高等工程数学试题

中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）

考试日期： 年 月 日 时间100分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

（1）如果111

13241

61,2531133

4

4Ax b A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢

⎥

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，矩阵1A = ，A ∞= ，利用Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组是否收敛 ；

（2）利用迭代法求解非线性方程()20x f x x e =+=的根，取初值00.5x =-。给出一个根的存在区间 ，在该区间上收敛的迭代函数为 ；

（3）设事件A 发生的概率为p ，在n 次重复试验中事件A 发生次数为m ，当n 充分大时,

)1(n

m m np m -

-近似服从的分布为 ；

（4）设]1,1[,,,4321-∈x x x x ，若数值积分公式)()()()()(44331

1

2211x f A x f A x f A x f A dx x f +++=⎰-的代

数精度大于1，则=+++4321A A A A ；

（5）已知)(x f y =通过点3,2,1,0),,(=i y x i i ，则其Lagrange 插值基函数=)(2x l ； （6）对一元线性回归模型2

~(,)Y a bx N εεμσ=++⎧⎨

⎩

，b 的最小二乘估计为ˆb = ，且 ˆ~b 。 2σ的无偏估计为 ；

（7）算法22

1212),(x x x x f y +==，设1x 和2x 的绝对误差分别为

)(1x ε和)(2x ε，则

=)(y ε ；

（8）计算函数)(x f 在区间],[b a 起点a 附近的近似值时，应用Newton 向前插值公式而不用向后插值公式的原因是 。 二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下

在区间]2,5.1[-上求满足自然边界条件的三次样条插值函数)(x S 在第一个小区间的表达式，并计算

)1(-f 的近似值。

（1（2）利用单纯形法求解所建立的模型（要求计算过程和结果）。

四、（本题16分）设方程组为 12341

12370

2103267621133411x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

（1）利用雅可比（Jacibi ）迭代格式进行迭代计算求近似解， 取初始值0(0.00,0.00,0.00,0.00)T X = ,保留2位小数，迭代2次；

（2）利用矩阵LU 直接分解方法求准确解。

五、（本题14分）某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm ）

后算得2212175.9172.0

11.39.1x y s s ====。假设两市新生身高分别服从正态分

布，221122~(,)

~(,)X N Y N μσμσ。

（1）两市新生身高的标准差有无差异（05.0=α）（2）试求12μμ-的置信度为0.95的置信区间。

六、（本题10分）为计算一形状为曲边梯形零件的表面积，在将其分布区间逐次分半测量曲边的高度，请根据表中数据计算该零件表面积精度足够高的近似值。七、（本题12分）考察四种不同的催化剂对某一化工产品的转化率的影响，在不同的四种催化剂下分别试检验在四种不同的催化剂下对某一化工产品的转化率的影响有无差别？（0.05α=）