⎫-32+x , 又f ⎝⎛⎭⎫-32+x =-f ⎝⎛⎭⎫-32+x +32=-f (x ), 所以f (-x )=f (x ),③正确;f (x )是周期函数在R 上不可能是单调函数,④错误. 故真命题的序号为①②③. 答案:①②③送分专题(三) 平面向量[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1.(2017·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线,且向量AB ―→=e 1+me 2,AC ―→=ne 1+e 2,若A ,B ,C 三点共线,则实数m ,n 满足的条件是( )A .mn =1B .mn =-1C .m +n =1D .m +n =-1解析:选A 法一:因为A ,B ,C 三点共线,所以一定存在一个确定的实数λ,使得AB―→=λAC ―→,所以有e 1+me 2=nλe 1+λe 2,由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1=nλ,m =λ,所以mn =1.法二:因为A ,B ,C 三点共线,所以必有1n =m1,所以mn =1.2.如图所示,下列结论正确的是( )①PQ ―→=32a +32b ;②PT ―→=32a -b ;③PS ―→=32a -12b ;④PR ―→=32a +b .A .①②B .③④C .①③D .②④解析:选C ①根据向量的加法法则,得PQ ―→=32a +32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ―→=32a -32b ,故②错误;③PS ―→=PQ ―→+QS ―→=32a +32b -2b =32a -12b ,故③正确;④PR ―→=PQ ―→+QR ―→=32a +32b -b =32a +12b ,故④错误.故正确命题的结论为①③.3.已知平面内不共线的四点O ,A ,B ,C ,若OA ―→-3OB ―→+2OC ―→=0,则|AB ―→||BC ―→|=________.解析:由已知得OA ―→-OB ―→=2(OB ―→-OC ―→),即BA ―→=2CB ―→, ∴|BA ―→|=2|CB ―→|,∴|AB ―→||BC ―→|=2.答案:24.已知e 1,e 2是不共线向量,a =me 1+2e 2,b =ne 1-e 2,且mn ≠0,若a ∥b ,则mn 等于________.解析:∵a ∥b ,∴a =λb ,即me 1+2e 2=λ(ne 1-e 2),则⎩⎪⎨⎪⎧λn =m ,-λ=2,解得m n =-2.答案:-2[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.已知向量m =(t +1,1),n =(t +2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则t =( ) A .0 B .-3 C .3D .-1解析:选B 法一:由(m +n )⊥(m -n )可得(m +n )·(m -n )=0,即m 2=n 2,故(t +1)2+1=(t +2)2+4,解得t =-3.法二:m +n =(2t +3,3),m -n =(-1,-1),∵(m +n )⊥(m -n ),∴-(2t +3)-3=0,解得t =-3.2.(2017·洛阳统考)已知向量a =(1,0),|b |=2,a 与b 的夹角为45°,若c =a +b ,d =a -b ,则c 在d 方向上的投影为( )A.55B .-55C .1D .-1解析:选D 依题意得|a |=1,a ·b =1×2×cos 45°=1,|d |=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =1,c ·d =a 2-b 2=-1,因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |=-1. 3.已知向量a =(2,1),b =(1,k ),且a 与b 的夹角为锐角,则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫-2,12 B.⎝⎛⎭⎫-2,12∪⎝⎛⎭⎫12,+∞ C .(-2,+∞)D .[-2,+∞)解析:选B 当a ,b 共线时,2k -1=0,k =12,此时a ,b 方向相同,夹角为0,所以要使a 与b 的夹角为锐角,则有a·b >0且a ,b 不共线.由a·b =2+k >0得k >-2,又k ≠12,即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-2,12∪⎝⎛⎭⎫12,+∞,选B. 4.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |=________. 解析:法一:易知|a +2b |=|a |2+4a ·b +4|b |2=4+4×2×1×12+4=2 3.法二:(数形结合法)由|a |=|2b |=2,知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ,如图,则|a +2b |=|OC ―→|.又∠AOB =60°,所以|a +2b |=2 3.答案:2 35.(2017·山东高考)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是________.解析:因为(3e 1-e 2)·(e 1+λe 2)|3e 1-e 2|·|e 1+λe 2|=3-λ21+λ2,故3-λ21+λ2=12,解得λ=33.答案:33[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =6,点D 在边AC 上,且2AD ―→=DC ―→,则BA ―→·BD ―→的值是( )A .48B .24C .12D .6解析:选B 法一:由题意得,BA ―→·BC ―→=0,BA ―→·CA ―→=BA ―→·(BA ―→-BC ―→)=|BA ―→|2=36,∴BA ―→·BD ―→=BA ―→·(BC ―→+CD ―→)=BA ―→·⎝⎛⎭⎫BC ―→+23 CA ―→ =0+23×36=24. 法二:(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (6,0),C (0,6).由2AD ―→=DC ―→,得D (4,2).∴BA ―→·BD ―→=(6,0)·(4,2)=24.2.如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线与AB ,AC 两边分别交于M ,N 两点,且AM ―→=x AB ―→,AN ―→=y AC ―→,则x +2y 的最小值为( )A .2 B.13 C.3+223D.34解析:选C 由已知可得AG ―→=23×12(AB ―→+AC ―→)=13AB ―→+13AC ―→=13x AM ―→+13y AN ―→,又M ,G ,N 三点共线,故13x +13y=1,∴1x +1y =3,则x +2y =(x +2y )·⎝⎛⎭⎫1x +1y ·13=13⎝⎛⎭⎫3+2y x +x y ≥3+223(当且仅当x =2y 时取等号).3.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则PA ―→·(PB ―→+PC ―→)的最小值是( )A .-2B .-32C .-43D .-1解析:选B 如图,以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x轴,以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,3),B (-1,0),C (1,0),设P (x ,y ),则PA ―→=(-x, 3-y ),PB ―→=(-1-x ,-y ),PC ―→=(1-x ,-y ),所以PA ―→·(PB ―→+PC ―→)=(-x ,3-y )·(-2x ,-2y )=2x 2+2⎝⎛⎭⎫y -322-32,当x =0,y =32时,PA ―→·(PB ―→+PC ―→)取得最小值,为-32.4.如图,已知△ABC 中,∠BAC =90°,∠B =30°,点P 在线段BC 上运动,且满足CP ―→=λCB ―→,当PA ―→·PC ―→取到最小值时,λ的值为( )A.14 B.15 C.16D.18解析:选D 如图所示,建立平面直角坐标系.不妨设BC =4,P (x,0)(0≤x ≤4),则A (3,3),C (4,0),∴PA ―→·PC ―→=(3-x ,3)·(4-x,0)=(3-x )(4-x )=x 2-7x +12=⎝⎛⎭⎫x -722-14.当x =72时,PA ―→·PC ―→取得最小值-14.∵CP ―→=λCB ―→,∴⎝⎛⎭⎫-12,0=λ(-4,0), ∴-4λ=-12,解得λ=18.故选D.5.如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP ―→=3PD ―→,AP ―→·BP ―→=2,则AB ―→·AD ―→的值是________.解析:因为AP ―→=AD ―→+DP ―→=AD ―→+14AB ―→,BP ―→=BC ―→+CP ―→=AD ―→-34AB ―→,所以AP ―→·BP ―→=⎝⎛⎭⎫AD ―→+14AB ―→·⎝⎛⎭⎫AD ―→-34AB ―→= |AD ―→|2-316|AB ―→|2-12AD ―→·AB ―→=2,将AB =8,AD =5代入解得AB ―→·AD ―→=22. 答案:22[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1.设a =(1,2),b =(1,1),c =a +kb .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( ) A .-32B .-53C.53D .32解析:选A 因为c =a +kb =(1+k,2+k ),又b ⊥c ,所以1×(1+k )+1×(2+k )=0,解得k =-32.2.(2017·贵州适应性考试)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),c =(2,3),若a +λb 与c 共线,则实数λ=( )A.25 B .-25C.35D .-35解析:选B 法一:a +λb =(2-λ,4+λ),c =(2,3),因为a +λb 与c 共线,所以必定存在唯一实数μ,使得a +λb =μc ,所以⎩⎪⎨⎪⎧2-λ=2μ,4+λ=3μ,解得⎩⎨⎧μ=65,λ=-25.法二:a +λb =(2-λ,4+λ),c =(2,3),由a +λb 与c 共线可知2-λ2=4+λ3,解得λ=-25. 3.(2018届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a 与b 的夹角为45°,a =(1,1),|b |=2,则|3a +b |等于( )A .13+6 2B .2 5 C.30D .34解析:选D 依题意得a 2=2,a ·b =2×2×cos 45°=2,|3a +b |=(3a +b )2=9a 2+6a ·b +b 2=18+12+4=34.4.在等腰梯形ABCD 中,AB ―→=-2CD ―→CD ―→,M 为BC 的中点,则AM ―→=( ) A.12AB ―→+12AD ―→ B.34AB ―→+12AD ―→ C.34AB ―→+14AD ―→ D.12AB ―→+34AD ―→ 解析:选B 因为AB ―→=-2CD ―→,所以AB ―→=2DC ―→.又M 是BC 的中点,所以AM ―→=12(AB―→+AC ―→)=12(AB ―→+AD ―→+DC ―→)=12⎝⎛⎭⎫AB ―→+AD ―→+12AB ―→=34AB ―→+12AD ―→.5.(2017·成都二诊)已知平面向量a ,b 的夹角为π3,且|a |=1,|b |=12,则a +2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6 C.π4D.3π4解析:选A 法一:因为|a +2b |2=|a |2+4|b |2+4a ·b =1+1+4×1×12×cos π3=3,所以|a +2b |=3,又(a +2b )·b =a ·b +2|b |2=1×12×cos π3+2×14=14+12=34,所以cos 〈a +2b ,b 〉=(a +2b )·b|a +2b ||b |=343×12=32, 所以a +2b 与b 的夹角为π6.法二:(特例法)设a =(1,0),b =⎝⎛⎭⎫12cos π3,12sin π3=⎝⎛⎭⎫14,34,则(a +2b )·b =⎝⎛⎭⎫32,32·⎝⎛⎭⎫14,34=34,|a +2b |=⎝⎛⎭⎫322+⎝⎛⎭⎫322=3,所以cos 〈a +2b ,b 〉=(a +2b )·b |a +2b ||b |=343×12=32,所以a +2b 与b 的夹角为π6. 6.已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4),则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( ) A.322B .3152C .-322D .-3152解析:选A 由题意知AB ―→=(2,1),CD ―→=(5,5),则AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|·cos 〈AB ―→,CD ―→〉=AB ―→·CD ―→|CD ―→|=322.7.(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中,D ,E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B ),则AD ―→·AE ―→等于( )A.16B.29C.1318D.13解析:选C 法一:因为D ,E 是边BC 的两个三等分点,所以BD =DE =CE =13,在△ABD 中,AD 2=BD 2+AB 2-2BD ·AB ·cos 60° =⎝⎛⎭⎫132+12-2×13×1×12=79, 即AD =73,同理可得AE =73, 在△ADE 中,由余弦定理得 cos ∠DAE =AD 2+AE 2-DE 22AD ·AE=79+79-⎝⎛⎭⎫1322×73×73=1314,所以AD ―→·AE ―→=|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE =73×73×1314=1318. 法二:如图,建立平面直角坐标系,由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫0,32,D ⎝⎛⎭⎫-16,0,E ⎝⎛⎭⎫16,0,所以AD ―→=⎝⎛⎭⎫-16,-32,AE ―→=⎝⎛⎭⎫16,-32,所以AD ―→·AE ―→=⎝⎛⎭⎫-16,-32·⎝⎛⎭⎫16,-32=-136+34=1318.8.(2017·东北四市模拟)已知向量OA ―→=(3,1),OB ―→=(-1,3),OC ―→=m OA ―→-n OB ―→(m >0,n >0),若m +n =1,则|OC ―→|的最小值为( )A.52B.102C. 5D.10解析:选C 由OA ―→=(3,1),OB ―→=(-1,3),得OC ―→=m OA ―→-n OB ―→=(3m +n ,m -3n ),因为m +n =1(m >0,n >0),所以n =1-m 且0<m <1,所以OC ―→=(1+2m,4m -3), 则|OC ―→|=(1+2m )2+(4m -3)2=20m 2-20m +10 =20⎝⎛⎭⎫m -122+5(0<m <1),所以当m =12时,|OC ―→|min = 5.9.已知向量m ,n 的模分别为2,2,且m ,n 的夹角为45°.在△ABC 中,AB ―→=2m +2n ,AC ―→=2m -6n ,BC ―→=2BD ―→,则|AD ―→|=( )A .2B .2 2C .4D .8解析:选B 因为BC ―→=2BD ―→,所以点D 为边BC 的中点,所以AD ―→=12(AB ―→+AC ―→)=2m -2n ,所以|AD ―→|=2|m -n |=2(m -n )2=22+4-2×2×2×22=2 2. 10.(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心,且PA ―→+PB ―→+λPC ―→=0,C =120°,则实数λ的值为( )A.12 B .-12C .-1D .1解析:选C 设AB 中点为D ,则PA ―→+PB ―→=2PD ―→PD ―→. 因为PA ―→+PB ―→+λPC ―→=0,所以2PD ―→+λPC ―→=0,所以向量PD ―→,PC ―→共线. 又P 是△ABC 的外心,所以PA =PB , 所以PD ⊥AB ,所以CD ⊥AB .因为∠ACB =120°,所以∠APB =120°, 所以四边形APBC 是菱形, 从而PA ―→+PB ―→=2PD ―→=PC ―→,所以2PD ―→+λPC ―→=PC ―→+λPC ―→=0,所以λ=-1.11.已知Rt △AOB 的面积为1,O 为直角顶点,设向量a =OA ―→|OA ―→|,b =OB ―→|OB ―→|,OP ―→=a +2b ,则PA ―→·PB ―→的最大值为( )A .1B .2C .3D .4解析:选A 如图,设A (m,0),B (0,n ),∴mn =2,则a =(1,0),b =(0,1),OP ―→=a +2b =(1,2),PA ―→=(m -1,-2),PB ―→=(-1,n -2),PA ―→·PB ―→=5-(m +2n )≤5-22nm =1,当且仅当m =2n ,即m =2,n =1时,等号成立.12.已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE =2EF ,则AF ―→·BC ―→的值为( )A .-58B.18 C.14D.118解析:选B 如图所示, AF ―→=AD ―→+DF ―→.又D ,E 分别为AB ,BC 的中点, 且DE =2EF ,所以AD ―→=12AB ―→,DF ―→=12AC ―→+14AC ―→=34AC ―→,所以AF ―→=12AB ―→+34AC ―→.又BC ―→=AC ―→-AB ―→,则AF ―→·BC ―→=⎝⎛⎭⎫12AB ―→+34AC ―→·(AC ―→-AB ―→)=12AB ―→·AC ―→-12AB ―→2+34AC ―→2-34AC ―→·AB ―→ =34AC ―→2-12AB ―→2-14AC ―→·AB ―→. 又|AB ―→|=|AC ―→|=1,∠BAC =60°, 故AF ―→·BC ―→=34-12-14×1×1×12=18.二、填空题13.在△ABC 中,点O 在线段BC 的延长线上,且||BO ―→=3||CO―→,当AO ―→=x AB ―→+y AC ―→时,则x -y =________.解析:∵AO ―→=AB ―→+BO ―→=AB ―→+32BC ―→=AB ―→+32(AC ―→-AB ―→)=-12AB ―→+32AC ―→,∴x -y =-2.答案:-214.已知a ,b 是非零向量,f (x )=(ax +b )·(bx -a )的图象是一条直线,|a +b |=2,|a |=1,则f (x )=________.解析:由f (x )=a ·bx 2-(a 2-b 2)x -a ·b 的图象是一条直线,可得a ·b =0.因为|a +b |=2,所以a 2+b 2=4.因为|a |=1,所以a 2=1,b 2=3,所以f (x )=2x . 答案:2x15.(2017·天津高考)在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2.若BD ―→=2DC ―→,AE ―→=λAC ―→-AB ―→ (λ∈R),且AD ―→·AE ―→=-4,则λ的值为________.解析:法一:AD ―→=AB ―→+BD ―→=AB ―→+23BC ―→=AB ―→+23(AC ―→-AB ―→)=13AB ―→+23AC ―→.又AB ―→·AC ―→=3×2×12=3,所以AD ―→·AE ―→=⎝⎛⎭⎫13AB ―→+23AC ―→·(-AB ―→+λAC ―→) =-13AB ―→2+⎝⎛⎭⎫13λ-23AB ―→·AC ―→+23λAC ―→2 =-3+3⎝⎛⎭⎫13λ-23+23λ×4=113λ-5=-4, 解得λ=311.法二:以点A 为坐标原点,AB ―→的方向为x 轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点C 在第一象限,则A (0,0),B (3,0),C (1,3). 由BD ―→=2DC ―→,得D ⎝⎛⎭⎫53,233, 由AE ―→=λAC ―→-AB ―→,得E (λ-3,3λ),则AD ―→·AE ―→=⎝⎛⎭⎫53,233·(λ-3,3λ)=53(λ-3)+233×3λ=113λ-5=-4,解得λ=311.答案:31116.定义平面向量的一种运算a ⊙b =|a +b |·|a -b |·sin 〈a ,b 〉,其中〈a ,b 〉是a 与b 的夹角,给出下列命题:①若〈a ,b 〉=90°,则a ⊙b =a 2+b 2;②若|a |=|b |,则(a +b )⊙(a -b )=4a ·b ;③若|a |=|b |,则a ⊙b ≤2|a |2;④若a =(1,2),b =(-2,2),则(a +b )⊙b =10.其中真命题的序号是________.解析:①中,因为〈a ,b 〉=90°,则a ⊙b =|a +b |·|a -b |=a 2+b 2,所以①成立;②中,因为|a |=|b |,所以〈(a +b ),(a -b )〉=90°,所以(a +b )⊙(a -b )=|2a |·|2b |=4|a ||b |,所以②不成立;③中,因为|a |=|b |,所以a ⊙b =|a +b |·|a -b |·sin 〈a ,b 〉≤|a +b |·|a -b |≤|a +b |2+|a -b |22=2|a |2,所以③成立;④中,因为a =(1,2),b =(-2,2),所以a +b =(-1,4),sin 〈(a +b ),b 〉=33434,所以(a +b )⊙b =35×5×33434=453434,所以④不成立.故①③正确.答案:①③送分专题(四) 不等式[全国卷3年考情分析][题点·考法·全练]1.已知关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0的解集是(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫-12,+∞,则a =( )A .2B .-2C .-12D .12解析:选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知-1,-12是一元二次方程ax 2+(a -1)x -1=0的两个根,所以-1×⎝⎛⎭⎫-12=-1a,所以a =-2. 2.若x >y >0,m >n ,则下列不等式正确的是( ) A .xm >ymB .x -m ≥y -nC.x n >y mD .x >xy解析:选D A 不正确,因为同向同正不等式相乘,不等号方向不变,m 可能为0或负数;B 不正确,因为同向不等式相减,不等号方向不确定;C 不正确,因为m ,n 的正负不确定.故选D.3.(2017·云南第一次统一检测)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≥1,21-x -2,x <1,则不等式f (x -1)≤0的解集为( )A .{x |0≤x ≤2}B .{x |0≤x ≤3}C .{x |1≤x ≤2}D .{x |1≤x ≤3}解析:选D 由题意,得f (x -1)=⎩⎪⎨⎪⎧2x -2-2,x ≥2,22-x -2,x <2.当x ≥2时,由2x -2-2≤0,解得2≤x ≤3;当x <2时,由22-x -2≤0,解得1≤x <2.综上所述,不等式f (x -1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}.4.已知x ∈(-∞,1],不等式1+2x +(a -a 2)·4x >0恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫-2,14 B .⎝⎛⎦⎤-∞,14 C.⎝⎛⎭⎫-12,32 D .(-∞,6]解析:选C 根据题意,由于1+2x +(a -a 2)·4x >0对于一切的x ∈(-∞,1]恒成立,令2x =t (0<t ≤2),则可知1+t +(a -a 2)t 2>0⇔a -a 2>-1+t t 2,故只要求解h (t )=-1+tt2(0<t ≤2)的最大值即可,h (t )=-1t 2-1t =-⎝⎛⎭⎫1t +122+14,又1t ≥12,结合二次函数图象知,当1t =12,即t =2时,h (x )取得最大值-34,即a -a 2>-34,所以4a 2-4a -3<0,解得-12<a <32,故实数a的取值范围为⎝⎛⎭⎫-12,32. [准解·快解·悟通]。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次复习效果检测试题及答案解析
2018-2019学年下期三年级第二次素质检测数学试题(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,全卷共150分。
考试时间为120分钟。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在下列每个小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
) 1.已知集合},4|{},,1|1||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤-=,则=⋂B A ( ) A.[0, 2]B.(0, 2)C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2.已知命题P 1:平面向量b a ,共线的充要条件是a 与b 方向相同;P 2:函数x x y --=22在R上为增函数,则在命题:213212211)(:,:,:P P q P P q P P q ∨⌝∧∨和)(214:P Pq ⌝∧中,真命题是( ) A.q 1, q 3 B.q 2, q 3 C.q 1,q 4D.q 2,q 43.已知),0(,2cos sin πααα∈=+,则)3tan(πα-=( )A.32-B. 32--C. 32+-D. 32+4.已知}{n a 是等差数列,a 10=10,其前10项和S 10=70,则其公差d=( ) A.32-B.31-C. 31D. 325.某校安排四个班到三个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有( )A.24B.36C.48D.606.已知直线m 和平面βα,,则下列四个命题中正确的是( ) A.若αββα⊥⊂⊥m m 则,, B. 若βαβα//,//,//m m 则 C. 若βαβα⊥⊥m m 则,,//D. 若βαβα//,//,//则m m7.曲线x e y 21=在点(4,2e )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A.229e B.4 2e C.2 2e D. 2e8.某种种子每粒发芽的概率都为0.85,现播种了10000粒,对于没有发芽的种,每粒需要再补2粒,补种的种子数记为x ,则x 的数学期望为( ) A.1000B.2000C.3000D.40009.设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ,则=>-}0)1(|{x f x ( ) A.}32|>-<x x x 或{ B. }20|><x x x 或{ C. }30|><x x x 或{ D. }31|>-<x x x 或{10.设F 1,F 2是椭圆E :)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点P 为直线23ax =上一点,12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形,则E 的离心率( ) A.21 B.32C.43D.5411.若x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ,则2y x的最小值为( ) A.1B.21C.32D.9112.用max(a, b, c)表示a, b, c 三个数中的最大值,设函数)0}(10,2,2max{)(≥-+=x x x x f x ,若)(0x f 是)(x f 的最小值,则x 0在区间内( ) A.(1,2)B.(2,3)C.(0,1)D.(3,4)第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析六
高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设全集U=R,集合A={x|()x≥2},B={y|y=lg(x2+1)},则(∁U A)∩B=()A.{x|x≤﹣1或x≥0} B.{(x,y)|x≤﹣1,y≥0} C.{x|x ≥0} D.{x|x>﹣1}【考点】:交、并、补集的混合运算.【专题】:计算题.【分析】:由全集U=R,集合={x|x≤﹣1},得到C U A={x|x>﹣1},再由B={y|y=lg(x2+1)}={y|y≥0},能求出(C U A)∩B.【解析】:解:∵全集U=R,集合={x|x≤﹣1},∴C U A={x|x>﹣1},∵B={y|y=lg(x2+1)}={y|y≥0},∴(C U A)∩B={x|x|x≥0}.故选C.【点评】:本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.2.(5分)已知i是虚数单位,若z(1+3i)=i,则z的虚部为()A.B.﹣C.D.﹣【考点】:复数代数形式的乘除运算.【专题】:数系的扩充和复数.【分析】:把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解析】:解:由z(1+3i)=i,得,∴z的虚部为.故选:A.【点评】:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.(5分)设x、y是两个实数,命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A.x+y=2 B.x+y>2 C.x2+y2>2 D.xy>1【考点】:充要条件.【分析】:先求出的必要不充分条件;利用逆否命题的真假一致,求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件.【解析】:解:若时有x+y≤2但反之不成立,例如当x=3,y=﹣10满足x+y≤2当不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件.所以x+y>2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件.故选B【点评】:本题考查逆否命题的真假是相同的,注意要说明一个命题不成立,常通过举反例.4.(5分)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=a n+n,若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是()A.n≤8?B.n≤9?C.n≤10?D.n≤11?【考点】:循环结构.【专题】:阅读型.【分析】:n=1,满足条件,执行循环体,S=2,依此类推,当n=10,不满足条件,退出循环体,从而得到循环满足的条件.【解析】:解:n=1,满足条件,执行循环体,S=1+1=2n=2,满足条件,执行循环体,S=1+1+2=4n=3,满足条件,执行循环体,S=1+1+2+3=7n=10,不满足条件,退出循环体,循环满足的条件为n≤9,故选B.【点评】:本题主要考查了当型循环结构,算法和程序框图是新课标新增的内容,在近两年的新课标地区高考都考查到了,这启示我们要给予高度重视,属于基础题.5.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直,则双曲线的离心率等于()A.B.C.D.【考点】:双曲线的简单性质.【专题】:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:渐近线与直线x+3y+1=0垂直,得a、b关系,再由双曲线基本量的平方关系,得出a、c的关系式,结合离心率的定义,可得该双曲线的离心率.【解析】:解:∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直.∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3,得b2=9a2,c2﹣a2=9a2,此时,离心率e==.故选:C.【点评】:本题给出双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心率,考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.6.(5分)定义:|=a1a4﹣a2a3,若函数f(x)=,将其图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A.B.πC.D.π【考点】:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数.【专题】:三角函数的图像与性质.【分析】:由题意可得解析式f(x)=2sin(x﹣),平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin(x+m﹣),由m﹣=kπ+,k∈Z,即可求m的最小值.【解析】:解:由题意可得:f(x)=sinx﹣cosx=2sin(x ﹣),将其图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象解析式为:y=2sin(x+m﹣),由于所得到的图象关于y轴对称,则有:m﹣=kπ+,k∈Z,故解得:m(m>0)的最小值是.故选:B.【点评】:本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,两角和与差的正弦函数公式的应用,属于基本知识的考查.7.(5分)已知函数f(x)=,则y=f(2﹣x)的大致图象是()A.B.C.D.【考点】:函数的图象.【专题】:函数的性质及应用.【分析】:先由f(x)的函数表达式得出函数f(2﹣x)的函数表达式,由函数表达式易得答案.【解析】:解:∵函数f(x)=,则y=f(2﹣x)=,故函数f(2﹣x)仍是分段函数,以x=1为界分段,只有A符合,故选:A.【点评】:本题主要考查分段函数的性质,对于分段函数求表达式,要在每一段上考虑.8.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是()A.B.C.D.7【考点】:由三视图求面积、体积.【专题】:空间位置关系与距离.【分析】:由已知的三视图可得:该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体,分别计算体积后,相减可得答案.【解析】:解:由已知的三视图可得:该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体,正方体的棱长为2,故体积为:2×2×2=8,三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,故体积为:××1×1×1=,故几何体的体积V=8﹣=,故选:A【点评】:本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.9.(5分)若实数x,y满足的约束条件,将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a,b,则函数z=2ax+by在点(2,﹣1)处取得最大值的概率为()A.B.C.D.【考点】:几何概型;简单线性规划.【专题】:应用题;概率与统计.【分析】:利用古典概型概率计算公式,先计算总的基本事件数N,再计算事件函数z=2ax+by在点(2,﹣1)处取得最大值时包含的基本事件数n,最后即可求出事件发生的概率.【解析】:解:画出不等式组表示的平面区域,∵函数z=2ax+by在点(2,﹣1)处取得最大值,∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1,即2a≥b.∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为(a,b),则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共30个则函数z=2ax+by在点(2,﹣1)处取得最大值的概率为=.故选:D.【点评】:本题考查了古典概型概率的计算方法,乘法计数原理,分类计数原理,属于基础题10.(5分)已知M是△ABC内的一点(不含边界),且•=2,∠BAC=30°若△MBC,△MAB,△MCA的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=++,则f(x,y,z)的最小值为()A.26 B.32 C.36 D.48【考点】:函数的最值及其几何意义.【专题】:综合题;不等式的解法及应用.【分析】:先由条件求得AB•AC=4,再由S△ABC=AB•AC•sin30°=1,可得x+y+z=1.再由f(x,y,z)=++=(++)(x+y+z),利用基本不等式求得它的最小值.【解析】:解:∵•=2,∠BAC=30°,∴AB•AC•cos30°=2,∴AB•AC=4.∵S△ABC=AB•AC•sin30°=1=x+y+z.∴f(x,y,z)=++=(++)(x+y+z)=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36,即f(x,y,z)=++的最小值为36,故选:C.【点评】:本题主要考查两个向量的数量积的定义,基本不等式的应用,属于中档题.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)已知向量和,,其中,且,则向量和的夹角是.【考点】:数量积表示两个向量的夹角.【专题】:计算题;平面向量及应用.【分析】:利用向量垂直的条件,结合向量数量积公式,即可求向量和的夹角【解析】:解:设向量和的夹角是α,则∵,且,∴=2﹣=2﹣2cosα∴cosα=∵α∈[0,π]∴α=故答案为:【点评】:本题考查向量的夹角的计算,考查向量数量积公式的运用,属于基础题.12.(5分)在各项为正数的等比数列{a n}中,若a6=a5+2a4,则公比q= 2 .【考点】:等比数列的通项公式.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4,列出关于q的方程,由各项为正数求出q的值.【解析】:解:由a6=a5+2a4得,a4q2=a4q+2a4,即q2﹣q﹣2=0,解得q=2或q=﹣1,又各项为正数,则q=2,故答案为:2.【点评】:本题考查等比数列的通项公式,注意公比的符号,属于基础题.13.(5分)采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为001,002,…,600,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003,抽到的50人中,编号落入区间[001,300]的人做问卷A,编号落入区间[301,495]的人做问卷B,编号落入区间[496,600]的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为8 .【考点】:系统抽样方法.【专题】:概率与统计.【分析】:从600人中抽取50人做问卷调查,=12.即每12人中抽取1人做问卷调查,可知:按3+12k(k∈N*)抽取.可得:在区间[496,600]抽取的第一人号码为507,依次为507+12,507+12×2,…,507+12×7,即可得出.【解析】:解:∵从600人中抽取50人做问卷调查,=12.即每12人中抽取1人做问卷调查,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003,则以后按3+12k(k∈N*)抽取.∵3×12×41=495,∴在区间[496,600]抽取的第一人号码为507,依次为507+12,507+12×2,…,507+12×7,因此编号落入区间[496,600]的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为8.故答案为:8.【点评】:本题考查了系统抽样的方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.14.(5分)已知对于任意的x∈R,不等式|x﹣3|+|x﹣a|>5恒成立,则实数a的取值范围是(8,+∞)∪(﹣∞,﹣2).【考点】:绝对值不等式的解法.【专题】:不等式的解法及应用.【分析】:根据绝对值不等式的性质求得|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|a﹣3|,由|a﹣3|>5,求得a的范围.【解析】:解:∵|x﹣3|+|x﹣a|≥|(x﹣3)﹣(x﹣a)|=|a ﹣3|,即|x﹣3|+|x﹣a|的最小值为|a﹣3|,∴|a﹣3|>5,∴a﹣3>5,或a﹣3<﹣5,解得a>8,或a <﹣2,故答案为:(8,+∞)∪(﹣∞,﹣2).【点评】:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.15.(5分)已知偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣,且当x ∈[﹣1,0]时,f(x)=x2,若在区间[﹣1,3]内,函数g(x)(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是[5,=f(x)﹣loga+∞).【考点】:抽象函数及其应用;函数的零点与方程根的关系.【专题】:综合题;函数的性质及应用.【分析】:根据f(x+1)=﹣,可得f(x)是周期为2的周期函数.再由f(x)是偶函数,当x∈[﹣1,0]时,f(x)=x2,可得函数在[﹣1,3]上的解析式.根据题意可得函数y=f (x)的图象与y=log a(x+2有4个交点,即可得实数a的取值范围.【解析】:解:函数f(x)满足f(x+1)=﹣,故有f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为2的周期函数.再由f(x)是偶函数,当x∈[﹣1,0]时,f(x)=x2,可得当x ∈[0,1]时,f(x)=x2,故当x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2 ,当x∈[1,3]时,f(x)=(x ﹣2)2.由于函数g(x)=f(x)﹣log a(x+2)有4个零点,故函数y=f (x)的图象与y=log a(x+2)有4个交点,所以可得1≥log a(3+2),∴实数a的取值范围是[5,+∞).故答案为:[5,+∞).【点评】:本题主要考查函数的周期性的应用,函数的零点与方程的根的关系,体现了转化的数学思想,属于基础题.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)(2013•四川)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos (A+C)=﹣.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.【考点】:两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理.【专题】:计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用.【分析】:(Ⅰ)由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出A的余弦值,然后求sinA的值;(Ⅱ)利用,b=5,结合正弦定理,求出B的正弦函数,求出B的值,利用余弦定理求出c的大小.【解析】:解:(Ⅰ)由可得,可得,即,即,(Ⅱ)由正弦定理,,所以=,由题意可知a>b,即A>B,所以B=,由余弦定理可知.解得c=1,c=﹣7(舍去).向量在方向上的投影:=ccosB=.【点评】:本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能力转化思想.17.(12分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08,只选修甲和乙的概率是0.12,至少选修一门的概率是0.88,用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.(Ⅰ)求学生小张选修甲的概率;(Ⅱ)记“函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率;(Ⅲ)求ξ的分布列和数学期望.【考点】:相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.【专题】:综合题.【分析】:(I)利用相互独立事件的概率公式及相互对立事件的概率公式列出方程求出学生小张选修甲的概率.(II)先判断出事件A表示的实际事件,再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出事件A的概率;(II)求出ξ可取的值,求出取每个值的概率值,列出分布列,利用数学期望公式求出随基本量的期望值.【解析】:解:(Ⅰ)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得所以学生小张选修甲的概率为0.4(Ⅱ)若函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数,则ξ=0当ξ=0时,表示小张选修三门功课或三门功课都没选.∴P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1﹣x)(1﹣y)(1﹣z)=0.4×0.5×0.6+(1﹣0.4)(1﹣0.5)(1﹣0.6)=0.24∴事件A的概率为0.24(Ⅲ)依题意知ξ=0,2则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52【点评】:求随基本量的分布列,应该先判断出随基本量可取的值,再求出取每一个值的概率值.18.(12分)在如图1所示的等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=AD=BC=CD=a,E为CD中点.若沿AE将三角形DAE折起,使平面DAE⊥平面ABCE,连接DB,DC,得到如图2所示的几何体D﹣ABCE,在图2中解答以下问题:(Ⅰ)设F为AB中点,求证:DF⊥AC;(Ⅱ)求二面角A﹣BD﹣C的正弦值.【考点】:二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】:综合题;空间位置关系与距离;空间角.【分析】:(Ⅰ)取AE中点H,连接HF,连接EB,利用面面垂直,证明线面垂直,即DH⊥平面ABCE,进一步证明AC ⊥平面DHF,从而可得线线垂直;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出面DCB的法向量,面DAB的法向量,利用向量的夹角公式,可得二面角A﹣BD﹣C的正弦值.【解析】:(Ⅰ)证明:取AE中点H,连接HF,连接EB因为△DAE为等边三角形,所以DH⊥AE因为平面DAE⊥平面ABCE,平面DAE∩平面ABCE=AE所以DH⊥平面ABCE,因为AC⊂平面ABCE所以AC⊥DH…(2分)因为ABCE为平行四边形,CE=BC=a所以ABCE为菱形,所以AC⊥BE因为H、F分别为AE、AB中点,所以HF∥BE所以AC⊥HF…(4分)因为HF⊂平面DHF,DH⊂平面DHF,且HF∩DH=H所以AC⊥平面DHF,又DF⊂平面DHF所以DF⊥AC…(6分)(Ⅱ)解:连接BH,EB由题意得三角形ABE为等边三角形,所以BH⊥AE由(Ⅰ)知DH⊥底面ABCE以H为原点,分别以HA,HB,HD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示则所以,设面DCB的法向量为,则不妨设…(8分)设面DAB的法向量,又则,取…(10分)所以所以二面角A﹣BD﹣C的正弦值为…(12分)【点评】:本题看下线面垂直,考查线线垂直,考查面面角,考查利用空间向量解决空间角问题,属于中档题.19.(12分)设S n是数列{a n}(n∈N*)的前n项和,已知a1=4,a n+1=S n+3n,设b n=S n﹣3n.(Ⅰ)证明:数列{b n}是等比数列,并求数列{b n}的通项公式;(Ⅱ)令c n=2log2b n﹣+2,求数列{c n}的前n项和T n.【考点】:数列的求和;等比数列的通项公式.【专题】:计算题;证明题;等差数列与等比数列.【分析】:(Ⅰ)由a n+1=S n+3n可得S n+1﹣3n+1=2S n+3n﹣3n+1=2(S n﹣3n),从而得到b n+1=2b n,于是有:数列{b n}是等比数列,可求得b1=1,从而可求得数列{b n}的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:c n =2log 2b n ﹣+2=2n ﹣,设M=1++++…++…①则M=++++…++…②,利用错位相减法即可求得数列{c n }的前n 项和T n .【解析】: 证明:(Ⅰ)∵a n+1=S n +3n ,∴S n+1﹣S n =S n +3n即S n+1=2S n +3n ,∴S n+1﹣3n+1=2S n +3n ﹣3n+1=2(S n ﹣3n )∴b n+1=2b n …(4分)又b 1=S 1﹣3=a 1﹣3=1,∴{b n }是首项为1,公比为2的等比数列,故数列{b n }的通项公式为b n =2n ﹣1…(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得:c n =2log 2b n ﹣+2=2n ﹣…(8分)设M=1++++…++…①则M=++++…++…②①﹣②得:M=1+++++…+﹣=2﹣﹣,∴M=4﹣﹣=4﹣,∴T n =n (n+1)+﹣4…(12分)【点评】:本题考查数列的求和,考查等比数列的通项公式,突出考查了错位相减法,考查分析与转化的能力,属于中档题.20.(13分)已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R).(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)+,求函数h(x)的单调区间;(Ⅲ)若g(x)=﹣,在[1,e](e=2.71828…)上存在一点x0,使得f(x0)≤g(x0)成立,求a的取值范围.【考点】:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】:导数的综合应用.【分析】:(Ⅰ)求出切点(1,1),求出,然后求解斜率k,即可求解曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程.(Ⅱ)求出函数的定义域,函数的导函数,①a>﹣1时,②a ≤﹣1时,分别求解函数的单调区间即可.(Ⅲ)转化已知条件为函数在[1,e]上的最小值≤0,利用第(Ⅱ)问的结果,通过①a≥e﹣1时,[h(x)]min②a≤0时,③0<a<e﹣1时,分别求解函数的最小值,推出所求a的范围.【解析】:解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=x﹣2lnx,f(1)=1,切点(1,1),∴,∴k=f′(1)=1﹣2=﹣1,∴曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为:y﹣1=﹣(x﹣1),即x+y﹣2=0.(Ⅱ),定义域为(0,+∞),,①当a+1>0,即a>﹣1时,令h′(x)>0,∵x>0,∴x>1+a令h′(x)<0,∵x>0,∴0<x<1+a.②当a+1≤0,即a≤﹣1时,h′(x)>0恒成立,综上:当a>﹣1时,h(x)在(0,a+1)上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增.当a≤﹣1时,h(x)在(0,+∞)上单调递增.(Ⅲ)由题意可知,在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)≤g (x0)成立,即在[1,e]上存在一点x0,使得h(x0)≤0,即函数在[1,e]上的最小值[h(x)]min≤0.由第(Ⅱ)问,①当a+1≥e,即a≥e﹣1时,h(x)在[1,e]上单调递减,∴,∴,∵,∴;②当a+1≤1,即a≤0时,h(x)在[1,e]上单调递增,∴[h(x)]min=h(1)=1+1+a≤0,∴a≤﹣2,③当1<a+1<e,即0<a<e﹣1时,∴[h(x)]min=h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)≤0,∵0<ln(1+a)<1,∴0<aln(1+a)<a,∴h(1+a)>2 此时不存在x0使h(x0)≤0成立.综上可得所求a的范围是:或a≤﹣2.【点评】:本题考查函数的导数的综合应用,曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用,考查分析问题解决问题得到能力.21.(14分)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为e=,且过点(1,).抛物线C2:x2=﹣2py(p>0)的焦点坐标为(0,﹣).(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(Ⅱ)若点M是直线l:2x﹣4y+3=0上的动点,过点M作抛物线C2的两条切线,切点分别为A,B,直线AB交椭圆C1于P,Q两点.(i)求证直线AB过定点,并求出该定点坐标;(ii)当△OPQ的面积取最大值时,求直线AB的方程.【考点】:直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】:(I)由已知条件,设椭圆方程为,把点代入能求出椭圆C1的方程.抛物线C2中,由,能求出抛物线C2的方程.(II)(i)设点M(x0,y0),且满足2x0﹣4y0+3=0,点A(x1,y1),B(x2,y2),由于切线MA,MB同过点M,有,由此能证明直线AB过定点.(ii)设P(x3,y3),Q(x4,y4),联立方程,得,由此利用根的判别式和韦达定理能求出直线方程.【解析】:解:(I)由于椭圆C1中,,则设其方程为,由于点在椭圆上,故代入得λ=1.故椭圆C1的方程为.抛物线C2中,∵抛物线C2:x2=﹣2py(p>0)的焦点坐标为(0,﹣),∴,故p=1,从而椭圆C1的方程为,抛物线C2的方程为x2=﹣2y.(II)(i)证明:设点M(x0,y0),且满足2x0﹣4y0+3=0,点A(x1,y1),B(x2,y2),则切线MA的斜率为﹣x1,从而MA的方程为y=﹣x1(x﹣x1)+y1,考虑到,则切线MA的方程为x1x+y+y1=0,同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0,由于切线MA,MB同过点M,从而有,由此点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线x0x+y+y0=0上.又点M在直线2x﹣4y+3=0上,则2x0﹣4y0+3=0,故直线AB的方程为(4y0﹣3)x+2y+2y0=0,(4x+2)+(2y﹣3x)=0,即y∴直线AB过定点.(ii)解:设P(x3,y3),Q(x4,y4),考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0,则联立方程,消去y并简化得,从而,,,从而,点O到PQ的距离,从而=,当且仅当,即,又由于2x0﹣4y0+3=0,从而消去x 0得,即,解得,从而或,∴所求的直线为x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0.【点评】:本题考查椭圆和抛物线方程的求法,考查直线过定点的证明,考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意韦达定理的合理运用.。
2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练:第一部分专题一集合常用逻辑用语平面向量复数1-1-3含答案
限时规范训练三算法、框图与推理限时45分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.请仔细观察1,1,2,3,5,( ),13,运用合情推理,可知写在括号里的数最可能是( ) A.8 B.9C.10 D.11解析:选A.观察题中所给各数可知,2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5,13=5+8,∴括号中的数为8.故选A.2.执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为2,则输出的y的值为( )A.2 B.5C.11 D.23解析:选D.x=2,y=5,|2-5|=3<8;x=5,y=11,|5-11|=6<8;x=11,y=23,|11-23|=12>8.满足条件,输出的y的值为23,故选D.3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( ) A.f(x) B.-f(x)C.g(x) D.-g(x)解析:选D.由所给等式知,偶函数的导数是奇函数.∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数,从而g(x)是奇函数.∴g(-x)=-g(x).4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为-4时,则输入的S0的值为( )A.7 B.8C.9 D.10解析:选D.根据程序框图知,当i=4时,输出S.第1次循环得到S=S0-2,i=2;第2次循环得到S=S0-2-4,i=3;第3次循环得到S=S0-2-4-8,i=4.由题意知S0-2-4-8=-4,所以S0=10,故选D.5.(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为( )A.x>3 B.x>4C.x≤4D.x≤5解析:选B.输入x=4,若满足条件,则y=4+2=6,不符合题意;若不满足条件,则y=log24=2,符合题意,结合选项可知应填x>4.故选B.6.如图所示的程序框图的运行结果为( )A .-1B .12C .1D .2解析:选A.a =2,i =1,i ≥2 019不成立;a =1-12=12,i =1+1=2,i ≥2 019不成立; a =1-112=-1,i =2+1=3,i ≥2 019不成立;a =1-(-1)=2,i =3+1=4,i ≥2 019不成立;…,由此可知a 是以3为周期出现的,结束时,i =2 019=3×673,此时a =-1,故选A. 7.设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c.类比这个结论可知:四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半径为R ,四面体S ABC 的体积为V ,则R 等于( )A.VS 1+S 2+S 3+S 4B.2VS 1+S 2+S 3+S 4C.3VS 1+S 2+S 3+S 4D.4VS 1+S 2+S 3+S 4解析:选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥,其高都是R ,四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积,因此V =13S 1R +13S 2R +13S 3R +13S 4R ,解得R =3VS 1+S 2+S 3+S 4.8.按照如图所示的程序框图执行,若输出的结果为15,则M 处的条件为( )A .k ≥16B .k <8C .k <16D .k ≥8解析:选A.根据框图的循环结构依次可得S =0+1=1,k =2×1=2;S =1+2=3,k =2×2=4;S =3+4=7,k =2×4=8;S =7+8=15,k =2×8=16,根据题意此时跳出循环,输出S =15.所以M 处的条件应为k ≥16.故A 正确.9.如图所示的程序框图中,输出S =( )A .45B .-55C .-66D .66解析:选B.由程序框图知,第一次运行T =(-1)2·12=1,S =0+1=1,n =1+1=2;第二次运行T =(-1)3·22=-4,S =1-4=-3,n =2+1=3;第三次运行T =(-1)4·32=9,S =-3+9=6,n =3+1=4…直到n =9+1=10时,满足条件n >9,运行终止,此时T =(-1)10·92,S =1-4+9-16+…+92-102=1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+(8+9)-100=1+92×9-100=-55.故选B.10.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ],即[k ]={5n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2 018∈[3]; ②-2∈[2];③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”. 其中正确结论的个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C.因为2 018=403×5+3,所以2 018∈[3],①正确;-2=-1×5+3,-2∈[3],所以②不正确;因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类,所以③正确;整数a ,b 属于同一“类”,因为整数a ,b 被5除的余数相同,从而a -b 被5除的余数为0,反之也成立,故整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”,故④正确.所以正确的结论有3个,故选C.11.执行如图所示的程序框图,如果输入x ,t 的值均为2,最后输出S 的值为n ,在区间[0,10]上随机选取一个数D ,则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析:选D.这是一个循环结构,循环的结果依次为M =2,S =2+3=5,k =1+1=2;M =2,S =2+5=7,k =2+1=3.最后输出7,所以在区间[0,10]上随机选取一个数D ,则D ≤n 的概率P=710,故选D. 12.定义方程f (x )=f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”,若函数g (x )=x ,h (x )=ln(x +1),φ(x )=x 3-1的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为( )A .α>β>γB .β>α>γC .γ>α>βD .β>γ>α解析:选C.g (x )=g ′(x ),即x =1,所以α=1;h (x )=h ′(x ),即ln(x +1)=1x +1,0<x<1,所以β∈(0,1);φ(x)=φ′(x),即x3-1=3x2,即x3-3x2=1,x2(x-3)=1,x>3,所以γ>3.所以γ>α>β.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是8,则输入的数是________.解析:令a≥b得,x2≥x3,解得x≤1.所以当x≤1时,输出a=x2,当x>1时,输出b=x3.当x≤1时,由题意得a=x2=8,解得x=-8=-2 2.当x>1时,由题意得b=x3=8,得x=2,所以输入的数为2或-2 2.14.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下:甲说:“我们四人都没考好.”乙说:“我们四人中有人考得好.”丙说:“乙和丁至少有一人没考好.”丁说:“我没考好.”结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的________两人说对了.解析:甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为乙,丙.答案:乙,丙15.已知实数x∈[2,30],执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于103的概率是________.解析:实数x ∈[2,30],经过第一次循环得到x =2x +1,n =2;经过第二次循环得到x =2(2x +1)+1,n =3;经过第三次循环得到x =2[2(2x +1)+1]+1,n =4,此时输出x ,输出的值为8x +7.令8x +7≥103,解得x ≥12.由几何概型的概率公式,得到输出的x 不小于103的概率为30-1230-2=914. 16.集合{1,2,3,…,n }(n ≥3)中,每两个相异数作乘积,将所有这些乘积的和记为T n ,如:T 3=1×2+1×3+2×3=12×[62-(12+22+32)]=11;T 4=1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=12×[102-(12+22+32+42)]=35; T 5=1×2+1×3+1×4+1×5+…+3×5+4×5=12×[152-(12+22+32+42+52)]=85.则T 7=________.(写出计算结果)解析:由T 3,T 4,T 5归纳得出T n =12[(1+2+…+n )2-(12+22+…+n 2)],则T 7=12×[282-(12+22+…+72)].又∵12+22+…+72=16×7×8×15=140,∴T 7=12×(784-140)=322.答案:322。
高考数学理科二轮复习资料全套
高考数学理科二轮复习资料全套一、集合与常用逻辑用语(理科数学)1.集合(1)集合的运算性质:①A∪B=A⇔B⊆A;②A∩B=B⇔B⊆A;③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式:对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n -1,2n-2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.2.四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假.3.含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q:若p、q中至少有一个为真,则命题为真命题,简记为:一真则真.(2)命题p∧q:若p、q中至少有一个为假,则命题为假命题,p、q同为真时,命题才为真命题,简记为:一假则假,同真则真.(3)命题綈p与命题p真假相反.4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),其否定为特称命题綈p:∃x0∈M,綈p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),其否定为全称命题綈p:∀x∈M,綈p(x).5.充分条件和必要条件(1)若p⇒q且q⇏p,则p是q的充分不必要条件;(2)若p⇏q且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件;(3)若p⇔q,则称p是q的充要条件;(4)若p⇏q且q⇏p,则称p是q的既不充分也不必要条件.1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x|y=lg x}——函数的定义域;{y|y=lg x}——函数的值域;{(x,y)|y=lg x}——函数图象上的点集.2.易混淆0,∅,{0}:0是一个实数;∅是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0∉∅,而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性.4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B,A∩B=A,A∪B=B求解集合A时,务必分析研究A=∅的情况.5.区分命题的否定与否命题,已知命题为“若p,则q”,则该命题的否定为“若p,则綈q”,其否命题为“若綈p,则綈q”.6.在对全称命题和特称命题进行否定时,不要忽视对量词的改变.7.对充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论.1.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m等于()A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3答案 B解析∵A∪B=A,∴B⊆A,∴m∈{1,3,m},∴m=1或m=3或m=m,由集合中元素的互异性易知m=0或m=3.2.设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是()A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案 A解析若A⊆B,则a≥2,故选A.3.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},则M∪N等于()A.{x|-3<x<5}B.{x|-5<x<5}C.{x|x<-5或x>-3}D.{x|x<-3或x>5}答案 C解析在数轴上表示集合M、N,则M∪N={x|x<-5或x>-3},故选C.4.满足条件{a}⊆A⊆{a,b,c}的所有集合A的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 D解析满足题意的集合A可以为{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},共4个.5.已知集合U=R(R是实数集),A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则A∪(∁U B)等于()A.[-1,0]B.[1,2]C.[0,1]D.(-∞,1]∪[2,+∞)答案 D解析B={x|x2-2x<0}=(0,2),A∪(∁U B)=[-1,1]∪(-∞,0]∪[2,+∞)=(-∞,1]∪[2,+∞),故选D.6.下列命题正确的是()(1)命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“∃x 0∈R ,20x ≤0”;(2)l 为直线,α,β为两个不同的平面,若l ⊥β,α⊥β,则l ∥α;(3)给定命题p ,q ,若“p ∧q 为真命题”,则綈p 是假命题;(4)“sin α=12”是“α=π6”的充分不必要条件. A.(1)(4) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(3)(4)答案 C解析 命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“∃x 0∈R ,20x ≤0”;l 为直线,α,β为两个不同的平面,若l ⊥β,α⊥β,则l ∥α或l ⊂α;给定命题p ,q ,若“p ∧q 为真命题”;则p 且q 是真命题,綈p 且綈q 是假命题;“sin α=12”是“α=π6”的必要不充分条件,因此(1)(3)为真,选C. 7.设命题p :∃x 0∈R ,使x 20+2x 0+a =0(a ∈R),则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是( )A.a >-2B.a <2C.a ≤1D.a <0答案 D解析 设f (x )=x 2+2x +a ,则p 为真命题⇔f (x )在R 内有零点⇔Δ≥0⇔a ≤1.8.已知命题p :在△ABC 中,若AB <BC ,则sin C <sin A ;命题q :已知a ∈R ,则“a >1”是“1a <1”的必要不充分条件.在命题p ∧q ,p ∨q ,(綈p )∨q ,(綈p )∧q 中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 A解析 由题意得,在△ABC 中,若AB <BC ,即c <a ,由正弦定理可得sin C <sin A ,所以p 真,又已知a ∈R ,则“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件,所以q 假,只有p ∨q 为真命题,故选A.9.已知命题p :∀m ∈[0,1],x +1x≥2m ,则綈p 为( ) A.∀m ∈[0,1],x +1x<2m B.∃m 0∈[0,1],x +1x ≥20mC.∃m 0∈(-∞,0)∪(1,+∞),x +1x≥20m D.∃m 0∈[0,1],x +1x <20m答案 D解析 根据全称命题与特称命题的关系,可知命题p :∀m ∈[0,1],x +1x ≥2m ,则綈p 为“∃m 0∈[0,1],x +1x <20m ”,故选D.10.下列结论正确的是________.(1)f (x )=a x -1+2(a >0,且a ≠1)的图象经过定点(1,3);(2)已知x =log 23,4y =83,则x +2y 的值为3; (3)若f (x )=x 3+ax -6,且f (-2)=6,则f (2)=18;(4)f (x )=x (11-2x -12)为偶函数; (5)已知集合A ={-1,1},B ={x |mx =1},且B ⊆A ,则m 的值为1或-1.答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x =1时,f (1)=a 0+2=1+2=3,则函数的图象经过定点(1,3),故(1)正确;(2)已知x =log 23,4y =83,则22y =83,2y =log 283,则x +2y =log 23+log 283=log 2(83×3)=log 28=3,故(2)正确; (3)若f (x )=x 3+ax -6,且f (-2)=6,则(-2)3-2a -6=6,即a =-10,则f (2)=23-2×10-6=-18,故(3)错误;(4)函数的定义域为{x |x ≠0},关于原点对称,f (x )=x (11-2x -12)=x ·1+2x 2(1-2x ), 则f (-x )=-x ·1+2-x 2(1-2-x )=-x ·2x +12(2x -1)=x ·1+2x2(1-2x )=f (x ), 即有f (x )为偶函数,则f (x )=x (11-2x -12)为偶函数,故(4)正确; (5)已知集合A ={-1,1},B ={x |mx =1},且B ⊆A ,当m =0时,B =∅,也满足条件,故(5)错误,故正确的是(1)(2)(4).11.已知M 是不等式ax +10ax -25≤0的解集且5∉M ,则a 的取值范围是________________. 答案 (-∞,-2)∪[5,+∞)解析 若5∈M ,则5a +105a -25≤0,∴(a +2)(a -5)≤0且a ≠5,∴-2≤a <5,∴5∉M 时,a <-2或a ≥5. 12.若三个非零且互不相等的实数a ,b ,c 满足1a +1b =2c ,则称a ,b ,c 是调和的;若满足a +c =2b ,则称a ,b ,c 是等差的.若集合P 中元素a ,b ,c 既是调和的,又是等差的,则称集合P 为“好集”,若集合M ={x ||x |≤2 014,x ∈Z},集合P ={a ,b ,c }⊆M ,则(1)“好集”P 中的元素最大值为________;(2)“好集”P 的个数为________.答案 2 012 1 006解析 因为a =-2b ,c =4b ,若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的,又是等差的,则1a +1b =2c 且a +c =2b ,故满足条件的“好集”为形如{-2b ,b ,4b }(b ≠0)的形式,则-2 014≤4b ≤2 014,解得-503≤b ≤503,且b ≠0,P 中元素的最大值为4b =4×503=2 012.符合条件的b 值可取1 006个,故“好集”P 的个数为1 006.13.设命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0;命题q :实数x 满足x 2+2x -8>0,若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________.答案 (-∞,-4]解析 由命题q :实数x 满足x 2+2x -8>0,得x <-4或x >2,由命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a <0,得(x -3a )(x -a )<0,∵a <0,∴3a <x <a ,∵q 是p 的必要不充分条件,∴a ≤-4,∴a ∈(-∞,-4].14.已知命题p :⎪⎪⎪⎪1-x +12≤1,命题q :x 2-2x +1-m 2<0(m >0),若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是________.答案 (2,+∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x +12≤1⇔-1≤x +12-1≤1⇔0≤x +12≤2⇔-1≤x ≤3,∴p :-1≤x ≤3; ∵x 2-2x +1-m 2<0(m >0)⇔[x -(1-m )][x -(1+m )]<0⇔1-m <x <1+m ,∴q :1-m <x <1+m .∵p 是q 的充分不必要条件,∴[-1,3]是(1-m ,1+m )的真子集,则⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-1,1+m >3,解得m >2.二、函数与导数1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围;②若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集;反之,已知f [g (x )]的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为函数y =g (x )(x ∈[a ,b ])的值域;③在实际问题中应使实际问题有意义.(2)常见函数的值域①一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R ;②二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0):a >0时,值域为⎣⎡⎭⎫4ac -b 24a ,+∞,a <0时,值域为⎝⎛⎦⎤-∞,4ac -b 24a ; ③反比例函数y =k x (k ≠0)的值域为{y ∈R|y ≠0}.2.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称),都有f (-x )=-f (x )成立,则f (x )为奇函数(都有f (-x )=f (x )成立,则f (x )为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f (x ),如果对于定义域内的任意一个x 的值:若f (x +T )=f (x )(T ≠0),则f (x )是周期函数,T 是它的一个周期.3.关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x +a )=f (x -a ),则f (x )为周期函数,2a 是它的一个周期.②设f (x )是R 上的偶函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期. ③设f (x )是R 上的奇函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,4a 是它的一个周期.(2)函数图象的对称性①若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x ),即f (x )=f (2a -x ),则f (x )的图象关于直线x =a 对称.②若函数y =f (x )满足f (a +x )=-f (a -x ),即f (x )=-f (2a -x ),则f (x )的图象关于点(a,0)对称.③若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x ),则函数f (x )的图象关于直线x =a +b 2对称. 4.函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质.①单调性的定义的等价形式:设x 1,x 2∈[a ,b ],那么(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②若函数f (x )和g (x )都是减函数,则在公共定义域内,f (x )+g (x )是减函数;若函数f (x )和g (x )都是增函数,则在公共定义域内,f (x )+g (x )是增函数;根据同增异减判断复合函数y =f [g (x )]的单调性.5.函数图象的基本变换(1)平移变换:y =f (x )――→h >0,右移h <0,左移y =f (x -h ), y =f (x )――→k >0,上移k <0,下移y =f (x )+k . (2)伸缩变换:y =f (x )――→0<ω<1,伸ω>1,缩y =f (ωx ), y =f (x )――→0<A <1,缩A >1,伸y =Af (x ). (3)对称变换:y =f (x )――→x 轴y =-f (x ),y =f (x )――→y 轴y =f (-x ),y =f (x )――→原点y =-f (-x ).6.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点:y =a x (a >0,且a ≠1)恒过(0,1)点;y=log a x(a>0,且a≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性:当a>1时,y=a x在R上单调递增;y=log a x在(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,y=a x在R上单调递减;y=log a x在(0,+∞)上单调递减.7.函数与方程(1)零点定义:x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)=0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点.(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法:即解方程f(x)=0.②零点定理法:根据连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)<0,判断函数在区间(a,b)内存在零点.③数形结合法:尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.8.导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)切点的两大特征:①在曲线y=f(x)上;②在切线上.9.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤:①求函数f(x)的定义域;②求导函数f′(x);③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间,由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围:①若可导函数f(x)在区间M上单调递增,则f′(x)≥0(x∈M)恒成立;若可导函数f(x)在区间M上单调递减,则f′(x)≤0 (x∈M)恒成立;②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集;③若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I 中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,则I是其单调区间的子集.10.利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤:①确定函数的定义域;②解方程f′(x)=0;③判断f′(x)在方程f′(x)=0的根x0两侧的符号变化:若左正右负,则x0为极大值点;若左负右正,则x0为极小值点;若不变号,则x0不是极值点.(2)求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.解决函数问题时要注意函数的定义域,要树立定义域优先原则.2.解决分段函数问题时,要注意与解析式对应的自变量的取值范围.3.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“及”连接或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.4.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响.5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y =a x (a >0,a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论,忽视a x >0;对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)忽视真数与底数的限制条件.6.易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点,不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.7.已知可导函数f (x )在(a ,b )上单调递增(减),则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ,b )恒成立,不能漏掉“=”号,且需验证“=”不能恒成立;而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ,b ),则f ′(x )>0(<0)的解集为(a ,b ).8.f ′(x )=0的解不一定是函数f (x )的极值点.一定要检验在x =x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化,若变化,则为极值点;若不变化,则不是极值点.1.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +2,x ≤0,2x -4,x >0,则f [f (1)]等于( ) A .-10 B .10 C .-2 D .2答案 C解析 由f [f (1)]=f (21-4)=f (-2)=2×(-2)+2=-2,故选C.2.若函数f (x )=x 2-12ln x +1在其定义域内的一个子区间(k -1,k +1)内不是单调函数,则实数k 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .[1,32) C .[1,2)D .[32,2) 答案 B解析 因为f (x )的定义域为(0,+∞),y ′=2x -12x, 由f ′(x )=0,得x =12.利用图象可得, ⎩⎪⎨⎪⎧ k -1<12<k +1,k -1≥0,解得1≤k <32,故选B. 3.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3-a )x -3,x ≤7,a x -6,x >7单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .(94,3) B .[94,3) C .(1,3)D .(2,3)答案 D 解析 因为函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3-a )x -3,x ≤7,a x -6,x >7单调递增,所以1<a <3且由f (7)<f (8)得,7(3-a )-3<a 2,解得a <-9或a >2,所以实数a 的取值范围是(2,3),故选D.4.函数y =x ·2x|x |的图象大致形状是( )答案 A解析 y =⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,-2x ,x <0, y =2x 在(0,+∞)上单调递增,且y =2x >0,排除B ,D ;又y =-2x 在(-∞,0)上单调递减,排除C.5.(2016·课标全国甲)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y =1x答案 D解析 函数y =10lg x 的定义域为{x |x >0},值域为{y |y >0},所以与其定义域和值域分别相同的函数为y =1x ,故选D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x ),且f (-1)=2,则f (2 017)的值是( )A .2B .0C .-1D .-2答案 D解析 由题意得f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),所以函数是以T =4的周期函数,所以f (2 017)=f (1)=-f (-1)=-2,故选D.7.已知函数f (x )=⎝⎛⎭⎫15x -log 3x ,若x 0是函数y =f (x )的零点,且0<x 1<x 0,则f (x 1)的值( )A .恒为正值B .等于0C .恒为负值D .不大于0 答案 A解析 由题意知f (x )为(0,+∞)上的减函数,又f (x 0)=0,x 1<x 0,∴f (x 1)>f (x 0)=0,故选A.8.设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则( )A .a >c >bB .b >c >aC .c >b >aD .c >a >b答案 D解析 易知log 23>1,log 32,log 52∈(0,1).在同一平面直角坐标系中画出函数y =log 3x 与y =log 5x 的图象,观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ,b 的其他解法:log 32>log 33=12,log 52<log 55=12,得a >b ;0<log 23<log 25,所以1log 23>1log 25,结合换底公式得log 32>log 52,即a >b . 9.若函数f (x )定义域为[-2,2],则函数y =f (2x )·ln(x +1)的定义域为________.答案 (-1,1]解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤2x ≤2,x +1>0,∴-1<x ≤1, 即函数y =f (2x )·ln(x +1)的定义域为(-1,1].10.(2016·天津)已知函数f (x )=(2x +1)e x ,f ′(x )为f (x )的导函数,则f ′(0)的值为________. 答案 3解析 因为f (x )=(2x +1)e x ,所以f ′(x )=2e x +(2x +1)e x =(2x +3)e x ,所以f ′(0)=3e 0=3.11.设奇函数y =f (x )(x ∈R),满足对任意t ∈R 都有f (t )=f (1-t ),且x ∈[0,12]时f (x )=-x 2,则f (3)+f (-32)的值等于________. 答案 -14解析 由于y =f (x )为奇函数,根据对任意t ∈R 都有f (t )=f (1-t ),可得f (-t )=f (1+t ),所以函数y =f (x )的一个周期为2,故f (3)=f (1)=f (0+1)=-f (0)=0,f (-32)=f (12)=-14, ∴f (3)+f (-32)=-14. 12.函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极小值10,则a +b 的值为________.答案 -7解析 ∵f ′(x )=3x 2+2ax +b , 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)=3+2a +b =0,f (1)=1+a +b +a 2=10,解得a =4,b =-11或a =-3,b =3,经验证,a =4,b =-11符合题意,故a +b =-7.13.已知函数f (x )=x +1e x(e 为自然对数的底数). (1)求函数f (x )的单调区间;(2)设函数φ(x )=xf (x )+tf ′(x )+1e x ,存在实数x 1,x 2∈[0,1],使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立,求实数t 的取值范围.解 (1)∵函数的定义域为R ,f ′(x )=-xe x ,∴当x <0时,f ′(x )>0,当x >0时,f ′(x )<0, ∴f (x )在(-∞,0)上单调递增, 在(0,+∞)上单调递减.(2)存在x 1,x 2∈[0,1],使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立, 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )=xf (x )+tf ′(x )+e -x=x 2+(1-t )x +1e x,∴φ′(x )=-x 2+(1+t )x -t e x=-(x -t )(x -1)e x. ①当t ≥1时,φ′(x )≤0,φ(x )在[0,1]上单调递减, ∴2φ(1)<φ(0),即t >3-e2>1;②当t ≤0时,φ′(x )>0,φ(x )在[0,1]上单调递增, ∴2φ(0)<φ(1),即t <3-2e<0;③当0<t <1时,若x ∈[0,t ),φ′(x )<0,φ(x )在[0,t )上单调递减, 若t ∈(t,1],φ′(x )>0,φ(x )在(t,1)上单调递增, ∴2φ(t )<max{φ(0),φ(1)}, 即2·t +1e t <max{1,3-t e}.(*)由(1)知,g (t )=2·t +1e t 在[0,1]上单调递减,故4e ≤2·t +1e t ≤2,而2e ≤3-t e ≤3e , ∴不等式(*)无解.综上所述,存在t ∈(-∞,3-2e)∪(3-e2,+∞),使得命题成立.三、三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α,k ∈Z ”的三角函数值,与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式 sin 2α+cos 2α=1,tan α=sin αcos α(cos α≠0). 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin(α+φ)(其中tan φ=ba ).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α.(2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. (3)tan 2α=2tan α1-tan 2α.5.三种三角函数的性质6.函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,A >0)的图象 (1)“五点法”作图:设z =ωx +φ,令z =0,π2,π,3π2,2π,求出相应的x 的值与y 的值,描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时,一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换:y =sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y =sin(x +φ)――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y =sin(ωx +φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y =A sin(ωx +φ). 7.正弦定理及其变形a sin A =b sin B =csin C=2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R. a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C . 8.余弦定理及其推论、变形a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C . 推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 22ab.变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,a 2+b 2-c 2=2ab cos C . 9.面积公式S △ABC =12bc sin A =12ac sin B =12ab sin C .10.解三角形(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解. 11.平面向量的数量积(1)若a ,b 为非零向量,夹角为θ,则a·b =|a||b |cos θ. (2)设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2. 12.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 (1)a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (2)a ⊥b ⇔a·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 13.利用数量积求长度(1)若a =(x ,y ),则|a |=a·a =x 2+y 2. (2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 14.利用数量积求夹角若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角,则cos θ=a·b|a||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21 x 22+y 22. 15.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|=|OB →|=|OC →|=a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →+OB →+OC →=0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →+bOB →+cOC →=0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时,不要忽视角的范围,要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时,不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )=A sin(ωx +φ)的单调区间时,要注意A 与ω的符号,当ω<0时,需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中,注意由y =sin ωx 的图象变换得y =sin(ωx +φ)时,平移量为⎪⎪⎪⎪φω,而不是φ. 5.在已知两边和其中一边的对角时,要注意检验解是否满足“大边对大角”,避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题:0的模是0,方向任意,并不是没有方向;0与任意非零向量平行.7.a·b >0是〈a ,b 〉为锐角的必要不充分条件; a·b <0是〈a ,b 〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin 45°cos 15°-sin 30°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.1 答案 C解析 2sin 45°cos 15°-sin 30°=2sin 45°cos 15°-sin(45°-15°)=2sin 45°cos 15°-(sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°)=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin 60°=32.故选C. 2.要得到函数y =sin 2x 的图象,可由函数y =cos(2x -π3)( )A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到C.向左平移π12个单位长度得到D.向右平移π12个单位长度得到答案 D解析 由于函数y =sin 2x =cos(π2-2x )=cos(2x -π2)=cos[2(x -π12)-π3],所以可由函数y =cos(2x -π3)向右平移π12个单位长度得到函数y =sin 2x 的图象,故选D.3.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332 D.3 3答案 C解析 c 2=(a -b )2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab +6,① ∵C =π3,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ,②由①和②得ab =6,∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=332,故选C.4.(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A. 3 B.1+ 2 C.2 D.2(tan 18°+tan 27°) 答案 C解析 由题意得,tan(18°+27°)=tan 18°+tan 27°1-tan 18°tan 27°,即tan 18°+tan 27°1-tan 18°tan 27°=1, 所以tan 18°+tan 27°=1-tan 18°tan 27°,所以(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°=2,故选C.5.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案 B解析 ∵b cos C +c cos B =a sin A , ∴sin B cos C +cos B sin C =sin 2A ,∴sin(B +C )=sin 2A ,∴sin A =1,∴A =π2,三角形为直角三角形.6.已知A ,B ,C 是锐角△ABC 的三个内角,向量p =(sin A ,1),q =(1,-cos B ),则p 与q 的夹角是( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 答案 A解析 ∵A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角,∴A +B >π2,即A >π2-B >0,∴sin A >sin(π2-B )=cos B ,∴p·q =sin A -cos B >0.再根据p ,q 的坐标可得p ,q 不共线,故p 与q 的夹角为锐角. 7. f (x )=12sin(2x -π3)+32cos(2x -π3)是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案 C解析 f (x )=12sin(2x -π3)+32cos(2x -π3)=sin(2x -π3+π3)=sin 2x ,是最小正周期为π的奇函数,故选C.8.已知a ,b 为同一平面内的两个向量,且a =(1,2),|b |=12|a |,若a +2b 与2a -b 垂直,则a 与b 的夹角为( )A.0B.π4C.2π3 D.π答案 D解析 |b |=12|a |=52,而(a +2b )·(2a -b )=0⇒2a 2-2b 2+3b·a =0⇒b·a =-52,从而cos 〈b ,a 〉=b·a |b|·|a |=-1,〈b ,a 〉=π,故选D.9.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 有下列命题: ①若A >B >C ,则sin A >sin B >sin C ;②若cos A a =cos B b =cos Cc ,则△ABC 为等边三角形; ③若sin 2A =sin 2B ,则△ABC 为等腰三角形; ④若(1+tan A )(1+tan B )=2,则△ABC 为钝角三角形; ⑤存在A ,B ,C 使得tan A tan B tan C <tan A +tan B +tan C 成立. 其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号). 答案 ①②④解析 若A >B >C ,则a >b >c ⇒sin A >sin B >sin C ; 若cos A a =cos B b =cos C c ,则cos A sin A =cos Bsin B⇒sin(A -B )=0⇒A =B ⇒a =b ,同理可得a =c ,所以△ABC 为等边三角形;若sin 2A =sin 2B ,则2A =2B 或2A +2B =π,因此△ABC 为等腰或直角三角形;若(1+tan A )(1+tan B )=2,则tan A +tan B =1-tan A tan B ,因此tan(A +B )=1⇒C =3π4,△ABC 为钝角三角形;在△ABC 中,tan A tan B tan C =tan A +tan B +tan C 恒成立, 因此正确的命题为①②④.10.若△ABC 的三边a ,b ,c 及面积S 满足S =a 2-(b -c )2,则sin A =________. 答案817解析 由余弦定理得S =a 2-(b -c )2=2bc -2bc cos A =12bc sin A ,所以sin A +4cos A =4,由sin 2A +cos 2A=1,解得sin 2A +(1-sin A 4)2=1,sin A =817(0舍去).11.若tan θ=3,则cos 2θ+sin θcos θ=________. 答案 25解析 ∵tan θ=3,∴cos 2θ+sin θcos θ=cos 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=1+tan θtan 2θ+1=1+332+1=25.12.已知单位向量a ,b ,c ,且a ⊥b ,若c =ta +(1-t )b ,则实数t 的值为________. 答案 1或0解析 c =ta +(1-t )b ⇒c 2=t 2+(1-t )2=|c |2=1⇒t =0或t =1.13.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足b cos A =(2c +a )cos(A +C ). (1)求角B 的大小;(2)求函数f (x )=2sin 2x +sin(2x -B )(x ∈R)的最大值. 解 (1)由已知,b cos A =(2c +a )cos(π-B ), 即sin B cos A =-(2sin C +sin A )cos B , 即sin(A +B )=-2sin C cos B , 则sin C =-2sin C cos B , ∴cos B =-12,即B =2π3.(2)f (x )=2sin 2x +sin 2x cos2π3-cos 2x sin 2π3=32sin 2x -32cos 2x =3sin(2x -π6), 即x =π3+k π,k ∈Z 时,f (x )取得最大值 3.14.已知函数f (x )=2cos x (sin x -cos x )+1. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且锐角A 满足f (A )=1,b =2,c =3,求a 的值. 解 (1)f (x )=2sin x cos x -2cos 2x +1 =sin 2x -cos 2x =2sin(2x -π4),所以f (x )的最小正周期为π.由-π2+2k π≤2x -π4≤π2+2k π(k ∈Z),得k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z),所以f (x )的单调增区间为[k π-π8,k π+3π8](k ∈Z).(2)由题意知f (A )=2sin(2A -π4)=1,sin(2A -π4)=22,又∵A 是锐角,∴2A -π4=π4,∴A =π4,由余弦定理得a 2=2+9-2×2×3×cos π4=5,∴a = 5.四、数 列1.牢记概念与公式 等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n }的常用性质(2)判断等差数列的常用方法 ①定义法:a n +1-a n =d (常数) (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ②通项公式法:a n =pn +q (p ,q 为常数,n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ③中项公式法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ④前n 项和公式法:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数,n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)判断等比数列的三种常用方法①定义法:a n +1a n=q (q 是不为0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.②通项公式法:a n =cq n (c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列. ③中项公式法:a 2n +1=a n ·a n +2(a n ·a n +1·a n +2≠0,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和.(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列,{b n }为等比数列)的数列,利用错位相减法求和. (3)通项公式形如a n =c (an +b 1)(an +b 2)(其中a ,b 1,b 2,c 为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如a n =(-1)n ·n 或a n =a ·(-1)n (其中a 为常数,n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成c n =a n +b n 形式的数列求和问题的方法,其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.(6)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求S n .1.已知数列的前n 项和求a n ,易忽视n =1的情形,直接用S n -S n -1表示.事实上,当n =1时,a 1=S 1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1.2.易混淆几何平均数与等比中项,正数a ,b 的等比中项是±ab .3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =n +12n +3,求a n b n时,无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q ≠0,导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n 项和公式时,易忘记分类讨论.一定分q =1和q ≠1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时,分裂前后的值要相等, 如1n (n +2)≠1n -1n +2,而是1n (n +2)=12⎝⎛⎭⎫1n -1n +2.8.通项中含有(-1)n 的数列求和时,要把结果写成分n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -4(n ∈N *),则a n 等于( ) A.2n +1 B.2n C.2n -1 D.2n -2答案 A解析 a n +1=S n +1-S n =2a n +1-4-(2a n -4)⇒a n +1=2a n ,再令n =1,∴S 1=2a 1-4⇒a 1=4,∴数列{a n }是以4为首项,2为公比的等比数列,∴a n =4·2n -1=2n +1,故选A.2.已知数列{a n }满足a n +2=a n +1-a n ,且a 1=2,a 2=3,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 016的值为( ) A.0 B.2 C.5 D.6 答案 A解析 由题意得,a 3=a 2-a 1=1,a 4=a 3-a 2=-2,a 5=a 4-a 3=-3,a 6=a 5-a 4=-1,a 7=a 6-a 5=2,∴数列{a n }是周期为6的周期数列,而2 016=6·336,∴S 2 016=336S 6=0,故选A. 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 5=14-a 6,则S 10等于( ) A.35 B.70 C.28 D.14答案 B解析 a 5=14-a 6⇒a 5+a 6=14, S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 5+a 6)2=70.故选B. 4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=4,S 10=110,则使S n +63a n 取得最小值时n 的值为( )A.7B.7或8C.172 D.8答案 D解析 a 2=4,S 10=110⇒a 1+d =4,10a 1+45d =110⇒a 1=2,d =2,因此S n +63a n =2n +n (n -1)+632n =n 2+632n +12,又n ∈N *,所以当n =8时,S n +63a n 取得最小值.5.等比数列{a n }中,a 3a 5=64,则a 4等于( ) A.8 B.-8 C.8或-8 D.16 答案 C解析 由等比数列的性质知,a 3a 5=a 24, 所以a 24=64,所以a 4=8或a 4=-8.6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 3=52,且a 2+a 4=54,则S n a n 等于( )A.4n -1 B.4n -1 C.2n -1 D.2n -1答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则⎩⎨⎧a 1(1+q 2)=52,a 1q (1+q 2)=54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,q =12,∴S na n =a 1(1-q n )1-q a 1q n -1=2×(1-12n )1-122×(12)n -1=2n -1.故选D. 7.设函数f (x )=x a +ax 的导函数f ′(x )=2x +2,则数列{1f (n )}的前9项和是( )A.2936B.3144C.3655D.4366 答案 C解析 由题意得函数f (x )=x a +ax 的导函数f ′(x )=2x +2,即ax a -1+a =2x +2,所以a =2,即f (x )=x 2+2x ,1f (n )=1n (n +2)=12(1n -1n +2),所以S n =12(1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2)=12(1+12-1n +1-1n +2).则S 9=12(1+12-110-111)=3655,故选C.8.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1=1,S n 是数列{a n }前n 项的和,则2S n +16a n +3(n ∈N *)的最小值为( ) A.4 B.3 C.23-2 D.92答案 A解析 据题意由a 1,a 3,a 13成等比数列可得(1+2d )2=1+12d ,解得d =2,故a n =2n -1,S n =n 2,因此2S n +16a n +3=2n 2+162n +2=n 2+8n +1=(n +1)2-2(n +1)+9n +1=(n +1)+9n +1-2,据基本不等式知2S n +16a n +3=(n +1)+9n +1-2≥2(n +1)×9n +1-2=4,当n =2时取得最小值4. 9.等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于________. 答案 4解析 由等比数列的性质有a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=a 4a 5,所以T 8=lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1a 2…a 8)=lg(a 4a 5)4=lg(10)4=4.10.已知数列{a n }满足a n +1=a n +2n 且a 1=2,则数列{a n }的通项公式a n =__________. 答案 n 2-n +2 解析 a n +1=a n +2n ,∴a n +1-a n =2n ,采用累加法可得∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1, =2(n -1)+2(n -2)+…+2+2=n 2-n +2.11.若数列{a n }满足a n =3a n -1+2(n ≥2,n ∈N *),a 1=1,则数列{a n }的通项公式为a n =____________. 答案 2×3n -1-1解析 设a n +λ=3(a n -1+λ),化简得a n =3a n -1+2λ, ∵a n =3a n -1+2,∴λ=1, ∴a n +1=3(a n -1+1), ∵a 1=1,∴a 1+1=2,∴数列{a n +1}是以2为首项,3为公比的等比数列, ∴a n +1=2×3n -1, ∴a n =2×3n -1-1.12.数列113,219,3127,4181,51243,…的前n 项之和等于________________.答案n (n +1)2+12[1-(13)n ] 解析 由数列各项可知通项公式为a n =n +13n ,由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n项和为S n =n (n +1)2+12[1-(13)n ].13.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +1=λS n +1(n ∈N *,且λ≠-1),且a 1,2a 2,a 3+3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n b n }的前n 项和.解 (1)方法一 ∵a n +1=λS n +1(n ∈N *), ∴a n =λS n -1+1(n ≥2).∴a n +1-a n =λa n ,即a n +1=(λ+1)a n (n ≥2),λ+1≠0, 又a 1=1,a 2=λS 1+1=λ+1,∴数列{a n }为以1为首项,以λ+1为公比的等比数列, ∴a 3=(λ+1)2,∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3, 整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1. ∴a n =2n -1,b n =1+3(n -1)=3n -2. 方法二 ∵a 1=1,a n +1=λS n +1(n ∈N *),∴a 2=λS 1+1=λ+1,a 3=λS 2+1=λ(1+λ+1)+1=λ2+2λ+1. ∴4(λ+1)=1+λ2+2λ+1+3, 整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1. ∴a n +1=S n +1 (n ∈N *), ∴a n =S n -1+1(n ≥2),∴a n +1-a n =a n ,即a n +1=2a n (n ≥2),又a 1=1,a 2=2, ∴数列{a n }为以1为首项,以2为公比的等比数列, ∴a n =2n -1,b n =1+3(n -1)=3n -2. (2)设数列{a n b n }的前n 项和为T n , a n b n =(3n -2)·2n -1,∴T n =1·1+4·21+7·22+…+(3n -2)·2n -1.①∴2T n =1·21+4·22+7·23+…+(3n -5)·2n -1+(3n -2)·2n .②①-②得-T n =1·1+3·21+3·22+…+3·2n -1-(3n -2)·2n=1+3·2·(1-2n -1)1-2-(3n -2)·2n .整理得T n =(3n -5)·2n +5.14.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且S n =a n (a n +1)2(n ∈N *), (1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)设b n =1S n,T n =b 1+b 2+…+b n ,若λ≤T n 对于任意n ∈N *恒成立,求实数λ的取值范围.(1)证明 ∵S n =a n (a n +1)2 (n ∈N *),①∴S n -1=a n -1(a n -1+1)2(n ≥2).②①-②得:a n =a 2n +a n -a 2n -1-a n -12(n ≥2),整理得:(a n +a n -1)(a n -a n -1)=(a n +a n -1), ∵数列{a n }的各项均为正数,∴a n +a n -1≠0, ∴a n -a n -1=1(n ≥2).当n =1时,a 1=1,∴数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列. (2)解 由(1)得S n =n 2+n2,∴b n =2n 2+n =2n (n +1)=2(1n -1n +1),∴T n =2[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n -1n +1)]=2(1-1n +1)=2n n +1,∵T n =21+1n ,∴T n 单调递增,∴T n ≥T 1=1,∴λ≤1.故λ的取值范围为(-∞,1].五、不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤:一化(将二次项系数化为正数);二判(判断Δ的符号);三解(解对应的一元二次方程);四写(大于取两边,小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑:①二次项系数,它决定二次函数的开口方向;②判别式Δ,它决定根的情形,一般分Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况;③在有根的条件下,要比较两根的大小.2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ<0.(2)ax 2+bx +c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0); f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0),g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R)当且仅当a =b 时取等号. ②a +b2≥ab (a ,b ∈(0,+∞)),当且仅当a =b 时取等号. (2)几个重要的不等式:①ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22(a ,b ∈R); ②a 2+b 22≥a +b 2≥ab ≥2aba +b(a >0,b >0,当a =b 时等号成立). ③a +1a ≥2(a >0,当a =1时等号成立);④2(a 2+b 2)≥(a +b )2(a ,b ∈R ,当a =b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界,点定域”,即先画出与不等式对应的方程所表示的直线,然后代入特殊点的坐标,根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得;(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得,这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,不讨论这个数的正负,从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2+bx +c >0时,易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解,要注意分a >0,a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形,不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0,而忽视g (x )≠0. 4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件,即“一正、 二定、三相等”导致错解,如求函数f (x )=x 2+2+1x 2+2的最值,就不能利用基本不等式求解最值;求解函数y =x +3x (x <0)时应先转化为正数再求解. 5.解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中y 的系数的正负;注意最优整数解. 6.求解线性规划问题时,不能准确把握目标函数的几何意义导致错解,如y -2x +2是指已知区域内的点(x ,y )与点(-2,2)连线的斜率,而(x -1)2+(y -1)2是指已知区域内的点(x ,y )到点(1,1)的距离的平方等.。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析一
高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.已知集合,B={y|y=2x+1,x∈R},则∁R(A∩B)=()A.(﹣∞,1] B.(﹣∞,1)C.(0,1] D.[0,1]2.若复数z满足(2+i)z=1+2i(i是虚数单位),则z的共轭复数所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知A,B,C为不共线的三点,则“”是“△ABC是钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为()A.B.C.D.5.不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是()A.B.C.D.6.设x,y满足约束条件,若目标函数的最大值为2,则的图象向右平移后的表达式为()A.B.C.y=sin2x D.7.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x﹣[x]在R上为()A.增函数B.周期函数 C.奇函数D.偶函数8.已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.B.2 C.D.9.已知点F是双曲线的右焦点,点E是该双曲线的左顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若∠AEB是钝角,则该双曲线的离心率e 的取值范围是()A. B.C.(2,+∞)D.10.已知函数,若|f(x)|≥2ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0] B.[﹣2,1] C.[﹣2,0] D.[﹣1,0]二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11.已知x、y的取值如下表:x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析,y与x线性相关,且回归方程为,则为.12.若在区间[﹣5,5]内任取一个实数a,则使直线x+y+a=0与圆(x﹣1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为.13.展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于.14.设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于.15.设抛物线C:y2=2x的焦点为F,直线l过F与C交于A,B两点,若|AF|=3|BF|,则l 的方程为.三、解答题:本大题共6小题,共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,,且.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若,求△ABC的面积并判断△ABC的形状.17.盒子里装有大小相同的8个球,其中3个1号球,3个2号球,2个3号球.(Ⅰ)若第一次从盒子中任取一个球,放回后第二次再任取一个球,求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率;(Ⅱ)若从盒子中一次取出2个球,记取到球的号码和为随机变量X,求X的分布列及期望.18.已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列,首项a1=1,其前n项和为S n,数列{b n}是等比数列,首项b1=2,且b2S2=16,b3S3=72.(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)令c1=1,c2k=a2k﹣1,c2k+1=a2k+kb k,其中k=1,2,3…,求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1.19.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AA1=2,M是AB1上的动点,且AM=λAB1,N是CC1的中点.(Ⅰ)若,求证:MN⊥AA1;(Ⅱ)若直线MN与平面ABN所成角的大小为,试求λ的值.20.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好经过抛物线的准线,且经过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线l的方程为x=﹣4.AB是经过椭圆左焦点F的任一弦,设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.试探索k1,k2,k3之间有怎样的关系式?给出证明过程.21.已知函数,g(x)=(1+a)x,(a∈R).(Ⅰ)设h(x)=f(x)﹣g(x),求h(x)的单调区间;(Ⅱ)若对∀x>0,总有f(x)≥g(x)成立.(1)求a的取值范围;(2)证明:对于任意的正整数m,n,不等式恒成立.参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.已知集合,B={y|y=2x+1,x∈R},则∁R(A∩B)=()A.(﹣∞,1] B.(﹣∞,1)C.(0,1] D.[0,1]考点:交、并、补集的混合运算.专题:集合.分析:求出A中不等式的解集确定出A,求出B中y的范围确定出B,求出A与B的解集,进而确定交集的补角即可.解答:解:由A中不等式变形得:x(x﹣1)≥0,且x﹣1≠0,解得:x≤0或x>1,即A=(﹣∞,0]∪(1,+∞),由B中y=2x+1>1,即B=(1,+∞),∴A∩B=(1,+∞),则∁R(A∩B)=(﹣∞,1],故选:A.点评:此题考查了交、并、补角的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.2.若复数z满足(2+i)z=1+2i(i是虚数单位),则z的共轭复数所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得后得答案.解答:解:由(2+i)z=1+2i,得,∴,则z的共轭复数所对应的点的坐标为(),位于第四象限.故选:D.点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.已知A,B,C为不共线的三点,则“”是“△ABC是钝角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:从两个方向判断:一个是看能否得到△ABC为钝角三角形,另一个看△ABC为钝角三角形能否得到,这样即可判断出“”是“△ABC是钝角三角形”的什么条件.解答:解:如图,(1)若,则cos>0;∴∠A>90°,即△ABC是钝角三角形;(2)若△ABC为钝角三角形,则∠A不一定为钝角;∴不一定得到;∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件.故选A.点评:考查数量积的计算公式,向量夹角的概念及范围,以及钝角三角形的概念,充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念.4.一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为()A.B.C.D.考点:程序框图.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,i的值,当i=10时,不满足条件i≤9,退出循环,输出S的值,由裂项法求和即可得解.解答:解:模拟执行程序框图,可得i=1,S=0满足条件i≤9,S=,i=2满足条件i≤9,S=+,i=3…满足条件i≤9,S=++…+,i=10不满足条件i≤9,退出循环,输出S的值.由于S=++…+=(1﹣+﹣+﹣…+﹣)=×(1+)=.故选:A.点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,用裂项法求数列的和,综合性较强,属于基本知识的考查.5.不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是()A.B.C.D.考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式的解法及应用.分析:令f(x)=|x﹣1|+|x+2|,通过零点分区间的方法,对x的范围的讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,再解即可.解答:解:令f(x)=|x﹣1|+|x+2|,则f(x)=,∴当x≤﹣2时,|x+2|+|x﹣1|≤4⇔﹣2x﹣1≤4,∴﹣≤x≤﹣2;当﹣2<x<1时,有3≤4恒成立,当x≥1时,|x+2|+|x﹣1|≤4⇔2x+1≤4,∴1≤x≤.综上所述,不等式|x+2|+|x﹣1|≤4的解集为[﹣,].故选B.点评:本题考查绝对值不等式的解法,可以通过对x的范围的讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数解决,也可以利用绝对值的几何意义解决,考查转化思想与运算能力,属于中档题.6.设x,y满足约束条件,若目标函数的最大值为2,则的图象向右平移后的表达式为()A.B.C.y=sin2x D.考点:简单线性规划;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质;不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识求出m的值,利用三角函数的图象关系进行平移即可.解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图,∵m>0,∴平移直线,则由图象知,直线经过点B时,直线截距最大,此时z最大为2,由,解得,即B(1,1),则1+=2,解得m=2,则=sin(2x+),则的图象向右平移后,得到y=sin[2(x﹣)+]=sin2x,故选:C.点评:本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用,根据条件求出m的取值是解决本题的关键.7.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x﹣[x]在R上为()A.增函数B.周期函数 C.奇函数D.偶函数考点:函数的周期性.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:可判断f(x+1)=(x+1)﹣[x+1]=x﹣[x]=f(x);从而说明周期是1即可.解答:解:由题意,f(x+1)=(x+1)﹣[x+1]=(x+1)﹣([x]+1)=x﹣[x]=f(x);故函数f(x)=x﹣[x]在R上为周期为1的周期函数,故选B.点评:本题考查了函数的周期性的判断,属于基础题.8.已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.B.2 C.D.考点:简单空间图形的三视图.专题:数形结合法;空间位置关系与距离.分析:根据题意,画出图形,求出该正方体的正视图面积的取值范围,定义ABCD选项判断即可.解答:解:根据题意,得;水平放置的正方体,如图所示;当正视图为正方形时,其面积最小=2;当正视图为对角面时,其面积最大为×=2.∴满足棱长为的正方体的正视图面积的范围为[2,2].∴B、C、D都有可能,A中﹣1<2,∴A不可能.故选:A.点评:本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是基础题目.9.已知点F是双曲线的右焦点,点E是该双曲线的左顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若∠AEB是钝角,则该双曲线的离心率e 的取值范围是()A. B.C.(2,+∞)D.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:利用双曲线的对称性及∠AEB是钝角,得到AF>EF,求出AF,CF得到关于a,b,c 的不等式,求出离心率的范围.解答:解:∵双曲线关于x轴对称,且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF∵∠AEB是钝角,∴AF>EF∵F为右焦点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,∴AF=,∵EF=a+c∴>a+c,即c2﹣ac﹣2a2>0解得>2或<﹣1双曲线的离心率的范围是(2,+∞)故选:C.点评:本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系:c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a,b,c的关系.10.已知函数,若|f(x)|≥2ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0] B.[﹣2,1] C.[﹣2,0] D.[﹣1,0]考点:分段函数的应用.专题:函数的性质及应用.分析:作出函数f(x)和y=ax的图象,将方程问题转化为两个函数的交点个数问题,利用数形结合进行求解即可.解答:解:作出函数y=|f(x)|的图象如图:若a>0,则|f(x)|≥2ax,若a=0,则|f(x)|≥2ax,成立,若a<0,则|f(x)|≥2ax,成立,综上a≤0,故选:A.点评:本题主要考查函数与方程的应用,利用分段函数作出函数的图象,利用数形结合是解决本题的关键.二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11.已知x、y的取值如下表:x 2 3 4 5y 2.2 3.8 5.5 6.5从散点图分析,y与x线性相关,且回归方程为,则为﹣0.61 .考点:线性回归方程.专题:应用题.分析:本题考查回归直线方程的求法.依据所给条件可以求得、,因为点(,)满足回归直线的方程,所以将点的坐标代入即可得到a的值.解答:解:依题意可得,==3.5,==4.5,则a=﹣1.46=4.5﹣1.46×3.5=﹣0.61.故答案为:﹣0.61.点评:回归分析部分作为新课改新加内容,在高考中一直受到重视,从山东考题看,一般以选择题或填空题出现.本题给出了线性回归直线方程考查的常见题型,体现了回归直线方程与样本中心点的关联.12.若在区间[﹣5,5]内任取一个实数a,则使直线x+y+a=0与圆(x﹣1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为.考点:几何概型.专题:计算题;概率与统计.分析:利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点,可求出满足条件的a,最后根据几何概型的概率公式可求出所求.解答:解:∵直线x+y+a=0与圆(x﹣1)2+(y+2)2=2有公共点,∴≤,解得﹣1≤a≤3,∴在区间[﹣5,5]内任取一个实数a,使直线x+y+a=0与圆(x﹣1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为=故答案为:.点评:本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题.13.展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于180 .考点:二项式定理.专题:计算题.分析:如果n是奇数,那么是中间两项的二次项系数最大,如果n是偶数,那么是最中间那项的二次项系数最大,由此可确定n的值,进而利用展开式,即可求得常数项.解答:解:如果n是奇数,那么是中间两项的二次项系数最大,如果n是偶数,那么是最中间项的二次项系数最大.∵展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴n=10∴展开式的通项为=令=0,可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为:180点评:本题考查二项展开式,考查二项式系数,正确利用二项展开式是关键.14.设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于.考点:平面向量数量积的运算.专题:计算题;平面向量及应用.分析:利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出.解答:解:||===,只考虑x>0,则===,当且仅当=﹣时取等号.∴则的最大值等于.故答案为:.点评:本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.设抛物线C:y2=2x的焦点为F,直线l过F与C交于A,B两点,若|AF|=3|BF|,则l的方程为.考点:抛物线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由题意设出直线AB的方程,联立直线和抛物线方程,利用韦达定理,结合|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2,求出k得答案.解答:解:由y2=2x,得F(,0),设AB所在直线方程为y=k(x﹣),代入y2=2x,得k2x2﹣(k2+2)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1+,x1x2=结合|AF|=3|BF|,x1+=3(x2+)解方程得k=±.∴直线L的方程为.故答案为:点评:本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了抛物线的定义,考查了学生的计算能力,是中档题.三、解答题:本大题共6小题,共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,,且.(Ⅰ)求A的大小;(Ⅱ)若,求△ABC的面积并判断△ABC的形状.考点:余弦定理;正弦定理.专题:解三角形.分析:(Ⅰ)由两向量的坐标,及已知等式,利用平面向量的数量积运算法则求出cosA的值,即可确定出A的大小;(Ⅱ)根据已知等式求出a的值,利用余弦定理列出关系式,把a,b+c,cosA的值代入求出bc的值,利用三角形面积公式求出三角形ABC面积,并判断其形状即可.解答:解:(Ⅰ)∵=(1,2),=(cos2A,cos2),且•=1,∴•=cos2A+2cos2=2cos2A﹣1+1+cosA=2cos2A+cosA=1,∴cosA=或cosA=﹣1,∵A∈(0,π),∴A=;(Ⅱ)由题意知a=,∵a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc(1+cosA),∴3=12﹣2bc(1+cos),∴bc=3,∴S△ABC=bcsinA=×3×=,由,得b=c=,∵a=,∴△ABC为等边三角形.点评:此题考查了余弦定理,三角形面积公式,平面向量的数量积运算,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.17.盒子里装有大小相同的8个球,其中3个1号球,3个2号球,2个3号球.(Ⅰ)若第一次从盒子中任取一个球,放回后第二次再任取一个球,求第一次与第二次取到球的号码和是5的概率;(Ⅱ)若从盒子中一次取出2个球,记取到球的号码和为随机变量X,求X的分布列及期望.考点:离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列.专题:概率与统计.分析:(Ⅰ)分别求出第一次是3,第二次是2和第一次是2,第二次是3的概率相加即可;(Ⅱ)X可能取的值是2,3,4,5,6,分别求出其概率值,列出分布列,求出数学期望即可.解答:解:(Ⅰ)记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是5”为事件A,则;(Ⅱ)X可能取的值是2,3,4,5,6,,,,,.∴X的分布列为:X 2 3 4 5 6P∴,故所求的数学期望为.点评:本题考查了离散型随机变量的分别列及其期望,熟练掌握公式是解题的关键,本题属于中档题.18.已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列,首项a1=1,其前n项和为S n,数列{b n}是等比数列,首项b1=2,且b2S2=16,b3S3=72.(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)令c1=1,c2k=a2k﹣1,c2k+1=a2k+kb k,其中k=1,2,3…,求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1.考点:数列的求和;等差数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则d>0,利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;(II)利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出.解答:解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则d>0,依题意有,解得:或(舍去),∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1,.(Ⅱ)T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1,∴T2n+1=c1+a1+(a2+b1)+a3+(a4+2b2)+…+a2n﹣1+(a2n+nb n)=1+S2n+(b1+2b2+…+nb n),令①∴②,∴①﹣②得:,∴,∵,∴.点评:本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AA1=2,M是AB1上的动点,且AM=λAB1,N是CC1的中点.(Ⅰ)若,求证:MN⊥AA1;(Ⅱ)若直线MN与平面ABN所成角的大小为,试求λ的值.考点:用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的性质.专题:计算题;综合题.分析:(I)结合几何体中的线面关系证明线面垂直即AA1⊥面ABC,进而可得AA1⊥CE,又MN∥CE,所以可得答案.(II)建立坐标系求出平面的法向量与直线所在的向量,利用向量的基本运算,求出两个向量的夹角再结合线面角的范围求出线面角即可.解答:解(Ⅰ)证明:取AB中点E,连接ME,CE,则有ME与NC平行且相等.∴四边形MNCE为平行四边形,MN∥CE∵AA1⊥面ABC,CE⊂面ABC∴AA1⊥CE,∴MN⊥AA1.(Ⅱ)以AB,AA1为x轴,z轴,在面ABC内以过A点且垂直于AB的射线为y轴建系如设是平面ABN的一个法向量,则∴,令y=1∴设MN与面ABN所成角为θ则,化简得3λ2+5λ﹣2=0,λ=﹣2或由题意知λ>0,∴.点评:解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,便于判断线面的位置关系以及建立坐标系通过向量法解决空间角、空间距离问题.20.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好经过抛物线的准线,且经过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若直线l的方程为x=﹣4.AB是经过椭圆左焦点F的任一弦,设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.试探索k1,k2,k3之间有怎样的关系式?给出证明过程.考点:直线与圆锥曲线的综合问题.专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)设C方程为,利用顶点恰好经过抛物线的准线,求出b,根据椭圆经过点,求出a,即可求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线AB的方程代入,利用韦达定理,结合斜率公式,即可探索k1,k2,k3之间的关系式.解答:解:(Ⅰ)设C方程为,∵抛物线的准线,∴…(1分)由点在椭圆上,∴,∴a2=4…(3分)∴椭圆C的方程为.…(4分)(Ⅱ)由题意知,直线斜率存在.∵F(﹣1,0),∴设直线AB的方程为y=k(x+1),代入,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2﹣12=0,…(5分)设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得.…(6分)由题意知M(﹣4,﹣3k),…(8分)∵y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),代人k1,k2得,∴…(10分)=…(12分)∴k1+k2=2k3…(13分)点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查了分析转化的能力与探究的能力,考查了方程的思想,数形结合的思想,本题综合性较强,运算量大,极易出错,解答时要严谨运算,严密推理,方能解答出.21.已知函数,g(x)=(1+a)x,(a∈R).(Ⅰ)设h(x)=f(x)﹣g(x),求h(x)的单调区间;(Ⅱ)若对∀x>0,总有f(x)≥g(x)成立.(1)求a的取值范围;(2)证明:对于任意的正整数m,n,不等式恒成立.考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.专题:导数的综合应用.分析:(Ⅰ),先求出导函数,再分情况①当a≤0时②当0<a<1时③当a=1时④当a>1时进行讨论(Ⅱ)(1)由题意得到即h(x)≥0恒成立,分离参数,利用导数函数最小值即可.(2)当时,,转化为,分别令x=m+1,m+2,…,m+n,利用放缩法,从而证得结论.解答:解:(Ⅰ)h(x)=f(x)﹣g(x)=x2+alnx﹣(1+a)x,定义域为{x|x>0},∴h′(x)=x+﹣(1+a)=,…(1分)①当a≤0时,令h′(x)>0,∵x>0,∴x>1,令h′(x)<0,∴0<x<1;②当0<a<1时,令h′(x)>0,则x>1或0<x<a,令h′(x)<0,∴a<x<1;…(3分)③当a=1时,恒成立;④当a>1时,令h′(x)>0,则x>a或0<x<1,令h′(x)<0,∴1<x<a;…(4分)综上:当a≤0时,h(x)的增区间为(1,+∞),h(x)的减区间为(0,1);当0<a<1时,h(x)的增区间为(0,a)和(1,+∞),h(x)的减区间为(a,1);当a=1时,h(x)的增区间为(0,+∞);当a>1时,h(x)的增区间为(0,1)和(a,+∞),h(x)的减区间为(1,a).…(5分)(Ⅱ)(1)由题意,对任意x∈(0,+∞),f(x)﹣g(x)≥0恒成立,即h(x)≥0恒成立,只需h(x)min≥0.…(6分)由第(Ⅰ)知:∵,显然当a>0时,h(1)<0,此时对任意x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)不能恒成立;…(8分)当a≤0时,,∴;综上:a的取值范围为.…(9分)(2)证明:由(1)知:当时,,…(10分)即lnx≤x2﹣x,当且仅当x=1时等号成立.当x>1时,可以变换为,…(12分)在上面的不等式中,令x=m+1,m+2,…,m+n,则有==∴不等式恒成立.…(14分)点评:本题考察了函数的单调性,导数的应用,不等式的证明,渗透了分类讨论的思想,属于难题.。
【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习:小题专项限时突破3.数列-含解析
1 1 数列,故b 是公比为 的等比数列,{bn}是公比为 2 的等比数列,b6 2 n
+b7+b8=(b1+b2+b3)25=32,故选 C. [答案] C
5.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=7,S6=63,则 S9=( )
A.264 B.483 C.511 D.567 [解析] 解法一:设等比数列{an}的公比为 q,易知 q≠1.
-1,即(Sn-Sn-1)(Sn-4Sn-1)=0,∵正项数列{an}的前
n 项和为 Sn,∴
Sn≠Sn-1,∴Sn=4Sn-1,∴数列{Sn}是等比数列,首项为 1,公比为 4, ∴Sn=4n-1,∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1-4n-2=3×4n-2,∴an
1,n=1, = n 2 3×4 - ,n≥2,
[答案]
C
3.已知数列{an}为等比数列,且 a1+1,a3+4,a5+7 成等差数 列,则公差 d 为( )
A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 设{an}的公比为 q,由题意得 2(a3+4)=a1+1+a5+7⇒ 2a3=a1+a5⇒2q2=1+q4⇒q2=1,即 a1=a3,d=a3+4-(a1+1)=4 -1=3,选 B. [答案] B
a 1-q =7, 1-q 由 S =7,S =63,得 a 1-q 1-q =63,
1 3 3 6 1 6
a1=1, q=2,
∴S9=
a11-q9 1-q
=511.
解法二:由等比数列{an}的性质可得 S3,S6-S3,S9-S6 成等比 数列,∴(S6-S3)2=S3· (S9-S6),∴(63-7)2=7×(S9-63),解得 S9= 511.故选 C. [答案] C
2018届高三理科数学小题限时专练(共8套)
算法流程图输出的结果是
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
x 2y 0
(7)变量
x,y
满足约束条件
x
y
0
,则 z 2x y
x 2 y 2 0
的最小值等于
(A) 5 (B) 2 (C) 3
2
2
(D) 2
(8)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是
(A)若 K2 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100
D
C
M
则 SD 面ABCD .
其中正确的命题个数是
N
A
B
(A) 0
(B)1
(C) 2
(D)3
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
(13) (1 2 x )3 (1 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 .
(14)为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高 y(cm) 175 175 176 177 177
2018 年 2 月
2018 届高三理科数学小题限时专练(二)
限时:30 分钟 总分:80 分
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.设集合 A x x 1 , B x 2x 16 ,则 A B
A. (1, 4)
B. (,1)
C. (4, )
D. (,1) (4,)
8.刍薨(chú hōng),中国古代算数中的一种几何形体,《九章 算术》中记载“刍薨者,下有褒有广,而上有褒无广. 刍,草 也. 薨,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长 没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草屋顶”,如图,为一刍
2018届高考数学理二轮专题复习:高考小题集训四 含答案 精品
C.2 D.3
解析:取线段PF1的中点为A,连接AF2,又|PF2|=|F1F2|,则AF2⊥PF1,∵直线PF1与圆x2+y2=a2相切,∴|AF2|=2a,∵|PA|= |PF1|=a+c,∴4c2=(a+c)2+4a2,化简得(3c-5a)(a+c)=0,则双曲线的离心率为 .
答案:B
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2]时,f(x)= ,则函数y=f(x)在[2,4]上的大致图象是()
解析:当2≤x<3时,0≤x-2<1,又f(x+2)=2f(x),所以f(x)=2f(x-2)=2x-4,当3≤x≤4时,1≤x-2≤2,又f(x+2)=2f(x),所以f(x)=2f(x-2)=-2(x-2)2+4(x-2)=-2x2+12x-16,所以f(x)= ,
A.2 B.2+
C.3+ D.3+
解析:如图所示,根据题设条件可知三视图还原成的几何体为四棱锥D′-ABCD(正视的方向是 ),正方体的棱长为1,四棱锥D′-ABCD的表面积S=S四边形ABCD+S△D′AB+S△D′BC+S△D′DC+S△D′DA=1+ + + + =2+ .
答案:B
12.(2017·广西三市第一次联考)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),P是双曲线C右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,若直线PF1与圆x2+y2=a2相切,则双曲线的离心率为()
答案:B
3.定义新的运算 =ad-bc,则满足 =4+2i(i为虚数单位)的复数z=()
A.1-3i B.1+3i
C.3+i D.3-i
解析:由于 =zi+z=4+2i,所以z= =(2+i)·(1-i)=3-i.
2018届高考数学理科二轮总复习高考小题分项练 1 含解
高考小题分项练高考小题分项练1 集合与常用逻辑用语1.已知集合A ={2,5,6},B ={3,5},则集合A ∪B =________.答案 {2,3,5,6}2.已知集合A ={1,2,3,4},B ={2,4,7,8},C ={1,3,4,5,9},则集合(A ∪B )∩C =________. 答案 {1,3,4}解析 因为A ∪B ={1,2,3,4,7,8},所以(A ∪B )∩C ={1,3,4}.3.已知集合M ={x |x 2=9},N ={x |-3≤x <3,x ∈Z },则M ∩N =________.答案 {-3}解析 由题意得M ={-3,3},由于N ={-3,-2,-1,0,1,2},则M ∩N ={-3}.4.已知集合A =[1,4),B =(-∞,a ).若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是________. 答案 [4,+∞)解析 在数轴上表示出A ,B ,要使A ⊆B ,则必须a ≥4.5.设p :x 2-x -20>0,q :log 2(x -5)<2,则p 是q 的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由x 2-x -20>0,得x <-4或x >5;由log 2(x -5)<2,得5<x <9,所以p 是q 的必要不充分条件.6.已知命题p :x 2-x ≥6或x 2-x ≤-6,q :x ∈Z .若命题p 假q 真,则x 的取值集合为________. 答案 {-1,0,1,2}解析 因为p 假q 真,所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x <6,x 2-x >-6,x ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -6<0,x 2-x +6>0,x ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ -2<x <3,x ∈R ,x ∈Z .故x 的取值集合为{-1,0,1,2}.7.已知命题“若m -1<x <m +1,则1<x <2”的逆命题为真命题,则m 的取值范围是________.答案 [1,2]解析 由已知得若1<x <2成立,则m -1<x <m +1也成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧m -1≤1,m +1≥2,∴1≤m ≤2. 8.对于非空集合A ,B ,定义运算:A B ={x |x ∈A ∪B ,且x ∉A ∩B }.已知M ={x |a <x <b },N ={x |c <x <d },其中a ,b ,c ,d 满足a +b =c +d ,ab <cd <0,则M N =________________. 答案 (a ,c ]∪[d ,b )解析 由已知M ={x |a <x <b },∴a <b ,又ab <0,∴a <0<b ,同理可得c <0<d .∵ab <cd <0,c <0,b >0,∴a c >d b ,∴a -c c >d -b b. ∵a +b =c +d ,∴a -c =d -b ,∴d -b c >d -b b. 又∵c <0,b >0,∴d -b <0,∴a -c <0,∴a <c <0<d <b ,∴M ∩N =N ,∴M N ={x |a <x ≤c 或d ≤x <b }=(a ,c ]∪[d ,b ).9.“λ≤1”是“数列a n =n 2-2λn (n ∈N *)为递增数列”的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 ∵数列a n =n 2-2λn (n ∈N *)为递增数列,∴a n +1>a n ,∴(n +1)2-2λ(n +1)>n 2-2λn ,即λ<2n +12对于∀n ∈N *恒成立,∴λ<32. ∴“λ≤1”是“数列a n =n 2-2λn (n ∈N *)为递增数列”的充分不必要条件.10.已知命题p :集合{x |x =(-1)n ,n ∈N }只有3个真子集,q :集合{y |y =x 2+1,x ∈R }与集合{x |y =x +1}相等.则下列新命题:①p 或q ;②p 且q ;③非p ;④非q .其中真命题的个数为________.答案 2解析 命题p 的集合为{-1,1},只有2个元素,有3个真子集,故p 为真;q 中的两个集合不相等,故q 为假,因此有2个新命题为真.11.已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|kx -y -2≤0},其中x ,y ∈R .若A ⊆B ,则实数k 的取值范围是________.答案 [-3, 3 ]解析 要使A ⊆B ,只需直线kx -y -2=0与圆相切或相离,所以圆心到直线的距离d =21+k 2≥1, 解得-3≤k ≤ 3.12.设函数f (x )=lg ax -5x 2-a的定义域为A ,若命题p :3∈A 与q :5∈A 有且只有一个为真命题,则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎦⎤1,53∪[9,25) 解析 A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ax -5x 2-a >0, 若p :3∈A 为真,则3a -59-a>0,即53<a <9; 若q :5∈A 为真,则5a -525-a>0,即1<a <25. 若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ 53<a <9,a ≤1或a ≥25,所以a 无解; 若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤53或a ≥9,1<a <25,所以1<a ≤53或9≤a <25. 综上,a ∈⎝⎛⎦⎤1,53∪[9,25). 13.已知“关于x 的不等式x 2-ax +2x 2-x +1<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是“a ∈(a 1,a 2)”,则a 1+a 2=________.答案 6解析 ∵x 2-x +1>0,∴原不等式化为x 2-ax +2<3x 2-3x +3,即2x 2+(a -3)x +1>0.∵∀x ∈R,2x 2+(a -3)x +1>0恒成立,∴Δ=(a -3)2-8<0.∴3-22<a <3+22,∴a 1+a 2=6.14.设集合A ={(m 1,m 2,m 3)|m i ∈{-2,0,2},i =1,2,3},则集合A 中所有元素的个数为______;集合A 中满足条件“2≤|m 1|+|m 2|+|m 3|≤5”的元素个数为______.答案 27 18解析 m 1从集合{-2,0,2}中任选一个,有3种选法,m 2,m 3都有3种选法.∴构成集合A 的元素有3×3×3=27(种)情况,即集合A 的元素个数为27.对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况:①|m1|+|m2|+|m3|=2,即此时集合A的元素含有一个2或-2,两个0.而2或-2从三个位置选一个有3种选法,剩下的位置都填0,这种情况有3×2=6(种);②|m1|+|m2|+|m3|=4,即此时集合A含有两个2或-2,一个0;或者一个2,一个-2,一个0;当是两个2或-2,一个0时,从三个位置任选一个填0,剩下的两个位置都填2或-2,这种情况有3×2=6(种);当是一个2,一个-2,一个0时,对这三个数全排列,即得到3×2×1=6(种).∴集合A中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18.。
2018届高三数学理二轮复习高考小题专攻练 4 含解析
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高考小题专攻练4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105,即3a3=105,所以a3=35.同理可得a4=33,所以公差d=a4-a3=-2,所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A.错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
【解析】选 C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=错误!未找到引用源。
.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A.错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.±错误!未找到引用源。
D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+错误!未找到引用源。
d,所以S n=错误!未找到引用源。
2018届高考数学(理)二轮限时规范训练(Word版,含答案解析)
限时规范训练一 集合、常用逻辑用语限时40分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.集合A ={x ∈N |-1<x <4}的真子集个数为( ) A .7 B .8 C .15D .16解析:选C.A ={0,1,2,3}中有4个元素,则真子集个数为24-1=15.2.已知集合A ={x |2x 2-5x -3≤0},B ={x ∈Z |x ≤2},则A ∩B 中的元素个数为( ) A .2 B .3 C .4D .5解析:选B.A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12≤x ≤3,∴A ∩B ={0,1,2},A ∩B 中有3个元素,故选B. 3.设集合M ={-1,1},N ={x |x 2-x <6},则下列结论正确的是( ) A .N ⊆M B .N ∩M =∅ C .M ⊆ND .M ∩N =R解析:选C.集合M ={-1,1},N ={x |x 2-x <6}={x |-2<x <3},则M ⊆N ,故选C. 4.已知p :a <0,q :a 2>a ,则﹁p 是﹁q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B.因为﹁p :a ≥0,﹁q :0≤a ≤1,所以﹁q ⇒﹁p 且﹁p ⇒/﹁q ,所以﹁p 是﹁q 的必要不充分条件.5.下列命题正确的是( )A .若p ∨q 为真命题,则p ∧q 为真命题B .“a >0,b >0”是“b a +ab≥2”的充要条件C .命题“若x 2-3x +2=0,则x =1或x =2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2,则x 2-3x +2≠0”D .命题p :∃x ∈R ,x 2+x -1<0,则﹁p :∀x ∈R ,x 2+x -1≥0解析:选D.若p ∨q 为真命题,则p ,q 中至少有一个为真,那么p ∧q 可能为真,也可能为假,故A 错;若a >0,b >0,则b a +a b ≥2,又当a <0,b <0时,也有b a +a b≥2,所以“a >0,b >0”是“b a +a b≥2”的充分不必要条件,故B 错;命题“若x 2-3x +2=0,则x =1或x =2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2,则x 2-3x +2≠0”,故C 错;易知D 正确.6.设集合A ={x |x >-1},B ={x ||x |≥1},则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A .-1<x ≤1B .x ≤1C .x >-1D .-1<x <1解析:选D.由题意可知,x ∈A ⇔x >-1,x ∉B ⇔-1<x <1,所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是-1<x <1.故选D.7.“a =0”是“函数f (x )=sin x -1x+a 为奇函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0},关于原点对称.当a =0时,f (x )=sin x -1x,f (-x )=sin(-x )-1-x =-sin x +1x =-⎝⎛⎭⎪⎫sin x -1x =-f (x ),故f (x )为奇函数;反之,当f (x )=sin x -1x+a 为奇函数时,f (-x )+f (x )=0,又f (-x )+f (x )=sin (-x )-1-x +a +sin x -1x +a =2a ,故a =0,所以“a =0”是“函数f (x )=sin x -1x+a 为奇函数”的充要条件,故选C.8.已知命题p :“∃x ∈R ,e x-x -1≤0”,则﹁p 为( ) A .∃x ∈R ,e x-x -1≥0 B .∃x ∈R ,e x -x -1>0 C .∀x ∈R ,e x -x -1>0 D .∀x ∈R ,e x -x -1≥0解析:选C.特称命题的否定是全称命题,所以﹁p :∀x ∈R ,e x-x -1>0.故选C. 9.下列命题中假命题是( ) A .∃x 0∈R ,ln x 0<0 B .∀x ∈(-∞,0),e x>x +1 C .∀x >0,5x>3xD .∃x 0∈(0,+∞),x 0<sin x 0解析:选D.令f (x )=sin x -x (x >0),则f ′(x )=cos x -1≤0,所以f (x )在(0,+∞)上为减函数,所以f (x )<f (0),即f (x )<0,即sin x <x (x >0),故∀x ∈(0,+∞),sin x <x ,所以D 为假命题,故选D.10.命题p :存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,使sin x 0+cos x 0>2;命题q :命题“∃x 0∈(0,+∞),ln x 0=x 0-1”的否定是∀x ∈(0,+∞),ln x ≠x -1,则四个命题(﹁p )∨(﹁q )、p ∧q 、(﹁p )∧q 、p ∨(﹁q )中,正确命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B.因为sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4≤2,故命题p 为假命题;特称命题的否定为全称命题,易知命题q 为真命题,故(﹁p )∨(﹁q )真,p ∧q 假,(﹁p )∧q 真,p ∨(﹁q )假.11.下列说法中正确的是( )A .命题“∀x ∈R ,e x >0”的否定是“∃x ∈R ,e x>0”B .命题“已知x ,y ∈R ,若x +y ≠3,则x ≠2或y ≠1”是真命题C .“x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2],有(x 2+2x )min ≥(ax )max ” D .命题“若a =-1,则函数f (x )=ax 2+2x -1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析:选B.全称命题“∀x ∈M ,p (x )”的否定是“∃x ∈M ,﹁p (x )”,故命题“∀x ∈R ,e x >0”的否定是“∃x ∈R ,e x≤0”,A 错;命题“已知x ,y ∈R ,若x +y ≠3,则x ≠2或y ≠1”的逆否命题为“已知x ,y ∈R ,若x =2且y =1,则x +y =3”,是真命题,故原命题是真命题,B 正确;“x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2],有(x +2)min ≥a ”,由此可知C 错误;命题“若a =-1,则函数f (x )=ax 2+2x -1只有一个零点”的逆命题为“若函数f (x )=ax 2+2x -1只有一个零点,则a =-1”,而函数f (x )=ax 2+2x -1只有一个零点⇔a =0或a =-1,故D 错.故选B.12.“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交”是“0<b <1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B.若“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交”,则圆心到直线的距离为d =|b |2<1,即|b |<2,不能得到0<b <1;反过来,若0<b <1,则圆心到直线的距离为d =|b |2<12<1,所以直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交,故选B. 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若命题“∃x 0∈R ,x 20-2x 0+m ≤0”是假命题,则m 的取值范围是________. 解析:由题意,命题“∀x ∈R ,x 2-2x +m >0”是真命题,故Δ=(-2)2-4m <0,即m >1.答案:(1,+∞)14.若关于x 的不等式|x -m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3,则实数m 的取值范围是________.解析:由|x -m |<2得-2<x -m <2,即m -2<x <m +2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m-2<x <m +2}的真子集,于是有⎩⎪⎨⎪⎧m -2<2m +2>3,由此解得1<m <4,即实数m 的取值范围是(1,4).答案:(1,4)15.设集合S ,T 满足∅≠S ⊆T ,若S 满足下面的条件:(i)对于∀a ,b ∈S ,都有a -b ∈S 且ab ∈S ;(ⅱ)对于∀r ∈S ,n ∈T ,都有nr ∈S ,则称S 是T 的一个理想,记作S ⊲T .现给出下列集合对:①S ={0},T =R ;②S ={偶数},T =Z ;③S =R ,T =C (C 为复数集),其中满足S ⊲T 的集合对的序号是________.解析:①(ⅰ)0-0=0,0×0=0;(ⅱ)0×n =0,符合题意.②(ⅰ)偶数-偶数=偶数,偶数×偶数=偶数;(ⅱ)偶数×整数=偶数,符合题意. ③(ⅰ)实数-实数=实数,实数×实数=实数;(ⅱ)实数×复数=实数不一定成立,如2×i=2i ,不合题意.答案:①②16.已知f (x )=m (x -2m )(x +m +3),g (x )=2x-2.若同时满足条件: ①∀x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0;②∃x ∈(-∞,-4),f (x )g (x )<0,则m 的取值范围是________.解析:当x <1时,g (x )<0;当x >1时,g (x )>0;当x =1时,g (x )=0.m =0不符合要求.当m >0时,根据函数f (x )和函数g (x )的单调性,一定存在区间[a ,+∞)使f (x )≥0且g (x )≥0,故m >0时不符合第①条的要求.当m <0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f (x )的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f (x )至少有一个零点小于-4,问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于-4.函数f (x )的两个零点是2m ,-(m +3),故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0,2m <-m +,2m <-4,-m +<1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0,-m +<2m ,2m <1,-m +<-4,解第一个不等式组得-4<m <-2,第二个不等式组无解,故所求m 的取值范围是(-4,-2).答案:(-4,-2)限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.设i 是虚数单位,如果复数a +i2-i的实部与虚部相等,那么实数a 的值为( )A.13 B .-13C .3D .-3解析:选C.a +i 2-i =2a -1+a +5,由题意知2a -1=a +2,解之得a =3.2.若复数z 满足(1+2i)z =(1-i),则|z |=( ) A.25 B.35 C.105D.10解析:选C.z =1-i 1+2i =-1-3i 5⇒|z |=105.3.已知复数z =1+i(i 是虚数单位),则2z-z 2的共轭复数是( )A .-1+3iB .1+3iC .1-3iD .-1-3i 解析:选 B.2z -z 2=21+i -(1+i)2=-+--2i =1-i -2i =1-3i ,其共轭复数是1+3i ,故选B.4.若z =(a -2)+a i 为纯虚数,其中a ∈R ,则a +i 71+a i=( )A .iB .1C .-iD .-1解析:选C.∵z 为纯虚数,∴a =2,∴a +i 71+a i =2-i 1+2i=2--2+2-2=-3i 3=-i.5.已知复数z =11-i ,则z -|z |对应的点所在的象限为( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 解析:选B.∵复数z =11-i =1+i -+=12+12i , ∴z -|z |=12+12i -⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=1-22+12i ,对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22,12所在的象限为第二象限.故选B.6.若复数z 满足z (1-i)=|1-i|+i ,则z 的实部为( ) A.2-12B.2-1C .1D.2+12解析:选 A.由z (1-i)=|1-i|+i ,得z =2+i1-i=2++-+=2-12+2+12i ,z 的实部为2-12,故选A. 7.已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →=0.若存在实数m ,使得AB →+AC →=mAM →成立,则m =( )A .2B .3C .4D .5解析:选B.由MA →+MB →+MC →=0知,点M 为△ABC 的重心,设点D 为边BC 的中点,则AM →=23AD →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →),所以AB →+AC →=3AM →,故m =3,故选B. 8.已知向量a =(3,-2),b =(x ,y -1)且a ∥b ,若x ,y 均为正数,则3x +2y的最小值是( )A .24B .8 C.83D.53解析:选B.∵a ∥b ,∴-2x -3(y -1)=0,即2x +3y =3,∴3x +2y =⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +2y ×13(2x +3y )=13⎝ ⎛⎭⎪⎫6+9y x +4x y +6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12+29y x·4x y =8,当且仅当2x =3y =32时,等号成立.∴3x +2y的最小值是8.故选B.9.在平行四边形ABCD 中,AC =5,BD =4,则AB →·BC →=( ) A.414B .-414C.94D .-94解析:选 C.因为BD →2=(AD →-AB →)2=AD →2+AB →2-2AD →·AB →,AC →2=(AD →+AB →)2=AD →2+AB →2+2AD →·AB →,所以AC →2-BD →2=4AD →·AB →,∴AD →·AB →=AB →·BC →=94.10.在△ABC 中,已知向量AB →=(2,2),|AC →|=2,AB →·AC →=-4,则△ABC 的面积为( ) A .4 B .5 C .2D .3解析:选C.∵AB →=(2,2),∴|AB →|=22+22=2 2. ∵AB →·AC →=|AB →|·|AC →|cos A =22×2cos A =-4, ∴cos A =-22,∵0<A <π,∴sin A =22, ∴S △ABC =12|AB →|·|AC →|sin A =2.故选C.11.△ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1,2AO →=AB →+AC →且|OA →|=|AB →|,则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C .-12D .-32解析:选A.由2AO →=AB →+AC →可知O 是BC 的中点,即BC 为△ABC 外接圆的直径,所以|OA →|=|OB →|=|OC →|,由题意知|OA →|=|AB →|=1,故△OAB 为等边三角形,所以∠ABC =60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC =1×cos 60°=12.故选A.12.如图,菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =60°,M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM →·AN →的最大值为( )A .3B .2 3C .6D .9解析:选D.由平面向量的数量积的几何意义知, AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积,所以(AM →·AN →)max =AM →·AC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →+AD →·(AB→+AD →)=12AB 2→+AD 2→+32AB →·AD →=9.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知复数z =3+i -32,z 是z 的共轭复数,则z ·z =________.解析:∵z =3+i -32=3+i-2-23i =3+i -2+3=3+-3-+3-3=23-2i -8=-34+14i ,∴z ·z =⎝ ⎛⎭⎪⎫-34+14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34-14i =316+116=14. 答案:1414.已知向量a ,b 满足|a |=2,|b |=1,且对一切实数x ,|a +x b |≥|a +b |恒成立,则a ,b 夹角的大小为________.解析:|a +x b |≥|a +b |恒成立⇒a 2+2x a ·b +x 2b 2≥a 2+2a·b +b 2恒成立⇒x 2+2a ·b x -1-2a ·b ≥0恒成立,∴Δ=4(a·b )2-4(-1-2a·b )≤0⇒(a·b +1)2≤0,∴a·b =-1,∴cos〈a ,b 〉=a·b |a |·|b |=-12,又〈a ,b 〉∈[0,π],故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案:23π15.已知在△ABC 中,AB =4,AC =6,BC =7,其外接圆的圆心为O ,则AO →·BC →=________.解析:如图,取BC 的中点M ,连OM ,AM ,则AO →=AM →+MO →, ∴AO →·BC →=(AM →+MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心,∴OM ⊥BC ,即OM →·BC →=0,∴AO →·BC →=AM →·BC →=12(AB →+AC →)·(AC →-AB →)=12(AC 2→-AB 2→)=12(62-42)=12×20=10.答案:1016.已知非零向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|a -b |,〈c -a ,c -b 〉=2π3,则|c ||a |的最大值为________.解析:设OA →=a ,OB →=b ,则BA →=a -b . ∵非零向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|a -b |, ∴△OAB 是等边三角形. 设OC →=c ,则AC →=c -a ,BC →=c -b .∵〈c -a ,c -b 〉=2π3,∴点C 在△ABC 的外接圆上,∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时,|c ||a |取得最大值,为1cos 30°=233.答案:233限时规范训练三 算法、框图与推理限时45分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.请仔细观察1,1,2,3,5,( ),13,运用合情推理,可知写在括号里的数最可能是( )A.8 B.9C.10 D.11解析:选A.观察题中所给各数可知,2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5,13=5+8,∴括号中的数为8.故选A.2.执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为2,则输出的y的值为( )A.2 B.5C.11 D.23解析:选 D.x=2,y=5,|2-5|=3<8;x=5,y=11,|5-11|=6<8;x=11,y=23,|11-23|=12>8.满足条件,输出的y的值为23,故选D.3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( ) A.f(x) B.-f(x)C.g(x) D.-g(x)解析:选D.由所给等式知,偶函数的导数是奇函数.∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数,从而g(x)是奇函数.∴g(-x)=-g(x).4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为-4时,则输入的S0的值为( )A .7B .8C .9D .10解析:选D.根据程序框图知,当i =4时,输出S .第1次循环得到S =S 0-2,i =2;第2次循环得到S =S 0-2-4,i =3;第3次循环得到S =S 0-2-4-8,i =4.由题意知S 0-2-4-8=-4,所以S 0=10,故选D.5.(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为()A .x >3B .x >4C .x ≤4D .x ≤5解析:选B.输入x =4,若满足条件,则y =4+2=6,不符合题意;若不满足条件,则y =log 24=2,符合题意,结合选项可知应填x >4.故选B.6.如图所示的程序框图的运行结果为()A .-1B .12C .1D .2解析:选A.a =2,i =1,i ≥2 019不成立;a =1-12=12,i =1+1=2,i ≥2 019不成立; a =1-112=-1,i =2+1=3,i ≥2 019不成立;a=1-(-1)=2,i=3+1=4,i≥2 019不成立;…,由此可知a是以3为周期出现的,结束时,i=2 019=3×673,此时a=-1,故选A.7.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c.类比这个结论可知:四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体SABC的体积为V,则R等于( )A.VS1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4解析:选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥,其高都是R,四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积,因此V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R,解得R=3VS1+S2+S3+S4.8.按照如图所示的程序框图执行,若输出的结果为15,则M处的条件为( )A.k≥16B.k<8C.k<16 D.k≥8解析:选 A.根据框图的循环结构依次可得S=0+1=1,k=2×1=2;S=1+2=3,k =2×2=4;S=3+4=7,k=2×4=8;S=7+8=15,k=2×8=16,根据题意此时跳出循环,输出S=15.所以M处的条件应为k≥16.故A正确.9.如图所示的程序框图中,输出S=( )A .45B .-55C .-66D .66解析:选B.由程序框图知,第一次运行T =(-1)2·12=1,S =0+1=1,n =1+1=2;第二次运行T =(-1)3·22=-4,S =1-4=-3,n =2+1=3;第三次运行T =(-1)4·32=9,S =-3+9=6,n =3+1=4…直到n =9+1=10时,满足条件n >9,运行终止,此时T =(-1)10·92,S =1-4+9-16+…+92-102=1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+(8+9)-100=1+92×9-100=-55.故选B.10.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ],即[k ]={5n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2 018∈[3]; ②-2∈[2];③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”. 其中正确结论的个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C.因为2 018=403×5+3,所以2 018∈[3],①正确;-2=-1×5+3,-2∈[3],所以②不正确;因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类,所以③正确;整数a ,b 属于同一“类”,因为整数a ,b 被5除的余数相同,从而a -b 被5除的余数为0,反之也成立,故整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”,故④正确.所以正确的结论有3个,故选C.11.执行如图所示的程序框图,如果输入x ,t 的值均为2,最后输出S 的值为n ,在区间[0,10]上随机选取一个数D ,则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析:选D.这是一个循环结构,循环的结果依次为M=2,S=2+3=5,k=1+1=2;M =2,S=2+5=7,k=2+1=3.最后输出7,所以在区间[0,10]上随机选取一个数D,则D≤n的概率P=710,故选D.12.定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3-1的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为( )A.α>β>γB.β>α>γC.γ>α>βD.β>γ>α解析:选C.g(x)=g′(x),即x=1,所以α=1;h(x)=h′(x),即ln(x+1)=1x+1,0<x<1,所以β∈(0,1);φ(x)=φ′(x),即x3-1=3x2,即x3-3x2=1,x2(x-3)=1,x>3,所以γ>3.所以γ>α>β.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是8,则输入的数是________.解析:令a≥b得,x2≥x3,解得x≤1.所以当x≤1时,输出a=x2,当x>1时,输出b =x3.当x≤1时,由题意得a=x2=8,解得x=-8=-2 2.当x>1时,由题意得b=x3=8,得x=2,所以输入的数为2或-2 2.14.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下:甲说:“我们四人都没考好.”乙说:“我们四人中有人考得好.”丙说:“乙和丁至少有一人没考好.”丁说:“我没考好.”结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的________两人说对了.解析:甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为乙,丙.答案:乙,丙15.已知实数x∈[2,30],执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于103的概率是________.解析:实数x∈[2,30],经过第一次循环得到x=2x+1,n=2;经过第二次循环得到x =2(2x+1)+1,n=3;经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4,此时输出x,输出的值为8x +7.令8x +7≥103,解得x ≥12.由几何概型的概率公式,得到输出的x 不小于103的概率为30-1230-2=914.16.集合{1,2,3,…,n }(n ≥3)中,每两个相异数作乘积,将所有这些乘积的和记为T n ,如:T 3=1×2+1×3+2×3=12×[62-(12+22+32)]=11;T 4=1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=12×[102-(12+22+32+42)]=35; T 5=1×2+1×3+1×4+1×5+…+3×5+4×5=12×[152-(12+22+32+42+52)]=85.则T 7=________.(写出计算结果)解析:由T 3,T 4,T 5归纳得出T n =12[(1+2+…+n )2-(12+22+…+n 2)],则T 7=12×[282-(12+22+…+72)].又∵12+22+…+72=16×7×8×15=140,∴T 7=12×(784-140)=322.答案:322限时规范训练四 函数的图象与性质 限时40分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.函数y =x +x -2的定义域是( )A .(-1,+∞)B .[-1,+∞)C .(-1,2)∪(2,+∞)D .[-1,2)∪(2,+∞)解析:选C.由题意知,要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧x -2≠0x +1>0,即-1<x <2或x >2,所以函数的定义域为(-1,2)∪(2,+∞).故选C.2.设函数f :R →R 满足f (0)=1,且对任意,x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2,则f (2 017)=( )A .0B .1C .2 016D .2 018解析:选D.令x =y =0,则f (1)=f (0)f (0)-f (0)+2=1×1-1+2=2,令y =0,则f (1)=f (x )f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1,f (1)=2代入,可得f (x )=1+x ,所以f (2 017)=2 018.故选D.3.若函数f (x )满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”,则f (x )的解析式可以是( )A .f (x )=(x -1)2B .f (x )=e xC .f (x )=1xD .f (x )=ln(x +1)解析:选C.根据条件知,f (x )在(0,+∞)上单调递减. 对于A ,f (x )=(x -1)2在(1,+∞)上单调递增,排除A ; 对于B ,f (x )=e x在(0,+∞)上单调递增,排除B ; 对于C ,f (x )=1x在(0,+∞)上单调递减,C 正确;对于D ,f (x )=ln(x +1)在(0,+∞)上单调递增,排除D. 4.已知函数f (x )=2x +1(1≤x ≤3),则( ) A .f (x -1)=2x +2(0≤x ≤2) B .f (x -1)=2x -1(2≤x ≤4) C .f (x -1)=2x -2(0≤x ≤2) D .f (x -1)=-2x +1(2≤x ≤4)解析:选B.因为f (x )=2x +1,所以f (x -1)=2x -1.因为函数f (x )的定义域为[1,3],所以1≤x -1≤3,即2≤x ≤4,故f (x -1)=2x -1(2≤x ≤4).5.若函数y =f (x )的定义域是[0,2 018],则函数g (x )=f x +x -1的定义域是( ) A .[-1,2 017]B .[-1,1)∪(1,2 017]C .[0,2 019]D .[-1,1)∪(1,2 018]解析:选B.要使函数f (x +1)有意义,则0≤x +1≤2 018,解得-1≤x ≤2 017,故函数f (x +1)的定义域为[-1,2 017],所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤2 017x -1≠0,解得-1≤x <1或1<x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[-1,1)∪(1,2 017].6.下列函数为奇函数的是( ) A .y =x 3+3x 2B .y =e x +e -x2C .y =x sin xD .y =log 23-x3+x解析:选D.依题意,对于选项A ,注意到当x =-1时,y =2;当x =1时,y =4,因此函数y =x 3+3x 2不是奇函数.对于选项B ,注意到当x =0时,y =1≠0,因此函数y =e x +e-x2不是奇函数.对于选项C ,注意到当x =-π2时,y =π2;当x =π2时,y =π2,因此函数y=x sin x 不是奇函数.对于选项D ,由3-x3+x>0得-3<x <3,即函数y =log 23-x3+x的定义域是(-3,3),该数集是关于原点对称的集合,且log 23--x 3+-x +log 23-x 3+x =log 21=0,即log 23--x 3+-x =-log 23-x 3+x,因此函数y =log 23-x 3+x是奇函数.综上所述,选D.7.设函数f (x )=ln(1+x )+m ln(1-x )是偶函数,则( ) A .m =1,且f (x )在(0,1)上是增函数 B .m =1,且f (x )在(0,1)上是减函数 C .m =-1,且f (x )在(0,1)上是增函数 D .m =-1,且f (x )在(0,1)上是减函数解析:选B.因为函数f (x )=ln(1+x )+m ln(1-x )是偶函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,则(m -1)ln 3=0,即m =1,则f (x )=ln(1+x )+ln(1-x )=ln(1-x 2),在(0,1)上,当x 增大时,1-x 2减小,ln(1-x 2)减小,即f (x )在(0,1)上是减函数,故选B.8.若关于x 的不等式4a x -1<3x -4(a >0,且a ≠1)对于任意的x >2恒成立,则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 C .[2,+∞) D .(2,+∞)解析:选B.不等式4ax -1<3x -4等价于ax -1<34x -1.令f (x )=ax -1,g (x )=34x -1,当a >1时,在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图1所示,由图知不满足条件;当0<a <1时,在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图2所示,则f (2)≤g (2),即a2-1≤34×2-1,即a ≤12,所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12,故选B.9.已知函数y =a +sin bx (b >0且b ≠1)的图象如图所示,那么函数y =log b (x -a )的图象可能是( )解析:选C.由三角函数的图象可得a >1,且最小正周期T =2πb<π,所以b >2,则y=log b (x -a )是增函数,排除A 和B ;当x =2时,y =log b (2-a )<0,排除D ,故选C.10.已知函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈(-∞,0]时,f (x )为减函数,若a =f (20.3),b =f (log 124),c =f (log 25),则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .c >b >aC .c >a >bD .a >c >b解析:选B.函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈(-∞,0]时,f (x )为减函数,∴f (x )在[0,+∞)为增函数, ∵b =f (log 124)=f (-2)=f (2),1<20.3<2<log 25,∴c >b >a ,故选B. 11.已知函数f (x )=x -4+9x +1,x ∈(0,4),当x =a 时,f (x )取得最小值b ,则函数g (x )=a |x +b |的图象为( )解析:选A.∵x ∈(0,4),∴x +1>1, ∴f (x )=x -4+9x +1=x +1+9x +1-5≥ 29x +1x +-5=1,当且仅当x =2时取等号,此时函数f (x )有最小值1. ∴a =2,b =1,∴g (x )=2|x +1|=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≥-1,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +1,x <-1,此函数可以看成由函数y =⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≥0,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,x <0的图象向左平移1个单位得到,结合指数函数的图象及选项可知A 正确.故选A.12.若函数f (x )=1+2x +12x +1+sin x 在区间[-k ,k ](k >0)上的值域为[m ,n ],则m +n的值是( )A .0B .1C .2D .4解析:选D.∵f (x )=1+2·2x2x +1+sin x=1+2·2x+1-12x +1+sin x=2+1-22x +1+sin x=2+2x-12x +1+sin x .记g (x )=2x-12x +1+sin x ,则f (x )=g (x )+2,易知g (x )为奇函数,g (x )在[-k ,k ]上的最大值a 与最小值b 互为相反数, ∴a +b =0,故m +n =4.(a +2)+(b +2)=a +b +4=4. 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=log 2x -1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22=________.解析:因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22=-⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222-1=32. 答案:3214.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log a x ,x >2,-x 2+2x -2,x ≤2(a >0,且a ≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a 的取值范围是________.解析:当x ≤2时,f (x )=-x 2+2x -2=-(x -1)2-1,f (x )在(-∞,1)上递增,在(1,2]上递减,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是-1, 又f (x )的值域是(-∞,-1],∴当x >2时, log a x ≤-1,故0<a <1,且log a 2≤-1, ∴12≤a <1,故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,115.已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质:①直线x =1是函数f (x )图象的一条对称轴;②f (x +2)=-f (x );③当1≤x 1<x 2≤3时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,则f (2 015)、f (2 016)、f (2 017)从大到小的顺序为______________.解析:由f (x +2)=-f (x )得f (x +4)=f (x ),所以f (x )的周期是4,所以f (2 015)=f (3),f (2 016)=f (0),f (2 017)=f (1).因为直线x =1是函数f (x )图象的一条对称轴,所以f (0)=f (2).由1≤x 1<x 2≤3时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,可知当1≤x ≤3时,函数f (x )单调递减,所以f (1)>f (2)>f (3),即f (2 017)>f (2 016)>f (2 015).答案:f (2 017)>f (2 016)>f (2 015)16.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|2x +1|,x <1,log 2x -m ,x >1,若f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)(x 1,x 2,x 3互不相等),且x 1+x 2+x 3的取值范围为(1,8),则实数m 的值为________.解析:作出f (x )的图象,如图所示,可令x 1<x 2<x 3,则由图知点(x 1,0),(x 2,0)关于直线x =-12对称,所以x 1+x 2=-1.又1<x 1+x 2+x 3<8,所以2<x 3<9.结合图象可知点A的坐标为(9,3),代入函数解析式,得3=log 2(9-m ),解得m =1.答案:1限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.设0<a <b <1,则下列不等式成立的是( ) A .a 3>b 3B.1a <1bC .a b >1D .lg(b -a )<a解析:选D.∵0<a <b <1,∴0<b -a <1-a ,∴lg(b -a )<0<a ,故选D. 2.已知a ,b 是正数,且a +b =1,则1a +4b( )A .有最小值8B .有最小值9C .有最大值8D .有最大值9解析:选B.因为1a +4b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +4b (a +b )=5+b a +4ab≥5+2b a ·4a b =9,当且仅当b a =4a b且a +b =1,即a =13,b =23时取“=”,所以1a +4b的最小值为9,故选B.3.对于任意实数a ,b ,c ,d ,有以下四个命题: ①若ac 2>bc 2,则a >b ;②若a >b ,c >d ,则a +c >b +d ; ③若a >b ,c >d ,则ac >bd ;④若a >b ,则1a >1b.其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个D .4个解析:选B.①ac 2>bc 2,则c ≠0,则a >b ,①正确; ②由不等式的同向可加性可知②正确; ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立;④错误,如:令a =-1,b =-2,满足-1>-2,但1-1<1-2.故选B. 4.已知不等式ax 2-bx -1>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <-13,则不等式x 2-bx -a ≥0的解集是( )A .{x |2<x <3}B .{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12 解析:选B.∵不等式ax 2-bx -1>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <-13, ∴ax 2-bx -1=0的解是x 1=-12和x 2=-13,且a <0.∴⎩⎪⎨⎪⎧-12-13=ba ,⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-1a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-6,b =5.则不等式x 2-bx -a ≥0即为x 2-5x +6≥0,解得x ≤2或x ≥3. 5.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x -y ≥0,x +y -4≤0,y ≥12x 2,则z =y -x 的取值范围为( )A .[-2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,2C .[-1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1 解析:选B.作出可行域(图略),设直线l :y =x +z ,平移直线l ,易知当l 过直线3x-y =0与x +y -4=0的交点(1,3)时,z 取得最大值2;当l 与抛物线y =12x 2相切时,z 取得最小值,由⎩⎪⎨⎪⎧z =y -x ,y =12x 2,消去y 得x 2-2x -2z =0,由Δ=4+8z =0,得z =-12,故-12≤z ≤2,故选B.6.设等差数列{a n }的公差是d ,其前n 项和是S n ,若a 1=d =1,则S n +8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C .22+12D .22-12解析:选A.∵a n =a 1+(n -1)d =n ,S n =n+n2, ∴S n +8a n=n+n2+8n=12⎝ ⎛⎭⎪⎫n +16n +1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n +1=92,当且仅当n =4时取等号.∴S n +8a n 的最小值是92,故选A. 7.一条长为2的线段,它的三个视图分别是长为3,a ,b 的三条线段,则ab 的最大值为( )A. 5B. 6C.52D .3解析:选C.如图,构造一个长方体,体对角线长为2,由题意知a 2+x 2=4,b 2+y 2=4,x 2+y 2=3,则a 2+b 2=x 2+y 2+2=3+2=5,又5=a 2+b 2≥2ab ,所以ab ≤52,当且仅当a =b 时取等号,所以选C.8.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥x ,4x +3y ≤12,则x +2y +3x +1的取值范围是( ) A .[1,5] B .[2,6] C .[3,11]D .[3,10]解析:选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥x ,4x +3y ≤12的可行域如图阴影部分所示,则x +2y +3x +1=x +1+2y +2x +1=1+2×y +1x +1,y +1x +1的几何意义为过点(x ,y )和(-1,-1)的直线的斜率.由可行域知y +1x +1的取值范围为k MA ≤y +1x +1≤k MB ,即y +1x +1∈[1,5],所以x +2y +3x +1的取值范围是[3,11].9.设x ,y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2,x +y ≥1,x -y ≤1,若M =3x +y ,N =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-72,则M -N 的最小值为( )A.12 B .-12C .1D .-1解析:选A.作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易求得A (-1,2),B (3,2),当直线3x +y -M =0经过点A (-1,2)时,目标函数M =3x +y 取得最小值-1.又由平面区域知-1≤x ≤3,所以函数N =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-72在x =-1处取得最大值-32,由此可得M -N 的最小值为-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=12.10.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,2x +y ≤2,y ≥0,x +y ≤a表示的平面区域的形状是三角形,则a 的取值范围是( )A .a ≥43B .0<a ≤1C .1≤a ≤43D .0<a ≤1或a ≥43解析:选 D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,2x +y ≤2,y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示.其中直线x -y =0与直线2x +y =2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23,而直线x +y =a 与x 轴的交点是(a,0).由图知,要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形,只需a ≥23+23或0<a ≤1,所以选D.11.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x +4y -10≥0,x ≤4,y ≤3表示区域D ,过区域D 中任意一点P 作圆x2+y 2=1的两条切线,切点分别为A 、B ,当∠APB 最大时,cos∠APB =( )A.32 B.12 C .-32D .-12解析:选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,易知当点P 到点O 距离最小时,∠APB 最大,此时|OP |=|3×0+4×0-10|32+42=2,又OA =1,故∠OPA =π6, ∴∠APB =π3,∴cos∠APB =12.12.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,且0<f (-1)=f (-2)=f (-3)≤3,则( ) A .c ≤3 B .3<c ≤6 C .6<c ≤9D .c >9解析:选C.由0<f (-1)=f (-2)=f (-3)≤3,得0<-1+a -b +c =-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c ≤3,由-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,得3a -b -7=0,① 由-1+a -b +c =-27+9a -3b +c ,得 4a -b -13=0,②由①②,解得a =6,b =11,∴0<c -6≤3, 即6<c ≤9,故选C.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f (x )=1+log a x (a >0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -2=0上,其中mn >0,则1m +1n的最小值为________.解析:因为log a 1=0,所以f (1)=1,故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1). 由题意,点A 在直线mx +ny -2=0上,所以m +n -2=0,即m +n =2. 而1m +1n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m +1n ×(m +n ) =12⎝⎛⎭⎪⎫2+n m +m n ,因为mn >0,所以nm >0,m n>0. 由均值不等式,可得n m +m n ≥2×n m ×mn=2(当且仅当m =n 时等号成立), 所以1m +1n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫2+n m +m n ≥12×(2+2)=2,即1m +1n的最小值为2.答案:214.设P (x ,y )是函数y =2x(x >0)图象上的点,则x +y 的最小值为________.解析:因为x >0,所以y >0,且xy =2.由基本不等式得x +y ≥2xy =22,当且仅当x =y 时等号成立.答案:2 215.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,y ≥x ,3x +2y ≤15,则w =4x ·2y的最大值是________.解析:作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.w =4x ·2y =22x +y,要求其最大值,只需求出2x +y =t 的最大值即可,由平移可知t =2x +y 在A (3,3)处取得最大值t =2×3+3=9,故w =4x·2y的最大值为29=512.答案:51216.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x ≤1,log 13x ,x >1,若对任意的x ∈R ,不等式f (x )≤m 2-34m 恒成立,则实数m 的取值范围为________.解析:由题意知,m 2-34m ≥f (x )max .当x >1时,f (x )=log 13x 是减函数,且f (x )<0;当x ≤1时,f (x )=-x 2+x ,其图象的对称轴方程是x =12,且开口向下,∴f (x )max =-14+12=14.∴m 2-34m ≥14,即4m 2-3m -1≥0,∴m ≤-14或m ≥1.答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-14∪[1,+∞)限时规范训练六 导数的简单应用限时45分钟,实际用时分值81分,实际得分一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)1.设函数f (x )=x 24-a ln x ,若f ′(2)=3,则实数a 的值为( )A .4B .-4C .2D .-2解析:选B.f ′(x )=x 2-a x ,故f ′(2)=22-a2=3,因此a =-4.2.曲线y =e x在点A 处的切线与直线x -y +3=0平行,则点A 的坐标为( ) A .(-1,e -1) B .(0,1) C .(1,e)D .(0,2)解析:选B.设A (x 0,e x 0),y ′=e x,∴y ′|x =x 0=e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k =e x 0.由切线与直线x -y +3=0平行可得切线的斜率k =1. ∴e x 0=1,∴x 0=0,∴A (0,1).故选B.3.若函数f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32,+∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ 解析:选D.若函数f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,则f ′(x )=3x 2-4cx +1=0有两根,故Δ=(-4c )2-12>0,从而c >32或c <-32. 4.已知f (x )=a ln x +12x 2(a >0),若对任意两个不等的正实数x 1,x 2都有f x 1-f x 2x 1-x 2≥2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .(0,1)D .(0,1]解析:选 A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2,所以函数的导数f ′(x )=ax+x ≥2.可得x =a 时,f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5.若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=-1,其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1,则下列结论中一定错误的是( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k<1kB .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k -1C .f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1<1k -1D .f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1>k k -1解析:选C.构造函数g (x )=f (x )-kx +1,则g ′(x )=f ′(x )-k >0,∴g (x )在R 上为增函数. ∵k >1,∴1k -1>0,则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1>g (0). 而g (0)=f (0)+1=0, ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1-k k -1+1>0,即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1>k k -1-1=1k -1,所以选项C 错误,故选C.6.由曲线y =x 2,y =x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D .1解析:选 B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛01(x -x 2)d x =⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫23x 32-13x 310=13.所以选B.二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)7.(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线,也是曲线y =ln(x +1)的切线,则b =________.解析:直线y =kx +b 与曲线y =ln x +2,y =ln(x +1)均相切,设切点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由y =ln x +2得y ′=1x ,由y =ln(x +1)得y ′=1x +1,∴k =1x 1=1x 2+1,∴x 1=1k ,x 2=1k-1,∴y 1=-ln k +2,y 2=-ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k,-ln k +2,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k-1,-ln k ,∵A 、B 在直线y =kx +b 上, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2-ln k =k ·1k +b ,-ln k =k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1+b解得⎩⎪⎨⎪⎧b =1-ln 2,k =2.答案:1-ln 28.已知函数f (x )=-12x 2-3x +4ln x 在(t ,t +1)上不单调,则实数t 的取值范围是________.解析:由题意得,f (x )的定义域为(0,+∞),∴t >0, ∴f ′(x )=-x -3+4x=0在(t ,t +1)上有解,∴x 2+3x -4x=0在(t ,t +1)上有解,∴x 2+3x -4=0在(t ,t +1)上有解,由x 2+3x -4=0得x =1或x =-4(舍去),∴1∈(t ,t +1),∴t ∈(0,1),故实数t 的取值范围是(0,1).答案:(0,1)9.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则实数b 的最大值是________.解析:函数的定义域是x +2>0,即x >-2,而f ′(x )=-x +bx +2=-x 2-2x +bx +2.因为x +2>0,函数f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,即-x 2-2x +b ≤0在x ∈(-1,+∞)上恒成立,得b ≤x 2+2x 在x ∈(-1,+∞)上恒成立,令g (x )=x 2+2x =(x +1)2-1,x ∈(-1,+∞),g (x )>g (-1)=-1,所以b ≤-1.所以b 的最大值为-1.答案:-1三、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分) 10.已知f (x )=2x +3-x +2x +1.(1)求证:当x =0时,f (x )取得极小值;(2)是否存在满足n >m ≥0的实数m ,n ,当x ∈[m ,n ]时,f (x )的值域为[m ,n ]?若存在,求m ,n 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:由已知得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞. 当x >-12时,f ′(x )=2-2-x +x +2=8x 2+8x +x +x +2.设F (x )=8x 2+8x +2ln(2x +1),则f ′(x )=F x x +2.当x >-12时,y =8x 2+8x =8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -⎝ ⎛⎭⎪⎫-122-2是单调递增函数,y =2ln(2x +1)也是单调递增函数.∴当x >-12时,F (x )=8x 2+8x +2ln(2x +1)单调递增.∴当-12<x <0时,F (x )<F (0)=0,当x >0时,F (x )>F (0)=0.∴当-12<x <0时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,当x >0时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.∴当x =0时,f (x )取得极小值.(2)由(1)知f (x )在[0,+∞)上是单调递增函数,若存在满足n >m ≥0的实数m ,n ,当x ∈[m ,n ]时,f (x )的值域为[m ,n ],则f (m )=m ,f (n )=n ,即f (x )=x 在[0,+∞)上有两个不等的实根m ,n .∴2x 2+7x +3-ln(2x +1)=0在[0,+∞)上有两个不等的实根m ,n . 设H (x )=2x 2+7x +3-ln(2x +1),则 H ′(x )=8x 2+18x +52x +1.当x >0时,2x +1>0,8x 2+18x +5>0, ∴H ′(x )=8x 2+18x +52x +1>0.∴H (x )在[0,+∞)上是单调递增函数,即当x ≥0时,H (x )≥H (0)=3. ∴2x 2+7x +3-ln(2x +1)=0在[0,+∞)上没有实数根. ∴不存在满足条件的实数m ,n .11.(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )=12x 2-m ln x ,g (x )=x 2-(m +1)x .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)当m ≥0时,讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数.。
2018年高三数学(理科)二轮复习完整版
专题限时集训 (一)A
基础演练
[ 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 ] (时间: 5 分钟+ 30 分钟 )
1.设 U= {1 , 2, 3, 4, 5} , A= {1 , 5} , B={2 , 4} ,则 B∩ (?UA)= ( )
A . {2 , 3, 4}
B . { 2}
C. {2 , 4}
专题限时集训 (一 )B
[ 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 ] (时间: 5 分钟+ 30 分钟 )
基础演练
1.已知全集 U= R ,A= { x|x≤ 0} ,B= { x|x≥ 1} ,则集合 ?U(A∪ B) =( )
A . { x|x≥ 0}
B . { x|x≤ 1}
C. { x|0≤ x≤ 1}
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
4.已知集合 M = { x|- 2≤ x<2} ,N={ x|y= log 2(x- 1)} ,则 M ∩ N= ( )
A . { x|- 2≤ x<0}
B . { x|- 1< x<0}
C. { x|1<x<2}
形成系统化、条理化的知识框架.四是看练习检测与高考是否对路,不拔高,不降低,难度 适宜,效度良好,重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法. 二、时间安排:
1.第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段, 月 30 日。
时间为 3 月 10—— 4
2.第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练,时间为
7.试卷讲评随意,对答案式的讲评。对答案式的讲评是影响讲评课效益的大敌。评讲的较好 做法应该为,讲评前认真阅卷,讲评时将归类、纠错、变式、辩论等方式相结合,抓错误点、 失分点、模糊点,剖析根源,彻底矫正。 四、在第二轮复习过程中,我们安排如下: 1. 继续抓好集体备课。 每周一次的集体备课必须抓落实, 发挥集体智慧的力量研究数学高考 的动向,学习与研究《考试大纲》 ,注意哪些内容降低要求,哪些内容成为新的高考热点,每 周一次研究课。 2.安排好复习内容。 3.精选试题,命题审核。 4.测试评讲,滚动训练。 5.精讲精练:以中等题为主。
【高考数学】2018-2019学年高三高考数学二轮复习专题训练+15+Word版含答案
,
,
,
∵
∴当 时,依次有 ,......
∴ 。
9、在数列 中, ,其中 。
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 。
(3)证明:存在 ,使得 对任意 均成立。
解:(1)由 , ,得 ;
所以 为等差数列,其公差为1,首项为0,故 ,
所以数列 的通项公式为 。
(2)设 ......①
数列05
8、已知数列 和 的通项公式分别为 , , ,若将集合 中的元素从小到大依次排列,构
成一个新的数列 。
(1)求 ;
(2)求证:在数列 中,但不在数列 中的项恰为 ;
(3)求数列 的通项公式。
解:(1) ;
(2)①任意 ,设 ,
则 ,即 ;
②假设 (矛盾),∴
∴在数列 中,但不在数列 中的项恰为 。
所以,
, 。
12、在数列 中, ,且对任意 , 成等差数列,其公差为 。
(1)证明 成等比数列;
(2)求数列 的通项公式;
(3)记 ,证明 。
解:(1)由题设可知, , , ,
, ,所以 。因此 成等比数列。
(2)由题设可得 , 。
所以
即上式等于 ,因为 ,所以 。
从而由 成等差数列,其公差为 得 。
所以,数列 的通项公式为 。
(或 , 。)
(3)由(2)可知 , , 。
下面对 分为奇数和偶数讨论。
当 为偶数时,设 , 。
若 ,则 ,满足 ;
若 ,则
。
所以 ,所以 , 。
当 为奇数时,设 , 。
。Hale Waihona Puke 所以 ,所以 , 。综上,由(1),(2)可知,对任意 , 。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析
高考数学二模试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求)1.设集合A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x2﹣2x>0},则A∩B=()A.{3} B.{2,3} C.{﹣1,3} D.{0,1,2}2.在复平面内,复数z与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2+i B.2﹣i C.﹣2+i D.﹣2﹣i3.在等差数列{a n}中,a7=8,前7项和S7=42,则其公差是()A.﹣B.C.﹣D.4.执行如图的程序框图,若输入的a=209,b=76,则输出的a 是()A.19 B.3 C.57 D.765.设a=log3π,b=logπ3,c=cos3,则()A.b>a>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c6.函数y=4sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)部分图象如图,其中点A(,0),B(,0),则()A.ω=,φ=﹣ B.ω=1,φ=﹣C.ω=,φ=﹣D.ω=1,φ=﹣7.设实数x,y满足约束条件,则z=的取值范围是()A.[,1] B.[,] C.[,] D.[,]8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.9.一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、平、负分别得2分、1分、0分,已知甲球队已赛4场,积4分,在这4场比赛中,甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有()A.7种B.13种C.18种D.19种10.在△ABC中,AB=2BC,以A,B为焦点,经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则()A.﹣=1 B.﹣=2C.﹣=1 D.﹣=211.已知函数f(x)=﹣,g(x)=xcosx﹣sinx,当x∈[﹣3π,3π]时,方程f(x)=g(x)根的个数是()A.8 B.6 C.4 D.212.已知圆C:x2+y2=1,点M(t,2),若C上存在两点A,B满足=,则t的取值范围是()A.[﹣2,2] B.[﹣3,3] C.[﹣,] D.[﹣5,5]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知||=,||=2,若(+)⊥,则与的夹角是.14.设S n是数列{a n}的前n项和,a n=4S n﹣3,则S4= .15.在三棱锥P﹣ABC中,△ABC与△PBC都是等边三角形,侧面PBC⊥底面ABC,AB=2,则该三棱锥的外接球的表面积为.16.曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是.三、解答题(本大题共70分,其中17-21题为必考题,22-24题为选考题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2(a2﹣b2)=2accosB+bc.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)D为边BC上一点,BD=3DC,∠DAB=,求tanC.18.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,侧面PAD是等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别是棱PC,AB的中点,且MN⊥CD.(Ⅰ)求证:AD⊥CD;(Ⅱ)若AB=AD,求直线MN与平面PBD所成角的正弦值.19.某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进行问卷调查,结果如下表:支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560(Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?(Ⅱ)从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家,然后从这12家中选出9家进行奖励,分别奖励中、小企业每家50万元、10万元,记9家企业所获奖金总数为X万元,求X的分布列和期望.附:K2=P(K2≥k0)0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520.已知抛物线E:x2=4y,m、n是过点A(a,﹣1)且倾斜角互补的两条直线,其中m与E有唯一公共点B,n与E相交于不同的两点C,D.(Ⅰ)求m的斜率k的取值范围;(Ⅱ)是否存在常数λ,使得|AC|•|AD|=λ|AB|2?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.21.设函数f(x)=x++alnx,g(x)=x++(﹣x)lnx,其中a∈R.(Ⅰ)证明:g(x)=g(),并求g(x)的最大值;(Ⅱ)记f(x)的最小值为h(a),证明:函数y=h(a)有两个互为相反数的零点.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分【选修4-1:几何证明选讲】22.如图,AB为圆O的直径,PB,PC分别与圆O相切于B,C两点,延长BA,PC相交于点D.(Ⅰ)证明:AC∥OP;(Ⅱ)若CD=2,PB=3,求AB.【选修4-4:极坐标与参数方程】23.在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣)=,C与l有且仅有一个公共点.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.【选修4-5:不等式选讲】24.设f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m.(Ⅰ)求m;(Ⅱ)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求)1.设集合A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x2﹣2x>0},则A∩B=()A.{3} B.{2,3} C.{﹣1,3} D.{0,1,2}考点:交集及其运算.专题:集合.分析:求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.解答:解:由B中不等式变形得:x(x﹣2)>0,解得:x<0或x>2,即B={x|x<0或x>2},∵A={﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={﹣1,3},故选:C.点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.在复平面内,复数z与的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2+i B.2﹣i C.﹣2+i D.﹣2﹣i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解答:解:∵=,又复数z与的对应点关于虚轴对称,则z=2﹣i.故选:B.点评:本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.在等差数列{a n}中,a7=8,前7项和S7=42,则其公差是()A.﹣B.C.﹣D.考点:等差数列的通项公式.专题:等差数列与等比数列.分析:由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组,解方程组可得.}的公差为d,解答:解:设等差数列{an∵a7=8,前7项和S7=42,∴a1+6d=8,7a1+d=42,解得a1=4,d=故选:D点评:本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题.4.执行如图的程序框图,若输入的a=209,b=76,则输出的a 是()A.19 B.3 C.57 D.76考点:程序框图.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,b,c 的值,当b=0时满足条件b=0,退出循环,输出a的值为19.解答:解:模拟执行程序框图,可得a=209,b=76c=57a=76,b=57,不满足条件b=0,c=19,a=57,b=19不满足条件b=0,c=0,a=19,b=0满足条件b=0,退出循环,输出a的值为19.故选:A.点评:根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模,本题属于基础知识的考查.5.设a=log3π,b=logπ3,c=cos3,则()A.b>a>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c考点:对数值大小的比较.专题:函数的性质及应用.分析:利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出.解答:解:∵a=log3π>1,0<b=logπ3<1,c=cos3<0,∴a>b>c.故选:D.点评:本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性,属于基础题.6.函数y=4sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)部分图象如图,其中点A(,0),B(,0),则()A.ω=,φ=﹣ B.ω=1,φ=﹣C.ω=,φ=﹣D.ω=1,φ=﹣考点:正弦函数的图象.专题:三角函数的图像与性质.分析:结合图象,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式.解答:解:由函数的图象可得==﹣,∴ω=.再根据五点法作图可得•+φ=0,求得φ=﹣,故选:C.点评:本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,属于基础题.7.设实数x,y满足约束条件,则z=的取值范围是()A.[,1] B.[,] C.[,] D.[,]考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可.解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:z=的几何意义为区域内的点到定点D(﹣1,0)的斜率,由图象知AD的斜率最大,BD的斜率最小,由,解得,即A(,),此时z==,由,解得,即B(),此时z==,故z=的取值范围是[,],故选:B.点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题;作图题;空间位置关系与距离.分析:三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体.解答:解:该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,如右图,三棱柱的底面是等腰直角三角形,其面积S=×1×2=1,高为1;故其体积V1=1×1=1;三棱锥的底面是等腰直角三角形,其面积S=×1×2=1,高为1;故其体积V2=×1×1=;故该几何体的体积V=V1+V2=;故选:A.点评:三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.9.一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、平、负分别得2分、1分、0分,已知甲球队已赛4场,积4分,在这4场比赛中,甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有()A.7种B.13种C.18种D.19种考点:计数原理的应用.专题:应用题;排列组合.分析:由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1,即可得出结论.解答:解:由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1,所以球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有++1=19种,故选:D.点评:本题考查计数原理的运用,考查学生的计算能力,比较基础.10.在△ABC中,AB=2BC,以A,B为焦点,经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则()A.﹣=1 B.﹣=2C.﹣=1 D.﹣=2考点:椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:以AB所在直线为x轴,其中点为原点,建立坐标系,再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案.解答:解:以AB所在直线为x轴,其中点为原点,建立坐标系,则A(﹣1,0),B(1,0),C(1+cosθ,sinθ),所以AC==,对于椭圆而言,2c=2,2a=AC+BC=+1,所以==;对于双曲线而言,2c=2,2a=AC﹣BC=﹣1,所以==;故﹣=﹣=1,故选:A.点评:本题考查椭圆、双曲线的概念,建立坐标系是解决本题的关键,属于中档题.11.已知函数f(x)=﹣,g(x)=xcosx﹣sinx,当x∈[﹣3π,3π]时,方程f(x)=g(x)根的个数是()A.8 B.6 C.4 D.2考点:根的存在性及根的个数判断.专题:计算题;作图题;函数的性质及应用;导数的综合应用.分析:先对两个函数分析可知,函数f(x)与g(x)都是奇函数,且f(x)是反比例函数,g(x)在[0,π]上是减函数,在[π,2π]上是增函数,在[2π,3π]上是减函数,且g(0)=0,g(π)=﹣π;g(2π)=2π;g(3π)=﹣3π;从而作出函数的图象,由图象求方程的根的个数即可.解答:解:由题意知,函数f(x)=﹣在[﹣3π,3π]是奇函数且是反比例函数,g(x)=xcosx﹣sinx在[﹣3π,3π]是奇函数;g′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx;故g(x)在[0,π]上是减函数,在[π,2π]上是增函数,在[2π,3π]上是减函数,且g(0)=0,g(π)=﹣π;g(2π)=2π;g(3π)=﹣3π;故作函数f(x)与g(x)在[﹣3π,3π]上的图象如下,结合图象可知,有6个交点;故选:B.点评:本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用,同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用,属于中档题.12.已知圆C:x2+y2=1,点M(t,2),若C上存在两点A,B满足=,则t的取值范围是()A.[﹣2,2] B.[﹣3,3] C.[﹣,] D.[﹣5,5]考点:椭圆的简单性质.专题:平面向量及应用.分析:通过确定A是MB的中点,利用圆x2+y2=1的直径是2,可得MA≤2,即点M到原点距离小于等于3,从而可得结论.解答:解:如图,连结OM交圆于点D.∵=,∴A是MB的中点,∵圆x2+y2=1的直径是2,∴MA=AB≤2,又∵MD≤MA,OD=1,∴OM≤3,即点M到原点距离小于等于3,∴t2+4≤9,∴≤t≤,故选:C.点评:本题考查向量知识的运用,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知||=,||=2,若(+)⊥,则与的夹角是150°.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:根据已知条件即可得到,所以根据进行数量积的运算即可得到3,所以求出cos<>=,从而便求出与的夹角.解答:解:∵;∴=;∴;∴与的夹角为150°.故答案为:150°.点评:考查两非零向量垂直的充要条件,以及数量积的计算公式,向量夹角的范围.14.设S n是数列{a n}的前n项和,a n=4S n﹣3,则S4= .考点:数列递推式.专题:等差数列与等比数列.分析:a n=4S n﹣3,当n=1时,a1=4a1﹣3,解得a1.当n≥2时,S n﹣S n﹣1=4S n﹣3,化为,利用等比数列的通项公式即可得出.解答:解:∵a n=4S n﹣3,∴当n=1时,a1=4a1﹣3,解得a1=1.当n≥2时,S n﹣S n﹣1=4S n﹣3,化为,∴数列是等比数列,首项为,公比为﹣,∴=.令n=4,则S4=+=.故答案为:.点评:本题考查了等比数列的通项公式,考查了变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.在三棱锥P﹣ABC中,△ABC与△PBC都是等边三角形,侧面PBC⊥底面ABC,AB=2,则该三棱锥的外接球的表面积为20π.考点:球的体积和表面积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由题意,等边三角形的高为3,设球心到底面的距离为x,则r2=22+x2=12+(3﹣x)2,求出x,可得r,即可求出该三棱锥的外接球的表面积.解答:解:由题意,等边三角形的高为3,设球心到底面的距离为x,则r2=22+x2=12+(3﹣x)2,所以x=1,所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π.故答案为:20π.点评:本题考查求三棱锥的外接球的表面积,考查学生的计算能力,确定球的半径是关键.16.曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是.考点:定积分.专题:导数的概念及应用.分析:首先由题意,画出图象,然后利用定积分表示面积解答:解:曲线+=1,即y=(1﹣)2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为(1﹣)2dx=(1﹣2+x)dx=(+x)|=;故答案为:点评:本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积;关键是正确利用定积分表示面积,然后计算.三、解答题(本大题共70分,其中17-21题为必考题,22-24题为选考题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2(a2﹣b2)=2accosB+bc.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)D为边BC上一点,BD=3DC,∠DAB=,求tanC.考点:余弦定理;正弦定理.专题:三角函数的求值;解三角形.分析:(Ⅰ)由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2,代入已知等式整理得cosA=﹣,即可求得A.(Ⅱ)由已知可求∠DAC=,由正弦定理有=,又BD=3CD,可得3sinB=2sinC,由B=﹣C化简即可得解.解答:解:(Ⅰ)因为2accosB=a2+c2﹣b2,所以2(a2﹣b2)=a2+c2﹣b2+bc.…(2分)整理得a2=b2+c2+bc,所以cosA=﹣,即A=.…(4分)(Ⅱ)因为∠DAB=,所以AD=BD•sinB,∠DAC=.…(6分)在△ACD中,有=,又因为BD=3CD,所以3sinB=2sinC,…(9分)由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC,…(11分)整理得tanC=.…(12分)点评:本题主要考查了余弦定理,正弦定理,同角三角函数关系式,三角函数恒等变换的应用,综合性较强,属于基本知识的考查.18.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,侧面PAD是等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别是棱PC,AB的中点,且MN⊥CD.(Ⅰ)求证:AD⊥CD;(Ⅱ)若AB=AD,求直线MN与平面PBD所成角的正弦值.考点:直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用.分析:(Ⅰ)取PD边中点E,连接AE,EM,根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE,而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD,从而得到CD⊥PO,这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线,由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD;(Ⅱ)取BC中点F,连接OF,由(Ⅰ)便可知道OA,OF,OP三条直线两两垂直,从而可分别以这三条直线为x,y,z轴,可设AB=2,这样即可求得图形中一些点的坐标.从而求出向量的坐标,这时候设平面PBD的法向量为,根据即可求出的坐标,若设MN和平面PBD所成角为θ,从而根据sinθ=即可求得答案.解答:解:(Ⅰ)证明:如图,取PD中点E,连AE,EM,则EM∥AN,且EM=AN;∴四边形ANME是平行四边形,MN∥AE;∵MN⊥CD,∴AE⊥CD,即CD⊥AE;取AD中点O,连PO,△PAD是等边三角形,则PO⊥AD;又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD;∴PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,即CD⊥PO;故CD⊥平面PAD,AD⊂平面PAD;∴CD⊥AD,即AD⊥CD;(Ⅱ)由AB=AD,AD⊥CD,得▱ABCD是正方形;取BC边的中点F,连接OF,则分别以OA,OF,OP所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系;设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),D(﹣1,0,0),P(0,0,),E(﹣,0,);=(2,2,0),=(1,0,);设平面PBD的法向量,则:;∴;∴,取z=1,∴;==(,0,﹣);设直线MN与平面PBD所成的角为θ,则:sinθ=|cos<,>|==.点评:考查面面垂直的性质定理,线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用向量解决直线和平面所成角的问题,能求空间点的坐标,注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系,以及向量夹角余弦的坐标公式.19.某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进行问卷调查,结果如下表:支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560(Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?(Ⅱ)从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家,然后从这12家中选出9家进行奖励,分别奖励中、小企业每家50万元、10万元,记9家企业所获奖金总数为X万元,求X的分布列和期望.附:K2=P(K2≥k0)0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点:独立性检验的应用.专题:应用题;概率与统计.分析:(Ⅰ)由题意知根据表中所给的数据,利用公式可求K2的值,从临界值表中可以知道K2>5.024,根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025,得到结论;(Ⅱ)按分层抽样得到的12家中,中小企业分别为3家和9家.X 的可能取值为90,130,170,210,求出相应的概率,即可求出X的分布列和期望.解答:解:(Ⅰ)K2=≈5.657,因为5.657>5.024,所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关.…(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知“支持”的企业中,中小企业家数之比为1:3,按分层抽样得到的12家中,中小企业分别为3家和9家.设9家获得奖励的企业中,中小企业分别为m家和n家,则(m,n)可能为(0,9),(1,8),(2,7),(3,6).与之对应,X的可能取值为90,130,170,210.…(6分)P(X=90)=,P(X=130)=,P(X=170)=,P(X=210)=,…(10分)分布列表如下:X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180.…(12分)点评:本题考查独立性检验的应用,考查X的分布列和期望,考查学生的计算能力,属于中档题.20.已知抛物线E:x2=4y,m、n是过点A(a,﹣1)且倾斜角互补的两条直线,其中m与E有唯一公共点B,n与E相交于不同的两点C,D.(Ⅰ)求m的斜率k的取值范围;(Ⅱ)是否存在常数λ,使得|AC|•|AD|=λ|AB|2?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.考点:抛物线的简单性质.专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)设直线m:y+1=k(x﹣a),n:y+1=﹣k(x﹣a),代入抛物线方程,运用判别式等于0和大于0,解不等式即可得到k的范围;(Ⅱ)假设存在常数λ,使得|AC|•|AD|=λ|AB|2,设B(x0,y0),C(x1,y1),D(x2,y2),代入直线方程,由条件结合二次方程的韦达定理,再由判别式为0,即可判断.解答:解:(Ⅰ)设直线m:y+1=k(x﹣a),n:y+1=﹣k(x ﹣a),分别代入x2=4y,得x2﹣4kx+4ka+4=0(1),x2+4kx﹣4ka+4=0(2),由△1=0得k2﹣ka﹣1=0,>0得k2+ka﹣1>0,由△2故有2k2﹣2>0,得k2>1,即k<﹣1,或k>1.(Ⅱ)假设存在常数λ,使得|AC|•|AD|=λ|AB|2,设B(x0,y0),C(x1,y1),D(x2,y2),则(y1+1)(y2+1)=λ(y0+1)2.将y1+1=﹣k(x1﹣a),y2+1=﹣k(x2﹣a),y0+1=k(x0﹣a)代入上式,得(x1﹣a)(x2﹣a)=λ(x0﹣a)2,即x1x2﹣a(x1+x2)+a2=λ(x0﹣a)2.由(2)得x1+x2=﹣4k,x1x2=﹣4ka+4,由(1)得x0=2k,代入上式,得4+a2=λ(4k2﹣4ka+a2).又△1=0得k2﹣ka﹣1=0,即4k2﹣4ka=4,因此4+a2=λ(4+a2),λ=1.故存在常数λ=1,使得|AC|•|AD|=λ|AB|2.点评:本题考查抛物线的方程和性质,主要考查直线和抛物线方程联立,运用判别式和韦达定理,考查运算化简的能力,属于中档题.21.设函数f(x)=x++alnx,g(x)=x++(﹣x)lnx,其中a∈R.(Ⅰ)证明:g(x)=g(),并求g(x)的最大值;(Ⅱ)记f(x)的最小值为h(a),证明:函数y=h(a)有两个互为相反数的零点.考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性.专题:函数的性质及应用;导数的综合应用.分析:(Ⅰ)利用已知函数g(x)的解析式,分别计算g(),g(x),可得两者相等;再利用g′(x)求得最大值;(Ⅱ)利用f′(x)可得f(x)的最小值h(a)=t++(﹣t)lnt=g(t),由(Ⅰ)可知g()<0,g(1)>0,利用函数零点的判定定理即得结论.解答:解:(Ⅰ)∵g()=+x+(x﹣)ln=x++(﹣x)lnx,∴g(x)=g(),则g′(x)=﹣(1+)lnx,当x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)的最大值为g(1)==2.(Ⅱ)∵f(x)=x++alnx,∴f′(x)=1﹣+=.令f′(x)=0,即x2+ax﹣1=0,则△=a2+4>0,不妨取t=>0,由此得:t2+at﹣1=0或写为:a=﹣t.当x∈(0,t)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(t,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.从而f(x)的最小值为f(t)=t++alnt=t++(﹣t)lnt,即h(a)=t++(﹣t)lnt=g(t)(或h(a)=+aln).由(Ⅰ)可知g()=g(e2)=﹣e2<0,g(1)=2>0,分别存在唯一的c∈(0,1)和d∈(1,+∞),使得g(c)=g (d)=0,且cd=1,因为a=﹣t(t>0)是t的减函数,所以y=h(a)有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c,又﹣d+﹣c=﹣(c+d)=0,所以y=h(a)有两个零点且互为相反数.点评:本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理,考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分【选修4-1:几何证明选讲】22.如图,AB为圆O的直径,PB,PC分别与圆O相切于B,C两点,延长BA,PC相交于点D.(Ⅰ)证明:AC∥OP;(Ⅱ)若CD=2,PB=3,求AB.考点:与圆有关的比例线段;空间中直线与直线之间的位置关系.专题:选作题;立体几何.分析:(Ⅰ)利用切割线定理,可得PB=PC,且PO平分∠BPC,可得PO⊥BC,又AC⊥BC,可得AC∥OP;(Ⅱ)由切割线定理得DC2=DA•DB,即可求出AB.解答:(Ⅰ)证明:因PB,PC分别与圆O相切于B,C两点,所以PB=PC,且PO平分∠BPC,所以PO⊥BC,又AC⊥BC,即AC∥OP.…(4分)(Ⅱ)解:由PB=PC得PD=PB+CD=5,在Rt△PBD中,可得BD=4.则由切割线定理得DC2=DA•DB,得DA=1,因此AB=3.…(10分)点评:本题考查切割线定理,考查学生分析解决问题的能力,正确运用切割线定理是关键.【选修4-4:极坐标与参数方程】23.在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣)=,C与l有且仅有一个公共点.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:(I)把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出a;(II)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+)=2cos(θ+),利用三角函数的单调性即可得出.解答:解:(Ⅰ)曲线C:ρ=2acosθ(a>0),变形ρ2=2ρacos θ,化为x2+y2=2ax,即(x﹣a)2+y2=a2.∴曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆;由l:ρcos(θ﹣)=,展开为,∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0.由直线l与圆C相切可得=a,解得a=1.(Ⅱ)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+)=3cosθ﹣sinθ=2cos(θ+),当θ=﹣时,|OA|+|OB|取得最大值2.点评:本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【选修4-5:不等式选讲】24.设f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m.(Ⅰ)求m;(Ⅱ)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.考点:绝对值不等式的解法;基本不等式.专题:计算题;分类讨论;不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)运用零点分区间,讨论x的范围,去绝对值,由一次函数的单调性可得最大值;(Ⅱ)由a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2),运用重要不等式,可得最大值.解答:解:(Ⅰ)当x≤﹣1时,f(x)=3+x≤2;当﹣1<x<1时,f(x)=﹣1﹣3x<2;当x≥1时,f(x)=﹣x﹣3≤﹣4.故当x=﹣1时,f(x)取得最大值m=2.(Ⅱ)a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)≥2ab+2bc=2(ab+bc),当且仅当a=b=c=时,等号成立.此时,ab+bc取得最大值=1.点评:本题考查绝对值不等式的解法和运用,主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法,属于中档题.。
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二、小题专项,限时突破1.集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(时间:40分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(2018·石家庄重点高中毕业班摸底考试)已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x 29+y 24=1,N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪x 3+y 2=1,则M ∩N =( )A .∅B .{(3,0),(0,2)}C .[-2,2]D .[-3,3][解析] 因为集合M ={x |-3≤x ≤3},N =R ,所以M ∩N =[-3,3],故选D.[答案] D2.函数f (x )=3x -2x 的图象关于( ) A .y 轴对称 B .直线y =-x 对称 C .坐标原点对称D .直线y =x 对称[解析] 因为f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f (-x )=3-x-(-2x )=-3x +2x =-⎝⎛⎭⎪⎫3x -2x =-f (x ),所以f (x )=3x -2x 是奇函数,所以其图象关于坐标原点对称,故选C.[答案] C3.(2018·陕西省部分学校摸底检测)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )A .y =-x 3B .y =ln|x |C .y =cos xD .y =2-|x |[解析] 显然函数y =2-|x |是偶函数,当x >0时,y =2-|x |=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0,+∞)上是减函数.故选D. [答案] D4.已知函数f (x )=ln x -⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2的零点为x 0,则x 0所在的区间是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)[解析] ∵f (x )=ln x -⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2在(0,+∞)上是增函数,且连续,又f (1)=ln1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=ln1-2<0,f (2)=ln2-⎝ ⎛⎭⎪⎫120<0,f (3)=ln3-⎝ ⎛⎭⎪⎫121>0,∴x 0∈(2,3),故选C.[答案] C5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x+1,x <1,x 2+ax ,x ≥1,若f [f (0)]=a 2+1,则实数a =( )A .-1B .2C .3D .-1或3[解析] 由题意可知,f (0)=2,而f (2)=4+2a ,由于f [f (0)]=a2+1,所以a2+1=4+2a,所以a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3,故选D.[答案] D6.(2018·广东等七校第一次联考)下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题[解析]A中,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A不正确;B中,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x =6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故B 不正确;C中,“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”,故C不正确;D中,命题“若x=y,则sin x =sin y”为真命题,因此其逆否命题为真命题,D正确,故选D.[答案] D7.(2017·东城期末)若直线y=-x+2与曲线y=-e x+a相切,则a的值为()A.-3 B.-2 C.-1 D.-4[解析]由于y′=(-e x+a)′=-e x+a,令-e x+a=-1,得切点的横坐标为x=-a,所以切点为(-a,-1),进而有-(-a)+2=-1,故a=-3.[答案] A8.(2017·郑州一模)若偶函数f (x )在(-∞,0)上单调递减,a =f (log 23),b =f (log 45),c =f (232),则a ,b ,c 满足( )A .a <b <cB .b <a <cC .c <a <bD .c <b <a[解析] 因为偶函数f (x )在(-∞,0)上单调递减,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.因为2>log 23=log 49>log 45>0,232>2,所以f (log 45)<f (log 23)<f (232),即b <a <c ,故选B.[答案] B9.(2018·合肥高三调研性检测)函数y =(e x -e -x )⎝⎛⎭⎪⎫x -1x 的图象大致是( )[解析] 因为f (x )=(ex-e -x )⎝⎛⎭⎪⎫x -1x (x ≠0),所以f (-x )=(e -x -e x)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-x -1-x =(e x -e -x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x =f (x ),所以f (x )是偶函数,排除选项A ,C ;因为函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以排除选项B ,故选D.[答案] D10.(2017·湖北八校联考(一))若实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +3y -3≥0,2x -y -3≤0,x -my +1≥0,其中m >0,且x +y 的最大值为9,则实数m =( )A .4B .3C .1D .2[解析]根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +3y -3≥0,2x -y -3≤0,x -my +1≥0画出可行域如图中阴影部分所示.设z =x +y ,由⎩⎨⎧x -my +1=0,2x -y -3=0,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m +12m -1,52m -1.易知当z =x +y 经过点A 时,z 取得最大值,故3m +12m -1+52m -1=9, 得m =1. [答案] C11.(2017·海淀期末)当0<m <12时,若1m +21-2m ≥k 2-2k 恒成立,则实数k 的取值范围为( )A .[-2,0)∪(0,4]B .[-4,0)∪(0,2]C .[-4,2]D .[-2,4][解析] 因为0<m <12,所以12×2m ×(1-2m )≤12×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2m +(1-2m )22=18(当且仅当2m =1-2m ,即m =14时取等号),所以1m +21-2m=1m (1-2m )≥8,又1m +21-2m ≥k 2-2k 恒成立,所以k 2-2k -8≤0,所以-2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[-2,4].故选D.[答案] D12.(2018·郑州一中高三入学测试)数学上称函数y =kx +b (k ,b ∈R ,k ≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f (x ),在点x 0附近一点x 的函数值f (x ),可以用如下方法求其近似代替值:f (x )≈f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0).利用这一方法,m = 4.001的近似代替值( )A .大于mB .小于mC .等于mD .与m 的大小关系无法确定[解析] 依题意,取f (x )=x ,则f ′(x )=12x ,则有x ≈x 0+12x 0(x -x 0).令x =4.001,x 0=4,则有 4.001≈2+14×0.001,注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫2+14×0.0012=4+0.001+⎝ ⎛⎭⎪⎫14×0.0012>4.001,即m = 4.001的近似代替值大于m ,故选A.[答案] A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(2017·丽水一模)若函数f (2x +1)=x 2-2x ,则f (3)=________. [解析] 令2x +1=3,得x =1, ∴f (3)=12-2=-1. [答案] -1[解析][答案] π+215.(2017·宜昌调研)已知函数f (x )=ln x 1-x ,若f (a )+f (b )=0,且0<a <b <1,则ab 的取值范围是________.[解析] 由题意可知ln a 1-a +ln b 1-b =0,即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1-a ×b 1-b =0,从而a 1-a ×b1-b=1,化简得a +b =1,故ab =a (1-a )=-a 2+a =-⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+14,又0<a <b <1,∴0<a <12,故0<-⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+14<14,即ab 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1416.已知f (x )=ax 3-3x 2+1(a >0),g (x )=xf ′(x ),定义h (x )=max{f (x ),g (x )}=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≥g (x ),g (x ),f (x )<g (x ).若存在x ∈[1,2],使得h (x )=f (x ),则实数a 的取值范围为________.[解析] f ′(x )=3ax 2-6x =3x (ax -2),g (x )=xf ′(x )=3ax 3-6x 2.∵存在x ∈[1,2],使得h (x )=f (x ),∴f (x )≥g (x )在x ∈[1,2]上有解,即ax 3-3x 2+1≥3ax 3-6x 2在x ∈[1,2]上有解,即不等式2a ≤1x 3+3x 在x ∈[1,2]上有解.设y =1x 3+3x =3x 2+1x 3(x ∈[1,2]),∵y ′=-3x 2-3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立,∴y =1x 3+3x 在x ∈[1,2]上单调递减,∴当x =1时,y =1x 3+3x 取得最大值4,∴2a ≤4,即a ≤2,又a >0,故实数a 的取值范围为(0,2].[答案] (0,2]。