山东省实验中学2015届高三第四次诊断考试数学(理)试题(附答案)

山东省实验中学2015届高三第四次诊断考试

数学（理）试题

说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题答案请用2B铅笔或0．5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题（本题包括1 0小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合题意）．1．复数z满足zi =1+2i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是

A．（1，－2）B．（2，－1）C．（1,2）D．（2,1）2．若集合P={y|y≥0}，P Q=Q，则集合Q不可能

．．．是

A．{y | y=1n x，x>0} B．{ y|y=3－x，x∈R} C．{y|y=x2，x∈R } D．∅

3．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是

A．51 B．58

C．61 D．62

4．设{a n}为等差数列，公差d= -2，S n为其前n项和，若S7 = S16 ,则a l =

A．18 B．20

C．22 D．24

5．下面框图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是

A．k=7 B．k≤6 C．k<6 D．k>6

6．如果不等式|x－t|<1成立的必要条件是10）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和8，则P的值为

A．4 B．16 C．4或16 D．4或8

8．在二项式5

21⎪⎭

⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含x 4的项的系数是（ ） A ．10 B ．-10 C ．5 D ．-5 9．已知关于x 的方程|x 2－2x|=a （a>0）的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是

A ．1,2,3

B ．2,3,4

C ．3,4,5

D ．2,3,5

10．正三角形ABC 边长为 1，P 为其内部（不含边界）的任意点，设

),(R y x AC y AB x AP ∈+=，则在平面直角坐标系内点（x ，y ）对应区域的面积为

A ．1

B ．23

C ．21

D ．4

3 第II 卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5个小题；每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡指定横线上）．

11．随机变量x 服从正态分布N （2，σ2）（σ为标准差），若P （l≤x≤3）=0．618，则P （X ≤3）=

；

12．由直线y=x 与曲线y=x 3所围成的封闭图形的面积是 ；

13．已知函数y= sin （ωx+θ）（ω>0，0<θ<π）为偶函数，其图象与直线y=1的

两个不同交点的横坐标为x l ，x 2，若| x 1－x 2 |=k π，（k ∈N *），则ω×θ的值

为 ；

14．如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为l 的正方形，则

此多面体的体积为____；

15．若关于实数x 的方程3ax 2+2bx+1－a －b=0（a ，b ∈R ）的两根可以作为一椭圆和一双曲

线的离心率，则a+b 的取值范围是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

16．（本小题满分12分）；已知函数f （x ）=sin x －cos x ，f '（x ）是f （x ）的导函数． （I ）求函数g （x ）=f （x ）f '（x ）－f 2（x ）的最大值和最小正周期；

（II ）若f （x ）=2f '（x ），求x

x x x cos sin cos sin 122-+的值．

18．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 与DBFE 均为菱形，∠DAB=

∠DBF=60o ，且FA=FC ．

（I ）求证：AC ⊥平面BDEF ；

（fI ）求二面角A －FC －B 的余弦值．

19．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为7

1．现从中不放同地取球，每次取1球，赢到将袋中的白球取完即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．

（I ）求袋中原有白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列及期望E ξ．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆E ：2222b y a x =1（a>b>0）经过点P )21,26(，离心率为22。

（I ）求椭圆E 的标准方程：． （II ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=2相交于点Q ．试

探究：在x 轴上是否存在点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=x2+aln （x +1）（a ∈R ）．

（I ）当a=-4时，求f （x ）的单调区间；

（II ）当t≥1时，不等式f （t-1）≥l －t 2恒成立，求实数a 的取值范围： （Ⅲ）若F （x ）=f （x ）+ln 2有两个极值点x 1，x 2，且x 14

1。