材料力学 二三章 剪切与扭转
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材料力学1拉伸压缩2剪切3扭转名称公式判别及汇总
一、拉（压）杆强度条件：--------（1）σmax =F NA≤[σ]二、（剪切）切应力条件和挤压强度条件1.切应力强度条件：τ--------（2）=F S A≤[τ]2.挤压强度条件：--------（3）σbs =F bsA bs ≤[σbs ]三、圆轴扭转时的强度和刚度条件1.扭转强度条件：-----------（4）τmax =TR I P=TW t≤[τ]----------------（5）W t =116πD³2.扭转刚度条件： -----------（6）ψmax =TGI p≤[ψ]----------------（7）I p =132πD 4四：弯曲正应力强度条件：------(8)σmax =M max ×y maxI Z=M max W Z≤[σ]符号释义：1. ：正应力 σ2. τ：切应力3.T ：扭矩4.：轴力 F N 5.：剪切力 F S 6. F bs ：挤压力7.A ：剪切截面面积8. ：抗扭截面系数W t 9. ：横截面对圆心的极惯性矩 I p 10.y: 正应力到中性轴的距离11.ε：正应变(线应变)三个弹性材料的关系：1.E ：弹性模量（GN/m²）E =σε=tanα2. μ：为泊松比（钢材的μ为0.25-0.33）3.G ：剪切弹性模量（GN/m²）G =γτG =E2（1+μ）剪切胡可定律：τ=Gγ16.E ：抗拉刚度I p 17.胡可定律：σ=Eεσ=E y ρ18.ρ：曲率半径19. ：梁弯曲变形后的曲率 1ρ1ρ=MEI Z20.M ：弯矩21. ：外力偶矩M e12.γ：切应变(角应变)13.EA：抗拉强度(钢材的EA约为200GPa)14.δ：断后伸长率15.ψ：断面收缩率/相对扭转角F N F S梁受力有：轴力、剪切力和弯矩M。
一、材料力学的几个基本感念1.构件：工程结构或机械的每一组成部分。
《剪切与扭转》课件
扭转
物体受到大小相等、方向相反、 作用线平行且与轴线垂直的力偶 作用，使物体产生扭转变形。
剪切与扭转的物理意义
剪切
剪切是物体在平面内受到的力，使物 体产生剪切变形，导致物体内部产生 剪切应力。剪切应力的大小与剪切力 的大小和物体的横截面积有关。
扭转
扭转是物体受到的力偶作用，使物体 产生扭转变形，导致物体内部产生扭 转应力。扭转应力的大小与扭矩的大 小和物体的极惯性矩有关。
组合受力分析方法
采用力的独立作用原理，分别对剪切 力和扭转力进行分析，再根据力的合 成原理得到组合受力下的变形情况。
03
剪切与扭转的实验研究
实验目的与实验原理
实验目的
通过实验研究剪切与扭转现象，深入理解其物理原理，为实际工程应用提供理 论支持。
实验原理
剪切与扭转是物质在受到外力作用时发生的两种基本变形方式。剪切变形主要 表现为物质在垂直于作用力方向上的相对位移，而扭转变形则表现为物质绕垂 直于作用力方向的轴线旋转。
02
剪切与扭转的力学分析
剪切力分析
01
02
03
剪切力定义
剪切力是指作用在物体上 的力系，使物体在垂直于 作用面方向上产生相对滑 动的趋势。
剪切力计算公式
剪切力的大小等于作用在 物体上的力系在垂直于作 用面方向上的分力。
剪切力作用效果
使物体产生剪切变形，如 螺栓的剪切断裂等。
扭转力分析
扭转力定义
实验设备与实验步骤
实验设备：包括剪切装置、扭转装置、测量仪器（如应 变片、扭矩计等）、加载设备（如砝码、液压千斤顶等 ）、数据采集与分析系统等。 1. 准备实验样品，并进行必要的固定或支撑。
3. 逐渐增加作用力，观察并记录样品的变形情况及对应 的参数变化。
物体受到大小相等、方向相反、 作用线平行且与轴线垂直的力偶 作用，使物体产生扭转变形。
剪切与扭转的物理意义
剪切
剪切是物体在平面内受到的力，使物 体产生剪切变形，导致物体内部产生 剪切应力。剪切应力的大小与剪切力 的大小和物体的横截面积有关。
扭转
扭转是物体受到的力偶作用，使物体 产生扭转变形，导致物体内部产生扭 转应力。扭转应力的大小与扭矩的大 小和物体的极惯性矩有关。
组合受力分析方法
采用力的独立作用原理，分别对剪切 力和扭转力进行分析，再根据力的合 成原理得到组合受力下的变形情况。
03
剪切与扭转的实验研究
实验目的与实验原理
实验目的
通过实验研究剪切与扭转现象，深入理解其物理原理，为实际工程应用提供理 论支持。
实验原理
剪切与扭转是物质在受到外力作用时发生的两种基本变形方式。剪切变形主要 表现为物质在垂直于作用力方向上的相对位移，而扭转变形则表现为物质绕垂 直于作用力方向的轴线旋转。
02
剪切与扭转的力学分析
剪切力分析
01
02
03
剪切力定义
剪切力是指作用在物体上 的力系，使物体在垂直于 作用面方向上产生相对滑 动的趋势。
剪切力计算公式
剪切力的大小等于作用在 物体上的力系在垂直于作 用面方向上的分力。
剪切力作用效果
使物体产生剪切变形，如 螺栓的剪切断裂等。
扭转力分析
扭转力定义
实验设备与实验步骤
实验设备：包括剪切装置、扭转装置、测量仪器（如应 变片、扭矩计等）、加载设备（如砝码、液压千斤顶等 ）、数据采集与分析系统等。 1. 准备实验样品，并进行必要的固定或支撑。
3. 逐渐增加作用力，观察并记录样品的变形情况及对应 的参数变化。
材料力学第3章剪切与扭转
fcb 305N/mm2
满足承压条件，一个螺 栓所能承担的轴力值 Ncb d (t ) f cb
b Nv nv
d 2
4
f vb
Ncb d (t ) f cb
既满足抗剪，又满足承压，一个螺栓所能承 担的轴力 b b Nmin minNv , Ncb 已知总的轴向拉力（或压力）设计值N，连接 所需螺栓数为 N n b N min 收尾法取整
1.25
MPa
承压面 剪切面
400
400
80kN F
承压应力
Fbs F 80 103 8.33 MPa bs Abs Abs 60 160
例3-2
铆钉受力如图，承压应力计算有下列四种：
A. B. C. D. 解
bs=F/(td) bs=2F/(td) bs=2F/(td) bs=4F/(td)
连接件：螺栓、销钉、铆钉、键 木材的齿连接
剪切面个数nv
单面剪切 双面剪切 三面剪切 ……
F
F
F
F/2
F/2
F/2 F/2
F/3 F/3 F/3
3.1.2 杆件扭转变形的概念
外力特点
外力偶作用面垂直于杆件轴线，右手定则平行于杆件轴 线 外力偶矩平衡（静止不动，或匀角速度转动）
面或双面剪切
f v f vb
f ce f cb
单个螺栓抗剪 V N b f v A nv A 2 d b N nv Afv nv f vb 4 满足抗剪条件，一 个螺栓所能承担的 （钢板上）轴力值 2 d b Nv nv f vb 4
单个螺栓承压 Fbs N bs f cb Abs d t 同一受力方向 N d (t ) fcb 承压构件的较 小总厚度
《剪切与扭转》课件
详细描述
生物材料如骨骼、韧带等在生物体内承受着 复杂的剪切与扭转力。通过研究生物材料的 力学特性和生物学机制，了解其在生物体内 的功能和适应性，为生物材料的应用和仿生
设计提供参考。
CHAPTER 05
总结与展望
剪切与扭转的重要性和影响
剪切与扭转是自然界和工程领域中常 见的物理现象，对物质的结构和性质 产生重要影响。
机械设备中剪切与扭转的应用案例
总结词
介绍机械设备中剪切与扭转的应用实例，分析其作用和原 理。
案例1
汽车发动机
详细描述
汽车发动机中的活塞运动涉及剪切与扭转作用。通过分析 其工作原理和结构特点，了解剪切与扭转在汽车发动机中 的应用及其对发动机性能的影响。
机械设备中剪切与扭转的应用案例
案例2
风力发电机
化设备结构，提高其稳定性和使用寿命。
材料在剪切与扭转下的性能表现
要点一
总结词
要点二
详细描述
材料在剪切与扭转下的性能表现是决定其在实际应用中能 否满足要求的关键因素。
不同的材料在剪切和扭转作用下的表现差异很大。一些材 料具有良好的抗剪切和抗扭转性能，能够在各种复杂环境 下保持良好的稳定性和耐久性；而一些材料则可能在较小 的剪切和扭转作用下发生断裂或变形。因此，在选择材料 时，需要充分考虑其在剪切与扭转下的性能表现，以确保 其在实际应用中的安全性和可靠性。
在实际工程中，许多结构如桥梁、高层建筑等都可能受到剪切和扭转的共同作用 ，因此需要采取相应的措施来抵抗这种相互作用带来的影响，以保证结构的安全 和稳定性。
CHAPTER 02
剪切与扭转的力学分析
剪切应力分析
01
02
03
剪切应力定义
《剪切和扭转》课件
ERA
剪切和扭转在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在设计和建造桥梁、高层建筑等大型结构时，剪切和扭转的作用不容忽视。工 程师需要了解剪切和扭转对结构的影响，以确保结构的稳定性和安全性。
机械零件
在机械设计中，许多零件都需要承受剪切和扭转的力。例如，轴、齿轮和轴承 等。对这些零件进行剪切和扭转分析有助于优化设计，提高其强度和耐久性。
准备试样
选择合适的试样，并进行必要的 处理，如打磨、清洗等。
安装试样
将试样安装到实验装置中，确保 固定牢固。
设定实验参数
根据实验需求，设定剪切或扭转 的应力、应变等参数。
结束实验
实验结束后，将试样卸载并拆除 。
数据采集
通过数据采集系统实时采集实验 数据，如应力、应变等。
开始实验
启动实验装置，使试样受到剪切 或扭转作用。
剪切和扭转在科研中的应用
材料科学
在材料科学研究中，剪切和扭转被广泛应用于测试材料的力学性能。通过测量材 料在不同条件下的剪切和扭转行为，可以深入了解材料的内部结构和性质。
地球物理学
在地震研究中，剪切和扭转波是重要的研究手段。通过分析地震波的剪切和扭转 成分，可以更好地了解地球内部的结构和动力学特征。
05
总结与展望
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
对剪切和扭转的理解与认识
剪切和扭转是物质的基本属性，它们在自然界和工程领域中广泛存在。 通过研究剪切和扭转，可以深入了解物质的内在结构和性质，为解决实 际问题提供理论支持。
在物理、化学、生物等学科中，剪切和扭转都有广泛的应用。例如，在 流体力学中，剪切和扭转可以描述流体在管道中的流动行为；在材料科
剪切和扭转在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在设计和建造桥梁、高层建筑等大型结构时，剪切和扭转的作用不容忽视。工 程师需要了解剪切和扭转对结构的影响，以确保结构的稳定性和安全性。
机械零件
在机械设计中，许多零件都需要承受剪切和扭转的力。例如，轴、齿轮和轴承 等。对这些零件进行剪切和扭转分析有助于优化设计，提高其强度和耐久性。
准备试样
选择合适的试样，并进行必要的 处理，如打磨、清洗等。
安装试样
将试样安装到实验装置中，确保 固定牢固。
设定实验参数
根据实验需求，设定剪切或扭转 的应力、应变等参数。
结束实验
实验结束后，将试样卸载并拆除 。
数据采集
通过数据采集系统实时采集实验 数据，如应力、应变等。
开始实验
启动实验装置，使试样受到剪切 或扭转作用。
剪切和扭转在科研中的应用
材料科学
在材料科学研究中，剪切和扭转被广泛应用于测试材料的力学性能。通过测量材 料在不同条件下的剪切和扭转行为，可以深入了解材料的内部结构和性质。
地球物理学
在地震研究中，剪切和扭转波是重要的研究手段。通过分析地震波的剪切和扭转 成分，可以更好地了解地球内部的结构和动力学特征。
05
总结与展望
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
对剪切和扭转的理解与认识
剪切和扭转是物质的基本属性，它们在自然界和工程领域中广泛存在。 通过研究剪切和扭转，可以深入了解物质的内在结构和性质，为解决实 际问题提供理论支持。
在物理、化学、生物等学科中，剪切和扭转都有广泛的应用。例如，在 流体力学中，剪切和扭转可以描述流体在管道中的流动行为；在材料科
材料力学 剪切和扭转.
§3–2 连接接头的强度计算
（合力） P 1、连接处破坏三种形式： ①剪切破坏
n
n
P （合力） 剪切面 n
沿铆钉的剪切面剪断，如
沿n– n面剪断 。 ②挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接松动，
FS n
P
发生破坏。
③拉伸破坏
钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。
2、剪切的实用计算
此杆安全。
[例6]木榫接头如图所示，宽b=20cm，材料[]=1MPa， [bs]=10MPa。受拉力P=40kN作用，试设计尺寸a 、h 。 F F
a
h
剪切面
Fbs
挤压面
F
解： 剪切面面积：As
ab bh
Abs 挤压面面积：
a
h
剪切面
Fbs
挤压面
F
取接头右边，受力如图。
Fs Fbs F
P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。 h P a 解：：受力分析如图∶ P
FS Fbs P 挤压面和挤压力为：
P ：剪应力和挤压应力
剪切面和剪力为∶
P b
c
As
Abs
P P
FS P 40 107 0.952MPa AS bh 12 35
Pbs P 40 bs 107 7.4MPa Abs cb 4.5 12
度条件。
P
t
d
t
P
多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。
上板受力图
F/4 F/4 F/4
F/4
3F/4
F
F
上板轴力图
铆钉受力图
F/4
材料力学 剪切和扭转
MA A
Ⅰ
MB
Ⅱ
MC
B
22
C
解： 1、求内力，作出轴的扭矩图
T图（kN· m）
14
第三章 剪切和扭转
2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度
22
T图（kN· m）
T1 22 10 6 N mm 64.8MPa AB段 1,max π 3 Wp1 120mm 16 T2 14 10 6 N mm 71.3MPa BC段 2,max π 3 Wp 2 100mm [ ] 80MPa 即该轴满足强度条件。 16
π 2 (D d 2 ) 4 39.5% π 2 d 4
第三章 剪切和扭转
空心轴远比 实心轴轻
例
图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[τ] = 80MPa ，试校核该轴的强度。
第三章
剪切和扭转
解：
一、计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 A B
M3
M1 C D
M4
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9kN m 300 3 150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78kN m 100 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 kN m 300
第三章
剪切和扭转
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A ( 2 π d )
2
d 2 0
材料力学 (主占元)第3章 剪切和扭转
wp
max
I
p
T T Ip wp
截面的极惯性矩与扭转截面系数
(1)直径为d的实心圆轴
Ip
d
4
32
wp
Ip
d4
32 d 16 2
d3
(2)内外直径分别为d和D的 空心圆轴
d D
4 I p D (1 4 ) 32
I p D3 wp (1 4 ) D 16 2
3.3 传动轴的外力偶矩与扭矩及扭矩图
一.传动轴的外力偶 （一般有三种情况给出） 1、直接给出作用在轴上外力偶矩大小； 2、通过外力平移计算得出； 3、通过电机给轴所传递的功率和轴的转速 计算得出；
二.扭矩及扭矩图
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定 横截面上的内力，该内力偶矩称为扭矩，用T表示。
Tmax Wp [ ]
例3－3 一传动轴，横截面上最大扭矩为 Tmax=1.5kN· m ，许用剪用力 []=50MPa ，试 按下列两种方案确定轴的截面尺寸，并比较 其重量。
(1) 横截面为实心圆截面
(2) 横截面是a = 0.9的空心截面
解：① 设计实心圆轴
max
Tmax Wp
3
71.4MPa
Байду номын сангаас
T C C Ip
14 10 3 25 10 4 100 12 10 32
3
35.7MPa
截面扭矩为正号扭矩，由静 力等效的关系知：在整体图中从 右往左看，剪应力方向为 A 水平 向左，B铅垂向下，C竖直向上。 y A
T
C B
z
(2) 因为等直圆轴，且各截面 Tx 相等，因此，轴内最大剪应 力即为任意截面最外缘的剪 应力。
《二三章剪切和扭转》课件
3 学习体会分享
4 疑问答疑
分享学员在学习过程中的体会和感悟，促进交流 和共同进步。
解答学员对剪切和扭转的理解和应用中遇到的问 题，提供更深入的解释和指导。
扭转运动的数学描述
扭转运动可以用转角和扭矩来描 述，转角是单位长度的旋转角度， 扭矩是单位长度上的扭转力矩。
扭转力的计算方法
扭转力的计算方法包括扭矩公式、 材料的剪切模量以及物体的几何 形状和材料性质等因素。
第三部分：练习
1
实际案例分析
通过实际案例分析剪切和扭转的应用，加剪切和扭转Fra bibliotek计算练习2
深对实际问题的理解和解决能力。
进行剪切和扭转的计算练习，巩固理论知
识，并培养解决实际问题的能力。
3
剪切和扭转的应用练习
通过练习应用剪切和扭转的知识，培养解 决实际问题的应用能力和创新思维。
第四部分：总结
1 课程回顾
2 知识点总结
对剪切和扭转的主要知识点进行回顾，巩固所学 内容。
总结剪切和扭转的物理原理、应用场景，以及数 学描述和计算方法。
第二部分：扭转
什么是扭转？
扭转是一种力沿垂直于物体表面 的方向作用于物体，使其绕垂直 轴线旋转的运动。
扭转的物理原理
扭转的物理原理涉及到扭矩和转 角之间的关系，影响扭转的因素 包括力的大小、材料的刚性和形 状。
扭转的应用场景
扭转应用广泛，如螺旋桨推进器、 发电机、捻线机等工业和日常生 活中的旋转设备。
剪切的应用场景
剪切广泛应用于工程、材料科 学、草地管理等领域，如金属 切削、剪切草坪。
剪切运动的数学描述
剪切运动可以用切变应变和切变应力来描述，切变 应变是单位长度的侧向位移，切变应力是单位面积 上的剪切力。
材料力学第3章剪切与扭转
第3章 剪切与扭转提要：本章将讨论杆件的剪切和扭转这两种基本变形。
F。
为了保证连接件的正常剪切是杆件的基本变形之一，杆件横截面上的内力为剪力Q工作，一般需要进行连接件的剪切强度、挤压强度计算。
本章将探讨采用实用计算法来进行简化计算。
扭转也是杆件的基本变形之一。
杆件横截面上的内力偶矩为扭矩T。
本章将根据传动轴的功率P和转速n来计算杆件所承受的外力偶矩，并通过截面法来计算扭矩；还将探讨扭矩图的绘制方法。
本章将研究薄壁圆筒的扭转变形及其横截面上的切应力分布，并由薄壁圆筒的扭转实验推出剪切胡克定律，还要探讨切应力互等定理。
为了保证杆件在受扭情况下能正常工作，除了要满足强度要求外，还须满足刚度要求。
本章将从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面入手导出等直圆杆扭转时横截面上的切应力公式，并以之为基础建立扭转的强度条件；同时在研究等直圆杆扭转变形的基础上，建立扭转的刚度条件。
本章还将探讨杆件斜截面上的应力分布。
本章研究等直圆杆的扭转仅限于线弹性范围内，且材料符合胡克定律，并以平面假设为基本依据。
在实际工程中，有时也会遇到非圆截面等直杆的扭转问题。
本章将简单介绍矩形截面杆、开口薄壁截面杆和闭口薄壁截面杆的自由扭转问题。
3.1 剪切3.1.1 剪力和切应力剪切(shear)是杆件的基本变形之一，其计算简图如图3.1(a)所示。
在杆件受到一对相距很近、大小相同、方向相反的横向外力F的作用时，将沿着两侧外力之间的横截面发生相对错动，这种变形形式就称为剪切。
当外力F足够大时，杆件便会被剪断。
发生相对错动的横截面则称为剪切面(shear surface)。
既然外力F使得剪切面发生相对错动，那么该截面上必然会产生相应的内力以抵抗变形，这种内力就称为剪力(shearing force)，用符号F表示。
运用截面法，可以很容易地分析Q出位于剪切面上的剪力F与外力F大小相等、方向相反，如图3.1(b)所示。
材料力学中通Q常规定：剪力F对所研究的分离体内任意一点的力矩为顺时针方向的为正，逆时针方向的Q为负。
材料力学-第三章 扭转和剪切
例1. 已知 : n=300r/min , PA=50kW , PB = PC =15kW , PD =20kW 求：画扭矩图，判断危险截面。 解：1.求力偶矩
MeB MeC MeA Mx 1
m MeA= 9549 · PA /n =9549×50/300=1591.5N· m MeC=MeB=477.5N· m MeD=636.5N·
铸铁沿45º 螺旋面破坏 为什么？
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四. 圆轴扭转时的强度条件
对等直轴:
max
对阶梯轴:
M x max [ ] Wp
M x ma x 为危险截面 M x
max
M x max [ ] Wp
分段计算，求出max
2.求扭矩
MeD
Mx1 =MeD= 636.5N· m Mx3= MeB= 477.5N· m Mx2=(MeB+MeC) = 955N· m
MeD MeB MeC Mx2
3.画扭矩图
Mx(N· m)
636.5
x
MeB
Mx13
477.5
955
危险截面：AC段
M x max 955 N m
p
G
dx
G
d G dx
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3. 静力方程
M
x
d 2 dA d A A G A dx
dA
d Mx G dx
A
dA
2
Ｍx
d G dx
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第三章剪切和扭转(pdf)
例题：如图所示连接件，盖板厚度t1=10mm，主板厚 度t2=20mm，板宽b=150mm，螺栓直径d=27mm。螺 栓的容许切应力[τ]=135MPa，钢板的容许挤压应力 [σbs]=305MPa，容许拉应力[σ]=170MPa。若 F=313kN，试校核该接头的强度。
b F t1 F t2 t1 F F
1
2
3
2、控制截面的扭矩
MeD
MeB 1 MeC
2
MeA
3
T1 = M eB = 0 . 48 kNm
T 2 = M eB + M eB
T/kNm 0.48
0.96
= 0 .96 kNm
T 3 = − M eD
0.64 x
= − 0 .64 kNm
3、扭矩图
思考题：若将主动轮A和从动轮D互换位置，轴上 的扭矩图是否有变化？变化后的放置方式是否合 理?
例题：圆轴受力如图所示，试作轴的扭矩图。 解： 1、确定控制面的扭矩 设正法
T 1 = 20 kNm
T 2 = 20 − 27 = − 7 kNm
1 27kNm 2
8kNm 3
3 15kNm
1 20kNm
2
T1 20kNm 27kNm T2 20kNm T3 15kNm
T 3 = − 15 kNm
(
)
16 × 2 × 10 6 = = 26.69 MPa 4 ⎡ ⎛ 95 ⎞ ⎤ 3 3.14 × 105 × ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 105 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
τ min
Tρ min 16Td = = Ip πD 4 1 − α 4
(
)
16 × 2 × 10 6 × 95 = = 24.14 MPa 4 ⎡ ⎛ 95 ⎞ ⎤ 4 3.14 × 105 × ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 105 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
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第二章
剪切与挤压
本单元主要讨论：
键连结和铆钉连 接件应力计算
2-1 剪切问题
1、剪切变形的特点
外力与连接件轴线垂直
连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
2、受剪切构件的主要类型
一、铆钉类
铆钉连接 螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面 P
螺栓连接
P
内力外力要平衡
二、键类
F M d
单键连接
Abs l h 2
键
A bl
第三章
扭 转
本单元主要内容
# 扭转变形的特点
#
# #
外力偶矩的计算
扭矩的计算 扭转剪应力的计算
3-1 扭转变形的特点
Mn A'
A
g
Mn
B j
B'
x
圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶矩作用 力偶矩方向沿圆杆的轴线 横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转 动
左右两段
P P/2 P/2
P
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
例2-1 图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉 杆的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知P=80KN， b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。 构件受力和变形分析： 假设下板具有足够 的强度不予考虑 上杆（蓝杆）受拉 d b P
M n 2 114.6 Nm
4、扭矩图
将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
例3-2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
TB TC TA TD 计算外力偶矩 D N TA 9550 A 1592N m n N TB TC 9550 B 477.5 N m n ND TD 9550 637 N m n m 作扭矩图 Tnmax=955N·
Gg
剪切弹性模量
3-5 扭转剪应力的计算、扭转强度条件
1、扭转剪应力在横截面上的分布规律
在圆周中取出 一个楔形体放 大后见图（b） # 根据几何 关系，有
CC rdj g AC dx
CC rdj g AC dx
GG dj g EG dx
# 根据应力应变 关系，即剪切虎 克定律
实心圆截面
Wt
d
3
空心圆截面 Wt
D
16
3
1
4
16
4、扭转轴内最大剪应力
对于等截面轴，扭转 轴内最大剪应力发生 在扭矩最大的截面的 圆周上
d D
max
Tmax Wt
5、扭转强度条件
max
Tmax Wt
6、强度条件的应用
max
Tmax Wt
NB 10 mB 9550 9550 191Nm n 500
N 6 mC 9550 C 9550 114.6 Nm n 500
x
Mn1
M
Mn2
X
0
M n1 mA 0
mc
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
0
M n1 mA 76.4 Nm
满足强度要求
3-6 扭转变形、扭转刚度条件
1、扭转变形——扭转角
Tl j GI p
T l GI p
或
抗扭刚度
为了描述扭转变形的剧烈程 度，引入单位长度扭转角的 概念
j
单位
rad / m
/m
2、扭转刚度条件 以每米弧度为单位时
T GI p
许用单位长度扭转角
以每米度为单位时
（1）校核强度
max
Tmax Wt
Tmax
（2）设计截面
Wt
（3）确定载荷
Tmax Wt
举例
例3-3 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，试设计该轴直径d。
TB
TC TA
TD
B
C A 955N· m
N k轮 N k 3.7 1.85kW 2 2
轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶 矩T轮，则
N k轮 1.85 T T轮 9550 9550 543N•m n 32.6
（2） 计算轴的直径
由强度条件得 T WT [ ] T 3 0 .2 d [ ]
d3
离开截面
例3-1 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功 率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。 B A C x 先计算外力偶矩
mA 9550 NA 4 9550 76.4 Nm n 500
mA
结果说明横截面上没有正应力
采用截面法将圆筒截开，横截面上 有扭矩存在，说明横截面上分布有 与截面平行的应力、即存在剪应力 由于壁很薄，可以假设剪应力 沿壁厚均匀分布 包括横截面取出一个单元体
各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
2、剪应力互等定理
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
x
Mn m 0
m
Mn
M
X
0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手法则：
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向
扭矩正负号： 离开截面为正，指向截面为负 指向截面
外力偶矩正负号的规定
和所有外力的规定一样，
与坐标轴同向为正，反向为负
许用挤压应力 挤压面面积
关于挤压面面积的确定
键连接 铆钉或螺栓连接
l h b d
挤压力 分布
Abs l h
2
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力
剪切面计算
1 2 铆钉与螺栓 A d 4
挤压应力为正应力
挤压面计算
Abs d h
Mn
τ
τ
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、扭转剪应力的计算
圆截面上任意一点剪应力
T
ρ
T Ip
Ip
极惯性矩
m
T m R Ip
圆截面上最大剪应力
R
定义： Wt
Ip R
剪应力具有最大值
称之为抗扭截面模量
T m Wt
3、抗扭截面模量
上式称为剪切强度条件
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力
许用剪应力
A 为剪切面面积
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。
受剪切螺栓剪切面面积的计算：
A
d
4
2
d
受剪切单键剪切面面积计算：
取单键下半部分进行分析 假设单键长宽高分别为 l b h 则受剪切单键剪切面面积： h 剪切面 剪切力 外力 b 合力 l
2-2
挤压强度的工程计算
1、关于挤压现象
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压 挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎 作用于接触面的压力称为挤压力
挤压力的作用面称为挤压面 在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形
B
477.5N· m Tn
C 955N· m
A
637N· m
3-4
薄壁圆筒的扭转
1、薄壁圆筒扭转时的应力
观察一个实验
将一薄壁圆筒表面用纵向平行 线和圆周线划分
两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩 # 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变
观察到： # 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只
是倾斜了一个角度
T 180 GI p
例3—4 5吨单梁吊车，NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴 CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢， []=40MPa,G=80×103MPa, = 1º /m。
（1）计算扭矩
马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个 车轮所消耗的功率为
d 0.945 D cm WT 0.2 D 3 (1 4 ) 0.2 8.9 3 (1 0.9454 ) 29 3
（2） 强度校核
max
T WT 1930 6 29 10 66 .7 10 6 Pa 66.7MPa [ ] 70MPa
由静力平衡条件的合力矩 方程可以得到
'
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
3 、剪切虎克定律
在剪应力的作用下，单元体 的直角将发生微小的改变，这 个改变量g 称为剪应变。
g
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力 与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克 定律。
A
2dA T
I p 2 dA
A
dj T dx GI P
j
扭转角
l
0
T dx GI p
Tl j GI p
dj T T G G dx GI p I p
dj T T G G dx GI p I p
• 横截面上某点的剪应力 的方向与扭矩方向相同， 并垂直于该点与圆心的 连线 • 剪应力的大小与其和圆 心的距离成正比
剪切与挤压
本单元主要讨论：
键连结和铆钉连 接件应力计算
2-1 剪切问题
1、剪切变形的特点
外力与连接件轴线垂直
连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
2、受剪切构件的主要类型
一、铆钉类
铆钉连接 螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面 P
螺栓连接
P
内力外力要平衡
二、键类
F M d
单键连接
Abs l h 2
键
A bl
第三章
扭 转
本单元主要内容
# 扭转变形的特点
#
# #
外力偶矩的计算
扭矩的计算 扭转剪应力的计算
3-1 扭转变形的特点
Mn A'
A
g
Mn
B j
B'
x
圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶矩作用 力偶矩方向沿圆杆的轴线 横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转 动
左右两段
P P/2 P/2
P
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
例2-1 图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉 杆的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知P=80KN， b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。 构件受力和变形分析： 假设下板具有足够 的强度不予考虑 上杆（蓝杆）受拉 d b P
M n 2 114.6 Nm
4、扭矩图
将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
例3-2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
TB TC TA TD 计算外力偶矩 D N TA 9550 A 1592N m n N TB TC 9550 B 477.5 N m n ND TD 9550 637 N m n m 作扭矩图 Tnmax=955N·
Gg
剪切弹性模量
3-5 扭转剪应力的计算、扭转强度条件
1、扭转剪应力在横截面上的分布规律
在圆周中取出 一个楔形体放 大后见图（b） # 根据几何 关系，有
CC rdj g AC dx
CC rdj g AC dx
GG dj g EG dx
# 根据应力应变 关系，即剪切虎 克定律
实心圆截面
Wt
d
3
空心圆截面 Wt
D
16
3
1
4
16
4、扭转轴内最大剪应力
对于等截面轴，扭转 轴内最大剪应力发生 在扭矩最大的截面的 圆周上
d D
max
Tmax Wt
5、扭转强度条件
max
Tmax Wt
6、强度条件的应用
max
Tmax Wt
NB 10 mB 9550 9550 191Nm n 500
N 6 mC 9550 C 9550 114.6 Nm n 500
x
Mn1
M
Mn2
X
0
M n1 mA 0
mc
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
0
M n1 mA 76.4 Nm
满足强度要求
3-6 扭转变形、扭转刚度条件
1、扭转变形——扭转角
Tl j GI p
T l GI p
或
抗扭刚度
为了描述扭转变形的剧烈程 度，引入单位长度扭转角的 概念
j
单位
rad / m
/m
2、扭转刚度条件 以每米弧度为单位时
T GI p
许用单位长度扭转角
以每米度为单位时
（1）校核强度
max
Tmax Wt
Tmax
（2）设计截面
Wt
（3）确定载荷
Tmax Wt
举例
例3-3 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，试设计该轴直径d。
TB
TC TA
TD
B
C A 955N· m
N k轮 N k 3.7 1.85kW 2 2
轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶 矩T轮，则
N k轮 1.85 T T轮 9550 9550 543N•m n 32.6
（2） 计算轴的直径
由强度条件得 T WT [ ] T 3 0 .2 d [ ]
d3
离开截面
例3-1 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功 率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。 B A C x 先计算外力偶矩
mA 9550 NA 4 9550 76.4 Nm n 500
mA
结果说明横截面上没有正应力
采用截面法将圆筒截开，横截面上 有扭矩存在，说明横截面上分布有 与截面平行的应力、即存在剪应力 由于壁很薄，可以假设剪应力 沿壁厚均匀分布 包括横截面取出一个单元体
各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
2、剪应力互等定理
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
x
Mn m 0
m
Mn
M
X
0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手法则：
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向
扭矩正负号： 离开截面为正，指向截面为负 指向截面
外力偶矩正负号的规定
和所有外力的规定一样，
与坐标轴同向为正，反向为负
许用挤压应力 挤压面面积
关于挤压面面积的确定
键连接 铆钉或螺栓连接
l h b d
挤压力 分布
Abs l h
2
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力
剪切面计算
1 2 铆钉与螺栓 A d 4
挤压应力为正应力
挤压面计算
Abs d h
Mn
τ
τ
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、扭转剪应力的计算
圆截面上任意一点剪应力
T
ρ
T Ip
Ip
极惯性矩
m
T m R Ip
圆截面上最大剪应力
R
定义： Wt
Ip R
剪应力具有最大值
称之为抗扭截面模量
T m Wt
3、抗扭截面模量
上式称为剪切强度条件
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力
许用剪应力
A 为剪切面面积
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。
受剪切螺栓剪切面面积的计算：
A
d
4
2
d
受剪切单键剪切面面积计算：
取单键下半部分进行分析 假设单键长宽高分别为 l b h 则受剪切单键剪切面面积： h 剪切面 剪切力 外力 b 合力 l
2-2
挤压强度的工程计算
1、关于挤压现象
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压 挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎 作用于接触面的压力称为挤压力
挤压力的作用面称为挤压面 在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形
B
477.5N· m Tn
C 955N· m
A
637N· m
3-4
薄壁圆筒的扭转
1、薄壁圆筒扭转时的应力
观察一个实验
将一薄壁圆筒表面用纵向平行 线和圆周线划分
两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩 # 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变
观察到： # 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只
是倾斜了一个角度
T 180 GI p
例3—4 5吨单梁吊车，NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴 CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢， []=40MPa,G=80×103MPa, = 1º /m。
（1）计算扭矩
马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个 车轮所消耗的功率为
d 0.945 D cm WT 0.2 D 3 (1 4 ) 0.2 8.9 3 (1 0.9454 ) 29 3
（2） 强度校核
max
T WT 1930 6 29 10 66 .7 10 6 Pa 66.7MPa [ ] 70MPa
由静力平衡条件的合力矩 方程可以得到
'
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
3 、剪切虎克定律
在剪应力的作用下，单元体 的直角将发生微小的改变，这 个改变量g 称为剪应变。
g
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力 与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克 定律。
A
2dA T
I p 2 dA
A
dj T dx GI P
j
扭转角
l
0
T dx GI p
Tl j GI p
dj T T G G dx GI p I p
dj T T G G dx GI p I p
• 横截面上某点的剪应力 的方向与扭矩方向相同， 并垂直于该点与圆心的 连线 • 剪应力的大小与其和圆 心的距离成正比