北师大版九年级数学下册习题课件：2.1 二次函数 (共20张PPT)
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2-1 二次函数(课件)九年级数学下册(北师大版)
(4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)； 解：二次函数有：(2)(5)
(6)y＝x2＋ 1 .
x2
y＝－5x2的二次项系数为5，一次项系数和常数项为0；
y＝3(x－2)(x－5)＝3x2－21x＋30
二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.
例题欣赏 ☞
例2. y m 3 xm27.
想一想
探索&交流
问题2：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面 积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方体表面积y与正方 体棱长x之间的关系，对于x的每一 个值，y都有唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
探索&交流
问题3：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面， 投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式 吗？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应 为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
增种的棵树和平均每棵树结的橙子个数是变量.
增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
探索&交流
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100＋x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子.
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
详解 二次函数的特殊形式： 1.只含二次项，即y=ax2(b=0，c=0)； 2.不含一次项，即y=ax2+c(b=0，c≠0)； 3.不含常数项，即y=ax2+bx(b≠0，c=0).
北师大版九年级数学下册2.1《二次函数所描述的关系》优质课件 (共16张PPT)
10．课本P30 想一想（只要求列出函数关系式） （1）已知矩形周长为40cm，设矩形的长为xcm，面积为 2 2 y x 20 x ： y cm ，则y 与x 之间的关系表达式为_____________
（2）两数之和为20，设其中一个数是x ，这两数之积为 2 y x 20 x y ，则 y 与 x之间的关系表达式为____________________
正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数
k y ( k 0) x
二次函数?
【导学一】 理解二次函数的定义：课本P30
一般地，若两个变量 x , y 之间的对应关系可以 2 表示成 y ax bx c ( a , b, c 是常数， a 0 )的形式，则 称 y 是 x 的二次函数. 其中 x 是自变量，y 是因变量.
【课后作业】
4．某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进 价为 20 元/件． 为了调查这种新产品的销路，该 超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量 t（件）与每件的销售价 x（元/件） 之间有如下 关系： t = -3 x + 70． 请写出该超市销售这种产品 每天的销售利润 y（ 元）与 x 之间的函数关系式．
y=100+100x+(100+100x)x=100x² +200x+100
或y=100(1+x)² =100x² +200x+100
【自主提升】 课本P29 引例（做在课本上）
8．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 关键词句 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5 个橙子.（且增加的橙子树最多不得超过20棵。）
（2）两数之和为20，设其中一个数是x ，这两数之积为 2 y x 20 x y ，则 y 与 x之间的关系表达式为____________________
正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数
k y ( k 0) x
二次函数?
【导学一】 理解二次函数的定义：课本P30
一般地，若两个变量 x , y 之间的对应关系可以 2 表示成 y ax bx c ( a , b, c 是常数， a 0 )的形式，则 称 y 是 x 的二次函数. 其中 x 是自变量，y 是因变量.
【课后作业】
4．某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进 价为 20 元/件． 为了调查这种新产品的销路，该 超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量 t（件）与每件的销售价 x（元/件） 之间有如下 关系： t = -3 x + 70． 请写出该超市销售这种产品 每天的销售利润 y（ 元）与 x 之间的函数关系式．
y=100+100x+(100+100x)x=100x² +200x+100
或y=100(1+x)² =100x² +200x+100
【自主提升】 课本P29 引例（做在课本上）
8．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 关键词句 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5 个橙子.（且增加的橙子树最多不得超过20棵。）
2020年北师大版九年级数学下册课件：2.1 二次函数 (共20张PPT)
－x2)[a(x1＋x2－2)＋b]＝0.∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴a(x1＋x2－2)＋b＝0，∴x1＋x2
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.
北师大版 九年级 数学下册 2.1二次函数概念 课件(共20张PPT)
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
九年级数学北师大版下册课件：第二章 2.1 二次函数(共24张PPT)
第二章 二次函数 2．1 二次函数
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
北师大版初3数学9年级下册 第2章(二次函数)抛物线的实际问题 课件(共24张PPT)
t 01 2 3 4 5 6 7… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
拓展与延伸
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球
飞行路线的对称轴是直线t＝ 9 ；③足球被踢出9 s时落
2
地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其
中正确结论的个数是( B )
A．1
当堂小练
2.向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的
关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下
列哪一个时间的高度是最高的( C )
A．第9.5 s
B．第10 s
C．第10.5 s
D．第11 s
拓展与延伸
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞 行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的 高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的 关系如下表：
新课讲解
知识点1 实际中二次函数模型的建立
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
新课讲解
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
GF EF
3.75 10
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
新课讲解
知识点2 求实际中“抛物线”型的最值问题
拓展与延伸
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球
飞行路线的对称轴是直线t＝ 9 ；③足球被踢出9 s时落
2
地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其
中正确结论的个数是( B )
A．1
当堂小练
2.向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的
关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下
列哪一个时间的高度是最高的( C )
A．第9.5 s
B．第10 s
C．第10.5 s
D．第11 s
拓展与延伸
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞 行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的 高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的 关系如下表：
新课讲解
知识点1 实际中二次函数模型的建立
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
新课讲解
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
GF EF
3.75 10
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
新课讲解
知识点2 求实际中“抛物线”型的最值问题
北师大版九年级数学下册确定二次函数的表达式课件(第1、2课时20张)
+
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
北师大版九年级数学下册：2.1 二次函数 课件(共16张PPT)
笛卡尔是伟大数学家。据 说，某一天笛卡尔躺在床上休 息时，看到了天花板上趴着的 苍蝇，他为了用简易的方法表 示出苍蝇的位置而苦苦思索。 那时他产生了用形如围棋盘模
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.1《二次函数》课件
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说 ，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银 行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后, 银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存 款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表 达式(不考虑利息税).
思索归纳 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提问:
1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2．二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0
或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是 不是二次函数？ 3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键 看什么？
北师大版初中数学九年级下册
第二章
第1课
温故知新
复习： 1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每 一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的 函数。
2、什么叫做一次函数？ 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0) 3、什么叫做反比例函数？ 形如y= k (k为常数，k≠0)
导入新课
某果园有100棵橙子树，每一棵 树平均结600个橙子。现准备多种 一些橙子树以提高产量，但是如 果多种树，那么树之间的距离和 每一棵树所接受的阳光就会减少 ．根据经验估计，每多种一棵树 ，平均每棵树就会少结5个橙子。
(2)假设果园增种x棵橙子树， 那么果园共有多少棵橙子树?这 时平均每棵树结多少个橙子?
(2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后, 银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存 款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表 达式(不考虑利息税).
思索归纳 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提问:
1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2．二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0
或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是 不是二次函数？ 3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键 看什么？
北师大版初中数学九年级下册
第二章
第1课
温故知新
复习： 1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每 一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的 函数。
2、什么叫做一次函数？ 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0) 3、什么叫做反比例函数？ 形如y= k (k为常数，k≠0)
导入新课
某果园有100棵橙子树，每一棵 树平均结600个橙子。现准备多种 一些橙子树以提高产量，但是如 果多种树，那么树之间的距离和 每一棵树所接受的阳光就会减少 ．根据经验估计，每多种一棵树 ，平均每棵树就会少结5个橙子。
(2)假设果园增种x棵橙子树， 那么果园共有多少棵橙子树?这 时平均每棵树结多少个橙子?
(2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
北师大版九年级数学下册第二章2.1二次函数的图象与性质3(共24张PPT)
对称轴 y轴 y轴
（0,0）
（0,c）
a>0 时 , 向上 y=ax2+c a<0时,向下
探究一
在同一坐标系中画出下列函数 的图象：
y
y 3x 2 ;
y 3x 2 2 ;
y 3( x 1) 2 .
思考：它们的图象之间有 o
什么关系？
x
函数y=3(x-1)²的图像是什么? 它与y=3x²的图像有什么关系？ 1、完成下表
）
B. y ( x 1) 3
2 2 y ( x 1) 3 D.
C. y ( x 1) 3
2
【答案】选B.
5．
若把函数y=x的图象用E（x，x）
记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…,则 E（x，x 2
2x
x ）怎样平移得到？ 1）可以由E（x，
（ ）
B.向下平移１个单位 D.向右平移１个单位
2
A.向上平移１个单位 C.向左平移１个单位 【答案】选D.
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征. y=a(x-h)2+k a＞0 开口方向 向上 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,k) (h,k)
a＜0
向下
直线x=h
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
y
探究二
画出二次函数y=3（x-1）2+2的图
象，并与二次函数y=3x2的图象进 行比较，说明它们之间的关系. o x
函数y
3 x 的图象
2
向上平移 2 函数 y 3( x 1) 的图象 2个单位 函数 y 3( x 1) 2 的图象
二次函数ppt课件
y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =
+
2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =
+
2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
北师大版九年级下册数学课件2.1二次函数(共22张PPT)
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变 量? 哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共 有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个
橙子? (100+x)棵 (600-5x)个
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你 写出y与x之间的关系式．
y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000
（是）
(4)y 1 x2 x
（不是） （不是）
(5)y=(x+3)²-x²
（不是）
(6) v=10πr²
（是）
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a( 60- a)=a(30-a)
2
=30a-a²
= -a²+30a .
(1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
注意:二次函数的二次项系数不能为零 解（1）根据题意得 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,
(2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). 在以往所学函数的基础上，本节课我们学习一种新的函数形式——二次函数，二次函数的在日常生活中很常见，我们一定要学好它！
是 不是二次函数？ (1) k为何值时，y是x的一次函数？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． 3、拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
北师大版九年级下册第二章二次函数2.1二次函数概念(共16张PPT)
二次函数的概念
探索 问题1：要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙〔墙足够 长〕 ，围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边AB 的 长为xm，矩形的面积为y m2 ，你能写出y与x的函数关 系式吗？
A
D
解：y = x (20-2x)
=-2x2+20x
B
C
问题2： 矩形的长为4厘米， 宽为3厘米，如果将长与宽都 增加x厘米，那么现在的面积 为y平方厘米，试写出y与x的 关系式？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
返回
欢送指导！
次函数？
2: m取何值时，函数y=(m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？
例题2 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各 剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的局 部做一个无盖的盒子
〔1〕求盒子的外表积S与小正方形边长x之间的 函数关系式；并直接写出x的取值范围。
〔2〕当小正方形边长为3cm时，
2 当k为何值时，函数y=(k-1) xk2 1 +3为
二次函数
3 写出以下各函数关系式，并说出是什么函数
〔１〕写出正方体的外表积Ｓ与正方体棱长a 之间的函数关系？
解：S=6a2 它是一个关于a的二次函数
〔2〕菱形的两条对角线的和为２６cm，求菱形 的面积Ｓ与一对角线x之间的函数的关系？
解：S=
1
求盒子的外表积。
〔3〕当外表积为125cm2时，求小正方形的边长.
x
x
15
探索 问题1：要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙〔墙足够 长〕 ，围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边AB 的 长为xm，矩形的面积为y m2 ，你能写出y与x的函数关 系式吗？
A
D
解：y = x (20-2x)
=-2x2+20x
B
C
问题2： 矩形的长为4厘米， 宽为3厘米，如果将长与宽都 增加x厘米，那么现在的面积 为y平方厘米，试写出y与x的 关系式？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
返回
欢送指导！
次函数？
2: m取何值时，函数y=(m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？
例题2 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各 剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的局 部做一个无盖的盒子
〔1〕求盒子的外表积S与小正方形边长x之间的 函数关系式；并直接写出x的取值范围。
〔2〕当小正方形边长为3cm时，
2 当k为何值时，函数y=(k-1) xk2 1 +3为
二次函数
3 写出以下各函数关系式，并说出是什么函数
〔１〕写出正方体的外表积Ｓ与正方体棱长a 之间的函数关系？
解：S=6a2 它是一个关于a的二次函数
〔2〕菱形的两条对角线的和为２６cm，求菱形 的面积Ｓ与一对角线x之间的函数的关系？
解：S=
1
求盒子的外表积。
〔3〕当外表积为125cm2时，求小正方形的边长.
x
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