物理竞赛课件24：几何光学问题集成

49 24

48 16 iC
F C 1.08

如图．湖湾成顶角为α的楔形，岸上住有一个渔人：他的房子 在A点，从A点到他离湖最近的C点之距离为 h，而到湖湾的一头，即到D点之距离 为．湖对岸 B点处有渔人好友的房子，点B位置与A点相对湖岸对称．渔人拥有一 只小船，他可以速度沿岸步行或以速度 v/2乘船在湖中划行，他从自己家出发到好 友家里去．求他需要的最短时间．
♠
光总沿着光程为极值的路径传播——在均匀介质里 沿直线传播，因为给定两点间直线路径最短；在不均匀 的介质中，光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳 定的光程的路径传播，即遵从费马原理.
ni
A
Si
B
l lim ni si
N i 1
N
P P
P
P
F1
F2
F1
F2
lF1PF2 2an lF1PF2 < 2an lF1PF2 lF1PF2 > 2an lF1PF2
2 2 2
2
2
2
B
某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己眼睛的 像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在 一起．若凸面镜的焦距为10 cm，眼睛与凸面镜顶点的距离为40 cm，问玻璃板距 观察者眼睛的距离为多少？
专题24-例2
S
S2
S
x
x
S1
根据近轴光线平面折射规律:
D 走“光对称进出三棱镜”时的路径时间最 短，即沿图答中折线APQB，其中PQ∥AB， sin i v Q 借助光折射模型： sin r v 2 r 2 l P r h i 由几何关系 AP QB 2
PQ 2
B
则最短时间为
2h t v cos i 4

l 2 h2 h tan i sin
l AOB n1 AO n2 OB
A
2 2 2
n1 x h n2 y h
2 2 1
h1
a
x
i
N
n1
n1 x h n2
2 2 1
a x
2
y
O
n2
2
2 h2
a
光程有最值应满足
lim n1
r
a x x h22 n1 x 2 h12 n2
1.36 3 2 1.33 cm 1.36
水醇界面
底
3.7cm
S
如图所示，两块平面镜宽度均为L＝5 cm ，相交 成角α＝12°，构成光通道．两镜的右端相距为d＝2 cm，左端靠在 光接收器的圆柱形的感光面上．试问入射光线与光通道的轴成的最 大角度为多少，才能射到光接收器上？ 不经反射，入射光能射到感光面 上，入射光与轴所成最大角如图 经一次反射而能入射光面上， 入射光与轴所成最大角增大 以最大角度入射的光 线延长后应恰与接受器表 max 面相切，如图
若3

2
180

P
2
一次反射光无入射点
2 2
2 2 2
A
P
B
则 120

小路灯L发出的光束在离灯R0＝100 m处会聚成小光斑A．在光传 播的路径上放两个正方形平面镜，如图．两镜面的交线到灯的距离r＝70 m，并且 垂直穿过光束轴．两面镜互相垂直，其中一个平面镜与光束轴交成角α＝30°，则 现在光束将会聚在离灯__________m处．
1 n0 n0 当 h0 R h0 , h0 = R 时光程有最大值 2 a a 1 n0 物像公 即在 R 处存在光的圆折射波道 式 2 a
返回
依据惠更斯原理求解:
c c 由 h0 nh hnh h
1 n0 h0 R 2 a
♠
光源形成的单心光束的顶点 虚物点
实物点
被光具作用(折射、反射）后的单心光束的会聚 点或发散点称作实像点或虚像点
元贝驾考 元贝驾考2016科目一 科 目四 驾考宝典网 / 驾考宝典2016科目一 科目四
A C i iC A F i iF
sin iF 由 sin A rC sin iC sin i 由 nC 得 sin rC sin A rC
iC 则 F C iF
其中 sin i nF = 得 iF sin rC
专题24-例1
查阅
依据费马原理求解: l n0 h0 2 R h0 n0 2 a h0 R h0 a 由基本不等式: n0 n0 h0 R h0 RC a a
专题24-例3
光穿过几个互相平行的、折 射率不同的介质区时 有
y
y

y
O点光沿x方向,则第i层入射角ri满足
n0 sin n1 sin r1 ni sin ri
O
ni
ri
ri
ri+1
n3 n0 n n2 0 n1 sin ri sin 90 O ni ni n0 由图示几何关系得 y R R sin ri R 1 ni R
M
N h O R
c c n0 ah0 n0 a( h0 h) R h0 R ( h0 h)
h0
n0 ah0 R h0 n0 ah0 ah R h0 h
n0 ah0 h ah R h0
2
x x h12 n2
2
a x h22
h2
x 0
x
0
n1
x x 2 h12
n2
y
2 y 2 h2
B
即 n1 sin i n2 sin r
某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照n＝n0－ ah的规律而减小，行星的半径为R，行星表面某一高度h0处有光波道，它始终在 恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播，试求高度h0．
1 2

m


2
d r 2L 而 sin sin 1 sin 0.5 2 2 L r rL d 2

max 30 6 36


如图所示，介质在一定区域x＞0、y＞0内的折射率随着y的变 化而连续变化．一束细光束沿x方向垂直入射到介质表面，并沿着一个半径为R的 圆弧路径穿过介质，求折射率n随y变化的规律．如果y=0时折射率n0=1，已知的材 料中最大折射率（金刚石折射率）不超过2.5，圆弧所对应的圆心角最大可能达多 少？
h y y y y h 1 1 2 llSO u x y h v x y x h h u v h h S 1 2 2r 2u 2v u v 2 u v r
cos i


2
A

l 2 h2 h tan i sin v

2
l 2 h2 2 , h2 2 2 若PQ 0, 即 l h h tan i , 1 4sin 2 2
4sin
2 2 l h 2h 1 4sin2 2 2 v
2sin 2 2 2h l h 2 4 h v v 1 4sin 2 v 1 4sin 2 2 2
A S 根据费马原理可以推论，任 一发光点所发光束经球面反 射或折射后能成像于一点的 条件是，从物点到达像点的 所有光线的光程都相等 y
i
x O1
P
Q
i
h
C
y
S
F
O
2
OP u
2
OQ v
2 2 y h h 2 2 y y v 1 1 1 v k u x 1 x 1 2 2 u x x y v u 2 u v 22f 2 y h y h h y 对近轴光线 u x v x v x 2u x 2 v2
则两垂直平面镜将令灯 发出的光束会聚于离灯
L发出的光为会聚光束，A为虚物点 轴以上部分光束经平面镜OM反射仍为会聚光束，顶点 在A1，A1与A关于OM对称 向A1会聚的这束光射向平面镜ON并被二次反射，反射光束会 聚于A3，相当于虚物A1通过ON成实像，A3与A1关于ON对称， 由于OM与ON垂直，易知A3在L发出的光束轴上且OA3= OA； 同理，L发出的轴以下部分光束先经平面镜ON反射、再 经平面镜OM反射亦不改变会聚性，并由对称性知会聚于A3 A2 M L 虚物 A O A3 A1 N
S S
b
S 与 S 两像情况完全相同,关于平面镜对称
深度为3 cm的水面上（n1=1.33）漂浮着2 cm厚的醇 （n2=1.36）层，则水底距醇表面的像视深度为___________ 3.7cm．
对水醇界面
n2 y h1 n1
对醇气界面
醇表面
h2
H h1 y
y h2 H n2
40
100m 2 30m 40m
由点光源S发出的近轴光线经透明球形成像，像到透 明球的距离为b，如图所示．如果沿垂直于水平轴将球分成两半，左 左侧 ，与球的距离为 边一半的平面上镀银，那么像的位置在__________ b ． ____________
左半平面镀银成平面镜，通过左球面 的折射光线通过平面镜反射不改变光 束敛散性只是再次由左球面折射而已
专题24-例4通常用阿贝数