广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)试题(解析版)
广东省深圳市2016届高三数学一模试卷理(含解析)
2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．34．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．25．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．1706．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．558．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．49．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f （1）的值为．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到（1﹣x）（x+3）≥0，即（x﹣1）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤1，即A={x|﹣3≤x≤1}，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】将z=化为：4﹣3i，从而求出所在的象限．【解答】解：因为z==4﹣3i，所以z在复平面内对应的点为（4，﹣3），在第四象限．故选：D．3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，根据向量垂直得出（+）•（2﹣）=0，解方程得出λ．【解答】解： =||||cos120°=﹣1．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=0，即2+（2λ﹣1）﹣=0．∴8+1﹣2λ﹣λ=0，解得λ=3．故选：D．4．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出不等式组约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A点，由，可得A（0，2）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2．故选：C．5．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．170【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：在公差为1的等差数列{a n}中，由a1，a3，a6成等比数列，得：，即a1=4．∴．故选：C．6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的φ=﹣，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），可得2sin（+φ）=1，即 sin（+φ）=，再根据+φ∈（﹣，），可得φ+=，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的一条对称轴方程为x=，故选：D．7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．55【考点】二项式定理的应用．【分析】（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r即可得出．【解答】解：（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r=3或4．∴（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项=+2=15﹣2×20=﹣25．故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率．【解答】解：∵4名同学参加3项不同的课外活动，每名同学可自由选择参加其中的一项，∴基本事件总数n=34=81，每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数m==36，∴每项活动至少有一名同学参加的概率p==．故选：A．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=，进而求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中心的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，直线l的方程为y=x+2b，即bx﹣ay+2ab=0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，转化为函数g（x）=lnx和h（x）=ax2﹣x交点的问题；讨论a≤0时不满足题意，a＞0时，求得（a）max=1，当x→+∞时，a→0，从而可得答案．或a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，由＞1求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x，将零点问题转化为两个函数交点的问题；又函数h（x）=x（ax﹣1），当a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，不满足题意；当a＞0时，由lnx﹣ax2+x=0，得a=；令r（x）=，则r′（x）==，当0＜x＜1时，r'（x）＞0，r（x）是单调增函数，当x＞1时，r'（x）＜0，r（x）是单调减函数，且＞0，∴0＜a＜1；或当a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，如图所示；g（x）=lnx交x轴于点（1，0），h（x）=ax2﹣x交x轴于点（0，0）和点（，0）；要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，即＞1，解得0＜a＜1；∴a的取值范围是（0，1）．故选：A．二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f（1）的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件可以得到﹣f（x）+g（x）=3﹣x，该式联立f（x）+g（x）=3x便可解出f （x），从而可求出f（1）的值．【解答】解：f（x）+g（x）=3x①；∴f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x；又f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）；∴﹣f（x）+g（x）=3﹣x②；①②联立得，；∴．故答案为：．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】写出AB的点斜式方程，与抛物线方程联立消元，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，利用直线垂直与斜率的关系列方程解出p．【解答】解：F（，0），∴直线AB的方程为：y=x﹣．联立方程组，消元得：x2﹣3px+=0，设AB的中点坐标为（x0，y0），则x0==，y0=x0﹣=p．∴AB的垂直平分线经过点（0，2），∴=﹣1，即=﹣1．解得p=．故答案为：．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是{a1|a1≥} ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】对a1分类讨论，利用已知及其等比数列的通项公式性质即可得出．【解答】解：①当时，a2=4．由于，因此a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴42=9a1，解得a1=．而a4=42=16，不满足{a n}为等比数列，舍去．②当a1≥22时，a2=2a1，∴a2≥8．当8≤a2＜9时，a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴=9a1，解得a1=，舍去．当a2≥9时，a3=2a2．可得{a n}为等比数列，公比为2．此时a1．综上可得：a1的取值范围是{a1|a1≥}．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理可得cosB=．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，可得sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）．在△ABC中，由正弦定理可得： =，即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，cosB===．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，∴sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°=+=．在△ABC中，由正弦定理可得： =，∴BC===35．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由二项分布求出未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率值；（2）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好．【解答】解：（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为：P=•+••=，所以在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为；（2）由题意知，P（23≤X＜27）=0.74，P（27≤X＜31）=0.25，P（31≤X≤35）=0.01；用X1、X2、X3分别表示采取方案一、二、三的损失，，X2的分布列如下；23因为采用方案二的损失最小，所以采用方案二最好．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点O，连接AC，CO，PO，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）由面面垂直的性质定理，可得直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求得O，A，P，B，C，D，，，的坐标，设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，由ABCD是边长为2的菱形，可得AB=BC=2，又∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形，即有CO⊥AB，OC=，由PA⊥PB，可得OP=AB=1，而PC=2，由OP2+OC2=12+（）2=22=PC2，可得CO⊥OP，而AB，OP为相交二直线，可得CO⊥平面PAB，又OC⊂平面ABCD，即有平面PAB⊥平面ABCD；（2）由PA=PB，可得PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），D（，2，0），可得=（，0，﹣1），=（0，1，1），=（0，2，0），设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），由可得，取z1=，可得=（1，﹣，），由，可得，取x2=，可得=（，0，3），由题意可得二面角A﹣PC﹣D为锐角二面角，记为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．即有二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率可得a2=2b2，得到椭圆方程x2+2y2﹣2b2=0，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得b2，则椭圆方程可求；（2）由直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，得到坐标原点到直线l的距离为，然后分直线l的斜率存在和不存在两种情况求△ABO面积，当直线l的斜率不存在时，直接求解，当直线l的斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，由原点到直线的距离列式，把m用含有k的代数式表示，然后再由弦长公式求得弦长，换元后利用判别式法求得弦长的最大值，求出斜率存在时△ABO面积的最大值，最后比较得答案．【解答】解：（1）由，得，即，∴a2=2b2，则椭圆方程为x2+2y2﹣2b2=0．联立，消去y得，，由，解得：b2=1．∴椭圆方程为：；（2）∵直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，∴原点O到直线l的距离为．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±，代入椭圆，得y=，不妨设A（），B（），则；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，由，得4m2=3k2+3．联立，消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．，∴|AB|===．设k2=t，令y=，则（4y﹣5）t2+（4y﹣6）t+y﹣1=0，当y=时，可得t=，符合题意；当y时，由△=（4y﹣6）2﹣（4y﹣5）（4y﹣4）≥0，得y且y．综上，y．∴当斜率存在时，．综①②可知，△ABO面积的最大值为．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）根据函数的极值，建立方程关系进行求解即可求a的值．【解答】解：（1）∵函数y=（x+1）e x，∴f′（x）=e x+（x+1）e x=（x+2）e x，由f′（x）＞0得（x+2）e x＞0，即x+2＞0，得x＞﹣2，即函数的单调增区间为（﹣2，+∞）．由f′（x）＜0得x＜﹣2，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）．（2）g′（x）=e x（x﹣1）2+（e x﹣a）（2x﹣2）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2a）=（x﹣1）（f（x）﹣2a），当x＜﹣1时，f（x）=（x+1）e x≤0，①当0＜a＜e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（﹣1）﹣2a＜0，f （1）﹣2a=2e﹣2a＞0，则∃唯一x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极大值，当x=1时，函数g（x）取得极小值．②当a=e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，此时函数g（x）无极值．③当a＞e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=2e﹣2a＜0，f（lna）﹣2a=a（lna+1）﹣2a=a（lna﹣1）＞0，则∃唯一x0∈（1，lna），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极小值，当x=1时，函数g（x）取得极大值．综上当a∈（0，e）∪（e，+∞）时，g（x）有两个极值点，当a=e时，g（x）无极值点．（3）由（2）知当0＜a＜e时，∵g（1）=0≠，故g（x0）=（e﹣a）（x0﹣1）2=2a2，①（x0﹣1）2=2[]2，由f（x0）=0得a=，代入①得（e﹣）整理得（1﹣x0）3﹣（1+x0）2e﹣=0，设h（x）=（1﹣x）3﹣（1+x）2e x，﹣1＜x＜1，∵h′（x）=﹣3（1﹣x）2﹣（x+3）（1+x）e x，∴当﹣1＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣1，1）上单调递减，∵h（0）=0，∴x0=0，a==∈（0，e）符号题意，当a＞e时，∵g（x0）＜g（1）=0＜a2，∴不存在符号题意的a，综上当a=时，g（x）存在极值等于a2．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D 四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）分别用x，y表示t，消去参数得到普通方程，再化为极坐标方程；（2）联立方程组解出A，B坐标，代入两点间的距离公式得出|OA|，|OB|，再进行化简计算．【解答】解：（I）由得，∴直线l的普通方程为﹣=0，即sinαx﹣cosαy=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得sinαρcosθ﹣cosαρsinθ=0．∵ρ=，∴p=ρ﹣ρcosθ=ρ﹣x，∴ρ=p+x，两边平方得ρ2=x2+2px+p2，∴x2+y2=x2+2px+p2，即y2﹣2px﹣p2=0．（II）联立方程组，解得或．21 ∴|OA|2=（）2+（）2=，|OB|2=（）2+（）2=，∴|OA|=，|OB|=．∴+=+=（+）=．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f （x ）=|x+a|+|x ﹣3|（a ∈R ）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为5，求a 的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x ﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f （x ）的最小值，再根据f （x ）的最小值为5，求得a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥x+8，即|x+1|+|x ﹣3|≥x+8， 若x ＜﹣1，则有﹣x ﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x ＞3，则有x+1+x ﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x 的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f （x ）=|x+a|+|x ﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f （x ）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．。
广东省深圳市2016届高三数学一模试卷 理(含解析)
2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．34．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．25．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．1706．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．558．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．49．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f （1）的值为．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到（1﹣x）（x+3）≥0，即（x﹣1）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤1，即A={x|﹣3≤x≤1}，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】将z=化为：4﹣3i，从而求出所在的象限．【解答】解：因为z==4﹣3i，所以z在复平面内对应的点为（4，﹣3），在第四象限．故选：D．3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，根据向量垂直得出（+）•（2﹣）=0，解方程得出λ．【解答】解： =||||cos120°=﹣1．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=0，即2+（2λ﹣1）﹣=0．∴8+1﹣2λ﹣λ=0，解得λ=3．故选：D．4．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出不等式组约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A点，由，可得A（0，2）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2．故选：C．5．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．170【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：在公差为1的等差数列{a n}中，由a1，a3，a6成等比数列，得：，即a1=4．∴．故选：C．6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的φ=﹣，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），可得2sin（+φ）=1，即 sin（+φ）=，再根据+φ∈（﹣，），可得φ+=，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的一条对称轴方程为x=，故选：D．7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．55【考点】二项式定理的应用．【分析】（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r即可得出．【解答】解：（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r=3或4．∴（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项=+2=15﹣2×20=﹣25．故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率．【解答】解：∵4名同学参加3项不同的课外活动，每名同学可自由选择参加其中的一项，∴基本事件总数n=34=81，每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数m==36，∴每项活动至少有一名同学参加的概率p==．故选：A．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设△AB C的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=，进而求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中心的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，直线l的方程为y=x+2b，即bx﹣ay+2ab=0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，转化为函数g（x）=lnx和h（x）=ax2﹣x交点的问题；讨论a≤0时不满足题意，a＞0时，求得（a）max=1，当x→+∞时，a→0，从而可得答案．或a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，由＞1求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x，将零点问题转化为两个函数交点的问题；又函数h（x）=x（ax﹣1），当a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，不满足题意；当a＞0时，由lnx﹣ax2+x=0，得a=；令r（x）=，则r′（x）==，当0＜x＜1时，r'（x）＞0，r（x）是单调增函数，当x＞1时，r'（x）＜0，r（x）是单调减函数，且＞0，∴0＜a＜1；或当a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，如图所示；g（x）=lnx交x轴于点（1，0），h（x）=ax2﹣x交x轴于点（0，0）和点（，0）；要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，即＞1，解得0＜a＜1；∴a的取值范围是（0，1）．故选：A．二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f（1）的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件可以得到﹣f（x）+g（x）=3﹣x，该式联立f（x）+g（x）=3x便可解出f （x），从而可求出f（1）的值．【解答】解：f（x）+g（x）=3x①；∴f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x；又f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）；∴﹣f（x）+g（x）=3﹣x②；①②联立得，；∴．故答案为：．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】写出AB的点斜式方程，与抛物线方程联立消元，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，利用直线垂直与斜率的关系列方程解出p．【解答】解：F（，0），∴直线AB的方程为：y=x﹣．联立方程组，消元得：x2﹣3px+=0，设AB的中点坐标为（x0，y0），则x0==，y0=x0﹣=p．∴AB的垂直平分线经过点（0，2），∴=﹣1，即=﹣1．解得p=．故答案为：．=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范≥}时，，因此a3=32=9．，解得a1=．而a4=42=16，不满足{a n}为等比数n131列，舍去．②当a1≥22时，a2=2a1，∴a2≥8．当8≤a2＜9时，a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴=9a1，解得a1=，舍去．当a2≥9时，a3=2a2．可得{a n}为等比数列，公比为2．此时a1．综上可得：a1的取值范围是{a1|a1≥}．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理可得cosB=．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，可得sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）．在△ABC中，由正弦定理可得： =，即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，cosB===．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，∴sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°=+=．在△ABC中，由正弦定理可得： =，∴BC===35．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）由二项分布求出未来3年，至多有1年河流水位X ∈[27，31）的概率值； （2）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好．【解答】解：（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位X ∈[27，31）的概率为：P=•+••=，所以在未来3年，至多有1年河流水位X ∈[27，31）的概率为；（2）由题意知，P （23≤X＜27）=0.74， P （27≤X＜31）=0.25， P （31≤X≤35）=0.01；用X 1、X 2、X 3分别表示采取方案一、二、三的损失，2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2． （1）求证：平面PAB⊥平面ABCD ；（2）若PA=PB ，求二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点O，连接AC，CO，PO，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）由面面垂直的性质定理，可得直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求得O，A，P，B，C，D，，，的坐标，设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，由ABCD是边长为2的菱形，可得AB=BC=2，又∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形，即有CO⊥AB，OC=，由PA⊥PB，可得OP=AB=1，而PC=2，由OP2+OC2=12+（）2=22=PC2，可得CO⊥OP，而AB，OP为相交二直线，可得CO⊥平面PAB，又OC⊂平面ABCD，即有平面PAB⊥平面ABCD；（2）由PA=PB，可得PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），D（，2，0），可得=（，0，﹣1），=（0，1，1），=（0，2，0），设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），由可得，取z1=，可得=（1，﹣，），由，可得，取x2=，可得=（，0，3），由题意可得二面角A﹣PC﹣D为锐角二面角，记为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．即有二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率可得a2=2b2，得到椭圆方程x2+2y2﹣2b2=0，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得b2，则椭圆方程可求；（2）由直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，得到坐标原点到直线l的距离为，然后分直线l的斜率存在和不存在两种情况求△ABO面积，当直线l的斜率不存在时，直接求解，当直线l的斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，由原点到直线的距离列式，把m用含有k的代数式表示，然后再由弦长公式求得弦长，换元后利用判别式法求得弦长的最大值，求出斜率存在时△ABO面积的最大值，最后比较得答案．【解答】解：（1）由，得，即，∴a2=2b2，则椭圆方程为x2+2y2﹣2b2=0．联立，消去y得，，由，解得：b2=1．∴椭圆方程为：；（2）∵直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，∴原点O到直线l的距离为．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±，代入椭圆，得y=，不妨设A（），B（），则；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，由，得4m2=3k2+3．联立，消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．，∴|AB|===．设k2=t，令y=，则（4y﹣5）t2+（4y﹣6）t+y﹣1=0，当y=时，可得t=，符合题意；当y时，由△=（4y﹣6）2﹣（4y﹣5）（4y﹣4）≥0，得y且y．综上，y．∴当斜率存在时，．综①②可知，△ABO面积的最大值为．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）根据函数的极值，建立方程关系进行求解即可求a的值．【解答】解：（1）∵函数y=（x+1）e x，∴f′（x）=e x+（x+1）e x=（x+2）e x，由f′（x）＞0得（x+2）e x＞0，即x+2＞0，得x＞﹣2，即函数的单调增区间为（﹣2，+∞）．由f′（x）＜0得x＜﹣2，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）．（2）g′（x）=e x（x﹣1）2+（e x﹣a）（2x﹣2）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2a）=（x﹣1）（f（x）﹣2a），当x＜﹣1时，f（x）=（x+1）e x≤0，①当0＜a＜e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（﹣1）﹣2a＜0，f （1）﹣2a=2e﹣2a＞0，则∃唯一x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极大值，当x=1时，函数g（x）取得极小值．②当a=e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，此时函数g（x）无极值．③当a＞e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=2e﹣2a＜0，f（lna）﹣2a=a（lna+1）﹣2a=a（lna﹣1）＞0，则∃唯一x0∈（1，lna），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极小值，当x=1时，函数g（x）取得极大值．综上当a∈（0，e）∪（e，+∞）时，g（x）有两个极值点，当a=e时，g（x）无极值点．（3）由（2）知当0＜a＜e时，∵g（1）=0≠，故g（x0）=（e﹣a）（x0﹣1）2=2a2，①（x0﹣1）2=2[]2，由f（x0）=0得a=，代入①得（e﹣）整理得（1﹣x0）3﹣（1+x0）2e﹣=0，设h（x）=（1﹣x）3﹣（1+x）2e x，﹣1＜x＜1，∵h′（x）=﹣3（1﹣x）2﹣（x+3）（1+x）e x，∴当﹣1＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣1，1）上单调递减，∵h（0）=0，∴x0=0，a==∈（0，e）符号题意，当a＞e时，∵g（x0）＜g（1）=0＜a2，∴不存在符号题意的a，综上当a=时，g（x）存在极值等于a2．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D 四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）分别用x，y表示t，消去参数得到普通方程，再化为极坐标方程；（2）联立方程组解出A，B坐标，代入两点间的距离公式得出|OA|，|OB|，再进行化简计算．【解答】解：（I）由得，∴直线l的普通方程为﹣=0，即sinαx﹣cosαy=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得sinαρcosθ﹣cosαρsinθ=0．∵ρ=，∴p=ρ﹣ρcosθ=ρ﹣x，∴ρ=p+x，两边平方得ρ2=x2+2px+p2，∴x2+y2=x2+2px+p2，即y2﹣2px﹣p2=0．（II）联立方程组，解得或．∴|OA|2=（）2+（）2=，|OB|2=（）2+（）2=，∴|OA|=，|OB|=．∴+=+=（+）=．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值为5，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，若x＜﹣1，则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x＞3，则有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f（x）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．21。
2016年高考数学新课标Ⅱ(理科)试题及答案 【解析版】
2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）（使用地区 ：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2016新课标Ⅱ(理）】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A.()31-，B.()13-，C.()1,∞+D.()3∞--，【答案】A【解析】∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B = A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，， 【答案】C【解析】()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，，∴{}0123A B = ，，，， 故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b +⊥，则m = A.8- B.6- C.6 D.8【答案】D【解析】 ()42a b m +=-，， ∵()a b b +⊥ ，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =， 故选D ．【2016新课标Ⅱ(理）】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=A.43-B.34- D.2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d =，解得43a =-，故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.9 【答案】B【解析】E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．【2016新课标Ⅱ(理）】右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π 【答案】C【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A.()ππ26k x k =-∈Z B.()ππ26k x k =+∈Z C.()ππ212Z k x k =-∈ D.()ππ212Z k x k =+∈ 【答案】B【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．【2016新课标Ⅱ(理）】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =A.7B.12C.17D.34 【答案】C【解析】第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=A.725B.15C.15-D.725-【答案】D【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．【2016新课标Ⅱ(理）】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为A.4n m B.2n m C.4m n D.2mn【答案】C【解析】由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为B.32D.2 【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====--- 故选A ．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A.0B.mC.2mD.4m【答案】B【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +， ∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．【2016新课标Ⅱ(理）】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．【2016新课标Ⅱ(理）】α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 【解析】②③④【2016新课标Ⅱ(理）】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），【2016新课标Ⅱ(理）】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ． 【解析】 1ln2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =-∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【2016新课标Ⅱ(理）】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．【2016新课标Ⅱ(理）】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 0.2550.150.250.30.1750.a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置OD '（I ）证明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴AE CFAD CD=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH'⊥． ∵6AC =， ∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥， ∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=， ∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r ，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-u r，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r，，，∴1212cos n n n n θ⋅===u r u u ru r u u r∴sin θ=【2016新课标Ⅱ(理）】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++ 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM =所以3AN k k+因为2AM AN =所以23k k=+，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．【2016新课标Ⅱ(理）】(I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;xx x -++>(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 【解析】⑴证明：()2e 2xx f x x -=+ ()()()22224e e 222x xx x f x x x x ⎛⎫-'⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增 ∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+∴()2e 20x x x -++>⑵ ()()()24e 2e xx a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x-++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a ∈，由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1ee 1e 22t ttt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号【2016新课标Ⅱ(理）】如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥∴Rt Rt DEF CED △∽△∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠ DF CFDG BC= ∵DE DG =，CD BC = ∴DF CFDG BC= ∴GDF BCF △∽△ ∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴180GFB GCB ∠+∠=︒． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆． （Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =， ∴12DG CG DE ===， ∴在Rt GFC △中，GF GC =， 连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．【2016新课标Ⅱ(理）】选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB l的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，=即22369014k k =+，整理得253k =，则k =【2016新课标Ⅱ(理）】选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】解：⑴当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．⑵当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+， 证毕．2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）（使用地区 ：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【2016新课标Ⅱ(理）】已知z=（m+3）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，1） B ．（﹣1，3） C ．（1，+∞） D ．（﹣∞，﹣3）2．【2016新课标Ⅱ(理）】已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}3．【2016新课标Ⅱ(理）】已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．84．【2016新课标Ⅱ(理）】圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．25．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A．24 B．18 C．12 D．96．【2016新课标Ⅱ(理）】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π7．【2016新课标Ⅱ(理）】若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）8．【2016新课标Ⅱ(理）】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．349．【2016新课标Ⅱ(理）】若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣10．【2016新课标Ⅱ(理）】从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．11．【2016新课标Ⅱ(理）】已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．212．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A．0 B．m C．2m D．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．【2016新课标Ⅱ(理）】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．14．【2016新课标Ⅱ(理）】α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）15．【2016新课标Ⅱ(理）】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．16．【2016新课标Ⅱ(理）】若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【2016新课标Ⅱ(理）】S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18．【2016新课标Ⅱ(理）】某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．【2016新课标Ⅱ(理）】已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【2016新课标Ⅱ(理）】如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【2016新课标Ⅱ(理）】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．【2016新课标Ⅱ(理）】已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．。
(完整word版)2016年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-1，3）C.（1，+∞）D.（-∞，-3）2.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{-1，0，1，2，3}3.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（）A.-8B.-6C.6D.84.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（）A.-B.-C.D.25.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A.x=-（k∈Z）B.x=+（k∈Z）C.x=-（k∈Z）D.x=+（k∈Z）8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A.7B.12C.17D.349.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C.- D.-10.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A. B. C. D.11.已知F1，F2是双曲线E：-=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A. B. C. D.212.已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A.0B.mC.2mD.4m二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ______ ．14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是 ______ （填序号）15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ______ ．16.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= ______ ．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18.某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险0 1 2 3 4 ≥5次数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险0 1 2 3 4 ≥5次数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B-D′A-C的正弦值．20.已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21.（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．22.如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）答案和解析【答案】1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.C9.D 10.C 11.A 12.B13.14.②③④15.1和316.1-ln217.解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．18.解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：p1=1-0.30-0.15=0.55．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率：p2=P（B|A）===．（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：=1.23，∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．19.（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，-3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=-4，z=5．∴．同理可求得平面A D′C的一个法向量，设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B-D′A-C的正弦值为sinθ=．20.解：（Ⅰ）t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（-2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，解得x=-2或x=-，则|AM|=•|2-|=•，由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，整理可得（k-1）（4k2-k+4）=0，由4k2-k+4=0无实根，可得k=1，即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2-3t=0，解得x=-或x=-，即有|AM|=•|-|=•，|AN|═•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．21.解：（1）证明：f（x）=f'（x）=e x（）=∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）=-1即（x-2）e x+x+2＞0（2）g'（x）==a∈[0，1]由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（-1，+∞），只有一解使得，t∈[0，2]当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（a）===记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）=k（t）∈（，]．22.（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG，CD=BC，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG，∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°，∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．23.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．24.解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】1. 解：z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得-3＜m＜1．故选：A．利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．本题考查复数的几何意义，考查计算能力．2. 解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．3. 解：∵向量=（1，m），=（3，-2），∴+=（4，m-2），又∵（+）⊥，∴12-2（m-2）=0，解得：m=8，故选：D．求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．4. 解：圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y-1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5. 解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选：B．从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论．本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题6. 解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．7. 解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．利用函数y= A sin（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．本题考查函数yy= A sin（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．8. 解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9. 解：∵cos（-α）=，∴sin2α=cos（-2α）=cos2（-α）=2cos2（-α）-1=2×-1=-，故选：D．利用诱导公式化sin2α=cos（-2α），再利用二倍角的余弦可得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．10. 解：由题意，，∴π=．故选：C．以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．11.解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12. 解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），即为f（x）+f（-x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（-x2，2-y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（-x1+2-y1）+（x2+y2）+（-x2+2-y2）+…+（x m+y m）+（-x m+2-y m）]=m．故选B．由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，计算即可得到所求和．本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．13. 解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．14. 解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．15. 解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．16. 解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1-ln2．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题17.（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．18.（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．19.（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得E F⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B-D′A-C的正弦值可求．本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.（Ⅰ）求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，中档题．22.（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S四边形BCGF=2S△BCG，据此解答．本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．23.（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．24.（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。
深圳市2016届高三年级第二次调研考试(理综)
深圳市2016届高三年级第二次调研考试理科综合可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 F-19 Ca-40 Fe-56 Ga-70 As-75第I卷选择题（共126分）一、选择题本大题共13小题·每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．池塘内某种藻类所分泌的一种物质能抑制蝌蚪细胞中糖蛋白的合成。
该物质直接作用的目标最可能是A．中心体B．内质网C．液泡D．细胞膜2．关于水稻叶肉细胞中光合作用和呼吸作用的叙述，正确的是A．光合作用和呼吸作用不能同时进行B．光合作用的产物都能被线粒体直接利用C．呼吸作用产生的ATP主要用于光合作用D．光合作用产生的[H]不能用于呼吸作用3．关于生物进化的说法，正确的是A．物种是生物繁殖和共同进化的基本单位B．有性生殖为生物进化提供丰富原材料C．捕食者的存在直接破坏了生物多样性D．环境的变化与生物多样性的形成无关4．有关人体神经系统结构和功能的叙述，正确的是A．神经冲动在反射弧中双向传递B．K+进出神经细胞的过程都需要能量C．在寒冷环境中皮肤血流量增加D．大脑皮层S区受损伤后不会讲话5．探究两种植物根系之间的竞争关系时，为了获得较好的实验结果,以下说法不合理的是A．需要选自不同环境的植物进行实验B．选择的两种植株大小必须基本一致C．不同种植株种植在一起作为实验组D．可设置两种植株的间距来设计实验6．下图是甲、乙两种单基因遗传病的系谱图，有关分析正确的是A．4号患甲病说明1号和2号遵循基因的自由组合定律B．6号和7号与甲病有关的基因型相同的概率为1/3C．从1号个体及子女推知乙病是常染色体隐性遗传病D．若3号不携带乙病基因，则乙病是X染色体隐性遗传病7．我国明代《本草纲目》中收载药物1892种，其中“烧酒”条目下写道：“自元时始创其法，用浓酒和糟入甑，蒸令气上……其清如水，味极浓烈，盖酒露也。
”这里所用的“法”是指A．萃取B．渗析C．蒸馏D．干馏8．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A．30 g乙烷中所含的极性共价键数为7N AB．标准状况下，22.4 L N2和CO2混合气体所含的分子数为2N AC．1 L浓度为1 mol·L-1的H2O2水溶液中含有的氧原子数为2N AD．MnO2和浓盐酸反应生成1 mol氯气时，转移的电子数为2N A9．EDTA是一种重要的络合剂。
广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)试题(PDF版)
ln x x , x 0 , 1 1 则关于 m 的不等式 f ( ) ln 2 的解集为 m 2 ln( x) x , x 0.
（B） (0 , 2) （C） (
1 2
1 1 , 0) (0 , ) 2 2
（D） (2 , 0)
(0 , 2)
（11）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线 画出的是某几何体的三视图，则它的体积为
1 x
请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题 目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题 号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图， AB 为圆 O 的直径， C 在圆 O 上， CF AB 于 F ，点 D 为线段 CF 上任意 一点，延长 AD 交圆 O 于 E ， AEC 30 ． （Ⅰ）求证： AF FO ； （Ⅱ）若 CF 3 ，求 AD AE 的值．
B ) ”的
（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
深圳市 2016 年高三年级第二次调研考试数学（理科）试题
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（3）若 cos
π 1 （π 2） ，则 cos 2 3 4 2 9
（B）
（A）
4 2 9
（C）
7 9
（D）
7 9
x y 1 0, y 1 （4）若实数 x ， y 满足约束条件 x 1 0, 则目标函数 z 的最大值为 x3 4 x y 1 0,
x
1 x
2016
)10 的展开式中， x 4 项的系数为_____________.(结果用数值表示)
高中高考数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．23．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．56．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．3010．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．212．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出+z，再求出其模即可．【解答】解：∵z=1+i，∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A．3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的X围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．6．已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，焦点到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则焦点（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]= +，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解答】解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．10．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值X围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的X围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据分段函数，分别讨论x的X围，求出函数的最小值，根据题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x=0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选D．12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：D二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，得到ab的值．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的X围，进而可求M的X围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若=a n•b n，求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得b n=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴b n=a•2n．∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．∴b n=2n﹣1．（II）=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n=（9﹣2n）•2n﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x+y，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），=+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设=x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定．（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、1、2、3，ξ～B（3，），，其k=0、1、2、3．所以变ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是否存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E 的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：则有∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tc osα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0由韦达定理得，，==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及基本不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值满足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：x （0，x0）x0（x0，a）g'（x）+ 0 ﹣g（x）↗↘∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE互相平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE互相平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE互相平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A，B两点，求△AOB 的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，分别代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，分别代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可某某数a的取值X围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…。
高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。
2016届广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．12．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．25．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．106．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．2 B．C．D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．1612．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为（结果用数值表示）．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为．三、解答题17．设数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X的数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．．在三棱柱﹣111中，，侧面11是边长为的正方形，点，分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2016年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数z满足（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=1﹣i（i为虚数单位），∴（1﹣i）（1+i）z=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，即z=﹣i．则|z|=1．故选：D．2．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈（A∩B）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x∈（A∩B），可得x∈A，则反之不一定成立，即可判断出关系．【解答】解：x∈（A∩B）⇒x∈A，则反之不一定成立．∴“x∈A”是“x∈（A∩B）”的必要不充分条件．故选：B．3．若coa（﹣α）=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用二倍角的余弦得答案．【解答】解：由cos（﹣α）=，得cos（π﹣2α）=cos2（）==．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．5．在如图所示的流程图中，若输入a，b，c的值分别为2，4，5，则输出的x=（）A．1 B．2 C．lg2 D．10【考点】程序框图．【分析】根据已知及程序框图，判断执行语句x=lga+lgc，从而计算求值得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出x的值，由题意，a=2，b=4，c=5，不满足条件a＞b且a＞c，不满足条件b＞c，执行x=lg2+lg5=lg10=1．故选：A．6．已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数f（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经过如下变换得到：先将g（x）的图象向右平移个单位长度，可得y=cos（x﹣）的图象，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数f（x）=cos（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ，可得f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，结合所给的选项，故选：A．7．以直线y=±x为渐近线的双曲线的离心率为（）A．2 B．C．2或 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上，设出双曲线的标准方程，求得渐近线方程，运用双曲线的基本量的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有b=a，c==2a，离心率为e==2；当双曲线的焦点在y轴上时，设方程为﹣=1（a'，b'＞0），可得渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即有a'=b'，c'==a'，离心率为e==．综上可得离心率为2或． 故选：C ．8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率．【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数n==120，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数m==72，∴3位女生中有且只有两位女生相邻的概率p==．故选：B ．9．如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．【解答】解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则=（1，），=（﹣，1），=（1，1）．∵=λ+μ，∴，解得．∴λ+μ=．故选：D．10．已知f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln的解集为（）A．（0，） B．（0，2）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】分段函数的应用．【分析】可判断f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．【解答】解：当x＞0时，f（﹣x）=﹣ln（﹣（﹣x））﹣x=﹣lnx﹣x=f（x），故f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数；当x＞0时，f（x）=﹣lnx﹣x为减函数，而ln=﹣ln2﹣2=f（2），故f（）＜ln=f（2），故＞2，故0＜m＜；由f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，﹣＜m＜0；综上所述，m∈（﹣，0）∪（0，），故选C．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6==，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，故选：B．12．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）﹣f（x）=xlnx，f（）=，则f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由xf′（x）﹣f（x）=xlnx，得到=，求出的原函数，得到f（x）=+cx，由f（）=，解出c的值，从而得到f（x）=+x，通过求导判断函数f（x）的单调性，进而判断函数的极值即可．【解答】解：∵xf′（x）﹣f（x）=xlnx，∴=，∴=，而=，∴=+c，∴f（x）=+cx，由f（）=，解得c=，∴f（x）=+x，∴f′（x）=（1+lnx）2≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，故函数f（x）无极值，故选：D．二、填空题13．高为π，体积为π2的圆柱体的侧面展开图的周长为6π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据棱柱的体积计算底面半径，则侧面展开图矩形的边长为圆柱的底面周长和高．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的体积V=πr2•π=π2，∴r=1．∴圆柱的底面周长为2πr=2π．∴侧面展开图的周长为2π×2+π×2=6π．故答案为：6π．14．过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意结合图象可得当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式和直线的垂直关系可得．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°15．在（2+﹣）10的展开式中，x4项的系数为180（结果用数值表示）．【考点】二项式定理的应用．【分析】通过分析只需考虑（2+﹣）10展开式中的第二项，进而只需考查的展开式中通项T k+1=210﹣k•中含x4的项，比较可得k=8，进而计算可得结论．【解答】解：（2+﹣）10==，依题意，只需考虑r=0时，即只需中x4项的系数，∵的展开式中通项T k+1=210﹣k•，令=x4，可得k=8，∴所求系数为210﹣8=180，故答案为：180．16．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥CD，AC=CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为+1．【考点】解三角形的实际应用．【分析】设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值．【解答】解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC2=4﹣2cosα，由正弦定理可得sinβ=，∴BD2=3+4﹣2cosα﹣2×××cos（90°+β）=7﹣2cosα+2sinα=7+2sin（α﹣45°），∴α=135°时，BD取得最大值+1．故答案为： +1．三、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过等差中项的性质可知2a n =S n +1，并与2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2）作差，进而整理可知数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（1）∵a n 是S n 和1的等差中项， ∴2a n =S n +1，2a n ﹣1=S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得：2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，即a n =2a n ﹣1， 又∵2a 1=S 1+1，即a 1=1，∴数列{a n }是首项为1、公比为2的等比数列， ∴a n =2n ﹣1；（2）由（1）可知T n =1•20+2•21+3•22+…+n •2n ﹣1， 2T n =1•21+2•22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ， 两式相减得：﹣T n =1+21+22+…+2n ﹣1﹣n •2n=﹣n •2n=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ， ∴T n =1+（n ﹣1）•2n ．18．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．（1）某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数”概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人． ①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；②记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．【分析】（1）先求出从高一年级男生中抽出人数及x，y，作出2×2列联表，求出K2=1.125＜2.706，从而得到没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为，从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．由此能求出所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生的概率．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），由此能求出X的数学期望．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则，解得m=25．∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2．22∴没有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”．（2）①由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为=，∴从该市高一学生中随机抽取一名学生，该生为“优秀”的概率为．记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）==．②X表示这3个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，由题意，随机变量X～B（3，），∴X的数学期望E（X）=3×=2．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF．设AC=a，计算CE，EF，CF，CD，DF，利用勾股定理的逆定理得出CD⊥DF，由三线合一得CD⊥AB，故而CD⊥平面ABB1A1，从而平面ABB1A1⊥平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF．∵AC=BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB．∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=．∴AE=，EF==，DF==．设AC=a，则CE=，CD=．∵CE⊥EF，∴CF2=CE2+EF2=a2++=a2+．∵CD2+DF2=a2﹣1+=a2+．∴CD2+DF2=CF2，∴CD⊥DF．又AB⊂平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，AB∩DF=D，∴CD⊥平面ABB1A1，又CD⊂ABC，∴平面ABB1A1⊥平面ABC．（II）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵CA⊥CB，AB=2，∴AC=BC=．以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，，2）．∴=（﹣，0，2），=（，0，），=（，，2）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=4，得=（﹣，﹣9，4）．∴=10，||=6，||=．∴cos＜＞==．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．20．过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①，抛物线C的准线方程为，x=﹣1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+与抛物线的方程联立，得y2﹣2mpy﹣p2=0，∴y1•y2=﹣p2=﹣4，解得p=±2，∵p＞0，∴p=2，（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣）由（1）可得y1y2=4，∴P的坐标可化为（﹣1，），∴k AP==，∴直线AP的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=﹣=∴直线AP与x轴交于定点（，0）．21．已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=e m，①由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．对x﹣在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2，当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣，h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c≤+①当x≥x0时，g（x）=，h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，即有2c≤，由y=，可得y′=，可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣．可得2c≤﹣②，由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为圆O的直径，C在圆O上，CF⊥AB于F，点D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于E，∠AEC=30°．（1）求证：AF=FO；（2）若CF=，求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）连接OC，AC，证明△AOC为等边三角形，利用CF⊥AB，得出CF为△AOC 中AO边上的中线，即可证明结论；（2）证明B，E，D，F四点共圆，利用割线定理，求AD•AE的值．【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°．∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形．∵CF⊥AB，∴CF为△AOC中AO边上的中线，即AF=FO．（2）解：连接BE，∵CF=，△AOC为等边三角形，∴AF=1，AB=4．∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFD．∴B，E，D，F四点共圆∴AD•AE=AB•AF=4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，把代入即可得出直角坐标方程．（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C（3，0）到直线l的距离d，即可得出切线长的最小值=．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α是参数），利用cos2α+sin2α=1可得：（x﹣3）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣6x+5=0，∴极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（2）直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1，展开为：（ρsinθ﹣ρcosθ）=1，可得y﹣x=1．圆心C（3，0）到直线l的距离d==2．∴切线长的最小值===2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．2016年8月24日。
2016年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅱ，理1，5分】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 取值范围是（ ） （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， 【答案】A【解析】∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ． （2）【2016年全国Ⅱ，理2，5分】已知集合{}1,23A =,，{}|(1)(2)0B x x x x =+-<∈Z ，，则A B = （ ）（A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123，，， （D ）{}10123-，，，， 【答案】C【解析】()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，，{}0123A B = ，，，，所以选C ．（3）【2016年全国Ⅱ，理3，5分】已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥，则m =（ ）（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关． （4）【2016年全国Ⅱ，理4，5分】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a =（ ）（A ）43- （B ）34- （C （D ）2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d =，解得43a =-，故选A ．（5）【2016年全国Ⅱ，理5，5分】如图，小明从街道的E 处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B【解析】E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法，故选B ． （6）【2016年全国Ⅱ，理6，5分】右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l ==，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7）【2016年全国Ⅱ，理7，5分】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212k x k =-∈Z （D ）()ππ212k x k =+∈Z【答案】B【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．（8）【2016年全国Ⅱ，理8，5分】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ） （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C【解析】第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=，第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．（9）【2016年全国Ⅱ，理9，5分】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ） 15- （D ）725-【答案】D【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）【2016年全国Ⅱ，理10，5分】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m（C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的 阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．（11）【2016年全国Ⅱ，理11，5分】已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）（A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 3sin sin 13F F M e MF MF F F ====---，故选A ． （12）【2016年全国Ⅱ，理12，5分】已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点 '0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2016年全国Ⅱ，理13，5分】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______．【答案】2113【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． （14）【2016年全国Ⅱ，理14，5分】α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【解析】． （15）【2016年全国Ⅱ，理15，5分】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______． 【答案】()1,3【解析】由题意得：丙不拿()2,3，若丙()1,2，则乙()2,3，甲()1,3满足，若丙()1,3，则乙()2,3，甲()1,2不满足，故甲()1,3． （16）【2016年全国Ⅱ，理16，5分】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = _______．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ），()ln 1y x =+的切线为： ()22221ln 111x y x x x x =++-++，∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x = 212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2016年全国Ⅱ，理17，12分】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．（2）记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． ∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）【2016年全国Ⅱ，理18，12分】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保（1（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 解：（1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=． （2）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． （30.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）【2016年全国Ⅱ，理19，12分】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆的位置OD '=（1）证明：DH'⊥平面ABCD ； （2）求二面角B D A C '--的正弦值．解：（1）∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD =，∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． （2）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，， ()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r ，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩， 取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r ，，， ∴1212cos n n n nθ⋅===u r u u r u r u u r sin θ=． （20）【2016年全国Ⅱ，理20，12分】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E的左顶点，斜率为(0)k k > 的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （1）当4t =，AM AN =时，求AMN ∆的面积；（2）当2AM AN =时，求k 的取值范围．解：（1）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-=，解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++，因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k k k =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭，因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =． 所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． （2）直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =x =AM ==所以3AN k k =+，因为2AM AN =，所以23k k=+，整理得， 23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，2k <．（21）【2016年全国Ⅱ，理21，12分】（1）讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a的值域．解：（1）()2e 2x x f x x -=+，()()()22224e e 222x xx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭，∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '>， ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，∴()2e 20x x x -++>． （2）()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x xx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+ ⎪+⎝⎭= [)01a ∈， 由（1）知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1e e 1e 22tt t t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+，记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+， ∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号． （22）【2016年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在正方形ABCD ，E ，G分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． （1）证明：B C G F ，，，四点共圆；（2）若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．解：（1）∵DF CE ⊥，∴Rt Rt DEF CED △∽△，∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠，DF CFDG BC=， ∵DE DG =，CD BC =，∴DF CFDG BC=，∴GDF BCF △∽△，∴CFB DFG ∠=∠， ∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴180GFB GCB ∠+∠=︒． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（2）∵E 为AD 中点，1AB =，∴12DG CG DE ===，∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（23）【2016年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，AB =l 的斜率．解：（1）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．（2）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：22369014k k =+，整理得253k =，则k = （24）【2016年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．解：（1）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（2）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．。
广东省深圳市2016届高三第一次调研考试理科数学试题Word版含答案
2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2016.2.25一．选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．已知集合{})3)(1(|+-==x x y x A ，{}1log |2≤=x x B ，那么=B A （ ）A ．{}13|≤≤-x xB ．{}10|≤<x xC ．{}23|≤≤-x xD ．{}2|≤x x 2．设i 为虚数单位，复数z 知足i i z 43+=⋅，那么z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面向量a 、b 2=a 1=b ，a 与b 的夹角为︒120，且()()b a b a -⊥+2λ，那么实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．34．若y x ,知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+0033022x y x y x ，那么y x z -=的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 5．公差为1的等差数列{}n a 中，631,,a a a 成等比数列，那么{}n a 的前10项和为（ ）A ．65B ．80C ．85D ．1706．假设函数)2)(2sin(2)(πϕϕ<+=x x f 的图像过点)1,6(π，那么该函数图像的一条对称轴方程是（ ）A ．12π=x B ．125π=x C ．6π=x D ．3π=x7．62)1)(2(x x x -+的展开式中常数项为（ ） A ．40- B ．25- C ．25 D ．558．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图， 那么在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A ．24B ．52C ．6D ．34 9．4名同窗参加3项不同的课外活动，假设每名同窗可自由选择参加其中 的一项，那么每项活动至少有一名同窗参加的概率为（ ）A ．94B ．274C ．649D ．64310．点S 、A 、B 、C 在半径为2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为21，3===CA BC AB ，那么点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．2111．过点)2,0(b 的直线l 与双曲线)0,(1:2222>=-b a b y a x C 的一条斜率为正值的渐进线平行，假设双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，那么双曲线C 的离心率为取值范围是（ ）A ．(]2,1B ．()+∞,2C ．()2,1D ．()2,112．函数x ax x x f +-=2ln )(有两个零点，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0 B ．()1,∞- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-21,e e D ．⎪⎭⎫⎝⎛+21,0e e二．填空题：本大题4小题，每题5分，总分值20分13．已知)(x f ，)(x g 别离是概念域为R 的奇函数和偶函数，且xx g x f 3)()(=+，那么)1(f 的值为______14．公元263年左右，我国数学家刘徽发觉当圆内接正多边形的边数无 限增加时，多边形面积可无穷逼近圆的面积，并创建了“割圆术”，利 用“割圆术”刘徽取得了圆周率精准到小数点后两位的近似值14.3，这 确实是闻名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，那么输出的值为_______（参考数据：2588.015sin =︒，1305.05.7sin =︒）15．过抛物线)0(22>=p px y 的核心F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于B A ,两点，假设弦AB 的垂直平分线通过点)2,0(，那么p 等于_______16．数列{}n a 知足)2(,2,211212≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---n n a a n a n a n n n n ，假设{}n a 为等比数列，那么1a 的取值范围是_______三．解答题：本大题共8小题，总分值70分，解答须写出文字说明、证明进程或演算步骤 17．（本小题总分值12分）如图，在ABC ∆中，︒=∠60C ，D 是BC 上一点，31=AB ，20=BD ，21=AD（1）求B ∠cos 的值；（2）求BAC ∠sin 的值和边BC 的长18．（本小题总分值12分）依照某水文观测点的历史统计数据，取得某河流水位X（单位：米）的频率散布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每一年河流水位互不阻碍 （1）求以后三年，最多有1年河流水位)31,27[∈X 的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业阻碍如下：当)27,23[∈X 时，可不能造成阻碍；当)31,27[∈X 时，损失10000元；当)35,31[∈X 时，损失60000元，为减少损失，现有种应付方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取方法；试比较哪一种方案较好，并请说理由19．（本小题总分值12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60ABC ，PB PA ⊥，2=PC（1）求证：平面⊥PAB 平面ABCD ；（2）假设PB PA =，求二面角D PC A --的余弦值20．（本小题总分值12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，直线03=++y x 与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆3:22=+y x O 截得的弦长为3，且与椭圆E 交于B A ,两点，求ABO ∆面积的最大值21．（本小题总分值12分）已知函数xexxf)1()(+=和函数2)1)(()(--=xaexg x（e为自然对数的底数）（1）求函数)(xf的单调区间；（2）判定函数)(xg的极值点的个数，并说明理由；（3）假设函数)(xg存在极值为22a，求a的值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题总分值10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，BC AB ⊥，D 为BC 边上异于C B ,的一点，以AB 为直径作圆O ，并别离交AD AC ,于点F E ,（1）证明：D F E C ,,,四点共圆；（2）假设D 为BC 的中点，且3=AF ，1=FD ，求AE 的长23．（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数，πα<<0），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 1-=p（0>p ）（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）假设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求OBOA 11+的值24．（本小题总分值10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数3)(-++=x a x x f （R a ∈）（1）当1=a 时，求不等式8)(+≥x x f 的解集； （2）假设函数)(x f 的最小值为5，求a 的值。
深圳市2016届高三下学期第一次调研考试数学(理)试题 含解析
2016年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则AB =（ ）A ．{31}x x -≤≤B ．{01}x x <≤C ．{32}x x -≤≤D ．{2}x x ≤ 【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤,∴{02}B x x =<≤，AB ={01}x x <≤．2．设i 为虚数单位,复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】34i43i iz +==-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ,a 与b 的夹角为120,且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，∴22()(2)2(21)λλλ+⋅-=-+-⋅a b a b a b a b ，8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为( ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a d a a d +=⋅+， ∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．∴101094101852S ⨯=⨯+⨯=． 6．若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像过点(,1)6π,则该函数图像的一条对称轴方程是( ）A ．12x π= B ．512x π=C ．6x π=D ．3x π= 【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴1sin()32πϕ+=．∵2πϕ<，5636πππϕ-<+<，∴36ππϕ+=，∴6πϕ=-，()2sin(2)6f x x π=-∵()23f π=，故选D ．7．261(2)()x x x+-的展开式中常数项为（ )A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B【解析】61()x x-的通项662166(1)(1)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=,得3r =． 443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．∴常数项为8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ）A ．42B ．25C ．6D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分,CD A BP如图，最长的边为PC=9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项,则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．49B．427C．964D．364【答案】A【解析】∵23434439C AP==．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为12，AB BC CA==则点S与ABC∆中心的距离为( )ABC．1D．12【答案】B【解析】设球心为O,ABC∆中心为1O，ABC∆外接圆半径1r==,依题意，1OO⊥平面ABC，∴11OO==．作21SO OO⊥，垂足为2O，则1212O O=，∴2O为1OO的中点，∴1SO SO R===11．过点(0,2)b的直线l与双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行,若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率为取值范围是（）A．(1,2]B．(2,)+∞C．(1,2)D．【答案】A【解析】直线l的方程为2by x ba=+，∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l和直线by xa=b≥，∴2()14ba+≤，∴2223c aa-≤，∴12e<≤．O2ACBSOO112．函数2()ln f x x ax x =-+有两个零点,则实数a 的取值范围是( ） A ． (0,1) B ．(,1)-∞ C ．21(,)e e +-∞ D ．21(0,)ee+ 【答案】A【解析】2()ln 0f x x ax x =-+=，得2ln 1x a x x =+, 令2ln 1()x g x x x =+，则 24212ln 1()x x xx g x x x⋅-'=-312ln x x x --=, 令()12ln h x x x =--，则2()10h x x'=--<，∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时,()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <．∵1x e=时，2()0g x e e =-+<，x →+∞时，()0g x >，∴0a >， 综上,(0,1)a ∈．二、填空题:本大题4小题，每小题5分,满分20分13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数,且()()3xf xg x +=，则(1)f 的值为______．【答案】43【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，∵()()3xf xg x +=,∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩,∴1343(1)23f -==． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术"思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______． （参考数据:sin150.2588=，sin 7.50.1305=）【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______． 【答案】45【解析】直线AB 的方程为2p y x =-， 由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩,得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ， 则1202y y y p +==，00322p x y p =+=， ∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--， ∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)， ∴322p p -=,∴45p =． 16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是______． 【答案】9[,)2+∞【解析】当212a <时，2224a ==，∵2243a =<，∴2339a ==． ∵2394a =<，∴24416a ==．若{}n a 为等比数列，则2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立,∴14a ≥．当212a =时,2128a a ==, ∵2283a =<，∴2339a ==．若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2849=⨯,显然不成立，∴14a ≠． 当212a >时,212a a =． ①当2123a <时,2339a ==,若{}n a 为等比数列，则2213a a a =,即211(2)9a a =,194a =与14a >矛盾，故192a ≥． ②当2123a ≥时,312a a =，满足2213a a a =．∴1a 的取值范围是9[,)2+∞．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分) 如图，在ABC ∆中，60C =,D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===． (1）求cos B 的值；（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．【解析】（1）在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅222312021232312031+-==⨯⨯．222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅（2)∵0B π<<，∴sin 31B ==． ∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+sin 60cos cos60sin B B =+DBCA323112335323123162=⨯+⨯=． 在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin BC ABBAC C=∠∠,∴35331sin 6235sin 32AB BACBC C⨯∠===∠． 18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X (单位:米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 （1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示);（2）该河流对沿河A 企业影响如下:当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位,需要工程费用3800元； 方案二:防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三:不采取措施;试比较哪种方案较好，并请说理由．【解析】(1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为：31213333127()()()44432P C C =+=． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为2732． （2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1，2,3的损失，由题意知13800X =，2X 的分布列如下：∴2()20000.99620000.012600E X =⨯+⨯=．3X 的分布列如下：∴3()00.74100000.25600000.013100E X =⨯+⨯+⨯=． 因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好． 19．（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=，PA PB ⊥，2PC =．（1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2)若PA PB =,求二面角A PC D --的余弦值.【解析】（1）取AB 中点O ,连接AC 、CO 、PO ,∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=,∴ABC ∆是等边三角形．∴CO AB ⊥，OC =． ∵PA PB ⊥,∴112PO AB ==． ∵2PC =，∴222OP OC PC +=．∴CO PO ⊥．∵ABPO O =，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．PADCBD（2）∵22222211OP OA PA +=+==,∴PO AO ⊥．由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --． ∴(0,1,1),(3,0,1),(0,2,0)AP PC DC ==-=． 设平面APC 的法向量为(,,)x y z =m ，由00AP PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =，得(1,=m ,设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由0PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得020z y -==⎪⎩，取1x =，得=n ，∴cos ,7⋅<>==⋅m n m n m n 由图可知二面角A PC D --为锐二面角, ∴二面角A PCD --的的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a ba b +=>>的离心率为2,直线0x y +=与椭圆E 仅有一个公共点(1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3,且与椭圆E 交于,A B 两点,求ABO ∆面积的最大值．【解析】（1）∵c e a ===∴222a b =．∴故E 方程可化为222212xy b b +=， 由2222012x y x ybb ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩,得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =．∴椭圆E 的方程为2212x y +=．（2)记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得223()32d +=，解得d =． 当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l的方程为x =．由2212x x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得y =，∴AB =．∴12ABO S AB d ∆=⋅= 当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，∴d ==223(1)4m k =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得2221()2102k x kmx m +++-=．∴222222151(2)4()(1)4220222k km k m k m ∆=-+-=-+=+>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．∴AB ====令2122t k =-,则12t ≥-．3AB ==≤=， 当且仅当32t =时，等号成立，∵3>，∴当32t =时，即1k =±时,max 1()232ABO S h ∆=⨯=．2<，∴1k =±时，max ()2ABO S ∆=．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e =+和函数2()()(1)xg x e a x =--（e 为自然对数的底数）． （1)求函数()f x 的单调区间;（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由; （3）若函数()g x 存在极值为22a ,求a 的值.【解析】（1）()(2)x f x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-． ∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-． （2）()(1)[(1)2)(1)[()2)x g x x x e a x f x a '=-+-=--,当(,1)x ∈-∞-，()(1)0x f x x e =+≤．①当0a e <<时，由（1）知,()f x 在(1,)-+∞单调增,且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->，∴∃唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时,()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．(本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点,以AB 为直径作圆O ,并分别交,AC AD 于点,E F ． (1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2)若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠，∴AFE C ∠=∠,即180EFD C ∠+∠=， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线,24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==．∵D 为BC 的中点,∴4BC =,AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC AF AD ⋅=⋅．∴12=,即7AE =23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数,0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-．（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求11OA OB+的值． 【解析】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，得当2πα=时，直线为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=； 当2πα≠时,消去参数t 得tan y x α=⋅，又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+综上所述,直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<． 由1cos pρθ=-，得cos p ρρθ-=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+,整理得22()2p y p x =+． （2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，11cos p ρθ=-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，21cos p ρθ=+,即1cos p OB θ=+， ∴111cos 1cos 2OA OB p p pθθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()3()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时,求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值． 【解析】（1）当1a =时,不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。
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2016年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）1．复数z 满足(1i)1i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） AB．2C ．2D ．1 【答案】D 【解析】1i1i 11i 1iz --===++． 2．设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“x A B ∈ ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 3．若1cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ） A． BC ． 79-D ．79【答案】C 【解析】∵1cos()23πα-=，∴1sin 3α=． ∴27cos(2)cos 22sin 19πααα-=-=-=-． 4．若,x y 满足约束条件10,10,410.x y x x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数13y z x +=+的最大值为（ ）A ．14 B ．23 C ．32D ．2 【答案】C 【解析】目标函数13y x ++点(,)x y 和点(3,1)--由图可知：当其经过点(1,5)A 即max 15133132y z x ++===++ ．5．如图所示的流程图中,若输入,,a b c 的值分别是2,4,5，则输出的x =（ ）A ．1B ．2C ．lg 2D ．10 【答案】A【解析】由题意可知a b c <<，∴lg 2lg51x =+=．6．已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经过如下变换得到：先将()g x 的图象向右平移3π个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．则函数()f x 的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 【答案】D【解析】cos y x =3π向右个单位所有点的纵坐标不变cos()3y x π=-−−−−−−−→横坐标变为原来的一半纵坐标不变cos(2)3y x π=-．∴()cos(2)3f x x π=-．对称轴方程为2,3x k k Z ππ-=∈，即1,26x k k Z ππ=+∈，故选A ． 7．以直线 y =为渐近线的双曲线的离心率为为（ ） A ．2 B C ．2 D【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为y =，∴b a =a b =224c a =，或2243c a =． ∴2e =，或e = 8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（ ）A ．310B ．35C ．25D ．15【答案】B【解析】2222322355()35C A A A P A ⋅⋅==． 9．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（ ）A ．2B ．83C ．65D ．85【答案】D【解析】∵AC AM BN λμ=+()()AB BM BC CN λμ=+++11()()22AB AD AD AB λμ=++-11()()22AB AD λμλμ=-++,∴112112λμλμ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 解得6525λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，85λμ+=． 10．已知函数ln ,0,()ln(),0.x x x f x x x x -- >⎧=⎨--+<⎩ 则关于m 的不等式11()ln 22f m <-的解集为（ ）A. 1(0,)2 B ．(0,2) C ．11(,0)(0,)22- D ．(2,0)(0,2)-【答案】C【解析】函数()f x 的定义域(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称， ∵0x >时，0x -<，()ln ()f x x x f x -=-+=， 同理：()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数． ∵()f x 在(0,)+∞上为减函数，且1(2)ln 22ln22f =--=-， ∴当0m >时，由11()ln 22f m <-，得1()(2)f f m<，∴12m>，解得102m <<．1NA DC MB11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（ ） A ．48 B ．16 C ．32 D．【答案】D【解析】该几何体的直观图，如图：4S =⨯=h =∴111633V Sh ==⨯=．12．设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()ln xf x f x x x '-=，11()f e e=，则()f x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，也无极小值 【答案】D【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()()ln xf x f x x x '-=，∴2()()ln xf x f x xx x '-=，∴()ln ()f x x x x '=，∴2()1ln 2f x x c x =+， ∴21()ln 2f x x x cx =+．∵211111()ln 2f c e e e e e =+⨯=，∴12c =． ∴22111()ln ln (ln 1)0222f x x x x '=++=+≥，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()f x 在(0,)+∞上既无极大值也无极小值． 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为 ． 【答案】6π【解析】∵2222V r h r πππ===，∴1r =，∴侧面展开图的周长为2(2)6r πππ+=．14．过点(3,1)P 的直线l 与圆22:(2)(2)4C x y -+-=相交于,A B 两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾斜角等于 ． 【答案】4π 【解析】∵AB 的长取最小值时，AB 垂直于PC ，∴1AB PC k k ⋅=-，即(1)1AB k ⋅-=-，1k =l πADC BP15．在1020161(2)x+展开式中，4x 项的系数为____________．(结果用数值表示)【答案】180【解析】含有4x项为228048201612()180C x x⋅⋅-=．另解：10102016201611(2)[2]xx=+，∴通项10110201612)rrrr T C x-+=，20161)rx的通项11()(4033)2016221(1)(1)r k r k k k k k k k r r T C xx C x---+=-=-∴1(4033)42010r k r ⎧-=⎪⎨⎪≤≤⎩，∴8r =． ∴4x 项的系数为82102180C =．16．如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =．当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为_________．【答案】D【解析】设AC CD x ==，在ABC ∆中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，∴213x ABC =+-∠，∵sin sin AC AB ABC ACB =∠∠,∴sin sin ABCACB x ∠∠=．在BCD ∆中，BD ====∵(0,)ABC π∠∈，∴sin()4ABC π∠-可以取到最大值1，∴max 1BD ==．ABCD三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ． 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 【解析】（1）由题意得：12n n S a +=， ① 当2n ≥时，112(1)n n S a --=-，② ①-②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，∴12nn a a -=． 由①式中令1n =，可得11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=． （2）由12n n n a b n -=⋅得112233n n n T a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅++⋅ 01211222322n n -=⋅+⋅+⋅++⋅12312122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅01211222222221212nn nn n n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=--⋅-∴(1)21n n T n =-⋅+．某市在以对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．(1)某校高一年级有男生500人，女生4000人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层“综合素质评介测评结果（2每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．（i ）求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；（ii ）记X 表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求X 的数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）设从高一年级男生中抽出m 人，则,25500500400m ==+． ∴而45(1551015)91.1252.706301525208k ⨯⨯-⨯===<⨯⨯⨯ ∴没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．（2）（i ）由（1）知等级为“优秀”的学生的频率为15152453+=，∴从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为23．记“所选3名学和g 中恰有2人综合素质评价‘优秀’学生”为事件A ，则事件A 发生的概率为：223224()()(1)339P A C =⨯⨯-=；（ii ）由题意知，随机变量2~(3,)3X B ，X 2()32E X =⨯=在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方体．点,E F 分别在线段111,AA A B 上，且113,,24AE A F CE EF ==⊥．（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CA CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值．【解析】（1）取线段AB 中点M ，连接EM ，在正方体11ABB A 中，131,2AM A E ==， 在Rt EAM ∆和1Rt FA E ∆中，1123AE AM A F A E ==， 又12EAM FA E π∠=∠=，∴1Rt EAM Rt FA E ∆∆∼，∴1AEM A FE ∠=∠，从而1112AEM A EF A FE A EF π∠+∠=∠+∠=，∴2FEM π∠=，即EF EM ⊥．又,EF CE ME CE E ⊥= ， ∴EF ⊥平面CEM ，∵CM ⊂平面CEM ， ∴ CM EF ⊥， 在等腰三角形CAB ∆中，CM AB ⊥，又AB 与EF 相交，知CM ⊥平面1AB ，∵CM ⊂平面ABC ，∴平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）在等腰三角形CAB ∆中，由,2CA CB AB ⊥=知CA CB ==，且1CM =，记线段11A B 中点为N ，连接MN ，由（1）知，,,MC MA MN 两两互相垂直，以M 为坐标原点，分别以,,MC MA MN为正交基底建立如图所示空间直角坐标系Oxyz ，则111(1,0,0),(0,1,),(0,,2),(0,1,0),(1,0,2)24C E F A C ，设平面CEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则,CE EF ⊥⊥n n ，即102202332042x y z x y z y z y z ⎧-++=⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-+=⎪⎩，取2z =，则4,5y x ==，从而得到平面CEF 的一个法向量(5,4,2)=n ． 1(1,1,2)AC =-，记直线1AC 与平面CEF 所成角为θ，则111||sin |cos ,|18||||AC AC AC θ⋅=<>===⋅n n n ． 故直线1AC 与平面CEFACBA 1B 1C 1FE20．（本小题满分12分）过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且,A B 两点的纵坐标之积为4-． （1）求抛物线C 的方程；（2）已知点D 的坐标为(4,0)，若过D 和B 两点的直线交抛物线C 的准线于P 点，求证：直线AP 与x 轴交于一定点．【解析】（1）抛物线的焦点为(,0)2pF ， 故可设直线AB 的方程为2px my =+，由222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y pmx p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-， ∴24p -=-，由0p >，可得2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）【方法1】依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-， ∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴1121121151411APy y y y k x y --==---，∴直线AP 的方程为111214()1y y y x x y -=--， 令0y =，可得222111111114444y y x x y --=-=-=， ∴直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．【方法2】直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4M ． 证明如下：依题意，直线BD 与x 轴不垂直，∴24x ≠． ∴直线BD 的方程可表示为22(4)4y y x x =--，① ∵抛物线C 的准线方程为1x =-，② 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由①，②联立方程组可求得P 的坐标为225(1,)4y x ---， 由（1）可得124y y =-，∴214y y =-． ∴P 的坐标可化为1215(1,)1y y --， ∴,P M 两点连线的斜率为12112150141114PMy y y k y --==---,∴,A M 两点连线的斜率为1121104114AM y yk y x -==--, ∴PM AM k k =，∴P 、A 、M 三点共线， 即直线AP 与x 轴交于定点1(,0)4．21．（本小题满分12分） 已知函数2()x ax f x e=，直线1y x e =为曲线()y f x =的切线． （1）求实数a 的值；（2）用m i n {,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数1()min{(),}(0)g x f x x x x=->，若函数2()()h x g x c x =-为增函数，求实数c 的取值范围． 【解析】（1）对()f x 求导得222(2)()()x x x x x e x e x x f x a a e e⋅-⋅-'=⋅=⋅， 设直线1y x e=与曲线()y f x =切于点00(,)P x y ，则 00200001(2x )1x x ax x e e x a ee ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，解得01a x ==．所以a 的值为1．（2）记函数211()()(),0x x F x f x x x x x e x=--=-+>，下面考察函数()y F x =的符号． 对函数()y F x =求导得2(2)1()1,0x x x F x x e x-'=-->． 当2x ≥时()0F x '<恒成立． 当02x <<时，2(2)(2)[]12x x x x +--≤=， 从而2222(2x)11111(x)11110x x x F e x e x x x -'=--≤--<--=-<． ∴()0F x '<在(0,)+∞上恒成立，故()y F x =在(0,)+∞上单调递减． ∵2143(1)0,(2)02F F e e =>=-<，∴(1)(2)0F F ⋅<． 又曲线()y F x =在[1,2]上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知∃惟一的0(1,2)x ∈，使0()0F x =∴00(0,),()0;(,),()0x x F x x x F x ∈>∈+∞<．∴020101()min{(),},x x x x x g x f x x x x x x e⎧-<≤⎪⎪=-=⎨⎪>⎪⎩，， 从而2022201-0()(),x x cx x x x h x g x cx x cx x x e⎧-<≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩， ∴0201120()(2)2,x cx x x x h x x x cx x x e⎧+-<≤⎪⎪'=⎨-⎪->⎪⎩， 由函数2()()h x g x cx =-为增函数，且曲线()y h x =在(0,)+∞上连续不断知()0h x '≥在0(0,)x ，0(,)x +∞上恒成立．①当0x x >时，(2)20x x x cx e --≥在0(,)x +∞上恒成立，即22xx c e -≤在0(,)x +∞上恒成立． 记02(),x x u x x x e -=>，则03(),x x u x x x e -'=>， 当x 变化时，()u x '，()u x 变化情况如下表：∴min 3()()(3)u x u x u e ===-极小． 故“22x x c e -≤在0(,)x +∞上恒成立”只需min 312()c u x e ≤=-，即312c e ≤-． ②当00x x <<时，21()12h x cx x'=+-，当0c ≤时，()0h x '>在0(0,)x 上恒成立． 综合（1）（2）知，当312c e≤-时，函数2()()h x g x cx =-为增函数． 故实数c 的取值范围是31(,]2e-∞-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 直径，C 在O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交O 于E ，30AEC ∠= ．证明:（1）AF FO =；（2）若CF =AD AE ⋅的值．【解析】（1）证明：连接,OC AC ，∵30AEC ∠= ，∴60AOC ∠= ．∵OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形．∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线，即AF FO =．（2）连接BE ，∵CF =AOC ∆为等边三角形,∴1AF =，4AB =．∵AB 是O 直径，∴90AEB ∠= ，∴AEB AFD ∠=∠．∵BAE DAF ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆， ∴ADAFAB AE =，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．A F EBC AD O23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），直线l sin()14πθ-=． (1)将曲线C 的参数方程化为极坐标方程；(2)由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值．【解析】（1）圆C 的直角坐标方程为22(3)4x y -+=．∵222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，∴圆C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．(2) ∵直线l sin()14πθ-=，∴sin cos 1ρθρθ-=，∴直线l 的直角坐标方程为10x y -+=．设直线l 上点P ，切点为A ，圆心(3,0)C ，则有22224PA PC AC PC =-=-，当PC 最小时，有PA 最小．∵PC ≥=，∴2PA =， ∴切线长的最小值为2．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M .（1）求M 的值；（2）正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求111a b b c+≥++. 【解析】23(2)(3)5x x x x --+≤--+=，若不等式231x x m --+≥+有解， 则满足15m +≤，解得64m -≤≤.∴4M =.（2）由（1）知正数,,a b c 满足24a b c ++=， ∴11111[())]()4a b b c a b b c a b b c+=++++++++11(1)(1144b c a b a b b c ++=++≥+=++， 当且仅当,2a c a b =+=时，取等号.。