数模培训2010_1

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第一讲 2010年数学建模竞赛培训课程(数值计算入门)

建立向量
e1:e2:e3其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值 linspace(a,b,n) a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。

例1 建立随机数矩阵： (1) 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。 (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此外，常用的函数还有

结构型
结构的建立和访问方法：
直接建立结构和各个域，同时给各域赋值，结构
和域之间用点“．”连接。同样，访问结构的各个域时，其格式为：
结构名．域名
用函数struct建立结构，其用法为：
s=struct(‘field1’,values1,‘field2’,values2,┅)

矩阵分析函数

cond：计算矩阵的条件数 norm：计算矩阵或者向量的范数 rank：计算矩阵的秩 det：计算矩阵的行列式 trace：计算矩阵的迹 [s,u]=eig(A)：求特征向量和特征值 poly：求特征多项式(对应compan：多项式的伴随矩阵) \和/：线性方程求解 inv：矩阵求逆 pinv：矩阵伪逆
>>A(4)+A(8)
行列删除
>>B=[1
2 3;4 5 6; 7 8 9]; >>B(2,: )=[] >>B= 123 789
矩阵的尺寸

2010年东北大学数学建模培训模拟竞赛题

2010年东北大学数学建模培训模拟竞赛试题问题-A海潮和泄洪近年来世界范围的气候情况发生了巨大的变化，极端气候出现频率大大增加，百年未遇的自然灾害每年都有极大可能发生。

其原因可能是由于：全球气候变暖、温室气体排放增多以及人类生产活动破坏了地表植被等原因造成的。

据国家减灾委、民政部的统计，截至8月6日，今年洪涝灾害造成全国2亿人(次)受灾，1454人死亡，669人失踪，1214.8万人(次)紧急转移安置，1347.1万公顷农作物受灾，其中209万公顷绝收，136.4万间房屋倒塌，358.1万间房屋损坏,因灾直接经济损失2751.6亿元。

给人民生命和财产造成了巨大损失。

2010年8月7日夜22点左右舟曲发生的特大洪水泥石流损失更是令人触目惊心！我国已经建立的一些水利设施在防洪减灾方面起到了很大作用。

三峡工程的作用主要有：发电、防洪、灌溉，首要任务是防洪。

连日来，三峡大坝及时挡水控泄，发挥重要的防洪作用。

截至14日，三峡已接受长江防总发出的11次调度令，或增大出库流量以腾出库容应对上游来水，或减少出库流量以缓解下游防汛压力。

长江下游的中心城市上海是我国重要的经济中心，其防洪任务非常艰巨和重要。

现在主要考虑海水和长江对上海的影响。

海水主要有由天体引潮力所引起的潮汐的天文潮和由于风暴的强风作用而引起港湾水面急速异常升高的风暴潮。

长江主要是上游洪水引起的。

当三种情况出现叠加(或两种叠加)就有可能造成上海的洪水施虐。

建立数学模型：(1)分析上海是否会出现被洪水淹没的可能性；(2)调控三峡大坝的泄洪量可以使得上海防洪压力减轻，设计一个算法，在大坝设施安全的前提下，根据海水的影响调整三峡大坝的泄洪量以确保上海市的安全并且不影响生产和生活。

问题-B车间打磨机的效率问题某个单位的车间工人上班时间为早8:00-16:00，中间没有休息时间。

此车间前一段时间花费了1万元购置了一台工具打磨机，工人的生产工具出现问题，必须中断生产前来打磨工具。

2010年数学建模集训小题目解答.pdf1

3
生产 3 种产品的总利润为
综上所述，建立如下的线性规划模型
max
2 3 5 c x ∑ i ∑ ij − ∑∑ b j a ij xij i =1 j =1 i =1 j =1
3
s.t.
∑a
i =1
3
ij
xij ≤ d j ， j = 1,2,L ,5
x11 + x12 = x13 + x14 + x15
3．某商业公司计划开办 5 家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由 5 家建筑公司分
别承建。已知建筑公司 Ai （ i = 1,2,3,4,5 ）对新商店 B j （ j = 1,2,3,4,5 ）的建造费用的报价，见表 4。商业公司应当对 5 家建筑公司怎样分配建造任务，（万元）为 cij（ i, j = 1,2,3,4,5 ）才能使总的建造费用最少？表 4 各建筑公司的建筑费用数据
解：用 j = 1,2,3,4 分别表示甲、乙、丙、丁四个企业， cij 表示第 i （ i = 1, L ,6 ）台设备分配给第 j 个企业创造的利润，引进 0 − 1 变量
1, 第i台设备分配给第j个企业 xij = ， i = 1, L ,6 ， j = 1,2,3,4 0, 第i台设备不分配给第j个企业
数学规划的 LINGO 程序：
model: sets: chanpin/1..3/:c; shebei/1..5/:b,d; link(chanpin,shebei):a,x; endsets data: c=1 1.65 2.3; a=@file('data1.txt'); b=@file('data1.txt'); d=@file('data1.txt'); enddata max=@sum(chanpin(i):c(i)*@sum(shebei(j)|j#le#2:x(i,j)))-@sum(chanpin( i):@sum(shebei(j):b(j)*a(i,j)*x(i,j))); @for(shebei(j):@sum(chanpin(i):a(i,j)*x(i,j))<d(j)); @sum(shebei(i)|i#le#2:x(1,i))=@sum(shebei(i)|i#ge#3:x(1,i)); x(2,1)+x(2,2)=x(2,3); x(3,2)=x(3,4); x(2,4)=0; x(2,5)=0; x(3,1)=0; x(3,3)=0; x(3,5)=0; end

数学建模竞赛培训_2010

00A DNA 序模式识别、欧氏距离、马氏距离分类法、列分类 Fischer判别模型、神经网络方法 00B 钢管订购组合优化、运输问题和运输 01A 血管三维曲线拟合、曲面重建重建 01B 工交车调多目标规划度问题
02A 车灯线光非线性规划源的优化
02B彩票问题单目标决策
03A SARS的传播 03B 露天矿生产的车辆安排 04A 奥运会临时超市网点设计 04B 电力市场的输电阻塞管理 05A 长江水质整体评价 05B DVD在线租赁 06A 出版社资源优化配置 06B 艾滋病治疗效果评价与预测
数据处理方法：曲线拟合,数据回归分析,插值，基于数据库（Acess,Excel）的海量数据的筛选等；概率统计方法：期望分析,排队论,回归分析,模式识别,判别分析；图论方法：最短路问题,最大流问题,最小生成树；微分方程方法：稳定性分析,预测；模糊数学：模糊聚类分析,模糊层次分析,模糊规划
3. 数学模型及其分类
数学模型的分类：
◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、概率模型、稳定性模型、扩散模型等。 ◆ 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
f(x)~目标函数
gi(x)0~约束条件数学规划线性规划非线性规划整数规划
决策变量个数n和多元函数约束条件个数m较大条件极值最优解在可行域
的边界上取得重点在模型的建立和结果的分析
二、优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件有约束问题和无约束问题。

2010建模培训-建模概念和步骤

• 模型建立：
1 分清变量类型，恰当使用数学工具分清变量类型，对确定性变量。常使用微积分、（对确定性变量。常使用微积分、线性规划、非线性规划等）；性规划、非线性规划等）； 2 抓住问题的本质，简化变量之间的抓住问题的本质，关系（模型尽可能简单、明了，思路关系（模型尽可能简单、明了，清晰，侧重应用）；清晰，侧重应用）； 3 要进行严密推理，确保模型的正确要进行严密推理，性； 4 建模要有足够的精确度。建模要有足够的精确度。
dx = rx dt
数学建模基本知识
1 数学模型的基本概念 2 数学模型的基本分类 3 数学建模的基本步骤
数学模型的基本概念
玩具、照片… 我们常见的模型风洞中的飞机… 地图、电路图… 实物模型物理模型符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简化、抽象、提炼出来的原型的替代物。
数学建模基本步骤之八
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、 • 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，
数学建模的注意事项
机理分析没有统一的方法，机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析来学习。来学习
数学建模的一般步骤
模型准备
模型修改
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
• 模型准备：在建模前应对实际在建模前应对实际
问题的历史背景和内在机理有深刻的理解，刻的理解，必须对该问题进行全深入、细致的研究。面、深入、细致的研究。首先要明确所要解决的问题的目的要求，明确所要解决的问题的目的要求，着手收集数据。着手收集数据。数据是为建立模型而收集的，型而收集的，因此当考虑好模型的类型后, 便可以有目的性, 的类型后便可以有目的性合理性地收集有关数据，理性地收集有关数据，要与有关专家和有实际经验的人员合作，专家和有实际经验的人员合作，采集数据时要注意精度要求，采集数据时要注意精度要求，尽可能地精确。可能地精确。

数学建模培训精品课件

数学建模的基本步骤
总结词：掌握数学建模的基本步骤是成功解决问题的关键。
详细描述：数学建模的基本步骤包括明确问题、收集数据、建立模型、求解模型和评估模型。明确问题是数学建模的第一步，需要清晰地定义问题并确定研究范围。收集数据是建立模型的基础，需要收集足够的信息来支持模型的建立。建立模型是将实际问题转化为数学问题的过程，需要选择合适的数学方法和工具。求解模型是利用计算机和数学软件对建立的模型进行计算和分析。评估模型是验证模型的准确性和可靠性，需要对模型的预测结果进行误差分析和改进。
线性代数在机器学习中的应用
例如，利用线性代数建模进行数据降维、特征提取等。
概率论与数理统计建模应用
概率论与数理统计建模概述
概率论与数理统计是研究随机现象的数学分支，通过概率论与数理统计建模可以解决不确定性和风险的问题。
概率论与数理统计在金融中的应用
例如，利用概率论与数理统计建模进行风险评估、投资组合优化等。
例如，利用微积分建模研究生物种群增长、疾病传播等问题。
线性代数建模应用
线性代数建模概述
线性代数是研究线性关系的数学分支，通过线性代数建模可以解决矩阵和向量的问题。
线性代数在计算机图形学中的应用
例如，利用线性代数建模进行图像处理、3D渲染等。
线性代数在控制系统中的应用
例如，利用线性代数建模研究系统的稳定性、控制系统的设计和优化等。
例如，利用优化建模进行路径规划、车辆调度等，以实现运输成本的最小化。
优化在生产计划中的应用
例如，利用优化建模进行生产计划安排、资源分配等，以实现生产效益的最大化。
优化在金融中的应用
例如，利用优化建模进行投资组合优化、风险管理等，以实现金融收益的最大化。

数学建模竞赛培训教程第一章-第三章

第二章
多元线性统计模型
§1 多元线性回归数学模型
一、一般数学模型
假设正态分布的随机变量 y 可以表示成特殊的形式（只有正态分布才有这样的基本的良好的形态：线性可加性）
⎧ y = β 0 + β 1 x1 + ... + β m x m + ε ⎨ ε ~ N (0, σ 2 ) ⎩
这个模型称之为 m 元理论线性回归模型
=⎜ ⎜
⎛ β0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝b⎠
⎛ ⎞ ⎜ε ⎟ ⎜ 1⎟ ε = ⎜ε 2 ⎟ 来自M ⎟ ⎜ ⎜ε ⎟ ⎟ ⎝ n⎠
得到 n 元线性回归模型： ⎨
⎧ y I = β 0 + β 1 xi 1 + ... + β m xi m + ε i ε i ~ N (0,σ 2 ) ⎩
（2）
用矩阵的运算关系集中可以表示成：
有了模型分析和模型假设以后，就要表示成准确的数学问题形式，形成明确完整的数学模型，这就是模型构成。模型的构成要根据对象的内在规律、相互联系、平衡关系、递推规律、条件限制、总和表示等构作出各个、各种量（变量和常量）的等式及不等式关系，或者其它结构形式，有时可以把若干等式关系统一成矩阵等式或方程组形式等。还要充分利用有关专业领域中的规律、原理、性质等来分析和建立等式及不等式。模型构成中更重要的是确定求解目标的形式，可以说只有明确了目标，把目标用具体数学形式表现出来了，明确了目标：求某类状态的最大值或最小值、确定某种变化过程的数值变化过程即函数、对某组对象进行分类、找出某些变量之间的对应关系、求某类对象的数目、进行因素的差异性分析、找出影响目标的主要因素、进行某种合理性及满意度分析等等。明确了这些，我们才能选择恰当的数学模型来对应表示，进而提出问题、形成数学模型。数学模型的构成要依赖于相关的数学概念、数学理论和数学问题。实际上在进行模型的分析、假设时就已经确定了所要建立的的数学模型的类型，现在要做的就是将具体数学形式表现出来。一般情况下，要用已有的概念形式来表示，问题的表述要规范、清晰，如果遇到新问题、新现象，也需要创造性地引进新概念、新方法。第四步模型计算

数学建模培训精品课件ppt

03
跨学科的数学建模需要加强交流与合作，打破学科壁垒，促进知识的融合和应用。
总结
数学建模是利用数学语言描述现实世界的过程，它在科学、工程、经济、金融等领域有着广泛的应用。
重要性
数学建模能够将实际问题抽象化，通过数学分析和计算得出结论，为决策提供科学依据。
应用领域
数学建模在物理、化学、生物、环境科学、医学、社会科学等领域都有应用，是解决复杂问题的重要工具。
数学建模竞赛经验分享
数学建模竞赛需要学生运用所学知识解决实际问题，有助于培养他们的创新思维和解决问题的能力。
培养创新思维
参加数学建模竞赛可以提高学生的数学素养、编程能力、团队协作和沟通能力等，有助于提升学生的综合素质。
提高综合素质
在数学建模竞赛中取得优异成绩，可以为学生未来的学术和职业发展提供有力支持，增强他们的竞争力。
随着实际问题越来越复杂，数学建模面临诸多挑战，如模型建立、数据获取和处理、计算效率等。
挑战
随着科技的发展，数学建模在大数据分析、人工智能、机器学习等领域的应用越来越广泛，为数学建模提供了新的机遇。
技术创新
随着计算技术和算法的发展，数学建模将更加高效和精确，能够处理更大规模和更复杂的数据。
应用拓展
LINGO是一款由Lindo Systems公司开发的商业优化软件，主要用于解决线性规划、整数规划、非线性规划等问题。
LINGO内置了多种求解器，可以快速求解大规模的优化问题，支持多种目标函数和约束条件。
LINGO提供了友好的用户界面和强大的建模功能，支持多种优化模型，包括线性规划、整数规划、二次规划等。
Python的语法简单易懂，易于上手，适合初学者快速入门。
Python的可视化库也非常丰富，如Matplotlib、Seaborn等，可以方便地绘制各种统计图形和数据可视化。

Autodesk Inventor 2010 培训教程第1章(完整文字可复制版)

第一章初识Autodesk Inventor 2010●章节内容（1）了解Inventor的用户界面；（2）项目文件的创建和使用；（3）使用Inventor进行设计的工作流程。

●章节难点（1）项目文件的创建和使用。

1.1 Autodesk Inventor组成及用户界面Autodesk Inventor 2010是Autodesk公司于2009年发布的一款全面的三维设计工具，包括：零件造型、钣金、装配、表达视图和工程图等设计模块。

由于具有简单易用、二三维数据无缝转换等特性，使其在教育、制造、电子、汽车、航空等领域得以迅猛发展和普及。

Autodesk Inventor具有一个上下文相关的用户界面，可以提供与当前执行的任务有关的工具。

全面得联机帮助和教程系统提供的信息，对于学习使用该应用程序很有帮助。

1.1.1 Autodesk Inventor组成1. Autodesk Inventor基本模块●零件造型——草图是三维造型的基础，特征是构建模型的基本单元，模型是特征的集合。

●钣金设计——具有处理钣金冲压等功能，并在此基础上完成展开。

●装配——Inventor在装配功能中的第一目标是实现“基于装配关系的关联设计”。

在这种功能下，使Inventor能够顺畅的与工程师的设计构思一致，比较理想的完成自顶向下的创成设计。

●表达视图——传统设计中，机械装配过程是比较难以表达的。

Inventor的“表达视图”正是解决这种难题的工具。

“表达视图”可以输出AVI、WMV等格式的动画文件。

●工程图——机械设计的最后一步，出工程图是必须完成的。

2. Autodesk Inventor附加模块●设计加速器——为工程师在设计过程中提供决策支持和设计计算，使设计者不用花大量的时间在模型的建立和繁琐的计算上，从而达到设计加速的效果。

（例如：螺栓的设计，通过选择正确零件和孔，可以立即插入螺栓联接。

）●结构件——金属结构件是以型材和焊接联接方法为主的一种结构。

2010年数学建模集训模拟题目

2010年数学建模集训题目第一题A题为新开发的商用飞机预测价格问题近日，中国商用飞机公司销售经理陈进接受中国官方《China Daily》采访时说:“国产大飞机与同类机型相比具有非常明显的竞争优势。

”他说，在燃油消耗方面中国C919将比目前所有机型减少12-15%。

最具有杀伤力的是中国大飞机上市时定价将会非常便宜，会大大低于波音和空客同类产品的定价。

他透露说，C919上市时定价会低于5000万美元/架！在放手开发研制一种新飞机时，除了技术细节外，还有很多经济问题需要回答。

其中最重要的是飞机制造商需要知道他的原始投资是否能够收回来，多久才能收回来。

这就要预测一下飞机的上市价格和市场前景。

波音747有600万的零部件，而它的价格绝不是600万零部件的综合！毕竟对于飞机这样庞然大物的高科技商品，高投入，也高风险，周期还长，其销售价格除了和制造商的制造成本、航空公司的运营成本有关外，还和同类型飞机的市场前景、竞争格局等其它因素有关。

而飞机的技术数据往往能够一定程度上反映其中的一些因素。

试查找相关资料，完成以下三个问题：（1）假如你是中国商用飞机公司销售经理，请你对比同类客机B737-800，以航空公司的角度，结合飞机运营成本，评估一下国产大飞机C919未来的市场潜力；（2）假如你是飞机制造商，请你建立一合理的数学模型为将新开发的商用飞机预测一个较合理的价格，并结合你的模型对C919的价格进行预测；（3）以你所建立的模型，结合相关数据，计算当前A380-800和B737-800两种商用飞机的价格，并说明所建价格预测模型的优缺点；附件： *1：飞机机型,飞机机型介绍,飞机机型查询,民航飞机型号查询,民航机型大全,民航机型概况：简介,主要型号,基本数据,制造历史和特点等----请查看：/air/flight/AircraftType/aircraftmodel.h tm（377种飞机机型大全）；*2：部分波音及空客飞机价格见附件1。

2010数学建模竞赛培训讲稿

网上资源的使用 1．通过google、等检索相关信息，然后在进一Bib机构，在此查找文献
3．利用学院图书馆的万方、ENCE等资源库查找国内信
息并可下载全文。
4．利用数字中国等网上论坛信息
2010校内竞赛和东北联赛
1．竞赛时间： 2010年4月23日上午8：00—5月5日下午15：00； 2．竞赛题目下载网址： /class/1_1_26.htm 每个省其它下载网址详见各省组委会通知。 3．选题：研究生、本科生从A、B、C三题中任选一题，在封面组别一栏注明研究生或本科生；选错题的参赛队答卷无效； 4．交卷方式 2008年5月5日下午16：30前将答卷交到本校的指定地点；
答卷内容 1．标题：把你完成的论文起个名字，即标题。
2．摘要：在论文完成后要写好摘要（往年200～300 字），这是门面，摘要的措辞要讲究，叙述要简明、准确。 3．问题提出（问题重述）：把原题目中的一些无关紧要的话去掉，并用自己的语言把问题重述。 4．问题分析：对题目进行认真分析，分析清楚题目所给的已知条件，找出需要解决的主要问题，找出问题的关键所在，理清工作思路。 5．模型假设：根据模型的分析，根据问题的特征和建模的目的，抓住问题的本质，抓住主要因素，忽略次要因素，对模型做出合理的简化假设。
交流方式：
公共邮箱：SHSXJM2010@ 密码：2010SHSXJM QQ群号：44957250 教师组通过飞信发布通知
6．模型的建立：根据模型的假设和对模型的分析，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构
7．模型求解（算法设计和计算机实现）：使用各种数学方法、数学软件和计算机技术对模型求解。
8．结果（数据、图形）。 9．结果分析和检验（如误差分析、统计检验、灵敏性检验）：对求解结果进行数学上的分析，如对结果进行误差分析，分析模型对数据的稳定性或灵敏性等。 10．优缺点，改进方向：

数学建模培训之一ppt

概率统计建模方法是利用概率论和统计学原理来解决实际问题的建模方法。
概率统计建模方法的优点是能够处理不确定性和随机性，提供较为准确的预测和决策支持。
这类方法主要应用于解决一些不确定性问题，如风险评估、预测等问题，如贝叶斯推断、马尔可夫链蒙特卡洛等方法。
然而，概率统计建模方法需要较高的数学基础和统计学知识，对于初学者有一定的难度。
模型验证与评估
对建立的模型进行验证和评估，确保模型的可靠性和有效性。
如何提高数学建模能力
基础知识学习
掌握数学建模所需的基本知识和技能，如概率论、统计学、线性
代数等。
案例分析与实践
通过案例分析和实践，加深对数学建模的理解和应用能力。
参加竞赛与培训
参加数学建模竞赛和培训课程，提高数学建模的实战能力和技巧。
数学建模的基本步骤
01
02
03
04
问题分析
对实际问题进行分析，明确问题的目标、条件和限制。
建立模型
根据问题分析的结果，选择适当的数学方法和工具，建立数学模型。
求解模型
使用适当的数学方法和工具，求解建立的数学模型，得到结果。
结果分析
对求解结果进行分析，解释结果的意义，并回答实际问题。
02
团队合作
鼓励学生分组进行项目实践，培养团队协作和沟通能力。
创新性思维
鼓励学生尝试不同的建模方法和思路，培养创新性思维和解决问题的能力。
解决实际问题的挑战与方法
数据获取与处理
面对实际问题时，如何获取和处理数据是关键，需要掌握数据分析和处理的方法和技术。
模型选择与优化
根据问题的性质和需求，选择合适的数学模型并进行优化，以提高模型的准确性和实用性。

2010年数学建模培训资料(Poisson过程及其应用)

(10⋅1)n P{N(2) − N(1) ≤ 5} = ∑e−10⋅1 n! n=0 0 10 −10 ( ) P{N(3) − N(2) = 0} = e = e−10 0!
5
事故的发生次数及保险公司接到的索赔数)若以例2: (事故的发生次数及保险公司接到的索赔数若以事故的发生次数及保险公司接到的索赔数若以N(t)表示表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在(0,t]时间内发生不幸事故某公路交叉口、矿山、工厂等场所在时间内发生不幸事故的数目，则泊松过程就是{N(t) ,t≥0}的一种很好近似，因而的一种很好近似，的数目，则泊松过程就是的一种很好近似保险公司受到的赔偿请求的次数(设一次事故就导致一次索赔。保险公司受到的赔偿请求的次数设一次事故就导致一次索赔)。设一次事故就导致一次索赔的投诉(设商品出现质量问题为事故向3.15的投诉设商品出现质量问题为事故等都是可以应用泊松的投诉设商品出现质量问题为事故)等都是可以应用泊松过程的模型。我们考虑一种最简单情况，过程的模型。我们考虑一种最简单情况，设保险公司每次赔付都是1，接到的索赔要求是平均次月都是，接到的索赔要求是平均4次/月，则一年中它要付出的金额平均为多少？额平均为多少？设一年开始为0时刻一月末为1,2月末为时刻,一月末为月末为2, 则年末为则年末为12. 解: 设一年开始为时刻一月末为月末为 …,则年末为
而相关函数
RN (s, t) = E[N(s)N(t)]
= CN (s, t) + µN (s)µN (t)
= λ st + λ m s, t) , in(
2
s, t ≥ 0
于是，于是，有定理1：的泊松过程，定理：设{N(t) ,t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，则有

2010数学建模-MATLAB-暑期培训资料

2010数学建模-MATLAB-暑期培训资料数学建模暑期培训－MATLAB软件李银1熟悉软件操作界⾯1.1命令窗⼝MATLAB执⾏命令的主窗⼝，命令于提⽰符 “>>”之后输⼊，回车确认执⾏；1.2命令历史窗⼝显⽰⽤户过去所使⽤过全部命令，可双击后重新执⾏，避免重新输⼊命令，或使⽤上、下⽅向键调出修改后再重新执⾏；1.3⼯作空间窗⼝显⽰当前MATLAB在计算机内存中存在的变量、数据等详细信息，以便⽤户查看，可删除其中若⼲个或全部删除；1.4当前⼯作⽬录窗⼝显⽰⽤户当前⼯作时所处在的⽬录位置，该⽬录是⽤户存放及打开⽂件时MATLAB指向的默认⽬录，可通过其⽬录选择器重新指向新⽤户⽬录；在该窗⼝中可以观察到当前⽬录中所有⽂件的详细情况，可以直接选定某⼈⽂件，通过单击右键运⾏或打开该⽂件进⾏编辑。

2 基本运算2.1 四则运算 + - * / \2.2 乘⽅、开⽅ “＾” sqrt( )例：：>>2^3↙ 32312:>>2^（1/3）↙ 2.3 指数函数 exp(x)，e ：exp(1);；：exp(2)；2e 2.4 标点符号逗号(，)输出结果；分号(；)不输出结果2.5 常量与变量常量圆周率π：pi ；⽆穷⼤∞：inf ；等变量定义变量不必事先声明，MATLAB 会通过变量所获得的值⾃动识别，变量名必须以字母开头，后可接字母、数字或下划线，不可使⽤空格与标点符号；注意：变量名区分⼤、⼩写；2.6 常⽤函数：三⾓函数sin(x)、cos(x)、asin(x)、acoS(x)、tan(x)、atan(x)、cot(x) acot(x). ? 指数、对数函数exp(x) log(x) log10(x) log2(x).四舍五⼊round(x)求余mod(x,y)：余数符号与y 相同；rem(x,y)：余数符号与x相同.舍⼊函数fix(x)：与零最接近的整数；floor(x)：不⼤于x的整数；ceil(x)：不⼩于x的整数.求模（绝对值）abs(x)3数值运算3.1向量运算向量（数组）表⽰元素⽤中括号括起，元素间⽤逗号或空格或分号隔开；例：>>a=[2 4 6 7 8] ↙ >>b=[1;4;7;9] ↙等差向量冒号⽣成法初值：步长：终值；例：>>c=1:10;↙ >>d=1:0.5:10↙linspace（初值，终值，分段数）例：>>e=linspace(1,10,10)↙ >>linspace(0,10,6)↙?向量（数组）运算向量（数组）与常数的加、减例：>>a=[2 3 5] ↙ >>a+3,a-2↙向量（数组）与常数的乘、除例：>>a*2,a/3↙向量与向量的加、减法：元素个数必须相同例：>>a=[1 3 5],b=[2,4,6],c=1:4,a+b,a-b,a+c↙向量点积：dot(a,b)；向量维数不超过3例：>>dot(a,b)↙向量叉积：cross(a,b)；向量维数不超过3例：>>cross(a,b)↙数组的乘、除：.*；./；例：>>a.*b, a./b↙数组的乘⽅：.＾例：>>a.^2↙向量（数组）元素的选取单下标a([ ])例：>>a=1:10;a(7)↙%选取向量a的第七个元素例：>>a([1 3 7])↙%选取向量a的第1、3、7个元素向量（数组）排序sort(a)：从⼩到⼤；例：>>a=rand(1,10),sort(a)↙%产⽣10个元素的⾏向量，并进⾏升序排列向量（数组）长度或⼤⼩的检测length(a)；例：>>length(a)↙%显⽰向量元素个数size(a)例：>>size(a) ↙ %将以向量形式显⽰矩阵a的⾏数与列数向量（数组）求和sum(a)例：>>sum(a)↙%求向量a的元素总和向量的模norm(a)例：>>norm(a)↙ % a为向量，或norm(a,2)效果⼀样；向量与多项式表⽰：：n n n a x a x a x p +++=?L 110)(],,,[10n a a a p L =（降幂排列）例：，，则该多项式在MATLAB 中可如下表⽰>>p1=[1 3 0 2 3],p2=[0 1 2 0 1]↙多项式相加、减：向量的相加、减（注意补零）例：>>p1+p2,p1-p2↙多项式的积：conv(p1,p2)；例：>>conv(p1,p2)↙多项式的除：deconv(p1,p2)；[q,r]=deconv(p1,p2)例：>>deconv(p1,p2)↙%只输出商式>>[q,r]=deconv(p1,p2)↙%输出商式与余式323)(341+++=x x x x p 12)(232++=x x x p 3.2 矩阵（多元数组）运算矩阵（多元数组）表⽰元素⽤中括号括起，元素间⽤逗号或空格分列，⽤分号分⾏；例：矩阵，在MATLAB 中可如下输⼊：>>A=[1 6 5;3 9 4;8 6 2]↙268493561 特殊矩阵全1矩阵与全零矩阵：ones(m,n)；zeros(m,n)；作⽤：预分配空间例：>>ones(3)↙%产⽣3阶全1⽅阵>>ones(3,4)↙%产⽣3⾏4列的全1矩阵随机矩阵：rand(m,n)：产⽣元素介于0,1之间的矩阵例：>>rand(3),rand(3,4)↙%分别产⽣3阶与3⾏4列随机矩阵 ? 矩阵（多元数组）的运算矩阵（多元数组）与常数的加、减例：>>A+3↙ >>A-3,5-A↙矩阵（多元数组）与常数的乘、除例：>>A*3↙ >>A/2↙矩阵与矩阵的加、减法：形状⼤⼩必须相同例：>>A+B↙ %A,B⾏、列数相同矩阵与矩阵的乘、除法：*；与/或\：遵循矩阵乘除运算法则例：>>A*B,A/B↙ %矩阵B的⾏列式不为0矩阵的乘⽅：^：要求为⽅阵例：>>A^2↙多元数组的乘、除法：.*；.\；./；例：>>C.*3↙ >>C./2↙ %矩阵C的每个元素与常数相乘除；多元数组的乘⽅：.^例：>>C.^3↙ %计算C的第个元素的⽴⽅。

(精选)数学建模集训讲义(1010)节79411

§10 自动化车床治理（1999年全国大学生数学建模竞赛A题）一道工序用自动化车床持续加工某种零件，由于刀具损坏等缘故该工序会显现故障，其中刀具损坏故障占95%, 其它故障仅占5%．工序显现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时显现故障的机遇均相同．工作人员通过检查零件来确信工序是不是显现故障．现积存有100次刀具故障记录，故障显现时该刀具完成的零件数如附表．现打算在刀具加工必然件数后按期改换新刀具．已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用f=200元/件；进行检查的费用t=10元/次；发觉故障进行调剂使恢复正常的平均费用d=3000元/次(包括刀具费)；未发觉故障时改换一把新刀具的费用k=1000元/次．1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查距离（生产多少零件检查一次）和刀具改换策略．2)若是该工序正常时产出的零件不满是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品．工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次．对该工序设计效益最好的检查距离和刀具改换策略．3）在2)的情形, 可否改良检查方式取得更高的效益．附:100次刀具故障记录(完成的零件数)459 362 624 542 509 584 433 748 815 505612 452 434 982 640 742 565 706 593 680926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844527 552 513 781 474 388 824 538 862 659775 859 755 649 697 515 628 954 771 609402 960 885 610 292 837 473 677 358 638699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120447 654 564 339 280 246 687 539 790 581621 724 531 512 577 496 468 499 544 645764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 一）大体模型假设1)刀具每加工u件零件后按期改换，改换费用为k（已知）；2）每生产n件零件按期进行检查，检查费用为t（已知）；3）在两次相邻的检查之间，生产任一零件时工序显现故障的概率均相等，记作p；4）检查时工序停止生产[注]，假设发觉该零件为不合格品，那么进行调剂使恢复正常，费用为d（已知）；5）工序故障时生产的零件均为不合格品，正常时均为合格品，而刀具故障占工序故障的95℅；6）每件不合格品的损失费为f （已知）；7）刀具故障（寿命）的概率散布由所给100次故障记录确信．模型：1）目标函数（工序效益）为生产每一个零件的平均费用L ，包括预防保全费用1L （刀具按期改换），检查费用2L ，工序故障造成不合格品的损失费用3L ．由假设1，1L k u =；由假设2，2L t n =；由假设4，6，()3L mf d c =+，其中m 为当相邻两次检查的后一次检查发觉故障时，n 件零件中不合格品的平均数，c 为平均故障距离．于是问题为确信,u n 使(),k t mf d L u n u n c+=++ （1）最小．下面计算m ,c ．2）m 的计算由假设3，在相邻两次检查的后一次检查发觉故障（概率为p ）的条件下，显现i 件不合格品（前n i -件合格，下一件不合格）的概率为()1n i p p p --，()11np p =--，于是()()1111n n i n i m i p p p -=⎡⎤=---∑⎣⎦ （2）上式经代数运算可得()()11(1)111n n p n p m p p +-++-=⎡⎤--⎣⎦将上式在0p =处展开得2111()222n n n m p o p +-+=++= 其中由于1p c =很小（见后面计算结果），将()o p 忽略．代入（1）得()()1,2n f k t d L u n u n c c+=+++ （3） 3）c 的计算第一，依照给出的100个数据算出无．预防性改换时刀具故障平均距离（即100个数据的平均值）为0600a =（件）．设非刀具故障平均距离为b ，由假设5刀具故障占95℅，非刀具故障占5℅，那么160095%15%b = ，从而11400b =（件）．第二，在不考虑非刀具故障的条件下，计算按期（u 件）改换时刀具故障的平均距离()a u ．由100个数据统计出刀具故障的体会概率散布，例如对完成的零件数作如下分组：如假设300u =件，那么平均刀具故障距离为(300)a ，而由上表可知100次改换有1+1+1+2+2=7次刀具故障，相邻两次换刀之间刀具故障的平均距离为()501125117512252275230093%%%%%%⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，显然它等于(300)7a %⨯，从而()501125117512252275230093(300)7%%%%%%a %⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()150112511751225227523009341797=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦ 一样地，记刀具完成件数为i N ，频率为i f ，假设关于给定的u 有k N u <，1k N u +>，那么按期（u 件）改换时刀具故障的平均距离为()()1111k k i i i i i k i i N f u f a u f ===+-∑∑=∑ （4）工序的平均故障距离()c u 由()a u 和b (b 为非刀具故障平均距离)决定，知足1()1()1c u a u =+，于是1()1()1c u a u =+ （5）如假设300u =件，那么1305814179111400c ==+ 求解：求u ，n 使（3）式之L 达到最小．给定u 并如上计算出c 后，那么L 是n 的函数，由（3）显然当n =（6）时，L 达到最小．关于一系列的u =100，150，200，……（比如步长取50），逐个求出L 的极小值及相应的n 值，其中使L 最小者所对应的u 和n 即为所求．代入数值可解出400u =，15n =时L 最小，此即有最好效益的刀具改换距离和检查距离．注1：当体会概率散布的分组取得不同，或直接用100个数据为体会散布函数，或作散布拟合得一持续散布函数（依照直方图，作正态拟合较适宜），求平均故障距离，可能会使答案稍有不同．注2：如在假设4中设检查时工序不断止生产，而有h 个不合格零件产出（h 可取一适当数值），那么（3）增加一项hf c ，这对问题的解法无阻碍，但可能使答案有不同．二）进一步的问题1）对问题2要考虑两种误判：一是工序正常时检查到不合格品误判停机，将承担误判停机的损失费用1500s =元；二是工序故障时检查到合格品，将继续生产直到下一次检查，使不合格品的损失费增加．现在效益函数应为()11121n k f n w d L t p vs n u n c w c+⎛⎫⎡⎤=++-+++ ⎪⎣⎦-⎝⎭，（7）与（3）式相较（7）式多了两项()1n p vs n -和1f w n c w⋅-． ()1n p vs n -是由于第一种误判停机而产生的摊在每件产品上的损失费：其中()1n p -是两次检查间工序正常的概率（1p c =），2v %=是工序正常时的不合格品率，1500s =为第一种误判停机的损失费；1f w n c w⋅-是由于第二种误判停机而产生的摊在每件产品上的损失费：其中40w %=是工序故障时的合格品率，21w nnw nw w =++-是第二种误判增加的不合格品数．然后按上面的求解方式可得350u =，22n =时有最好的效益．2）对问题3由于工序故障时的合格品率相当高，可考虑检查时当检查到的那个零件为合格品时，再查一个零件，假设仍是合格品那么判定工序正常，假设为次品那么判定工序故障，如此尽管使检查费用增加，但不合格品的损失费将减少．这时效益函数为 ()()()()(){}22111111121n n n k L t p v p w t p vs u n f n w d n c w c ⎡⎤=++--+--+-⎣⎦⎡⎤++++⎢⎥-⎣⎦ （8）其中，()()11np v t n --是两次检查间工序正常且检查到合格品时，再检查一次的费用；()()11n p wtn--是工序故障而检查到合格品，再检查一次的费用；()1n p vs n-是第一种误判的损失费用；221f w n c w ⋅-是第二种误判的损失费用．按上面的求解方式可得350u =，32n =时有更高的效益．。