abc输出组合数
组合与组合数公式
例5、6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分 法:
(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本; (2)分为三份,每份2本; (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本: (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2 本,一人 3本。
a a a 推广:从
1,
2,
n1这n+1个不同的元素中,
取出m个元素的组合数
c,m 这些组合可以分成两类: n1
a a a a a a 一类含 ,一1类不含 。含1 的组1 合是从
2, 3,
n1
这n个不同元素中取出m-1个元素的组合数为 m1;不
a a a a c 含 1的组合是从
2,
C
x3 x2
1 10
Ax33
⑸ 计算:C50 C51 C52 C53 C54 C55
推广:
C
0 n
C
1 n
C
2 n
C n1 n
C
n n
2n
例3、12件产品中有3件次品,9件正品,从中抽取5 件,
(1) 5件产品中没有次品的取法有多少种? (2) 5件产品中有2件次品的取法有多少种?
例6、某省的福利彩票中,不考虑次序的7个数码组 成一注,7个数码中没有重复,每一个数码都选自 数码1,2,…,36,如果电视直播公开摇奖时只有 一个大奖,计算:
(1)公开摇奖时最多可以摇出多少不同的注;
(2)购买一注时的中奖率。
作业
P26
3,4,5,8
7.3.1组合与组合数公式
问题1:高二年段12个班要举行篮球赛,如果任意两 个班都比赛一次,需要安排几场比赛? 问题2:列车从甲站到乙站中途停车8次,单程需要制 作多少种不同的火车票?
问题3:汽车公司从12辆客车中选3辆客车运送高二年 级同学,有多少种不同选法?
你能说说上面3问题 的特点吗?
从n个不同元素中取出m m n 个不同 元素,不论次序的构成一组, 称为一个组合。
3解法1
C C C C 9 604种. 解法2 抽出的 3 件产品中至少有 1件是次品 的抽法的种数 , 也就是从 100件中抽出 3 件的 抽法种数减去 3件中都是合格品的抽法 的种 数,即
3 C100 C3 . 98 161 700 152 096 9 604种
组合
排列
abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
m n m n
abc abd acd bcd
上述解释可以推广到一 般情形. 求从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数 , 可看作由以下 2个步骤得到的 :
性质1
m n
nm n
在推导性质1时, 我们运 用了证明组合相等 的一个常用而重要的方 法,即通过阐明等号 两边的不同表达式实际 上是对同一个组合 问题的两个不同的计数 方案, 从而达到证明 的目的 .
探究 你能根据上述的思想方 法, 利用分类 计数原理 ,证明下列组合数的性质 吗?
性质 2
m m1 Cm C C . n1 n n
m n m n m m
数公式. 因为 A m n
五年级奥数计数综合排列组合ABC级教师版
实用文档排列组合知识结构排列问题一、在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关.nm?个不同元)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从一般地,从个不同的元素中取出(nnm素中取出个元素的一个排列.m根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.nm?个不同的元素的排列中取出)个元素的所有排列的个数,叫做从从个不同的元素中取出(nnm m P个元素的排列数,我们把它记做.m n 个步骤完成:根据排列的定义,做一个元素的排列由mm1种方法;:从个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有步骤nn2种方法;个元素中任取一个元素排在第二位,有(步骤):从剩下的()11n?n?……)(个位置,有种步骤:从剩下的个元素中任取一个元素排在第1)](m?[n?1n??mn?(m?1)?mm方法;,即个不同元素中取出个元素的排列数是由乘法原理,从)1mn??n?2)?(?n(?n?1)(?nm m)1m??2)(n?.P?(nn?1)(nn?m1,开始,后面每个因数比前一个因数小,这里,,且等号右边从n n共有个因数相乘.m排列数二、n(P12?n??)???n1)(n?2??3的情况,排列数公式变为一般地,对于.nm?n nnn 个排列全部取出的排列,叫表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数.这种nn的乘积,开始,后面每一个因数比前一个因数小,一直乘到做个不同元素的全排列.式子右边是从11实用文档n nn?nP!Pn!?n(?3?2?n?n?1)(?n?2)?!1.还可以写为:,读做,其中的阶乘,则记为nn在排列问题中,有时候会要求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的方法数量,可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题.m?n)个(元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不一般地,从个不同元素中取出nnm 同元素中取出个元素的一个组合.m从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.m?n)的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个不同元从个不同元素中取出个元素(nnmm m 素的组合数.记作.C nm可分成以下两步:个元素的排列数一般地,求从个不同元素中取出的P nm nm第一步:从个不同元素中取出个元素组成一组,共有种方法;C nm nm第二步:将每一个组合中的个元素进行全排列,共有种排法.P m mmmm.根据乘法原理,得到CP?P?nmnm Pn(?n?1)(?n?2)?(?n?m?1)mn.因此,组合数?C?nm m(?m?1)(?m?2)??3?2?1P m这个公式就是组合数公式.四、组合数的重要性质mn?m m?n)一般地,组合数有下面的重要性质:(C?C nnmn?m这个公式的直观意义是:表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法.表示从CC nm nn个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法.显然,从个元素中选出个元素的分组方法nnm?mn恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法.nmmn?322人不去开会的方法是一样多的,即.人中选例如,从人开会的方法和从人中选出CC?55355n0,.规定C?1C?1nn五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数,使用插板法一般有三个要求:①所要分解的物体一般是相同的:②所要分解的物体必须全部分完:③参与分物体的组至少都分到1实用文档个物体,不能有没分到物体的组出现.在有些题目中,已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符,对此应当对已知条件进行适当的变形,使得它与一般的要求相符,再适用插板法.六、使用插板法一般有如下三种类型:⑴个人分个东西,要求每个人至少有一个.这个时候我们只需要把所有的东西排成一排,在其中的nm m?1C1)?(m(n?1).个空隙中放上个插板,所以分法的数目为1n?nam个.这个时候,我们先发给每个人个,还剩下⑵个东西,要求每个人至少有个人分1)?(a个东西,这个时候,我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了.所以分法的数目为1)]?(a[n?m m?1C.11)?m(a?n?nmm个东西,每个人多发1个人分个,这个东西,允许有人没有分到.这个时候,我们不妨先借来⑶m?1样就和类型⑴一样了,不过这时候物品总数变成了,因此分法的数目为.C)mn?(个1?n?m例题精讲一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(1)有【例1】4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(2)有 4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?)将3封不同的信投入(3433344()3:【解析】(1))(2 个车间实习共有多少种不同方法?把6名实习生分配到72【例】种不同方案,【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有767.依次类推,由分步计数原理知共有种不同方案第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,33CA8338 D )A、、 B、、 C3【例】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有(88 3项冠名学生看作8家“店”,【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8388种可能,因此共有种军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有A不同的结果。
数字电路的基础知识 几种常用的组合逻辑组件
(2-1)
加法运算的基本规则: (1)逢二进一。 (2)最低位是两个数最低位的叠加,不需考虑进位。 (3)其余各位都是三个数相加,包括加数、被加数和低位来的进位。 (4)任何位相加都产生两个结果:本位和、向高位的进位。
(2-2)
(1)半加器:
半加运算不考虑从低位来的进位
A---加数;B---被加数;S---本位和; C---进位。
设ABC每个输出代表一种组合。 b.由状态表写出逻辑式 c.由逻辑式画出逻辑图
(2-23)
2-4线译码器74LS139的内部线路
A1
A0 输入
S
控制端
&
Y3
&
Y2
输出
&
Y1
&
Y0
(2-24)
74LS139的功能表
S
A1 A0
Y0
Y1
Y2
Y3
1XX 1 1 1 1
0000111
0011011
0101101
(2-36)
0111110
“—”表示低电平有效。
(2-25)
74LS139管脚图
Ucc 2S 2A0 2A1 2Y0 2Y1 2Y2 2Y3
2S 2A0 2A1 2Y0 2Y1 2Y2 2Y3
1S
1A0 1A1 1Y0 1Y1 1Y2 1Y3
1S 1A0 1A1 1Y0 1Y1 1Y2 1Y3 GND
一片139种含两个2-4译码器
(2-26)
例:利用线译码器分时将采样数据送入计算机。
总 线
三态门
EA 三态门
EB 三态门
EC 三态门
ED
A
B
C
组合数公式的证明
A C A 根据分步计数原理, 3 4
3 3
4
3
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
nm
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算:⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n .
排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多 少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车 票? 排列问题 有多少种不同的火车票价?组合问题
思考题 已知
Cm n2
:
C m1 n2
:
C m2 n2
3 : 5 : 5, 求m、n的值。
单循环决出冠亚军. (1)列出所有各场比赛的双方; (2)列出所有冠亚军的可能情况。
(1) 中国—美国 美国—古巴
组合和组合数公式一
想一想
什么是两个相同的排列? 什么是两个相同的组合?
相同排列:元素相同且顺序相同. 相同组合:元素相同
从 a , b , c三个不同的元素 中取出两个元素的所有组合分 别是
ab , ac , bc
已知4个元素a , b , c , d ,写出每
排列定义
一般地说,从 n 个不同元素 中,任取 m (m≤n) 个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个排列。
组合 思考交流
1. 从9名学生中选出3人做值日,有 多少种不同的选法?
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2 本,有多少种不同的借法?
对比
1. 北京、上海、广州三个民航站 之间的直达航线,需要准备多少种不 同的飞机票?
c
d
bc
d
abc , abd , acd , bcd .
写出从 a , b , c , d 四个元素中任 取三个元素的所有排列.
c d b d b c c d a d a cb d a d a b b c a c a b
bcd acdabd abc
a
b
c
d
所有的排列为:
abc bac cab dab abd bad cad dac
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
求 P34 可分两步考虑:
第一步,C34( 4)个;
第二步,P33( 6)个;
根据乘法原理,P34 C34 P33 .
C3 4
P3 4
P3 3
从 n 个不同元素中取出m个元素
的排列数 Pmn Cmn Pmm
Cm n
五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版
分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题.在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关.一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列.依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同.假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列.分列的根本问题是盘算分列的总个数.从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做.依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成:步调:从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调:从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调:从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘.二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成.暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数.这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列.式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为:,个中.在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算.三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等.这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题.一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合.从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关.假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合.从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数.记作.一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步:第一步:从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步:将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法.依据乘法道理,得到.是以,组合数.这个公式就是组合数公式.四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质:()这个公式的直不雅意义是:暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法.暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法.显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法.例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即.划定,.五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求:①所要分化的物体一般是雷同的:②所要分化的物体必须全体分完:③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失.在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法.六、应用插板法一般有如下三种类型:⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个.这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为.⑵小我分个器械,请求每小我至少有个.这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了.所以分法的数量为.⑶小我分个器械,许可有人没有分到.这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为.例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法?假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法?【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法?【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻.请问共有若干种不合的分列办法?【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法?若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法?【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法?假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法?【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动.全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成.请问:假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序?【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法?【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法?【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目.求:⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序?⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序?【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种?【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法?【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法?【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法.【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着.请问一共有若干种不合的放法?【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法?【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种?【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法?【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种?【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种?【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干?【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个?【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个?【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位?教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种?【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法?【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个?家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法?【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排拍照,请问:(1)假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法?(2)假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法?【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个.【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字:。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测:1.2.2.1组合与组合数公式
1.2.2组合第一课时组合与组合数公式填一填1.组合及组合数的定义(1)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C m n表示.2.组合数公式及其性质公式展开式C m n=A m nA m m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!阶乘式C m n=n!m!(n-m)!性质性质1C m n=C n-mn性质2C m n+1=C m n+C m-1n备注①n,m∈N*且m≤n;②规定:C0n=1判一判判断(1.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有组合的个数为C23.(√) 2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积.(√)3.C35=5×4×3=60.(×)4.C2 0162 017=C12 017=2 017.(√)5.10个人相互写一封信,共写出了C210封信.(×)6.10个人相互通一次电话,共通了A210电话.(×)7.从10个人中选3人去开会,有C310种选法.(√)8.从10个人中选出3人担任不同学科的科代表,有A310种选法.(√)想一想1.提示:从排列与组合的定义可以知道,两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,这是排列,组合的共同点;它们的不同点是:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.2.“abc ”和“acb ”是相同的排列还是相同的组合?提示:由于“abc ”与“acb ”的元素相同,但排列的顺序不同,所以“abc ”与“acb ”是相同的组合,但不是相同的排列.3.我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么,“组合”与“组合数”是同一个概念吗?为什么?提示:“组合”与“组合数”是两个不同的概念,“组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.4.两个组合是相同组合的充要条件是什么?提示:只要两个组合中的元素安全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合. 5.判断组合与排列的依据是什么?提示:判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题.思考感悟:练一练1.(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法?解析:(1)是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关.(2)是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的. (3)是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序.2.求值:3C 38-2C 25.解析:3C 38-2C 25=3×8×7×63×2×1-2×5×42×1=148. 3.求值:C 34+C 35+C 36+…+C 310.解析:利用组合数的性质C m n +1=C m n +C m -1n, 则C 34+C 35+C 36+…+C 310=C 44+C 34+C 35+…+C 310-C 44 =C 45+C 35+…+C 310-C 44= … =C 411-1=329.4.求值:C 5-n n +C 9-nn +1.(提示:先求n 的范围,再确立n 的值进而求值)解析:⎩⎪⎨⎪⎧5-n ≤n ,5-n ≥0,9-n ≤n +1,9-n ≥0,解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *,所以n =4或n =5.当n =4时,原式=C 14+C 55=5.当n =5时,原式=C 05+C 46=16.知识点一组合的概念1.(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?(2)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票价?(往返票价相同)(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?(4)从全班40人中选出3人参加某项劳动,有多少种不同的选法? 在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题?解析:(1)飞机票与起点、终点有关,有顺序,是排列问题. (2)票价与起点、终点无关,没有顺序,是组合问题. (3)3人分别担任三个不同职务、有顺序,是排列问题. (4)3人参加某项相同劳动,没有顺序,是组合问题.知识点二 组合数公式2.计算:C 581007解析:原式=C 38+C 2100×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4 950=5 006. 3.下列计算结果为21的是( )A .A 24+C 26B .C 37C .A 27D .C 27解析:C 27=7×62×1=21. 答案:D知识点三 组合数性质4.C 05+C 15+5555解析:原式=2(C 05+C 15+C 25)=2(C 16+C 25)=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6+5×42×1=32. 5.证明:C m +1n +C m -1n +2C m n =C m +1n +2.解析:法一:左边=n !(m +1)!(n -m -1)!+n !(m -1)!(n -m +1)!+2n !m !(n -m )!=n !(m +1)!(n -m +1)![(n -m )(n -m +1)+m (m +1)+2(m +1)(n -m +1)] =n !(m +1)!(n -m +1)!(n +2)(n +1) =(n +2)!(m +1)!(n -m +1)! =C m +1n +2=右边,原结论得证.法二:利用公式C m n =C m n -1+C m -1n -1推得左边=(C m +1n +C m n )+(C m n +C m -1n )=C m +1n 1+C m n 1=C m +1n 2=右边.知识点四6.6解析:每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手C 26=15次.7.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法?(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?解析:(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C 210=10×92×1=45种. (2)可把问题分两类情况:第1类,选出的2名是男教师有C 26种方法; 第2类,选出的2名是女教师有C 24种方法.根据分类加法计数原理,共有C 26+C 24=15+6=21种不同选法.(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种,从4名女教师中选2名的选法有C 24种,根据分步乘法计数原理,共有不同的选法C 26×C 24=6×52×1×4×32×1=90种.基础达标一、选择题1.以下四个命题,属于组合问题的是( ) A .从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B .老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C .在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D .从13位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地解析:只有从100位幸运观众选出2位幸运之星,与顺序无关,是组合问题. 答案:C2.计算C 28+C 38+C 29等于( )A .120B .240C .60D .480解析:∵C m -1n +C m n =C mn +1,∴原式=C 39+C 29=C 310=120. 答案:A3.如果C 2n=28,则n 的值为( ) A .9 B .8 C .7 D .6解析:∵C 2n =n (n -1)2, ∴n (n -1)2=28,即n 2-n -56=0,解得n =8.答案:B4.(C 2100+C 97100)÷A 3101的值为( ) A .6 B .101 C.16 D.1101解析:(C 2100+C 97100)÷A 3101=(C 2100+C 3100)÷A 3101=C 3101÷(C 3101A 33)=1A 33=16.5.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有( )A .C 310种B .A 310种C .A 13A 27种D .C 13C 27种解析:每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有C 13种选法;第二步,选男工,有C 27种选法.故共有C 13C 27种不同的选法.答案:D6.方程C x 14=C 2x -414的解为( )A .4B .14C .4或6D .14或2解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x =2x -42x -4≤14x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x =14-(2x -4)2x -4≤14x ≤14解得x =4或6.故选C.答案:C7.从一个正方体的顶点中选四个点,可构成四面体的个数为( ) A .70 B .64 C .58 D .52解析:四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面,共12个,所以组成四面体的个数为C 48-12=58.故选C 项.答案:C 二、填空题8.10个人分成甲、乙两组,甲组4人,乙组6人,则不同的分组种数为________.(用数字作答)解析:先选甲组有C 410,再选2组C 66,不同分组方法有C 410·C 66=210种. 答案:2109.若A 3n =12C 2n ,则n =________.解析:因为A 3n =n (n -1)(n -2),C 2n =12n (n -1),所以n (n -1)(n -2)=6n (n -1).又n ∈N *,且n ≥3,所以n =8.答案:810.若C m -1n :C m n :C m +1n=3:4:5,则n -m =________. 解析:由题意知⎩⎨⎧C m -1nC m n =34,CmnCm +1n=45,由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3n -7m +3=0,9m -4n +5=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧n =62,m =27.所以n -m =62-27=35.答案:3511.不等式C 2n-n <5的解集为________. 解析:由C 2n-n <5,得n (n -1)2-n <5,∴n 2-3n -10<0,解得-2<n <5.由题设条件知n ≥2,且n ∈N *,∴n =2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.答案:{2,3,4}12.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有________条.解析:要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A 地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C 49C 55=126(种)走法,故从A 地到B 地的最短路线共有126条.答案:126 三、解答题13.试判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)从a 、b 、c 、d 四名学生中选2名学生完成同一件工作,有多少种不同的选法? (2)从a 、b 、c 、d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法? (3)a 、b 、c 、d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场? (4)a 、b 、c 、d 四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果? 解析:(1)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (2)2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (4)冠亚军是有顺序的,是排列问题.14.(1)解方程:C x -2x +2+C x -3x +2=110A 3x +3; (2)解不等式:1C 3x -1C 4x <2C 5x.解析:(1)原方程可化为C x -2x +3=110A 3x +3, 即C 5x +3=110A 3x +3, ∴(x +3)!5!(x -2)!=(x +3)!10·x !, ∴1120(x -2)!=110·x (x -1)·(x -2)!, ∴x 2-x -12=0,解得x =4或x =-3, 经检验知,x =4是原方程的解.(2)将原不等式化简可以得到6x (x -1)(x -2)-24x (x -1)(x -2)(x -3)<240x (x -1)(x -2)(x -3)(x -4). 由x ≥5,得x 2-11x -12<0,解得5≤x <12. ∵x ∈N *,∴x ∈{5,6,7,8,9,10,11}.能力提升15.设x ∈N *,求Cx -12x -3+x +1解析:由题意可得:⎩⎪⎨⎪⎧2x -3≥x -1,x +1≥2x -3,解得2≤x ≤4.∵x ∈N *,∴x =2或x =3或x =4.当x =2时原式的值为4;当x =3时原式的值为7; 当x =4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.16.某足球赛共32支球队有幸参加,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛一场,各组一、二名晋级16强),这16支球队再分成8个小组决出8强,8强再分成4个小组决出4强,4强再分成2个小组决出2强,最后决出冠、亚军,此外还要决出第三名、第四名,问这次足球赛共进行了多少场比赛?解析:可分为如下几类比赛:(1)小组循环赛:每组有C24=6场,8个小组共有48场;(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一、二名组成16强,根据赛制规则,16强分成8组,每组两个队比赛一场,可以决出8强,共有8场;(3)四分之一淘汰赛,根据赛制规则,8强再分成4组,每组两个队比赛一次,可以决出4强,共有4场;(4)半决赛,4强再分成2组,每组两个队比赛一场,可以决出2强,共有2场;(5)决赛,2强比赛1场确定冠、亚军,4强中的另两支队比赛1场,决出第三、四名,共有2场.综上,共有48+8+4+2+2=64场比赛.。
组合与组合数公式(二)
排列与组合
组合与组合数公式 (二)
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复习
一、组合的定义 二、组合数公式
组合数的两个性质
麦穗般的眉毛,配着青远山色轨道模样的鼻子。有着水蓝色砂锅造型的眼睛,和紫罗兰色灯笼般的耳朵,一张水蓝色话筒般的嘴唇,怪叫时露出淡紫色火舌般的牙齿,变态的 嫩黄色轻盈样的舌头很是恐怖,水绿色竹竿形态的下巴非常离奇。这巨魔有着酷似玩具般的肩胛和活像刀峰模样的翅膀,这巨魔轻灵的米黄色香肠样的胸脯闪着冷光,极似高
。这个巨魔头上浓绿色元宵模样的犄角真的十分罕见,脖子上仿佛画笔模样的铃铛显得极为小巧朦胧。壮扭公主兴奋道:“好玩,有创意!本公主相当喜欢!有什么花样快弄 出来我瞧瞧!”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”璇网缸肚魔一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大璇网缸肚魔忽然怪吼一声!只见璇网缸肚魔摇动彪悍的紫罗兰色灯笼 般的耳朵,一嚎,一道水红色的灵光猛然从灰蓝色野象造型的脸里面窜出!瞬间在巨璇网缸肚魔周身形成一片浅橙色的光盔!紧接着巨大的璇网缸肚魔不大的脚顷刻抖动膨胀 起来……肥胖的亮黑色细小画笔一样的胡须射出淡橙色的片片奇光……花哨的深紫色蛛网般的眼睛射出紫罗兰色的缕缕仙声。最后璇网缸肚魔甩动单薄的腿一声怪吼!只见从 不同方向的天边窜出八条粗有上百米,长望不见尾的灰蓝色巨链……只见望不见尾的巨链狂摆嘶叫着快速来到近前,这时壮扭公主才看清:整条巨链都是由翻滚狂转的驴球和 刷子组成!突然间三条巨链变成一个直径达万米的淡黑色巨大盆腔模样的超巨型雹龙卷群!把壮扭公主团团围主!只见无数驴球和刷子像成千上万的木头一样朝壮扭公主冲来 ……这时壮扭公主道:“你们那是啥玩意儿,看我的!”壮扭公主一边说着!一边颤动时常露出欢快光彩的眼睛大吼一声,只见无数高达七百米的蛋形摩天僵尸大厦纷纷从地 下钻了出来,然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚,排列成整齐的兵阵……壮扭公主旋动饱满亮润如同红苹果样的脸又是一声大吼,所有僵尸都像巨大的导弹一样腾空而起, 向怒放的烟花一样朝四周超巨型的丝龙群射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光,所有的丝龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见B.丝日勃木匠和另外四个校妖突然 齐声怪叫着组成了一个巨大的窗帘闪爪神!这个巨大的窗帘闪爪神,身长八十多米,体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分飘然的闪爪!这巨神有着墨紫色菊花造型的 身躯和紫宝石色细小铁链一样的皮毛,头上是深白色镜子形态的鬃毛,长着水红色玩具造型的樱桃藤草额头,前半身是亮紫色灵芝造型的怪鳞,后半身是矮矮的羽毛。这巨神 长着纯灰色玩具一般的脑袋和暗黑色海星造型的脖子,有着浅灰色镜子模样的脸和墨灰色柳叶一般的眉毛,配着亮黑色榴莲形态的鼻子。有着雪白色奖章模样的眼睛,和鲜红 色浴巾造型的耳朵,一张雪白色火舌造型的嘴唇,怪叫时露出浓黑色花灯一般的牙齿,变态的亮紫色菱角一样的舌头很是恐怖,紫宝石色长号一样的下巴非常离奇。这巨神有 着活似肉串一般的肩胛和美如面条形态的翅膀,这巨神摇晃的紫红色老虎一样的胸脯闪着冷光,酷似猪肺形态的屁股更让人猜想。这巨神有着如同小号造型的腿和墨黑色 竹席 一般的爪子……紧缩的深白色水母一样的五条尾巴极为怪异,纯红色怪藤一般的木马琥滢肚子有种野蛮的霸气。紫红色汤勺形态的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种亮黑 色冰块一样的气味,乱叫时会发出淡灰色棒槌模样的声音。这个巨神头上暗黄色兔子形态的犄角真的十分罕见,脖子上极似柴刀形态的铃铛确实相当潇洒风趣。壮扭公主兴奋 道:“好玩,有创意!本公主相当喜欢!有什么花样快弄出来我瞧瞧!”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”窗帘闪爪神一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大窗帘闪爪神 忽然怪吼一声!只见窗帘闪爪神耍动亮紫色菱角一样的舌头,一叫,一道亮青色的粼光快速从深白色水母一样的五条尾巴里面跳出!瞬间在巨窗帘闪爪神周身形成一片浅橙色 的光幕!紧接着巨大的窗帘闪爪神碳黑色海参造型的鸡笼春藤鞋眨眼间涌出恶明天锦色的树皮亮欢味……有飘带的青远山色婚纱等级的戒指射出灵闹死神声和吐哇声……肥胖 的白杏仁色胶卷似的眼镜忽隐忽现喷出天霆妙梦般的游动!最后窗帘闪爪神晃动飘浮的腿一声怪吼!只见从不同方向的天边窜出八条粗有上百米,长望不见尾的淡黄色怪龙… …只见望不见尾的怪龙狂摆嘶叫着快速来到近前,这时壮扭公主才看清:整条怪龙都是由翻滚狂转的轮椅和娃娃组成!突然间四条怪龙变成一个直径达万米的灰蓝色巨大脸皮 模样的超巨型丝龙卷群!把壮扭公主团团围主!只见无数轮椅和娃娃像成千上万的石柱一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主不高兴道:“你们弄得不好玩,看我的!”壮扭 公主一边说着!一边旋动夯锤一般的金刚大脚大吼一声,只见无数高达八百米的景摩天部长大厦纷纷从地下钻了出来,然后纷纷长出比水塔烟囱还粗的手脚,排列成整齐的兵 阵……壮扭公主摆动粗壮的大腿又是一声大吼,所有部长都像巨大的导弹一样腾空而起,向怒放的烟花一样朝四周超巨型的灰龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光 ,所有的灰龙卷群都烟消云散、不见了踪影……这时,已经收齐所有神秘配方物品的月光妹妹终于回来了!月光妹妹:我找到月亮绿钻石啦!嘻嘻!”壮扭公主:咱们终于得 到五颗月亮绿钻石!”月光妹妹:嘻嘻!好高兴啊!内力又长一层,现在咱们的内力已经是第四十一层啦!”壮扭公主:看来咱们支票上的宇宙币也该增加了……”第三章下 午该就要正式大考了,大考场地在石啤酒怪河进行,蘑菇王子和知知爵士很早就骑着各自的宝贝飞向了大考场地。巍峨峥嵘、神姿仙态的石啤酒旷野极似一团怪异的云朵。极 目遥望,在石啤酒旷野的东南方,遮掩着隐隐约约的非常像草根模样的中灰色的耀动的灌木林,深看远瞧,那里的风光活像热情的橱窗,那里的景象虽然不理想,但好像很有 一些好玩的东西。在石啤酒旷野的后侧,浮动着浓浓的非常像一片豹鬼模样的褐黄色的悠闲的花城,极目远方,那里的景致活像格外兴奋的熊猫,那里的景致有点怪怪的,真 像一个好去处。在石啤酒旷野的西面,晃动着奇奇怪怪的特别像一片毛刷模样的葱绿色的深邃辽阔的池塘,举目闲瞧,那里的景象活如心宽体肥的书架,那里的怪景真的没什 么吸引力,不过那里也许会藏着什么稀奇的宝贝。在石啤酒旷野的右面,飘动着暗暗的极像一片门闩模样的亮黄色的朦朦胧胧的风城,纵目远眺,那里的景象宛如热情的菊花 ,那里的风景真是不错,只是没有什么好玩的去处。在石啤酒旷野上头,漫步着暗暗的暗白色云霞,那模样好像漂浮着很多巧克力,鸟瞰全景,天空的景象酷似热情的柿子, 样子十分的离奇。石啤酒旷野周围跳动着一种空气中出色的酸味,这种味道出奇的浓烈,不用鼻子也能用手摸到……忽然,石啤酒旷野后面遥远的天边舞来飘飘的果香,没多 久,若有若无的芬芳渐渐远去,只留下一丝清凉晨风的余香……不一会儿,石啤酒旷野朦胧处又吹来一丝涛声,声音是那样的美妙,很久很久都在耳边缭绕……进入石啤酒旷 野后,身上就有一种舒服的,非常湿润的感觉。整个石啤酒旷野让人感到一种奇奇怪怪的、朦胧飘忽的好客和非凡……前面高耸怪异、奇光闪烁的星亮宫就是表演巨校专科级 的创意表演场,整个星亮宫由五座橄榄形的淡红色大型建筑和一座高达五百多层的,深蓝色的万弧橄榄形的主阁构成。在纯灰色的天空和深黄色的云朵映衬下显得格外醒目。 远远看去。飞亮宫的底部,八十根硕大的飘影钢门柱威猛挺拔……嫩黄色的墙裙上,纯灰色的飘影钢雕塑闪着潇洒的
排列组合算法
排列组合算法排列:从n个不同元素中,任取m(m<=n)个元素按照⼀定的顺序排成⼀列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀个排列;从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,⽤符号A(n,m)表⽰。
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1组合:从n个不同元素中,任取m(m<=n)个元素并成⼀组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀个组合;从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
⽤符号C(n,m) 表⽰。
C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);C(n,m)=C(n,n-m)。
C语⾔使⽤标志位实现#include <iostream>using namespace std;#define MaxN 10char used[MaxN];int p[MaxN];char s[MaxN];//从n个元素中选r个进⾏排列void permute(int pos,const int n,const int r){int i;/*如果已是第r个元素了,则可打印r个元素的排列 */if(pos == r){for(i=0; i<r; i++)cout<<s[p[i]];cout<<endl;return;}for (i=0; i<n; i++){if(!used[i]){/*如果第i个元素未⽤过*//*使⽤第i个元素,作上已⽤标记,⽬的是使以后该元素不可⽤*/used[i] = 1;/*保存当前搜索到的第i个元素*/p[pos] = i;/*递归搜索*/permute(pos+1,n,r);/*恢复递归前的值,⽬的是使以后改元素可⽤*/used[i] = 0;}}}//从n个元素中选r个进⾏组合void combine(int pos,int h,const int n,const int r){int i;/*如果已选了r个元素了,则打印它们*/if (pos == r){for(i=0; i<r; i++)cout<<s[p[i]];cout<<endl;return;}for(i=h; i<=n-r+pos; i++) /*对于所有未⽤的元素*/{if (!used[i]){/*把它放置在组合中*/p[pos] = i;/*使⽤该元素*/used[i] = 1;/*搜索第i+1个元素*/combine(pos+1,i+1,n,r);/*恢复递归前的值*/used[i] = 0;}}}//产⽣0~2^r-1的⼆进制序列void binary_sequence(int pos,const int r){for(i=0; i<r; i++)cout<<p[i];cout<<endl;return;}p[pos] = 0;binary_sequence(pos+1,r);p[pos] = 1;binary_sequence(pos+1,r);}//利⽤上⾯的⼆进制序列打印字符串的所有组合//如"abc"输出a、b、c、ab、ac、bc、abc。
排列组合(ABC级).学生版
一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关. 一般地,从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数,我们把它记做m n P .根据排列的定义,做一个m 元素的排列由m 个步骤完成:步骤1:从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有n 种方法;步骤2:从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位,有(1n -)种方法;……步骤m :从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置,有11n m n m --=-+()(种)方法;由乘法原理,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+()()(),即121m n P n n n n m =---+()()(),这里,m n ≤,且等号右边从n 开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m 个因数相乘.二、排列数一般地,对于m n =的情况,排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()(). 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n 个排列全部取出的排列,叫做n 个不同元素的全排列.式子右边是从n 开始,后面每一个因数比前一个因数小1,一直乘到1的乘积,知识结构排列组合记为!n ,读做n 的阶乘,则n n P 还可以写为:!n n P n =,其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅()() .在排列问题中,有时候会要求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的方法数量,可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题,就是我们将要讨论的组合问题,这里,我们将着重研究有多少种分组方法的问题.一般地,从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数.记作m n C .一般地,求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步:第一步:从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组,共有m n C 种方法;第二步:将每一个组合中的m 个元素进行全排列,共有m m P 种排法.根据乘法原理,得到m m m n n m P C P =⨯. 因此,组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯()(()()(). 这个公式就是组合数公式.四、组合数的重要性质一般地,组合数有下面的重要性质:m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是:m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法.n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法.显然,从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法.例如,从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的,即3255C C =.规定1n nC =,01n C =. 五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数,使用插板法一般有三个要求:①所要分解的物体一般是相同的:②所要分解的物体必须全部分完:③参与分物体的组至少都分到1个物体,不能有没分到物体的组出现.在有些题目中,已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符,对此应当对已知条件进行适当的变形,使得它与一般的要求相符,再适用插板法.六、使用插板法一般有如下三种类型:⑴ m 个人分n 个东西,要求每个人至少有一个.这个时候我们只需要把所有的东西排成一排,在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板,所以分法的数目为11m n C --.⑵ m 个人分n 个东西,要求每个人至少有a 个.这个时候,我们先发给每个人(1)a -个,还剩下[(1)]n m a --个东西,这个时候,我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了.所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----.⑶m 个人分n 个东西,允许有人没有分到.这个时候,我们不妨先借来m 个东西,每个人多发1个,这样就和类型⑴一样了,不过这时候物品总数变成了()n m +个,因此分法的数目为11m n m C -+-.【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有多少种排法?如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法?【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念,要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法?【例 2】 将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列,其中学生B 与C 必须相邻.请问共有多少种不同的排列方法?例题精讲【巩固】6名小朋友、、、、、A B两人必须相邻,一共有多少种不同的站法?A B C D E F站成一排,若,若、A B两人不能相邻,一共有多少种不同的站法?【例 3】书架上有4本不同的漫画书,5本不同的童话书,3本不同的故事书,全部竖起排成一排,如果同类型的书不要分开,一共有多少种排法?如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法?【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问:如果要求同类型的节目连续演出,那么共有多少种不同的出场顺序?【例 4】8人围圆桌聚餐,甲、乙两人必须相邻,而乙、丙两人不得相邻,有几种坐法?【巩固】a,b,c,d,e五个人排成一排,a与b不相邻,共有多少种不同的排法?【例 5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求:⑴当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序?⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序?【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种?【例 6】有10粒糖,分三天吃完,每天至少吃一粒,共有多少种不同的吃法?【巩固】小红有10块糖,每天至少吃1块,7天吃完,她共有多少种不同的吃法?【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,每天至少要吃一块,问共有种吃法.【例 7】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里,允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法?【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里,允许有盘子空着。
excel 枚举组合
excel 枚举组合
在Excel中,可以使用枚举函数和组合函数来计算枚举组合。
1. 枚举函数:枚举函数可以列出所有可能的组合。
假设有3个选项(A、B和C),可以使用枚举函数来列出它们的所有组合。
例如,使用枚举函数可以生成以下所有组合:
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
在Excel中,可以使用以下公式来生成这些组合:
=REPT(A1:B4,ROW(INDIRECT("1:"&COUNTA(A1:B4))),1)
其中,A1:B4为选项的范围。
这个公式将在单元格中生成所有可能的组合。
2. 组合函数:组合函数可以计算给定范围中选定数量的组合数。
假设我们有4个选项,我们想从中选取2个。
可以使用组合函数来计算可行的组合数。
在Excel中,可以使用以下公式来计算组合数:=COMBIN(4,2)
其中,4表示选项的总数,2表示要选择的数量。
这个公式将返回组合数。
通过使用枚举函数和组合函数,可以更轻松地计算和列出组合。
排列数与组合数
个城市之间都开辟了直达航线,需要准备多少 种不同的单程飞机票?
乘法原理:4×3= 12
A 排列数公式:
2 4
4×3= 12
问题二
从1,2,3,4四个字母中,每次取3个字母排
成一列,共有多少种排法?
乘法原理:4×3×2= 24
A 排列数公式: 3 4
4×3×2= 24
从甲.乙.丙.丁四名优秀团员中选两名同学升
排列数,用符号 Anm表示
Anm=n(n-1)(n-2) …(n-m+1) ,m≤n
特殊的:
Ann=n(n-1)(n-2) …3·2·1=n! 称为n的阶乘
组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组 合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合数,用符号 Cnm表示
如: C32 3
所有的排列为:
abc bac cab dab abd bad cad dac
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
无顺序
问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法?
组合与组合数公式124
acd
acd cad dac adc cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑: 求4P34 可分两步考虑:
C 第一步, 3 ( 4)个; 4
A 第二步, 3 ( 6)个; 3
A C A 根据分步计数原理, 3 4
3
4
3 3.
A 从而 3 C A 4
(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题 (握4)手10相人互聚问会候,,见共面需后握每手两多人少之次间?要组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览, 组合问题 (6有)从多4少个种风不景同点的中方选法出?2个,并确定这2个风景
问题
有5本不同的书: ( 1 ) 取 出 3 本 分 给 甲 、 乙 、 丙 三
人每人1本,有几种不同的分法? ( 2 ) 取 出 4 本 给 甲 , 有 几 种 不 同
的取法?
问题(1)中,书是互不相同的,人也 互不相同,所以是排列问题.
问题(2)中,书不相同,但甲所有 的书只有数量的要求而无“顺序”的要求, 因而问题(2)不是排列问题.
引例3
1. 北京、上海、广州三个民航站之 间的直达航线,需要准备多少种不同 的飞机票?
2. 北京、上海、广州三个民航站 之间的直达航线,有多少种不同的飞 机票价?
引例总结
以上两个引例所研究的问 题是不同的,但是它们有数量上 的共同点,即它们的实质都是:
从3个不同的元素里每 次取出2个元素,不管怎样 的顺序并成一组,一共有多 少不同的组?
组合与组合数公式
的组合数C
m n
.
第2步,求每一个组合中m个元素的全排列数A
m n
.
根据分步计数原理,得到: AnmCnmAm m
因此:C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
这里m、nN,*且 mn,这个公式叫做组合
数公式.
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,
有多少种不同的方法?
排列问题
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组
合分别是:
ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的
所有组合.
a
b
c
b cd
例4:在100件产品中有98件合格品,2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中恰好有1件是次品的概率是多少?
(5)抽出的3件中至少有1件是次品的概率是多少?
则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有( D)
A
.C
2 5
A33
B.2C53 A33
C
.A
3 5
D.2C52A33 A53
性质2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. ⑴ 从口袋内取出3个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? ⑶ 从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少 种取法?
高二数学人教A版选修23讲义第一章12第3课时组合与组合数公式
第3课时组合与组合数公式[核心必知]1.预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P21~P25的内容,回答下列问题.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?这一问题与教材P14问题1有什么区别和联系?提示:教材P14问题1是求“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动”的选法种数,由于“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”是两种不同的选法,因此解决这个问题时,不仅要从3名同学中选出2名,而且还要将他们按照“上午在前,下午在后”的顺序排列.这是上一节研究的排列问题.本节要研究的问题只是从3名同学中选出2名去参加一项活动,而不需要排列他们的顺序.2.归纳总结,核心必记(1)组合及组合数的概念①组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.②组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C m n表示.(2)组合数公式及其性质(1)你能说说排列与组合之间的区别和联系吗?提示:从排列与组合的定义可以知道,两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,这是排列、组合的共同点;它们的不同点是:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的;只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.(2)“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合?提示:由于“abc”与“acb”的元素相同,但排列的顺序不同,所以“abc”与“acb”是相同的组合,但不是相同的排列.(3)我们知道,“排列”与“排列数”是两个不同的概念,那么,“组合”与“组合数”是同一个概念吗?为什么?提示:“组合”与“组合数”是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.[课前反思](1)组合及组合数的概念:;(2)组合数公式:;(3)组合数的性质:.组合概念的理解知识点1[思考1]两个组合是相同组合的充要条件是什么?名师指津:只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合.[思考2]判断组合与排列的依据是什么?名师指津:判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题.讲一讲1.判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.(1)10个人相互写一封信,共写出了多少封信?(2)10个人相互通一次,共通了多少次?(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次?(4)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?(5)从10个人中选出3人担任不同学科的科代表,有多少种选法?[尝试解答](1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为A210=90.(2)是组合问题,因为甲与乙通一次,也就是乙与甲通一次,没有顺序区别,组合数为C210=45.(3)是组合问题,因为每两支球队比赛一次,没有顺序的区别,组合数为C210=45.(4)是组合问题,因为选出的3个人之间没有顺序的区别,组合数为C310=120.(5)是排列问题,因为3个人担任哪一科的科代表是有区别的,排列数为A 310=720. —————————类题·通法—————————————— 区分排列与组合的方法是看事件是否有顺序,而区分事件有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,若对结果产生影响,即说明有顺序,是排列问题;若对结果没有影响,即说明无顺序,是组合问题.练一练1.给出下列问题:(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票? (2)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票价?(往返票价相同)(3)a ,b ,c ,d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场? (4)a ,b ,c ,d 四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果?(5)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?(6)从全班40人中选出3人参加某项劳动,有多少种不同的选法? 在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题? 解:(1)飞机票与起点、终点有关,有顺序,是排列问题. (2)票价与起点、终点无关,没有顺序,是组合问题.(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (4)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.(5)3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题. (6)3人参加某项相同劳动,没有顺序,是组合问题.知识点2组合数公式讲一讲2.(1)计算:①3C 38-2C 25. ②C 38-n 3n +C 3n 21+n . ③C 33+C 34+…+C 310. (2)证明:C m +1n +C m -1n +2C m n =C m +1n +2. [尝试解答] (1)①3C 38-2C 25=3×8×7×63×2×1-2×5×42×1=148. ②∵⎩⎪⎨⎪⎧38-n ≤3n ,3n ≤21+n ,∴≤n ≤10.5,∵n ∈N *,∴n =10,∴C 38-n 3n +C 3n 21+n =C 2830+C 3031=30!28!×2!+31!30!=466.③法一:原式=C 33+C 45-C 44+C 46-C 45+…+C 411-C 410=C 411=330.法二:原式=C 44+C 34+C 35+…+C 310=C 45+C 35+…+C 310=C 46+C 36+…+C 310=…=C 410+C 310=C 411=330.(2)证明:法一:左边=n !(m +1)!(n -m -1)!+n !(m -1)!(n -m +1)!+2n !m !(n -m )!=n !(m +1)!(n -m +1)![(n -m )(n -m +1)+m (m +1)+2(m +1)(n -m +1)]=n !(m +1)!(n -m +1)!(n +2)(n +1)=(n +2)!(m +1)!(n -m +1)!=C m +1n +2=右边,原结论得证.法二:利用公式C m n =C m n -1+C m -1n -1推得左边=(C m +1n +C m n )+(C m n +C m -1n )=C m +1n +1+C m n +1=C m +1n +2=右边. —————————类题·通法——————————————————— (1)有关组合数的两个公式的应用范畴是有所区别的,C mn =A m n A m m常用于n ,m 为具体自然数的题目,一般偏向于具体组合数的计算;公式C m n =n !m !(n -m )!常用于n ,m 为字母或含有字母的式子的题目,一般偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明.(2)关于组合数的性质1(C m n =C n -mn )①该性质反映了组合数的对称性,即从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合,都对应着剩下的n -m 个元素的一个组合,反过来也一样,这是一一对应的关系.②当m >n2时,通常不直接计算C m n ,而改为计算C n -mn .(3)关于组合数的性质2(C m n +1=C m n +C m -1n )①形式特点:公式的左端下标为n +1,右端下标为n ,相差1,上标左端与右端的一个相同,右端的另一个比它们少1;②作用:常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”,使用变形C m -1n =C m n +1-C mn ,为某些项前后抵消提供了方便,在解题中要注意灵活应用.练一练2.(1)求值:C 5-n n +C 9-n n +1;(2)求证:C m n=m +1n -m C m +1n . 解:(1)⎩⎪⎨⎪⎧5-n ≤n ,5-n ≥0,9-n ≤n +1,9-n ≥0,解得4≤n ≤5.又因为n ∈N +,所以n =4或n =5.当n =4时,原式=C 14+C 55=5, 当n =5时,原式=C 05+C 46=16.(2)证明:因为C m n =n !m !(n -m )!, m +1n -m C m +1n =m +1(m +1)!·n !(n -m )(n -m -1)! =n !m !(n -m )!,所以C m n =m +1n -m C m +1n. 3.计算:(1)C 58+C 98100·C 77; (2)C 05+C 15+C 25+C 35+C 45+C 55; (3)C n n +1·C n -1n .解:(1)原式=C 38+C 2100×1=8×7×63×2×1+100×992×1 =56+4 950=5 006.(2)原式=2(C 05+C 15+C 25)=2(C 16+C 25)=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6+5×42×1=32. (3)原式=C 1n +1·C 1n =(n +1)n =n 2+n .知识点3简单的组合应用题讲一讲3.(1)集合{0,1,2,3}的含有3个元素的子集的个数是( ) A .4 B .5 C .7 D .8(2)五个点中任何三点都不共线,则这五个点可以连成________条线段;如果是有向线段,共有________条.(3)有10名教师,其中6名男教师,4名女教师.①现要从中选2名去参加会议,有________种不同的选法;②现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有________种不同的选法.[尝试解答] (1)由于集合中的元素是没有顺序的,一个含有3个元素的子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合,这是一个组合问题,组合数是C 34=4.(2)从五个点中任取两个点恰好连成一条线段,这两个点没有顺序,所以是组合问题,连成的线段共有C 25=10(条).再考虑有向线段的问题,这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是A 25=20.所以有向线段共有20条.(3)①从10名教师中选2名去参加会议的选法数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C 210=10×92×1=45(种). ②从6名男教师中选2名的选法有C 26种,从4名女教师中选2名的选法有C 24种.根据分步乘法计数原理,共有不同的选法C 26×C 24=6×52×1×4×32×1=90(种). 答案:(1)A (2)10 20 (3)①45 ②90—————————类题·通法————————————————— 解答简单的组合问题的思路:(1)弄清楚做的这件事是什么;(2)分析这件事是否需分类或分步完成;(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.练一练4.一个口袋里装有除颜色外完全相同的7个白球和1个红球,从口袋中任取5个球. (1)共有多少种不同的取法?(2)其中恰有1个红球,共有多少种不同的取法? (3)其中不含红球,共有多少种不同的取法?解:(1)从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法的种数是C 58=C 38=8×7×63×2×1=56. (2)从口袋里的8个球中任取5个球,其中恰有1个红球,可以分两步完成: 第1步,从7个白球中任取4个白球,有C 47种取法; 第2步,把1个红球取出,有C 11种取法.故不同取法的种数是C 47C 11=C 47=C 37=35.(3)从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球中任取5个白球即可,不同取法的种数是C 57=C 27=21.—————————————[课堂归纳·感悟提升]————————1.本节课的重点是组合的概念、组合数公式及其性质、简单的组合应用问题,难点是组合数的性质及应用.2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)组合概念的理解,见讲1;(2)组合数公式及性质的应用,见讲2; (3)会解决简单的组合应用题,见讲3.3.本节课的易错点是利用组合数性质C x n =C yn 解题时,易误认为一定有x =y ,从而导致解题错误.事实上,C xn=C y n⇔⎩⎪⎨⎪⎧x =y 或x +y =n ,x ≤n ,y ≤n ,x ,y ∈N *.课下能力提升(五) [学业水平达标练]题组1 组合概念的理解1.下列问题中是组合问题的个数是( ) ①从全班50人中选出5名组成班委会;②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员; ③从1,2,3,…,9中任取出两个数求积; ④从1,2,3,…,9中任取出两个数求差或商. A .1 B .2 C .3 D .4解析:选B ①③与顺序无关,属于组合问题;②④与顺序有关,属于排列问题,故选B.2.下列各事件是组合问题的有________.①8个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次? ②8个朋友相互写一封信,一共写了多少封信?③从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个? ④从1,2,3,…,9这九个数字中任取3个,组成一个集合,这样的集合有多少个? 解析:①每两人握手一次,无顺序之分,是组合问题.②每两人相互写一封信,是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的.③是排列问题,因为取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,便会得到不同的三位数.④是组合问题,因为取出3个数字后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其构成的集合都不变.答案:①④ 题组2 组合数公式3.下列计算结果为28的是( )A .A 24+A 26B .C 77 C .A 28D .C 28解析:选D C 28=8×72=4×7=28. 4.若C 2n =36,则n 的值为( ) A .7 B .8 C .9 D .10解析:选C ∵C 2n =36,∴12n (n -1)=36,即n 2-n -72=0,∴(n -9)(n +8)=0.∵n ∈N *,∴n =9.5.C 26+C 57=________.解析:C 26+C 57=6!4!×2!+7!2!×5!=6×52+7×62=15+21=36. 答案:366.已知A 2n =4C 2n -1,则n =________.解析:因为A 2n =4C 2n -1,所以n (n -1)=4×(n -1)(n -2)2,解得n =4(n =1舍去). 答案:47.已知C 4n ,C 5n ,C 6n 成等差数列,求C 12n 的值. 解:由已知得2C 5n =C 4n +C 6n ,所以2·n !5!(n -5)!=n !4!(n -4)!+n !6!(n -6)!,整理得n 2-21n +98=0, 解得n =7或n =14,要求C 12n的值,故n ≥12, 所以n =14,于是C 1214=C 214=14×132×1=91. 题组3 简单的组合应用题8.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建造“村村通”工程,共需建公路的条数为( )A .4B .8C .28D .64解析:选C 由于公路的修建问题是组合问题.故共需要建C 28=28条公路. 9.某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有( )A .C 310种B .A 310种C .A 13A 27种D .C 13C 27种解析:选D 每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成:第一步,选女工,有C 13种选法;第二步,选男工,有C 27种选法.故共有C 13C 27种不同的选法.10.若x ∈A ,则1x ∈A ,就称集合A 具有伙伴关系.集合M =-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )A .15B .16C .28D .25解析:选A 将集合M 中除0,4外的元素分为四组,即-1;1;12,2;1314+C 24+C 34+C 44=15,故选A. 11.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有________种.解析:从10人中选派4人有C 410种方法,对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法种数为C 410C 24C 12=2 520.答案:2 52012.一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)在选出11名上场队员时,还要确定其中一人为守门员,那么教练员有多少种方法做这件事情?解:(1)由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案有C 1117=12 376(种). (2)教练员可以分两步完成这件事情.第1步, 从17名学员中选出11人组成上场小组,共有C 1117种选法;第2步,从选出的11人中再选出1名守门员,共有C 111种选法.所以教练员做这件事情的方法数有C 1117×C 111=136 136(种).[能力提升综合练]1.(C 2100+C 97100)÷A 3101的值为( )A .6B .101 C.16 D.1101解析:选C (C 2100+C 97100)÷A 3101=(C 2100+C 3100)÷A 3101=C 3101÷(C 3101A 33)=1A 33=16. 2.有两条平行直线a 和b ,在直线a 上取4个点,在直线b 上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有( )A .70个B .80个C .82个D .84个解析:选A 分两类,第1类:从直线a 上任取一个点,从直线b 上任取两个点,共有C 14C 25种方法;第2类:从直线a 上任取两个点,从直线b 上任取一个点,共有C 24C 15种方法.故满足条件的三角形共有C 14C 25+C 24C 15=70(个).3.假设200件产品中有3件次品,现在从中任取5件,其中至少有2件次品的抽法有( )A .C 23C 2198种B .(C 23C 3197+C 33C 2197)种 C .(C 3200-C 4197)种 D .(C 5200-C 13C 4197)种 解析:选B 分为两类:第一类,取出的5件产品有2件次品3件合格品,有C 23C 3197种抽法;第二类,取出的5件产品有3件次品2件合格品,有C 33C 2197种抽法.因此共有(C 23C 3197+C 33C 2197)种抽法.4.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖,则可能的决赛结果共有________种.解析:根据题意,知所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33=6×5×42×1=60(种). 答案:605.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有________条.解析:要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A 地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C 49C 55=126种走法,故从A 地到B 地的最短路线共有126条.答案:1266.若C 4n >C 6n ,则n 的集合是________.解析:∵C 4n >C 6n,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ,n ≥6,⇒⎩⎪⎨⎪⎧n !4!(n -4)!>n !6!(n -6)!,n ≥6,⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2-9n -10<0,n ≥6,⇒⎩⎪⎨⎪⎧-1<n <10,n ≥6.∵n ∈N *,∴n =6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}. 答案:{6,7,8,9}7.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数,则可以得到多少个不同的这样的最小三位数?解:从6个不同数字中任选3个组成最小三位数,相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合,故所有不同的数的个数为C 36=6×5×43×2×1=20. 8.(1)在桥牌比赛中,发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌.一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)?(2)某人决定投资8种股票和4种债券,经纪人向他推荐了12种股票和7种债券.问:此人有多少种不同的投资方式?解:(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题,共有C 1352种不同的可能.即一名参赛者可能得到C 1352手不同的牌.(2)需分两步:第1步,根据经纪人的推荐在12种股票中选8种,共有C 812种选法;第2步,根据经纪人的推荐在7种债券中选4种,共有C 47种选法.根据分步乘法计数原理,此人有C 812·C 47=17 325种不同的投资方式.。
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public class AllCombString {
public static int t;//组合个数
public static void main(String[] args) {
String str = "123";
char[] c = str.toCharArray();
println(c)
t++;
allCombString(c,0);
System.out.println(t);
}
public static void allCombString(char[] c,int s){
int l = c.length;
if(l-s==2){
char temp = c[l-1];
c[l-1] = c[l-2];
c[l-2] = temp;
println(c);
t++;
}
else{
for(int i=s;i<l;i++){
moveToHead(c,i,s);
char ct[] = new char[l];
System.arraycopy(c, 0, ct, 0, l);//保持其他元素位置不变 allCombString(ct,s+1);
}
}
}
public static void moveToHead(char[] c,int id,int s){
if(id>s&&id<c.length){
char temp = c[id];
for(int i=id;i>s;i--){
c[i] = c[i-1];
}
c[s] = temp;
println(c);
t++;
}
}
public static void println(char[] c){
System.out.println(new String(c));
}
}
输出结果:
123
132
213
231
321
312
6
设计思路:
1、n个字符,顺序选取其中第1个;
2、在剩下的n-1个字符中,再选取其中的第1个;
3、若剩余的字符只剩下2个,则这两个字符交换位置;若不是,则继续第2步。
4、这是一个典型的递归,无论有多少个字符,到最后只需交换最后两个字符即可。
5、为了能按顺序选取字符(因为递归之后会影响字符的顺序,如:“abcd”经过第一轮递归之后变成“adbc”,这时再执行第2步的话,取到的字符是“d”,而不是“b”),所以这里使用了数组拷贝,for循环不受递归的影响。
(这个问题想了老半天,暂时只能用这种方法,即使效率比较低)。
6、组合的个数是字符个数的阶层,如“abc”,组合个数为3!=6。