第十四章 压杆稳定
轴向拉压杆的稳定计算
14.2 压杆的临界力和临界应力
14.2.3 欧拉公式的适用范围
只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧 拉公式才适用，即：
cr
2E 2
p
p
E
p
p ——对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质 有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。
例14-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆 端作用轴向压力Fp。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度 等级为TC13，许用应力[σ]=10MPa，试校核该压F杆cr 的稳定。
解 矩形截面的惯性半径
8m
160
hb3
y
i I y 12 b
z
A bh 12
120 mm 34.64mm
30mm
因木纹出现裂纹而破坏。
（2）长杆在压力增加到约4kN时突然弯向一侧，
继续增大压力，弯曲迅速增大，杆随即折断。 F
F
14.1 压杆稳定的基本概念
结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏 性质完全不同
• 短压杆的破坏属于强 度问题；
F
• 长压杆的破坏则属于能
否保持其原来的直线平衡
状态的问题
F
F
1m 30mm
μl——压杆的计算长度。
14.2 压杆的临界力和临界应力
两端铰支
Fcr
一端固定 一端铰支
Fcr
两端固定
Fcr
一端固定 一端自由
Fcr
0.25 l
0.7l
l
0.5l
l
l
l
简明工程力学14章压杆稳定
1 Fcr ' = Fcr ' ' , tgα = , α = 18.43o 3
§14-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
一、 欧拉公式的应用范围 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
σ cr
Fcr = A
w Fcr
w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。 代表了压杆的直线平衡状态。
此时A可以不为零。 此时 可以不为零。 可以不为零
l
w l 2 x
M (x)= Fcrw
x
B y (a)
B y (b)
w = A sin kx ≠ 0 失稳 失稳!!!
失稳的条件是： 失稳的条件是： sin kl = 0
kl = nπ
§14–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ：
1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 理想压杆
y
B y (c)
B (d)
x
§14-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 A C— D C B Fcr B Fcr B 一端固定 另端自由 Fcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
材料力学之压杆稳定课件
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
第14章压杆稳定
l
材料力学讲义（压杆稳定）
查表：a=304MPa，
b=1.12MPa
cr a b 304 1.12 86.6
207MPa
Pcr cr A 207 40 60 496.8kN
临界力为373kN.
20
材料力学讲义（压杆稳定）
§9.5压杆的稳定性校核
材料力学讲义（压杆稳定）
（3）对压杆CD进行稳定校核 №5槽钢
imin 1.1cm
1.110
A 6.93cm
128.5
2
λ
l 11.414103
imin
A3钢：
p 100
p
27
材料力学讲义（压杆稳定）
E 2.1010 cr 2 125.5MPa 2 128.5
材料是A3钢，最大起重量P=80kN，规定稳定安全系数
nst=3。试校核丝杠的稳定性。
解： 1.计算临界力
μ2
A3 钢
λ
l 2 375
i 40 4
75
p 102
s 61.6 s p
是中柔度压杆
i=d/4
22
材料力学讲义（压杆稳定）
查表:a=304MPa，b=1.12MPa 临界载荷为
2
E cr l 2
( i )
长细比(柔度)
cr
l
i
2E 2
欧拉公式
压杆在柔度大的平面 内先失稳
柔度：无量纲无单位
14
材料力学讲义（压杆稳定）
二、欧拉公式的适用范围
适用范围：
2
cr P
2E 即 P
第十四章压杆稳定
中小柔度杆的临界应力计算 1.直线型经验公式 直线型经验公式 ①σP<σ<σS 时：
σ cr =a−bλ
Qσ cr = a − b λ ≤σ s a −σs ∴λ ≥ = λ0
λ0 ≤λ <λP
b
中柔度杆， 中柔度杆，应力用经验公式计算
②σS<σ 时：
σ cr
σS
σP
σ cr =σ s
λ < λ 0 小柔度杆，临界应力为屈服应力 小柔度杆，
=
cr
≥ nst
[ Fst ]
稳定许用压力
二、压杆的稳定容许应力: 压杆的稳定容许应力: 安全系数法确定容许应力: 安全系数法确定容许应力:
σ≤
σ cr
nst
= [σ st ]
二 折减系数法
[σ st ]
稳定条件是
= ϕ [σ ]
ϕ→折减系数, 它是λ的函数。
σ ≤ ϕ [σ ]
三 压杆的合理设计 1 压杆的合理设计 2 合理选择截面
解：压杆在正视图平面 两端约束为铰支,屈 内，两端约束为铰支 屈 曲时横截面将绕 z 轴转 动：x y平面 平面
λz=µz l / iz ,
iz =Izຫໍສະໝຸດ AIz=bh3/12λz=132.6
λy=µy l / iy , Iy=hb3/12
iy
压杆在俯 压杆在俯视图平面 内，两端约束为固 定端,屈曲时横截面 定端 屈曲时横截面 将绕 y 轴转动：x、z 轴转动： 、 平面 Iy = A
λy=99.48
因此，压杆将在正视图平面内屈曲（弯曲）。 因此，压杆将在正视图平面内屈曲（弯曲）。 屈曲 而且λ λz=132.6 > λy=99.48 而且λz=132.6 > λp=100
第十四章 压杆稳定
一、是非题14.1 由于失稳或由于强度不足而使构件不能正常工作，两者之间的本质区别在于：前者构件的平衡是不稳定的，而后者构件的平衡是稳定的。
（）14.2 压杆失稳的主要原因是临界压力或临界应力，而不是外界干扰力。
（）14.3 压杆的临界压力（或临界应力）与作用载荷大小有关。
（）14.4 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，其临界压力也一定相同。
（）14.5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。
（）二、选择题14.6 在杆件长度、材料、约束条件和横截面面积等条件均相同的情况下，压杆采用图（）所示的截面形状，其稳定性最好；而采用图（）所示的截面形状，其稳定性最差。
14.7一方形横截面的压杆，若在其上钻一横向小孔（如图所示），则该杆与原来相比（）。
A. 稳定性降低，强度不变B. 稳定性不变，强度降低C. 稳定性和强度都降低D. 稳定性和强度都不变14.8 若在强度计算和稳定性计算中取相同的安全系数，则在下列说法中，（）是正确的。
A. 满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件B. 满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件C. 满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件D. 不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件三计算题14.9无缝钢管厂的穿孔顶针如图所示。
杆端承受压力。
杆长l =4.5m ，横截面直径d =15cm ，材料为低合金钢，E =210 Gpa 。
两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为=3.3 。
试求顶杆的许可载荷。
14.10某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3 钢。
起重机的最大起重量是P = 40 kN 。
若规定的稳定安全系数为=5 ，试校核BD 杆的稳定性。
14.11 10 号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。
钢管的内径和外径分别为30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。
梁及钢管同为A3 钢。
当重为300N 的重物落于梁的A 端时，试校核AB 杆的稳定性。
压杆稳定
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
压杆稳定的概念
§压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c）。
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。
历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。
如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
近代这类事故仍时有发生。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
“稳定”和“不稳定”是指物体的平衡性质而言。
例如，图15-2a所示处于凹面的球体，其平稳是稳定的，当球受到微小干扰，偏离其平衡位置后，经过几次摆动，它会重新回到原来的平衡位置。
图15-2b所示处于凸面的球体，当球受到微小干扰，它将偏离其平衡位置，而不再恢复原位，故该球的平衡是不稳定的。
受压直杆同样存在类似的平衡性质问题。
例如，图15-3a所示下端固定、上端自由的中心受压直杆，当压力小于某一临界值时，杆件的直线平衡形式是稳定的。
此时，杆件若受到某种微小干扰，它将偏离直线平衡位置，产生微弯（15-3b）；当干扰撤除后，杆件又回到原来的直线平衡位置（图15-3c）。
但当压力超过临界值时，撤除干扰后，杆件不再回到直线平衡位置，而在弯曲形式下保持平衡（图15-3d），这表明原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用表示。
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
理论力学——压杆稳定
M ( x ) Fp y d y dx
2 2
设k
2
Fp y EI
Fp EI
2
, 则
2
d y
(二阶线性常数 k y 0 2 齐次微分方程) dx
通解为
y a sin kx b cos kx
材料力学
式中a、b、k为待定常数。
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
边界条件为：
y
x
z
x
材料力学
压杆稳定问题/压杆的稳定计算
解:
p
E
2
y
p
99.35
z
x
考虑xy平面失稳(绕z轴转动)
iz Iz A
bh / 12 bh
1 2.3 h / 12
3
h 12
x
z
zl
iz
Iy A
132.8
y
yl
iy
0.5 2.3 b / 12
6
4
d2
2
151.47 KN
材料力学
FN 2 F
Fcr nst
151 .47 3
50.5KN
所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为
Fmax 26.7 KN
材料力学
例8-4 图示托架结构，梁AB与圆杆BC 材料相同。梁AB为16号工字
钢，立柱为圆钢管，其外径D=80 mm，内径d=76mm，l=6m，a=3 m，
材料力学
压杆稳定问题/稳定的概念
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平衡状态
向不稳定的状态的质变的转折点,称为临界载荷,以 Fcr
工程力学第14章答案
习题14-2图习题14-3图P F P F P F P F 0PF P -F 2F -2F 2F -2F 0000000P F P F PF P -F P-F P -F P F P F P F P F 0P F P -F 2F -2F 2F -2F 0000P F PF P F P-F P -F P -F 00习题11-2解图 第14章 压杆的平衡稳定性分析与压杆设计14－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A ）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B ）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C ）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D ）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。
正确答案是 C 。
14－2 图示a 、b 、c 、d 四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。
关于四桁架所能承受的最大外力F Pmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。
（A ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F =<=； （B ）)d ()b ()c ()a (max P max P max P max P F F F F ===； （C ）)c ()b ()d ()a (max P max P max P max P F F F F =<=；（D ）)d ()c ()()a (max P max P max P max P F F b F F =<=。
正确答案是 A 。
解：各杆内力如解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A ）。
14－3 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。
关于四者分叉载荷大小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大）。
（A ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F <<<； （B ）)d ()c ()b ()a (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>； （C ）)a ()d ()c ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>；（D ）)d ()c ()a ()b (Pcr Pcr Pcr Pcr F F F F >>>。
工程力学：14第十四章 压杆稳定
π2EI π2EI
Fcr 4l 2 2l2
w 1 cos x
2l
14-4 欧拉公式的适用范 围中小柔度杆的临界应力
1.临界应力和柔度
临界应力可用临界力Pcr 除 以横截面面积A 来求得。
cr
cr
2EI
l2
令
iy
Ιy , Α
iz
Ιz Α
式中，iy和iz 分别称为截面图形对y轴和z轴的惯性半 径。
s p
cr
2 2
3. 中、小柔度杆的临界应力
经验公式： cr a b
压杆的临界应力图
s
a
b
s
经验公式的 适用范围：
s p
cr
cr s
s p
cr a b
cr
2 2
小柔度杆
S
欧拉公式
s p
实际是强度问题 cr s
一些常用材料的a、b值：
例14-1 截面为1220cm2,l = 7m,E = 10GPa,试求木柱的临
令 l
i
式中:--称为压杆的柔度或长细比
压杆临界应力的计算公式：
cr
cr
2EI
l2
cr
2Ε 2
2.欧拉公式的适用范围
cr
2 2
p
材料在线弹性范围内工作 压杆的临界应力图
比例极限的柔度值： cr
Ε p σp
s p
当 p时，欧
拉公式才适用。
这类压杆称为
大柔度杆或细 长杆。
欧拉公式
w Ak coskx Bksin kx
边界条件
x 0 w 0, w 0
xl w
积分常数 挠曲线近似方程
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第十四章 压杆稳定
一、学时分配：共4学时
二、重点和难点：
重点内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数μ，临界应力欧拉公式的适用范围
p
E σπλ2≥ 临界应力总图、直线型经验公式λσb a cr -=，使用安全系数法进行压杆稳定校核。
难点内容：稳定平衡、临界载荷的概念；两端铰支细长压杆的临界压力的推导过程；使用安全系数法进行压杆稳定校核的计算步骤。
（1） 计算压杆的柔度λ
（2） 比较λ与p λ的大小，选择临界应力（载荷）的计算公式
（3） 计算压杆的工作应力（载荷），利用st cr n P
P n ≥=进行压杆的稳定计算 重点和难点处理：通过工程实例和实验理解稳定平衡的概念。
结合弯曲变形挠曲线的推导过程理解两端铰支细长压杆的临界压力。
在用安全系数法进行压杆稳定校核时，对计算步骤的每一步都反复强调，特别是压杆的柔度λ的计算和范围判断。
三、主要内容：
1 稳定平衡的概念
若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。
由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用τc P 表示。
2 细长压杆临界压力的欧拉公式
两端铰支细长压杆的临界压力
选取如图所示坐标系xOy 。
距原点为x
的任意截面的挠度为y ，弯矩M 的绝对
值为Py 。
若压力P 取绝对值，则y 为
正时，M 为正。
即M 与y 的符号相反，于是有 Py x M -=)(
将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得
Py x M y EI -=='')(
令 EI
P k =
2 则有 02='+''y k y
该微分方程的通解为
kx D kx C y sin cos 11+=
式中1C 、1D ——积分常数，可由边界条件确定
压杆为球铰支座提供的边界条件为
0=x 时，0=y l x =时，0=y
将其代入通解式，可解得
0sin 1=kl D
上式中，若01=D ，则0≡y ，即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微弯状态的前提相矛盾。
因此01≠D ，只有
0sin =kl
满足上式的kl 值为
πn kl =),2,1,0( =n
则有
l
n k π=
于是，压力P 为 2222
l EI n EI k P π== 上式表明，使压杆保持曲线形状平衡的压力，在理论上是多值的。
实际上，只有使杆件保持微小弯曲压力才是临界压力τc P 。
若取0=n ，则0=P ，表明杆件上未受压力已失稳，故0≠n 。
因此，只有取1=n 才有实际意义，于是可得临界压力为
22l
EI P c πτ= （14-1） 上式即为两端铰支细长压杆的临界压力表达式。
此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler ）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。
当杆端约束不同时，显然其临界压力也不同
1=C
22)
(l EI P cr μπ= 这是欧拉公式的普遍形式。
式中μ称为长度系数（亦称约束影响系数），它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。
l μ表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。
3欧拉公式的适用范围与经验公式
欧拉公式是利用压杆微弯时的挠曲线近似方程推导出来的，而挠曲线近似微分方程又是建立在材料服从虎克定律的基础上的。
因此，只有当临界应力cr σ不超过材料的比例极限p σ时，欧拉公式才能成立，故有
22λ
πσE cr = p E σπλ2≥ λσb a cr -= 柔度λ大于或等于权限柔度p λ的压杆称为大柔度杆，也即前面提到的细长杆。
临界应力超过比例极限的压杆稳定问题，属于非线弹性失稳问题。
对此类问题，也有一
些理论分析结果①。
但在实际应用中经常采用建立在实验基础上的经验公式。
常用的经验公
式有直线公式和抛物线公式。
直线公式 λσb a cr -=
如果压杆的柔度很小，即属于短粗杆。
试验结果表明，当压力达到材料的屈服极限s σ（或强度极限b σ）时，压杆由于强度不够而失效，不会出现失稳。
因此，对于这种情况，应按强度问题处理，其临界应力应力屈服极限s σ（或强度极限b σ），即
s cr σσ=（或b cr σσ=）
临界应力总图
（1）p λλ≥，为大柔度压杆； ，为中柔度压杆；
4压杆的稳定计算
安全系数法
st cr n P
P n ≥= 例2如图 所示为一曲柄滑块机构的连杆（正视图和俯视图）。
已知连杆材料
为3A ，连杆承受轴向压力kN P 100=，稳定安全系数3=st n ，试校核连杆的稳定性。
解：①柔度计算 由于连杆在不同的平面内支承（约束）条件不相同，因此必须计算两个方向的柔度。
如果连杆在xy 平面内失稳，连杆两端可视为铰支座，长度系数1=μ。
此时中性轴为z 轴，惯性半径为
mm h bh bh A I i z z 32.173
26032123=====
柔度为 3.6932
.1712001=⨯==z z i l
μλ 如果连杆在xz 平面内失稳，连杆两端可视为固定端，长度系数5.0=μ。
此时中性轴为y 轴，惯性半径为
mm b bh bh A I i y y 22.73
22532123=====
柔度为 9.7822
.711405.01
=⨯==y y i l μλ 由于z y λλ>，故压杆在xy 平面内的稳定性大于在xz 平面内的稳定性。
所以应以p λ计
算临界压力和临界应力。
②临界压力计算 对于3A 钢制成的压杆，其极限柔度100=p λ，6.61=s λ。
可见p s λλλ<<，压杆为中柔度杆，用经验公式计算临界应力
y cr b a λσ-=
查表14-2得MPa a 304=，MPa b 12.1=代入上式有
MPa cr 2169.7812.1304=⨯-=σ
临界压力为
6610602510216-⨯⨯⨯⨯==A P cr cr σ
kN N 324103243
⨯=
③稳定校核 由式（14-15），有 324.3100
324=>===
st cr n P P n 故满足稳定条件。
④讨论 由于z y λλ≠，连杆在两个平面内的稳定性不相等。
欲使连杆在xy 和xz 两平面内的稳定性相等。
则必须有z y λλ=，即
A I l A
I l
z y
=5.0
于是有 21
2
4l l I I y z = 本例中，由于1l 与l 大致相等，因此
y z I I 4≈
上式表明，欲使连杆在两个平面内的稳定性相等，在设计截面时，应保持y z I I 4≈。
这一关系。
对于本例中的矩形截面，则须有
12
4122
3hb bh ≈ 也即
b h 2≈
此时，可保证连杆在两个平面内的稳定性相等。
5提高压杆稳定性的一些措施
a减小压杆长度; b改善压杆的约束条件; c选择合理的截面形状; d合理选择材料。