2013-2014学年四川省绵阳中学高三上学期第一次模拟测试数学(理)卷

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四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个2.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A. B. C. D.3.的定义域为（）A. B.C. D.4.设，，，则（）A. B. C. D.5.设函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.6.下列选项可以使得成立的一个充分不必要条件的是（）A. B. C. D.R U ={}2230M x x x =--≤{}21,Z N x x k k ==-∈1919361⨯=3613M ≈8010N ≈MNlg 30.48≈9310831073105310lg(tan 1)y x =-ππππ,Z 24xk x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+>>+∈πππ,π,Z 42x x k x k k ⎭>+≠+⎧⎫⎨⎬⎩∈ππ,Z 4x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈ππ,Z 42k x x k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈0.30.2a =0.20.3b =0.2log 2c =c b a>>c a b >>b a c >>a b c>>3()f x x x =()()332log 3log 0f x f x +-<1,2727⎛⎫⎪⎝⎭10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,27()27,+∞1144xy -≤≤221x y +=2241x y +=1x y +=1y x=7.函数的导函数，若函数仅在有极值，则的取值范围是（）A. B.或 C.或 D.8.存在三个实数，，使其分别满足下述两个等式：（1）；（2）其中表示三个实数，，中的最小值，则（）A.的最小值是 B.的最大值是 C.的最小值是 D.的最大值是二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知定义在R 上的奇函数，其周期为4，当时，，则（）A. B.的值域为C.在上单调递增D.在上有9个零点10.已知函数，下列说法正确的是（）A.关于对称B.的值域为R ，当且仅当或C.的最大值为1，当且仅当D.有极值，当且仅当11.关于函数，下列说法中正确的是（）A.图象关于直线对称 B.为偶函数C.为的周期D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12.已知顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为，则的值为________13.甲说：在上单调递减乙说：存在实数使得在成立若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是________()f x ()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-()f x 1x =a 21e a ≤-21ea <-1a =21ea ≤-1a =1a =1a 2a 3a 1232a a a =-1230a a a ++=M 1a 2a 3a M 2-M 2-M M -()f x (0,2)x ∈()22xf x =-(2024)0f =()f x (2,2)-()f x (2,2)-()f x [4,4]-()214()log 21f x x ax =-+()f x x a =()f x 1a ≥1a ≤-()f x a =()f x 1a <()cos sin 2f x x x =π4x =()f x 2π()f x αx 11,23⎛⎫⎪⎝⎭sin(2)α()2ln 23y x ax =-+(,1]-∞x 2210x ax -+>1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦a14.已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为________四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.16.（15分）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围.17.（15分）已知，，，（1）求的值（2）求角的值.18.（17分）已知函数.（1）证明：曲线是中心对称图形；（2）若，求实数m 的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求的值；（3）求证：，.112x aeax b -+-≥x ba3212()232a f x x x ax +=-+1a =()f x ()f x π()sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x π212()y g x =()g x x ()g x k =-π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦k ππ42α≤≤3ππ2β≤≤4sin 25α=cos()αβ+=225sin 8sincos11cos 82222πsin 2ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭βα-3()ln2(1)2xf x x x x=++--()y f x =(21)()40f m f m -+-<()2ln(1)cos(2)g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x ()1f x ax -≤a 2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*N n ∈绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考数学试题参考答案题号1234567891011答案AAACBBABABDABCCD12.13. 14.8.【详解】由已知得，，，中必有2个正数，1个负数，设，，，则，因为，所以，所以，即，所以，由得，，即，所以，故选：B.10.【详解】A.令，有，由于，所以，所以关于对称，故A 正确；B.当函数的值域为R ，则能取到的所有值，所以解得：或，故B 正确；C.若函数的最大值为1，则，故C 正确；D.若有极值，则在定义域内不单调，所以，则，故D 错误.故选：ABC 11.【详解】对于A ，，故A 错误；对于B ，，故B 错误对于C ，，故是的周期，故C 正确；对于D ，，令故，，利用导数求得，故D 正确.故选：CD 12132a <22ln 2-1a 2a 3a 30a <10a >20a >3M a =1230a a a ++=312a a a -=+312a a a -=+≥23124a a a ≤331234a a a a ≥1232a a a =-3324a ≤-338a ≤-32a ≤-2()21g x x ax =-+()(2)g x g a x =-14()log ()f x g x =1144(2)log (2)log ()()f a x g a x g x f x -=-==()f x x a =2()21g x x ax =-+(0,)+∞2440a ∆=-≥1a ≥1a ≤-()f x min 11()()44g x g a a =⇒=⇒=()f x 2()21g x x ax =-+2440a ∆=-<11a -<<ππcos sin(π2)sin sin 2()22f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=--=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos()sin(2)()f x x x f x -=--=-(2π)cos(2π)sin(24π)cos sin 2()f x x x x x f x +=++==2π()f x ()22()cos sin 22cos sin 21sin sin f x x x x x x x ===-sin x t =()2()21f x t t =-[1,1]t ∈-()f x13.甲对，则有在上单调递减，且大于零，所以有且，则.若乙对，则，，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的其对立面为甲乙说的均不对，此时或与求交集为，取其补集后的取值范围，所以14.可转化为图像恒在上方，所以必然有，现考虑刚好相切时的情况，设切点为，则，消元得到带得到，所以图像恒在上方，只需要，所以，令，所以15.【详解】（1），，所以或时，，时，，则在上递减，在递增，所以的极小值为，极大值为.（2），当时，，所以在上递增，当时，或时，；时，，所以在上递增，在上递减，当时，或时，；时，，所以在上递增；在上递减.16.【详解】（1）将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，2210x ax -+>(,1]-∞1a ≥420a ->12a ≤<1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦max 115522224x a x a a a x x ⎛⎫+>⇒+>⇒>⇒< ⎪⎝⎭{1a a <}2a ≥54a a ⎧≥⎫⎨⎬⎩⎭{}2a a ≥a {}2a a <{}2a a <11x ay e-=2y ax b =+0a >0110,x ax e-+⎛⎫ ⎪⎝⎭001111022x a x a e ae ax b-+-+⎧=⎪⎨⎪=+⎩022a b x a -=0112x a e a -+=121212ln 22422ln 22a b a ab e a a b a a a a a--+=⇒=--⇒=--11x ay e -+=2y ax b =+422ln 2b a a a ≤--242ln 2b a a a ≤--222(1)42ln 2()()a a h a h a a a-'--=⇒=max ()(1)22ln 2h a h ==-321323()2x x x f x =-+(1)(2)()x x f x =--'1x <2x >()0f x '>12x <<()0f x '<()f x (1,2)(,1),(2,)-∞+∞()f x 2(2)3f =5(1)6f =()()(2)f x x a x '=--2a =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞2a >2x <x a >()0f x '>2x a <<()0f x '<()f x (,2),(,)a -∞+∞(2,)a 2a <x a <2x >()0f x '>2a x <<()0f x '<()f x (,),(2,)a -∞+∞(,2)a ()f x π2πππsin 2sin 2263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，所以.（2）因为，所以.，即在区间上有且只有两个实数解，于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，，，，所以.画出在区间上的图象如图所示，所以，所以，.所以实数的取值范围是.17.（1）由12πsin 223y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π()sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π5π186x-≤≤4ππ4π2933x-≤-≤()g x k =-πsin 223x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭2y k =--π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦44πsin sin 99π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4πππ3πsin sin πsin sin 3339⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭3π4ππ0992<<<4π4πsin sin93⎛⎫-< ⎪⎝⎭πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21k ≤--<23k +≤-<32k -<≤k 3,2⎛--+ ⎝222225sin 5cos 4sin 6cos 85sin 8sin cos 11cos 82222222πcos sin 2αααααααααα⎛⎫+++-++- ⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭2254sin 6cos 84sin 6cos 34sin 3cos 22(4tan 3)cos cos cos αααααααααα++-+-+====-+---又因为，所以，可得，解得或，由于，所以.原式.（2）又由知，因则，由，又因，故.18.【详解】（1）函数，定义域为，所以曲线关于点对称.（2），因为，，所以，所以在定义域上单调递增；又关于点对称，，由（1）得恒成立，所以，所以所以，解得19.【详解】（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，4sin 25α=2sin cos 5αα=222sin cos tan 2sin cos 1tan 5αααααα==++tan 2α=1tan 2α=ππ42α≤≤tan 2α=∴11=-3ππ2β≤≤5π2π4αβ≤+≤cos()αβ+=sin()αβ+===sin()sin[()2]sin()cos 2cos()sin 2βααβααβααβα-=+-=+-+3455⎛⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎝⎭⎝π5π24βα≤-≤3π4βα-=3()ln 2(1)2xf x x x x=++--(0,2)332()(2)ln 2(1)ln 2(2)(1)2x xf x f x x x x x x x-+-=++-++-+--332ln [22(2)](1)(1)04042x x x x x x x x-⎡⎤=⋅++-+-+-=++=⎣⎦-()y f x =(1,2)22112()23(1)23(1)2(2)f x x x x x x x '=+++-=++---(0,2)x ∈20(2)x x >-22()23(1)0(2)f x x x x '=++->-()f x (0,2)()f x (1,2)(21)()4f m f m -+<()(2)4f x f x +-=()(2)4f m f m +-=(21)()4()(2)f m f m f m f m -+<=+-212021202022m mm m m -<-⎧⎪<-<⎪⎨<<⎪⎪<-<⎩112m <<()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x则，则，故，；（2）令，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，.下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，即，则，综上，，即证.()()0002y f x g x ==--()()()000022ln 1cos f x g x x x =--=++()01x >-()2ln(1)cos f x x x =++(1)x >-()()12ln(1)cos 1h x f x ax x x ax =--=++--(1)x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞(0)0h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111xx x x ϕ'=-=-++(1,0)x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ(1,0)-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ(0,)+∞()(0)0x ϕϕ≤=ln(1)x x +≤(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()12[ln(1)](cos 1)0h x f x ax x x x =--=+-+-≤2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ln(1)x x +≤(1,)-+∞ln 1x x ≤-(0,)+∞1x =(0,1)1n x n =∈+*N n ∈1ln 1111n n n n n -<-=+++11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑。

绵阳市高2013届一诊考试——理数

绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCBCC AADDB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-414．215．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 16．①③ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1，x )=x+ cos2x =2 sin(2x+6π)， ……………………………………………6分∴ 最小正周期22T ππ==，令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ，即f (x )的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分（Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x )取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2π)=-1．即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由S 3+S 5=58，得3a 1+3d +5a 1+10d=8a 1+13d =58， ①∵ a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32=a 1a 7，即(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d )，整理得a 1=2d ，代入①得d =2， a 1=4，∴ a n =2n+2． …………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 8=18，b 5·b 6+b 4·b 7=2b 5·b 6=18，解得b 5·b 6 =9． ∵ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6)=5log 3(b 5·b 6) =5log 39=10． ……………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5，于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5，于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-．令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，．由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 20．解：（Ⅰ）∵a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）由 C =π-(A +B )，得sin C =sin(B +A )=sin B cos A +cos B sin A ， ∵ sin C +sin(B -A )=3sin2A ，∴ sin B cos A +cos B sin A +sin B cos A -cos B sin A =6sin A cos A ，整理得sin B cos A =3sin A cos A ． ………………………………………………8分若cos A =0，即A =2π时，△ABC 是直角三角形，且B =6π，于是b =c tan B =2tan6π=，∴ S △ABC =12bc=． ……………………10分若cos A ≠0，则sin B =3sin A ，由正弦定理得b =3a ．②联立①②，结合c =2，解得a=b= ∴ S △ABC =12ab sin C =12=．综上，△ABC的面积为或．………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）当t=1时，2a n -2=0，得a n =1，于是数列{a n }为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分当t ≠1时，由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1，由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n +1=2ta n +1-t -1，两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ， , ∴121n n a ta t +=+（常数）． ∴ 数列{a n }是以1为首项，21tt +为公比的等比数列．………………………4分（Ⅱ）∵ q = f (t )=21tt +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，∴11111n n n nb b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，于是1nn b =， ∴ 1n b n=．………………………………………………………………………8分（III ）当t =13时，由（I ）知a n =11()2n -，于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，…设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ，当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)2k k +， ∴ m 62=626319532⨯=，m 63=636420162⨯=．设S n 表示数列{c n }的前n 项和，则S 2016=[1+12+21()2+…+621()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62] 显然 1+12+21()2+…+621()2=636211()1221212-=--， ∵ (2n )2-(2n -1)2=4n -1，∴ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62=-1+22-32+42-52+62-…-612+622=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =31(3123)2⨯+=1953． ∴ S 2016=62122-+1953=1955-6212． ∴ S 2012=S 2016-(c 2016+c 2015+c 2014+c 2013)=1955-6212-(6212+62+62+62) =1769-6112．即数列{c n }的前2012项之和为1769-6112．…………………………………12分 22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-， ∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a =1．于是11()1xf x x x-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数，当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）∀x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0，由题知：对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，只须f (x )ma x ≤g (x )ma x ．∵ 22()x kx k g x x ++=2k x k x =++2k x k x ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭≤2k -， ∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分（Ⅲ）要证明2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n n n --+++<+ (n ∈N*，n ≥2)．只须证22222ln 22ln 32ln 21232(1)n n n n n --+++<+ ，只须证2222222ln 2ln 3ln 21232(1)n n n n n --+++<+ ．由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x )为减函数， f (x )=ln x -x +1≤0，即ln x ≤x -1， ∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，22222ln 11111111(1)1n n n n n n n n n -<=-<-=-+++， 222222ln 2ln 3ln 23n n +++ <111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭211211212(1)n n n n n --=--+=++，∴ 2222ln 2ln3ln 21234(1)n n n n n --+++<+ ．………………………………………14分。

2014年四川省绵阳市高考数学三模试卷(理科)

2014年四川省绵阳市高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={x||x|=1}，N={x|x2=x}，则M∪N=（）A.{1}B.{-1，1}C.{0，1}D.{-1，0，1}【答案】D【解析】解：M={x||x|=1}={x|x=±1}={1，-1}，N={x|x2=x}={0，1}，∴M∪N={0，1，-1}，故选：D．求出集合M，N，利用集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.复数的共轭复数是（）A.i+2B.i-2C.-2-iD.2-i【答案】B【解析】解：∵复数==-2-i，∴共轭复数是-2+i故选B．首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．3.执行如图所示的程序框图，如输入x=2，则输出的值为（）A.5B.log85C.9D.log89【答案】D【解析】解：由第一个循环结构的框图知：输入x=2，第一次循环x=2×2-1=3；第二次循环x=2×3-1=5；第三次循环x=2×5-1=9．满足条件x＞5，跳出第一个循环体，输出x=9，∴y=log89＞1∴输出y=log89，故选：D．根据第一个循环结构的流程，依次运行程序，求出第一个循环结构的运行结果，再代入选择结构运行可得答案．本题考查了循环结构与选择结构相结合的程序框图，根据流程先求出第一个循环结构的运行结果是关键．4.已知向量=（3，-1），=（-1，2），=（2，1）．若=x+y（x，y∈R），则x+y=（）A.2B.1C.0D.【答案】C【解析】解：∵=（3，-1），=（-1，2），=（2，1）且=x+y（x，y∈R），∴（3，-1）=x（-1，2）+y（2，1）．∴．解得．∴x+y=0．故选：C．根据已知条件已经平面向量坐标的运算可得．解方程组即可得到x，y的值，从而求出x+y=0．本题考查平面向量的坐标运算，解方程组等知识，属于基础题．5.已知命题p：∃x∈R，sinx＞a，若¬p是真命题，则实数a的取值范围为（）A.a＜1B.a≤1C.a=1D.a≥1【答案】D【解析】解：命题p：：∃x∈R，sinx＞a，则¬p是∀x∈R，sinx≤a，使“¬p”命题是真命题则a≥1，故选：D．写出命题的否定形式，利用命题的否定是真命题，求出a的值即可．本题考查命题的否定与命题的真假的判断与应用，三角函数的有界性等基本知识的考查．6.已知a∈[-2，2]，则函数f（x）=x2+2ax+1有零点的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：若函数f（x）=x2+2ax+1有零点，则判别式△=4a2-4≥0，解得a≥1或a≤-1，∵a∈[-2，2]，∴-2≤a≤-1或1≤a≤2，则根据几何概型的概率公式可得函数f（x）=x2+2ax+1有零点的概率为，故选：A求出函数有零点的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据函数有零点的等价条件求出a的取值范围是解决本题的关键．7.若抛物线C1：y2=4x的焦点F恰好是双曲线C2：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且C1与C2交点的连线过点F，则双曲线C2的离心率为（）A.+1B.2-1C.3+2D.【答案】A【解析】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（1，2），代入双曲线方程得，又c2=1=a2+b2，∴a=-1∴e==+1故选：A．先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，结合c=1=a2+b2，求出a，进而可求得e．本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意与椭圆的区别．8.已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的一段图象如图所示，△ABC的顶点A与坐标原点O重合，B是f（x）的图象上一个最低点，C在x轴上，若内角A，B，C所对边长为a，b，c，且△ABC的面积S满足12S=b2+c2-a2，将f（x）右移一个单位得到g（x），则g（x）的表达式为（）A.g（x）=cos（x）B.g（x）=-cos（x）C.g（x）=sin（+） D.g（x）=sin（-）【答案】B【解析】解：由题意可得S==，△ABC的顶点A与坐标原点O重合，B是f（x）的图象上一个最低点，∴ccos A=，①又12S=b2+c2-a2，∴6b=b2+c2-a2，由余弦定理知，6b=2bccos A，∴ccos A=3，②由①②得：ccos A=3=，T=4，∴，∴ω=，∴函数f（x）=sin x，将f（x）右移一个单位得到g（x）=sin[（x-1）]=sin（x-）=-cos（x），故选：B．通过三角形的面积以及余弦定理集合函数的周期，求出函数的周期，得到函数的解析式，利用平移关系求出g（x）的表达式．本题考查三角函数解析式的求法，图象平移变换的应用，考查基本知识的应用．9.为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5班进行学情调查，已知这5个班在同一层楼并按班号排列．若要求每名调研员均参与调查，但不在相邻两个班调查，每个班只安排一名调研员，则不同的调查方案有（）A.48种B.42种C.36种D.24种【答案】B【解析】解：利用间接法，从5个班级中任选3个班级有=60种，调查都相邻的班级有3=18种，共有60-18=42种，故选B．利用间接法，先从5个班级中任选3个班级，然后减去调查都相邻的班级，问题得以解决．本题考查了利用间接法经行排列的问题，关键是要排除哪些种数．10.已知f（x）=（x∈R），若关于x的方程f2（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（）A.（，2）∪（2，e）B.（，1）C.（1，+1）D.（，e）【答案】C【解析】解：化简可得f（x）==，，＜，当x≥0时，f′（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）＞0，当x≥1时，f′（x）≤0∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当x＜0时，f′（x）=＜0，f（x）为减函数，∴函数f （x ）= 在（0，+∞）上有一个最大值为f （1）=，作出函数f （x ）的草图如图：设m =f （x ），当m ＞时，方程m =f （x ）有1个解，当m =时，方程m =f （x ）有2个解，当0＜m ＜时，方程m =f （x ）有3个解，当m =0时，方程m =f （x ），有1个解，当m ＜0时，方程m =f （x ）有0个解，则方程f 2（x ）-tf （x ）+t -1=0等价为m 2-tm +t -1=0，要使关于x 的方程f 2（x ）-tf （x ）+t -1=0恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m 2-tm +t -1=0有两个不同的根m 1＞且0＜m 2＜，设g （m ）=m 2-tm +t -1，则＞＜＞，即＞＜＞，解得1＜t ＜1+，故选：C求函数的导数，判断函数的取值情况，设m =f （x ），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.某设备零件的三视图如图所示，则这个零件的表面积为 ______ ．【答案】 22【解析】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以侧视图为底面的六棱柱，底面面积S=2×2=1×1=3，底面周长C=8高h =2，故这个零件的表面积为2S+C h =22，故答案为：22由已知中的三视图可知：该几何体是以侧视图为底面的六棱柱，求出棱柱的底面面积，底面周长及棱柱的高，代入可得答案．本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．12.二项式展开式中的常数项是______ ．【答案】180【解析】解：二项式展开式的通项T r+1=，令5-=0，可得r=2，∴二项式展开式中的常数项是=180．故答案为：180．求出二项式展开式的通项，令x的系数为0，即可求出二项式展开式中的常数项．本题考查二项式定理的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．13.已知幂函数y=f（x）的图象经过点（，），则lgf（2）+lgf（5）= ______ ．【答案】【解析】解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（，），∴设幂函数为f（x）=xα，则，解得，∴f（x）=xα=，∴f（2）=，f（5）=，∴lgf（2）+lgf（5）=lg[f（2）f（5）]=lg，故答案为：求出幂函数的表达式，利用对数的基本运算即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用幂函数的定义求出幂函数的表达式是解决本题的关键，考查学生的计算能力．14.已知实数x，y满足xy+1=2x+y，且x＞1，则（x+1）（y+2）的最小值为______ ．【答案】9+4【解析】解：∵xy+1=2x+y，且x＞1，∴x=＞1，解得，y＞2，∴（x+1）（y+2）=xy+2x+y+2=1+2（2x+y）=1+2（+y）=1+2[4+（y-2）+]≥1+2[4+2]=9+4．当且仅当x=1+，y=2，（x+1）（y+2）取最小值9+4．故答案为：9+可用y表示x，即x=＞1，求出y＞2，代人（x+1）（y+2），并化简得到1+2[4+（y-2）+]，然后应用基本不等式，求出最小值，并求出x，y的值加以检验即可．本题主要考查基本不等式及应用，解题时应注意变量的范围，同时用一个变量表示另一个变量，这是解题常用的方法，应掌握，最后要检验最值取得的条件．15.已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是______ ．（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】①③④【解析】解：∵•=+=-1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n-1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n-1）!，事实上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n2-3n+2=（n-2）2-2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．故答案为：①③④根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的公比q；（Ⅱ）证明：a k，a k+6，a k+3（k∈N*）成等差数列．【答案】解：（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6．当q=1时，即得18a1=3a1+6a1，解得a1=0，不成立．…（3分）当q≠1时，即得，整理得：2q6-q3-1=0，即2（q3）2-q3-1=0，解得：q=1（舍去），或．…（7分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知q3+1=2q6，∴=，∵，∴a k+a k+3=2a k+6，即a k，a k+6，a k+3（k∈N*）成等差数列．…（12分）【解析】（Ⅰ）根据等比数列的通项公式，建立条件关系，即可得到结论．（Ⅱ）求出a k，a k+6，a k+3（k∈N*）的通项公式，利用等差数列的定义进行证明即可．本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查学生的计算能力．17.绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况．从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：比较，写出两个统计结论；（Ⅱ）从甲、乙两块试验田中棉花株高在[30，40]中抽4株，记在乙试验田中取得的棉花苗株数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ（结果保留分数）．【答案】解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验田棉花苗的平均珠高．结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整齐．…（6分）（Ⅱ）ξ的取值为0，1．，，∴ξ的分布列：…（11分）．…（12分）【解析】（Ⅰ）根据从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，它们的株高，可画出两组数据的茎叶图，即可得出结论；（Ⅱ）ξ的取值为0，1．求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望Eξ．本题主要考查了茎叶图，考查离散型随机变量及其分布列和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．18.如图，在平面直角坐标系x O y中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位平面上，∠x OA=α，∠AOB=，且α∈（，）．（Ⅰ）若cos（α+）=，求x1的值；（Ⅱ）过点A，B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由三角函数的定义有，，∵，，，∴，∴，∴．（Ⅱ）由y1=sinα，得．又由，，得，，于是，∴，∴====，由，，可得，，于是当，即时，．【解析】（Ⅰ）由三角函数的定义有，，由条件求得，再根据x1=cosα=cos[（α+）-]，利用两角差的余弦公式求得结果．（Ⅱ）由y1=sinα，得，再求得，可得S2=-x2•y2=-sin（2α+），可得，化简为，根据α∈（，），利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（α）的最大值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换，属于中档题．19.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且满足AD=DC=CB=AB=a在直角梯形ACEF中，EF∥AC，∠ECA=90°，已知二面角E-AC-B是直二面角．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）当在多面体ABCDEF的体积为a2时，求锐二面角D-EF-B的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：取AB的中点G，连结CG．由底面ABCD是梯形，知DC∥AG．又∵DC=AB=AG=a，∴四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，∴CG=AB∴AC⊥BC．又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF⊥平面ABCD，∴BC⊥平面ACEF．∴BC⊥AF．…（6分）（Ⅱ）解：连结DG交AC于H，连结FH．∵平面ACEF⊥平面ABCD，由（Ⅰ）知BC⊥面ACEF，DH∥BC，∴DH⊥面ACEF．即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．在R t△ACB中，，EF=a．∴V=V D-ACEF+V B-ACEF=．∴CE=a．如图，以C为坐标原点，CA、CB、CE为x，y，z轴建立空间坐标系，∴，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，设面BEF的法向量=（x，y，z），，令y=z=1，可得=（0，1，1），同理可得面DEF法向量=（0，-2，1）．∴cosα==．∴锐二面角D-EF-B的余弦值．…（12分）【解析】（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG，证明BC⊥AF，只需证明BC⊥平面ACEF，证明AC⊥BC，利用二面角E-AC-B是直二面角，即可证明；（Ⅱ）连结DG交AC于H，连结FH，证明DH⊥面ACEF，利用多面体ABCDEF的体积为a2，求出CE，求出面BEF的法向量，面DEF法向量，利用向量的夹角公式，即可求锐二面角D-EF-B的余弦值．本题考查线面垂直，线线垂直，考查空间角，考查体积的计算，考查向量知识的运用，确定平面的法向量是关键．20.已知椭圆的焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F1点作相互垂直的直线l1，l2，分别交椭圆于P1，P2，P3，P4试探究+是否为定值？并求当四边形P1P2P3P4的面积S最小时，直线l1，l2的方程．【答案】解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），由焦点F2的坐标为（1，0）知a2-b2=1，①再由，整理得y=．∵过F2垂直于长轴的弦长|AB|=3，∴．②联立①、②可解得a2=4，b2=3．∴椭圆的方程为．…（3分）（Ⅱ）若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，此时，|P1P2|=4，|P3P4|=|AB|=3，于是=．…（5分）若l1、l2的斜率均存在且不为0，设l1的方程：y=k（x+1），则l2的方程：，联立方程消去x得：（3k2+4）y2+6ky-9=0，∴，，∴=．同理可得：，∴．∴综上知（定值）．…（9分）∵，∴，∴．当且仅当|P1P2|=|P3P4|，即=时，S最小，此时解得k=±1，∴四边形P1P3P2P4的面积S最小时，l1、l2的直线方程：y=±（x+1）．…（13分）【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），由已知条件推导出a2-b2=1，．由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）若l1、l2中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，=．若l1、l2的斜率均存在且不为0，设l1的方程：y=k（x+1），则l2的方程：，联立方程得：（3k2+4）y2+6ky-9=0，由韦达定理求出|P3P4|=．同理可得：，由此能求出四边形P1P3P2P4的面积S最小时，l1、l2的直线方程．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积最小时直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=ln（x+a）-x有且只有一个零点，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（-1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式＞恒成立．【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（-a，+∞），′．由f'（x）=0，得x=1-a＞-a．∵当-a＜x＜1-a时，f'（x）＞0；当x＞1-a时，f'（x）＜0，∴f（x）在区间（-a，1-a]上是增函数，在区间[1-a，+∞）上是减函数，∴f（x）在x=1-a处取得最大值．由题意知f（1-a）=-1+a=0，解得a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）-x，当k≥0时，取x=1得，f（1）=ln2-1＜0，知k≥0不合题意．当k＜0时，设g（x）=f（x）-kx2=ln（x+1）-x-kx2．则′．令g'（x）=0，得x1=0，＞．①若≤0，即k≤-时，g'（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，从而总有g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥kx2在[0，+∞）上恒成立．②若＞，即＜＜时，对于，，g'（x）＜0，∴g（x）在，上单调递减．于是，当取，时，g（x0）＜g（0）=0，即f（x0）≥不成立．故＜＜不合题意．综上，k的最大值为．（Ⅲ）由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）．不妨设x1＞x2＞-1，则要证明＞，只需证明＞，即证＞，即证＞．设＞，则只需证明＞＞，化简得．设，则′，∴φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（t）＞φ（1）=0．即，得证．故原不等式恒成立．【解析】（Ⅰ）通过求导得到单调区间找到极值点代入即可，（Ⅱ）由k≥0时不合题意．当k＜0时令g'（x）=0通过讨论得出k的值，（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞-1，引进新函数找到其单调区间，问题得证．本题考察了导函数，单调区间及最值，函数的零点，不等式的证明，是一道较难的综合题．。

绵阳市高2014届数学第一次诊断考试(理科)含答案

括整数本身）变化时，至少含有 2 个周期，则最小的正整数 k 为 A．50 B．51 C．12 D．13
4 5 ， sin( ) ，则 tan 为 5 5
9．已知，都是锐角，且 cos A．2 B．
2 11
2 2 或2 D．或-2 11 11 1 10．已知 O 为△ABC 的外心， cos A ，若 AO AB AC ，则的最 3
1 2 sin(2 x ) ， 4

∴ f ( x)max 1 2 ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分（II）由题意得 1 2 sin(2 x ) ≥0，即 sin(2 x ) ≤
π 4
π 4
2 ， 2
3π π 9π ≤ 2 x ≤ 2kπ ，k∈Z， 4 4 4 π 整理得 kπ ≤x≤ kπ π ，k∈Z． 4
O 1
3
OD=4，折线段 BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD=120º．
数学（理科）试题第 3 页（共 10 页）
19．（本题满分 12 分）已知函数 f (x)=x2+bx+2，g(x)=|x2-1|，x∈R．（Ⅰ）若函数 f (x)满足 f (3+x)=f (-x)，求使不等式 f (x)≥g(x)成立的 x 的取值集合；（Ⅱ）若函数 h(x)= f (x)+g(x)+2 在(0，2)上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 b 的取值范围．
b1 (1 q 2 ) b (1 q 3 ) ， S3 1 ， 1 q 1 q
数学（理科）试题第 5 页（共 10 页）
于是 2 2

四川省绵阳中学2024届高三高考适应性考试(一)数学(理科)试题(含答案与解析)_4574

绵阳中学2024届高三高考适应性考试（一）数学（理科）时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A. A B ⊆B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅2. 已知i 为虚数单位，则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数；命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（）A.B.C.D.5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，则n a 的最大值与最小值之和为（） A. 13-B.57 C. 2D.736. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则正数ϕ的最小值为（） A.π12B.π6 C.π3D.π28. 三棱柱111ABC A B C -，底面边长和侧棱长都相等．1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A.B.12C.D.9. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（）种． A. 72B. 144C. 384D. 43210. 已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅= ，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r的取值范围是（）A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C. D. ⎤⎥⎦11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=)（） A 4B. 5C. 6D. 712. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x +'+>，若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（）A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.若6的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中3x -的系数为__________．14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同，且满足463a a +=，372a a ⋅=．若[]0,πx ∈，则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________15.ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==，则ABC 的周长为__________． 16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交..于,A B 两点，连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立，则该抛物线方程为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且25214a a a =，设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c ．（1）求数列{}n a 前n 项和为n S ；（2）若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-=，求数列{}n b 的通项公式． 18. 如图（1）在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起，使120PAD ∠=︒，构成四棱锥P ABCD -，如图（2）E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PCD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．的（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，AB的最小值为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若与A ，B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-，求PAB 面积的取值范围．21. 现定义：()()213321f x f x x x --为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；（2）若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标是()0,1，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），0πθ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，1C 与2C 交于A ，B 两点．（1）将曲线2C 极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？（2）过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ，D 两点，求11PA PB PC PD+的值．选修4-5：不等式选讲23 设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A. A B ⊆ B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅【答案】A 【解析】【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断. 【详解】当2,Z k n n =∈时，ππ2π2π,Z 42B n n k A αα⎧⎫=+≤≤+∈=⎨⎬⎩⎭，的.当21,Z k n n =+∈时，ππ2ππ2ππ,Z 42B n n k αα⎧⎫=++≤≤++∈⎨⎬⎩⎭，所以A B ⊆. 故选：A2. 已知i 为虚数单位，则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得2(1i)2i 24i 2i 2i 55--==--++，得到共轭复数为24i 55-+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数()22i 2i (1i)2i 24i 2i 2i 555----===--++，可得共轭复数为24i 55-+，其在复平面内对应点为24,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B ．3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数；命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题【答案】B 【解析】【分析】先判断命题,p q 都是真命题，故可得正确选项．【详解】对于p ，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()1112221212--=+=+--xx xf x ，进一步化简得到()()121111212221x x x f x f x -+-=+=--=---，故()f x 为奇函数，故p 为真命题．对于q ，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，,sin ,DOB x CE x BCx ∠===，tan BD x =，因为OBC OBD OBC S S S ∆∆<<扇形，故1111sin 1tan 222x x x x ⨯⨯<⨯⨯<⨯⨯，即sin tan <<x x x ．故q 真命题，综上，p q ⌝∨为真命题，选B ．【点睛】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据点()2,1--在抛物线的准线上则可得4p =，进而可得抛物线的焦点坐标，再求出a 的值，由点()2,1--在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b 的值，则可得c 的值，进而可得答案. 【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，即点()2,1--在抛物线的准线上，又由抛物线()220y px p =>的准线方程为22px =-=-，则4p =，则抛物线的焦点为()2,0，为则双曲线的左顶点为()2,0，即2a =点()2,1--在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得1b =，则c =，则焦距为2c =，故选：B5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，则n a 的最大值与最小值之和为（） A. 13-B.57 C. 2D.73【答案】C 【解析】【分析】由题可得2129n a n +-=，利用数列的增减性可得最值，即求.【详解】∵数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，当1n =时，157a =，当2n ≥时，()12117n b n -=--，()1212727122929117n nn nb n a b n n n ---===+----=， 1n =时也适合上式，∴2129n a n +-=，∴当4n ≤时，数列{}n a 单调递减，且n a 1<，当5n ≥时，数列{}n a 单调递减，且n a 1>，故n a 的最大值为53a =，最小值为41a =-， ∴n a 的最大值与最小值之和为2. 故选：C.6. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则正数ϕ的最小值为（） A.π12B.π6 C.π3D.π2【答案】C【解析】【分析】由函数的最大值求出ω的表达式，根据图像变换结合对称性求出ϕ的表达式，根据ϕ为正数求出最小值【详解】依题意，()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，11πππsin 2π122663k k ωωω⎛⎫∴=⇒=+⇒=+⎪⎝⎭，1k Z ∈时，把()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()()sin 2g x x ωϕ=-，又77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得7π12x =是()g x 的一条对称轴， ()2222π7πππ7π2π,Z Z 1222424k k k k ωϕϕω∴⨯-=+∈⇒=--+∈ 即()()1222ππ7,Z 23k k k k ϕ=-+∈，当120k k ==时，正数ϕ取最小值π3故选：C ．8. 三棱柱111ABC A B C -，底面边长和侧棱长都相等．1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A.B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======，11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++，由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.【详解】设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======，由题意11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++，1AB === ，1BC == ，又()()22111111122AB BC a c a b c b a b c c a ⋅=+⋅-++=⋅+⋅+-=++-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1cos cos ,AB θ= . 故选：D ．9. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（）种． A. 72 B. 144 C. 384 D. 432【答案】D 【解析】【分析】根据所取数字之和为10，分3类，再由分类加法计数原理求解即可. 【详解】分3类：①红1蓝1，红4蓝4，排成一排44A 24=； ②红2蓝2，红3蓝3，排成一排44A 24=；③2个1选1张，2个2选1张，2个3选1张，2个4选1张，排成一排1111422224C C C C A 384⋅=，由分类加法计数原理，共2424384432++=种，故选：D ．10. 已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r的取值范围是（）A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C.D. ⎤⎥⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．详解】由题设单位向量()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，【()()1,2,2c a x y c b x y ∴-=--=-，，+=即(),x y 到()1,0A 和()0,2B ，而AB =故动点(),P x y 表示线段AB 上的动点.又2c a +=，该式表示()2,0-到线段AB 上点的距离，其最小值为点()2,0-到线段:220(01)AB x y x +-=≤≤的距离，而d =，故|2|min c a +==.最大值为()2,0-到()1,0A 的距离是3，所以2c a +r r的取值范围是⎤⎥⎦．故选：D ．【点睛】关键点点睛：根据向量关系可得动点的轨迹，再根据点到直线的距离可得点点距的最小值.2c a +=表示点到线段上的连线的范围，结合其几何关系不难解决问题．11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=)（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】【分析】根据规律可总结出第n 次操作去掉区间的长度和为123n n -，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；以此类推，第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，∴进行了第n 次操作后，去掉区间长度和112133122212393313nn n nnS -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-，由902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21310n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22331lg101log log 10 5.68210lg 2lg 3lg 3n ∴≥=-=-=-≈-，又n N *∈，n ∴的最小值为6. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.12. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x +'+>，若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（）A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()2()=++F x f x x x ，由()210f x x +'+>得到其单调性，再由()()2f x f x x =--，得到其奇偶性求解.【详解】解：令()2()=++F x f x x x ，则()()210'=++>'F x f x x ，.所以()F x 在[0,)+∞上递增，因为()()2f x f x x =--，所以()22()()-+--=++f x x x f x x x ，即()()F x F x -=，所以()F x 是偶函数，不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+等价于：()()()()22(21)2121(1)11+++++>+++++f x x x f x x x ，即()()211F x F x +>+，即()()211+>+F x F x ，所以211x x +>+，解得23x <或0x >，故选：D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13. 若6的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中3x -的系数为__________．【答案】1 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】()()12566166C C 10,16rrrr rr r r T a xr --+⎛==-⋅= ⎝0,6r =时为有理项，06621a a a ∴+=⇒=，由3125366r r x --=-⇒=∴系数：()6666C 11a -=, 故答案为：1.14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同，且满足463a a +=，372a a ⋅=．若[]0,πx ∈，则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________【答案】14##0.25 【解析】【分析】由等比数列性质可列关于46,a a 的方程组，结合{}n a 为单增等比数列，即可求得q ，进一步利用三角恒等变换化简表达式22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭得到πsin 24x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，结合[]0,πx ∈解三角不等式即可得解.【详解】37462a a a a == ，又46463,,a a a a +=∴是方程2320x x -+=的两根，又{}n a 为单增等比数列，2461,22a a q ∴==⇒=又2ππcos 22cos sin2cos212124x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ212sin 244x x ⎛⎫⎛⎫++≥⇒+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， []ππ9πππ3ππ0,π,2,,204444444x x x x ⎡⎤∈∴+∈∴≤+≤⇒≤≤⎢⎥⎣⎦ ， ∴所求概率π014π04P -==-. 故答案为：14．15.ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==，则ABC 的周长为__________．【答案】14 【解析】【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：2222a b c =+；再结合255,cos 31a A ==和余弦定理得出b c +的值即可求解. 【详解】因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin C A B C A B B C A B C A -=-，即sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A +=，.由正弦定理可得：cos cos 2cos ac B ab C bc A +=，由余弦定理可得：22222222222a cb a bc c b a +-+-+=+-，整理得：2222a b c =+.因为255,cos 31a A ==，所以222225025cos 231b c b c a A bc ⎧+=⎪⎨+-==⎪⎩，整理得：2250231b c bc ⎧+=⎨=⎩，则9b c +===，所以14a b c ++=，故答案为：14.16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交于,A B 两点，连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立，则该抛物线方程为______.【答案】24y x = 【解析】【分析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，根据,AP PC BP PD λλ==推出()()123421y y y y λλ+++=+，结合点在抛物线上可得12y y p +=，34y y p +=，即可求得p ，即得答案.【详解】由题意设()()()()112212334434,,,,(),,,,,()A x y B x y x x C x y D x y x x ≠≠，由AP PC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，可得：1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得：2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，则：()()()()123412344121x x x x y y y y λλλλ⎧+++=+⎪⎨+++=+⎪⎩（*）将,A B 两点代入抛物线方程得2211222,2y px y px ==，作差可得：()1212122y y y y p x x -+=-，而12122y y x x --=，即12y y p +=，同理可得，34y y p +=，代入（*），可得2p =，此时抛物线方程为24y x =，故答案为：24y x =三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且25214a a a =，设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c ．（1）求数列{}n a 的前n 项和为n S ；（2）若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-= ，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）2n S n =（2）112n b n=+ 【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，求得2d =，得到21n a n =-，结合等差数列的求和公式，求得n S 的值，得到答案；（2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，求得21n x n <<+，得到n c n =，进而得到()212222n b b nb n n +++-= ，当2n ≥时，()21212211n b b n b n -⎡⎤+++-=-⎣⎦ ，两式相减得112n b n=+，进而得到数列{}n b 的通项公式．【小问1详解】由等差数列{}n a 的首项11a =，且25214a a a =，可得()()()2111134a d a d a d ++=+，整理得212a d d =，即22d d =，因为0d >，所以2d =，所以()21N n a n n *=-∈，可得()()2121135212n n n S n n +-=++++-== ．【小问2详解】由不等式2223x n x nx n n +-<--，即22(31)20x n x n n +++-<，解得21n x n <<+，因为()2223Nx n x nx n n n *+-<--∈解集中整数的个数为nc，所以n c n =，又因为2112233122n n n n S c b c b c b c b c n ++++-== 可得()21232232n b b b nb n n ++++-= ，即()21232232n b b b nb n n ++++=+ ，当2n ≥时，()()22121221(1)211n b b n b n n n -⎡⎤+++-=-+-=-⎣⎦ ，两式相减得()2212n nb n n =+≥，则()1122n b n n=+≥，当1n =时，1221b -=，解得132b =，满足上式，所以112n b n =+，所以数列{}n b 的通项公式为112n b n=+． 18. 如图（1）在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起，使120PAD ∠=︒，构成四棱锥P ABCD -，如图（2）E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PCD；的（2）求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先利用几何关系证明和线面垂直的判定定理BA ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ，最后可得平面BEF ⊥平面PCD ；（2）建系，然后分别求出平面PBC 和平面PAD 的法向量，代入二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】因为2BD PC =，所以90PDC ∠=︒，因为//,AB CD E 为CD 中点，2CD AB =，所以//AB BE 且AB DE =，所以四边形ABED 为平行四边形，所以//,BE AD BE AD =．而,BA PA BA AD ⊥⊥，又PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ．因为//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥且CD AD ⊥，又因为在平面PCD 中，//EF PD ，于是CD FE ⊥．因为在平面ABCD 中，//BE AD ，于是CD BE ⊥．因为,FE BE E EF =⊂ 平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ，又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD ．【小问2详解】以A 点为原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，面ABD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知BA ⊥平面PAD ，所以z 轴位于平面PAD 内，所以30,PAz P ∠︒=到z 轴的距离为(1,0,P ∴-，同时知())()0,0,0,,2,0A BC ，),2,0PB BC ==，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z，所以()()),,000,020,,2,00x y z n PB y n BC y x y z ⎧⋅=⎧⋅=+=⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅=+=⎪⋅=⎪⎩⎩，令1y =，则n ⎛= ⎝；又)AB =为平面PAD 的一个法向量，所以cos ,n AB n AB n AB⋅===⋅，又因为平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的平面角为锐角，所以平面PBC 与平面PAD19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．【答案】（1）高于（2）分布列见解析，()2541625E X =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出a ，再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数，比较即可；（2）先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率，再利用二项分布求出X 所有可能取值的概率，得到分布列，根据分布列求数学期望即可. 【小问1详解】根据频率分布直方图各矩形面积和为1得()20.2500.3750.5000.6250.51a ++++⨯=，解得0.125a =，所以全部参赛人员的整体水平为7.07.57.58.08.08.58.59.09.09.59.510.00.50.1250.2500.6250.5000.3750.1258.531222222++++++⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈ ⎪⎝⎭，根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为7.58.68.79.09.29.68.7676+++++≈，所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平．【小问2详解】从这6位抽取2位的基本事件总数为26C ，分差大于0.5的基本事件为除数据()8.6,8.7，()()()()()8.6,9.0,9.2,9.6,9.2,9.0,8.7,9.0,9.2,8.7外的9个基本事件，故概率为26993C 155P === 依题意X 的取值为3，4，5，则()333235355125P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()222222443232322165C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列为X 34 5P35125 234625 216625所以()352342162541345125625625625E X =⨯+⨯+⨯=． 20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C ab a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，AB 的最小值为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若与A ，B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-，求PAB 面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝.【解析】【分析】(1)根据通径的性质即可求解；(2)取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点．得PABOAB S S = ，设AB 方程，与椭圆方程联立，表示出OAB S 并求其范围即可.【小问1详解】由右焦点()1,0F 知，1c =，当AB 垂直于x 轴时，AB最小，其最小值为22b a=．又∵222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．【小问2详解】解法一：取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点． ∴PAB OAB S S = ．当AB 垂直于x 轴时，A ，B的坐标分别为⎛ ⎝，1,⎛ ⎝，OAB S =△；当AB 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠．则点O 到直线AB的距离d =，联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，()2810k ∆=+>，2AB x =-==，∴1122OABS AB d =⋅==△，令212t k =+，则()2112t k t -=>，此时OABS ⎛= ⎝△．综上可得，PAB面积的取值范围为⎛ ⎝．解法二：当AB 垂直于x 轴时，A ，B的坐标分别为⎛ ⎝，1,⎛⎝，由()2OP OA OB λλ=+-，得点P的坐标为(-，则点P 到直线AB 的距离为1，又AB =PAB的面积为112=，当AB 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，设P ，A ，B 的坐标分别为()00,x y ，()11,x y ，()22,x y ，则()111y k x =-，()221y k x =-，由()2OP OA OB λλ=+-，得()0122x x x λλ=+-，()()()()()0121212212122y y y k x k x k x x λλλλλλ=+-=-+--=+--⎡⎤⎣⎦，即()002y k x =-．故点P 在直线()2y k x =-上，且此直线平行于直线AB．则点P 到直线AB的距离d =，联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，2AB x =-==，∴1122PABS AB d =⋅==△，令212t k =+，则()2112t k t -=>，此时PABS ⎛= ⎝△．综上可得，PAB面积的取值范围为⎛ ⎝．解法三：取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点． ∴PAB OAB S S = ，设直线AB 的方程为1x ty =+，则点O 到直线AB 的距离d =联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()222210t y ty ++-=，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，()2810t ∆=+>，2AB y =-==，∴1122OABS AB d =⋅==△，∴OAB S ⎛=⎝△，即PAB面积的取值范围为⎛ ⎝． 21. 现定义：()()213321f x f x x x--为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；（2）若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)e,+∞ 【解析】【分析】（1）由题意得到()f x 单调递增，即0a >，故1212e 2,e 2ax axx x ==，分离参数后得到()ln 2x a x=有两不等实根，构造()()ln 2x h x x=，得到其单调性，结合函数图象得到实数a 的取值范围；（2）由题意得到()()()()212133332121f x f xg x g x x xx x-->--，转化为对任意21x x >，有()()()()2211f x g x f x g x ->-，构造()()()22e ln ax r x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得到()0r x '≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，解法一：考虑a<0与0a >两种情况，结合同构思想，得到()ln m x x x =+，求出其单调性，得到e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，变形为2e 0ax x a --≥，构造()2e axl x x a =--，求导后得到其单调性，求出e a ≥；解法二：变形为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，构造()()212e ,ln ax m x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，观察得到()m x 与()n x 互为反函数，从而证明出()m x x ≥恒成立即可，构造()2e ax l x x a=--，求导后得到其单调性，求出e a ≥；方法三：对()r x 二次求导，构造()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导后分0a >与a<0两种情况，分析出0a >时，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ，使得()00x ϕ=，求出()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，转化为只需()00r x '≥即可，利用基本不等式证明出结论，且a<0时，不合题意，得到答案. 【小问1详解】()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为正，可得()f x 单调递增，即0a >.故若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，即存在不同的12,x x ，使得1212e2,e 2ax ax x x ==，故方程e 2ax x =有两不等实根，化简得()ln 2x a x=有两不等实根.即y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点. 由()()21ln 2x h x x -'=，可知()h x 在e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，在e ,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，且当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →，故要使y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点，e 202ea h ⎛⎫<<=⎪⎝⎭, 故实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫⎪⎝⎭；【小问2详解】由对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，可得()()()()212133332121f x f x g x g x x x x x -->--，由21x x >可得，()()()()2121f x f x g x g x ->-，即对任意21x x >，有()()()()2211f x g x f x g x ->-可得()()()22e ln axr x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 即()2ln 20axr x ae x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，解法一：①当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立. ②当0a >时，()()e ln 2ln 20axr x a ax a +'=-+-≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即()e ln ln 22axa ax a ax ax ++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，令()()ln ,e ln ln 22axm x x x a ax a ax ax =+++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()e 2ax m a m ax ≥+.显然()m x 在()0,∞+上单调递增，得e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.即2e 0ax x a --≥恒成立令()()2e ,e 1axax l x x l x a a-='=--，可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，解得e a ≥ 解法二：①当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立. ②当0a >时，2e ln 20axa x a ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭可转化为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，令()()212e ,ln axm x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，可得()m x 与()n x 互为反函数，故()()m x n x ≥恒成立，只需()m x x ≥恒成立即可，即2e 0axx a--≥恒成立. 令()()2e ,e 1axax l x x l x a a -='=--，可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，解得e a ≥. 解法三：令()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得()()2e 3axx a ax ϕ'=+ ①当0a >时，32a a -<-，此时()x ϕ在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由210a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故在2,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ，使得()00x ϕ=，即0202e 1ax a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即001e 2ax a a x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，000221ln ln 2ln e ax x a ax a a ⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭，令()()2e ln 2axt x r x a x a ⎛⎫==- ⎝'+-⎪⎭，则()21e 2axt x a x a'=-+，当02,x x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0t x '>，此时()r x '在02,x a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，只需()00r x '≥即可. 而()000021e ln 22ln 22ax r x a x ax a a a x a ⎛⎫=-+-=++- ⎪⎛⎫⎝⎭+' ⎪⎝⎭ 00122ln 4242ln 02a x a a a a x a ⎛⎫=+++-≥-+≥ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，解得e a ≥经检验，当e a =时等号成立，故e a ≥②当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立.故e a ≥.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标是()0,1，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），0πθ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，1C 与2C 交于A ，B 两点．（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？（2）过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ，D 两点，求11PA PB PC PD +的值．【答案】（1）244x y =+，抛物线；（2）18. 【解析】【分析】（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=，对2C 的极坐标方程进行化简即可求得其直角坐标方程，再根据方程判断曲线类型即可；（2）联立直线l 的参数方程与曲线2C 的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数的几何意义求得1PA PB=，再将θ替换为π2θ+，即可求得1PC PD ，相加即可求得最后结果.。

四川省绵阳市高中2014届高三第一次诊断性模拟考试数学(文)试题含解析

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

若集合{}cos ,A y y x x R ==∈，{}ln B x y x ==,则A B =（）A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}01x x <≤D ．∅2.在等差数列*45619{}(),27,n a n N a a a a a ∈++=+中若则等于( ）A ．9B ． 27C ．18D ．543。

“6πα="是“212cos =α”的（ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】4.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ )A ．（3，+∞)B ．(2，3）C ．(1,2）D ．(0,1）5。

将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度,得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的解析式是( ）A ．()sin(2)6g x x π=-B ．()sin(2)3g x x π=- C ．1()sin()212g x x π=- D ．1()sin()26g x x π=-6。

已知函数()log a f x x =在其定义域上单调递减，则函数2()log (1)ag x x =-的单调减区间是 ( ）A 。

(,0]-∞B 。

(1,0)-C 。

(0,]+∞D. [0,1)7。

在ABC ∆中,点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = （）A ．(2,7)-B ．(2,7)-C ．(6,21)-D ．(6,21)-。

四川省绵阳中学2014届高三数学第一次月考试题理新人教A版

四川省绵阳中学2014届高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈，则M 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．等比数列x ，33x +，66x +，……的第四项等于（）A ．－24B ．0C ．12D ．244．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定5．已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，则向量AB 在CD方向上的投影为（）A ．B ．CD 6．函数()2ln f x x =的图象与函数2()45g x x x =-+的图象的交点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．08．已知,a b是单位向量，0a b = ，若向量c 满足1c a b --= ，则c 的取值范围是（）A ．1⎤⎦B ．2⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦9．若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[]1,0-B ．[)1,-+∞C ．[]0,3D ．[)3,+∞10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（）A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-二、填空题（每小题5分，共25分）11．设,a b为向量，则“a b a b =”是“a ∥b ”的条件。

2013-2014学年上学期半期考高三数学(理)答案

2013---2014学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中三年数学（理科）科参考答案与评分标准一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题4分，共16分）13．2214．(]()212,，-⋃-∞- 15. 54 16. (]ππ2,三、解答题（共74分）17. 解：（1）依题意得：{}{}31|42|-<>=<<-=x x x B x x A 或，{}41|<<=⋂∴x x B A …………………………………………………5分（2）①当，符合时，Φ==C 0a )(B A C ⋂⊆；…………………7分 ②当0>a 时，{}a x a x C 2|<<=，要使)(B A C ⋂⊆，则⎩⎨⎧≤≥421a a ，解得：21≤≤a ；……………………9分③当0<a 时，{}a x a x C <<=2|，0<a ，)(B A C ⋂⊆=Φ，0<∴a 不符合题设……………………11分∴综合上述得:021=≤≤a a 或…………………………………………12分18.解:(1)由已知得: x x x xxx f ωωωωωcos 3sin 3cos 32cos2sin32)(+=+⋅==)3sin(32πω+x …………………………………2分A 为图象的最高点，∴A 的纵坐标为32又ABC ∆为正三角形，所以4||=BC …………………………………3分∴42=T可得8=T 即82=ωπ 得4πω=…………………………………5分∴)34sin(32)(ππ+=x x f …………………………………………………6分（2）由题意可得),64sin(323)2(4sin 32)(ππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x x x g ………8分令z k k x k ∈+≤-≤+,2236422ππππππ，……………………………………10分可得z k k x k ∈+≤-≤+,2236141221)(,8320838z k k x k ∈+≤≤+∴…………………………………………………11分故函数)(x g 的减区间为)(8320838z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++，。

四川省绵阳中学2014届高三上学期第三次月考试题数学(理) Word版含解析

绵阳中学2011级高三第二次月考（2013.12）理科数学试题（命题人：罗福王逍）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列不等式一定成立的是（）A ．21lg()lg 4x x +>（0x >）B ．1sin 2sin x x+≥（,x k k π≠∈Z ） C ．212||x x +≥（x ∈R ）D ．2111x >+ （x ∈R ） 2．已知命题:p 12,x x ∀∈R ，2121(()())()0f x f x x x --≥，则p ⌝是（）A ．12,x x ∃∈R ，2121(()())()0f x f x x x --≤B ．12,x x ∀∈R ，2121(()())()0f x f x x x --≤C ．12,x x ∃∈R ，2121(()())()0f x f x x x --<D ．12,x x ∀∈R ，2121(()())()0f x f x x x --<3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 所含元素的个数为（）A ．3B ．6C ．8D ．105．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（）A ．12BC ．1 D6．函数cos sin y x x x =+的图象大致为（）7．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元．每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中．要求每天消耗A ．B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中。

四川绵阳高中2013级一诊-数学理(清晰扫描版).

绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCBCC AADDB AB 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-414．215．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，16．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1x )x+ cos2x=2 sin(2x+6π)， ……………………………………………6分∴ 最小正周期22T ππ==，令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ，即f (x )的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分（Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x )取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2π)=-1．即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由S 3+S 5=58，得3a 1+3d +5a 1+10d=8a 1+13d =58， ①∵ a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32=a 1a 7，即(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d )，整理得a 1=2d ，代入①得d =2， a 1=4，∴ a n =2n+2． …………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知a 8=18，b 5·b 6+b 4·b 7=2b 5·b 6=18，解得b 5·b 6 =9． ∵ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6)=5log 3(b 5·b 6) =5log 39=10． ……………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5，于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5，于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-．令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，．由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12-4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527，∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分20．解：（Ⅰ）∵a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，0C π<<3C π=（Ⅱ）由 C =π-(A +B )，得sin C =sin(B +A )=sin B cos A +cos B sin A ， ∵ sin C +sin(B -A )=3sin2A ，∴ sin B cos A +cos B sin A +sin B cos A -cos B sin A =6sin A cos A ，整理得sin B cos A =3sin A cos A ． ………………………………………………8分若cos A =0，即A =2π时，△ABC 是直角三角形，且B =6π，于是b =c tan B =2tan6π，∴ S △ABC =12bc ． ……………………10分若cos A ≠0，则sin B =3sin A ，由正弦定理得b =3a ．② 联立①②，结合c =2，解得ab∴ S △ABC =12ab sin C =12综上，△ABC．………………………………………12分21．解：（Ⅰ）当t=1时，2a n -2=0，得a n =1，于是数列{a n }为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分当t ≠1时，由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1，由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n+1=2ta n+1-t -1，两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ， , ∴ 121n n a t a t +=+（常数）． ∴ 数列{a n }是以1为首项，21t t +为公比的等比数列．………………………4分（Ⅱ）∵ q = f (t )=21t t +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )=1n n b b +，∴11111n n n nb b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，于是1n n b =， ∴1n b n =．………………………………………………………………………8分（III ）当t =13时，由（I ）知a n =11()2n -，于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，…设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =km c ，当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)2k k +，∴ m 62=626319532⨯=，m 63=636420162⨯=．设S n 表示数列{c n }的前n 项和，则S 2016=[1+12+21()2+…+621()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62]显然 1+12+21()2+…+621()2=636211()1221212-=--， ∵ (2n )2-(2n -1)2=4n -1，∴ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62=-1+22-32+42-52+62-…-612+622=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61) =3+7+11+…+123 =31(3123)2⨯+=1953． ∴ S 2016=62122-+1953=1955-6212． ∴ S 2012=S 2016-(c 2016+c 2015+c 2014+c 2013)=1955-6212-(6212+62+62+62)=1769-6112．即数列{c n }的前2012项之和为1769-6112．…………………………………12分22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-， ∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a =1．于是11()1x f x x x-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数，当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）∀x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0，由题知：对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，只须f (x )max ≤g (x )max ． ∵22()x kx k g x x ++=2k x k x =++2k x kx ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭≤2k -， ∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分（Ⅲ）要证明2222ln 2ln3ln 21234(1)n n n n n --+++<+(n ∈N*，n ≥2)．只须证22222ln 22ln32ln 21232(1)n n n n n --+++<+，只须证2222222ln 2ln3ln 21232(1)n n n n n --+++<+．由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x )为减函数， f (x )=ln x -x +1≤0，即ln x ≤x -1，∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，22222ln 11111111(1)1n n n n n n n n n -<=-<-=-+++，222222ln 2ln 3ln 23n n +++<111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭211211212(1)n n n n n --=--+=++，∴2222ln 2ln3ln 21234(1)n n n n n --+++<+．………………………………………14分。

绵阳市高2014届一诊数学(理)试卷+答案详解

绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCDC ABBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．21()e e， 15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ） cos x ≠0知x ≠k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }．………………………3分又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-=)42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ． ……………………………………………………………8分（II ）由题意得1)4πx +≥0，即sin(2)4πx +，解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ．结合x ≠k π，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x <k ππ+，k ∈Z }．………………………………………………12分 17．解：（I ）设{a n }的公差为d ，则由题知⎩⎨⎧=+++=+，，4874143111d a d a d a 解得a 1=2，d =4． ……………………………………4分 ∴a n =2+4(n -1)=4n -2．…………………………………………………………6分（II ）设{b n }的公比为q ，若q =1，则S 1=b 1，S 2=2b 1，S 3=3b 1，由已知312322S S S +=⨯，代入得8b 1=4b 1，而b 1≠0，故q =1不合题意．…………………………………………………………7分若q ≠1，则S 1=b 1，q q b S --=1)1(212，qq b S --=1)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--，整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分 ∴8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分18．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即3sin =ϕ，由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)， ∴ ，2)3sin(2=+πω 解得6πω=．∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分（II ）∵ B 点的横坐标为3，代入函数解析式得2sin(3)63B ππy =⨯+=1，∴ 2)34(122=-+=BD ．…………………………………………………8分在△BCD 中，设∠CBD =θ，则∠BDC =180º-120º-θ=60º-θ．由正弦定理有)60sin(sin 120sin θθ-︒==︒BCCD BD ， ∴ θsin 362=CD ，)60sin(362θ-︒=BC ， …………………………………9分 ∴ )]60sin([sin 362θθ-︒+=+CD BC ]sin 21cos 23[sin 362θθθ-+=)3sin(362πθ+=． ∴ 当且仅当6πθ=时，折线段BCD 最长，最长为362千米．…………12分 19．解：（I ）由于f (3+x )=f (-x )知函数f (x )关于23=x 对称，即232=-b ，解得b =-3，于是 f (x )=x 2-3x +2．………………………………3分 22111()111x x x g x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨--<<⎪⎩，或，，，当x ≤-1，或x ≥1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥x 2-1，解得x ≤1， ∴ 此时x 的范围为x ≤-1，或x =1．当-1<x <1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥1-x 2，解得x ≤12或x ≥1， ∴ 此时x 的范围为-1<x ≤21． ∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件．…………………………………………………………………9分即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-．经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时2(1)1(2)0124240h h b b ≥⎧⎪>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩，，，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<<->+≥+，或，，，626248011205b b b b b 得：-5≤b <- ∴ 综上所述b的取值范围为112b -<<- ……………………………12分 20．解：（I ）由02312>-+x x 解得221<<-x ．即)221(，-=M ．……………2分∵x x x x x f 24)2(3243)(22⋅-⋅=-⋅=+，令2x =t ，则422<<t ， 34)32(343)()(22+-=-==t t t t g x f ， ∴ g (t )在)422(，上是增函数． ∴ g (t )在)422(，上无最小值，即f (x )在M 上无最小值． ……………………………………………………7分（II ）∵0)1()1(2)(222>+-+='x x tx x g ， ∴ g (x )在M 上是增函数． ……………………………………………………8分设1+tx -x 2=0的两根为α，β(α<β)，则α+β=t ，αβ=-1，M =(α，β)．于是1212)()(22+--+-=-ααββαβt t g g )1)(1()1)(2()1)(2(2222+++--+-=βαβααβt t 12)()())(()(2)(222+-+++-----=αββααββαβαβαβααβt224)()(4tt +----=βαβα=αβ- αββα4)(2-+=42+=t ．由题意知，要使原不等式恒成立，只需342<+t，解得[t ∈．……………………………………………………………………………13分21．解：（I ）∵a x e x f x --=')(，∴ a f -='1)0(．于是由题知1-a =2，解得a =-1．∴ (0)1f =，于是1=2×0+b ，解得b =1．……………………………………………………4分（II ）由题意0)(>'x f 即0>--a x e x 恒成立， ∴ x e a x -<恒成立．设x e x h x -=)(，则1)(-='x e x h ．∴ h (x )min ∴ a <1．…………………………………………………………………………9分（III ）由已知ax ax e x ax ax x e x g x x --=+---=22222121)(， ∴ a ax e x g x --='2)(．∵ x 1，x 2是函数g (x )的两个不同极值点（不妨设x 1<x 2），∴ a >0（若a ≤0时，0)(>'x g ，即g (x )是R 上的增函数，与已知矛盾），且0)(1='x g ，0)(2='x g ． ∴ 0211=--a ax e x ，0222=--a ax e x ．两式相减得：21212x x e e a x x --=，于是要证明a xx 2ln 221<+，即证明2122121x x e e ex x x x --<+，两边同除以2x e ，即证21212121x x e e x x x x --<--，即证(x 1-x 2)221x x e ->121--x x e ，即证(x 1-x 2)221x x e --121x x e -+>0，令x 1-x 2=t ，t <0．即证不等式012>+-t te te 当t <0时恒成立．设2()1t t φt te e =-+， ∴ t tt e e t e t -⋅⋅+='21)(22ϕ t te e t-+=2)12( )]12([22+--=te e t t ． ∵由(II)知122+>t e t，即0)12(2>+-te t， ∴ ϕ(t )<0，∴ ϕ(t )在t <0时是减函数．∴ ϕ(t )在t =0处取得极小值ϕ(0)=0． ∴ ϕ(t )>0，得证． x x 21+。

四川省绵阳市2014届高三第一次诊断性考试数学(文)试题清晰扫描版含答案

绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBDDB AACAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．56a 13．5 14．21()e e ， 15．m <0或m >2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（I ）x x x x f cos )3sin cos 3cos (sin 2)(ππ-= x x x 2cos 3cos sin -=2)2cos 1(32sin 21x x +-=1sin 222x x = 23)32sin(--=πx ，……………………………………………6分 ∴ ππ==22T ，即f (x )的最小正周期为π． …………………………………7分（II ）由22πk π-≤23πx -≤22πk π+，可得12πk π-≤x ≤512πk π+，k ∈Z ，由22πk π+≤23πx -≤322πk π+，可得512πk π+≤x ≤1112πk π+，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递减区间为5[]1212ππk πk π-+，，k ∈Z ，单调递增区间为11[]1212ππk πk π5++，，k ∈Z ， ∴ f (x )在[5012π，]上是减函数，在[52ππ12，]上是增函数． ………………12分 17．解：（I ）设{a n }的公差为d ，则由题知⎩⎨⎧=+++=+，，4874143111d a d a d a 解得a 1=2，d =4． ……………………………………4分 ∴a n =2+4(n -1)=4n -2．…………………………………………………………6分（II ）设{b n }的公比为q ，若q =1，则S 1=b 1，S 2=2b 1，S 3=3b 1，由已知312322S S S +=⨯，代入得8b 1=4b 1，而b 1≠0，故q =1不合题意．…………………………………………………………7分若q ≠1，则S 1=b 1，q q b S --=1)1(212，qq b S --=1)1(313，于是23111(1)(1)22311b q b q b q q--⨯⨯=+--，整理得：4q 2=3q +q 3，解得q =0（舍去），q =1（舍去），q =3， ………10分∴ 8031)31(244=--⨯=S ． ………………………………………………………12分 18．解：（I ）∵21)(x a x x f -='， ∴ 由题意知(1)2f '=，即1-a =2，解得a =-1．于是f (1)=-1-2=-3，∴ -3=2×1+b ，解得b =-5． …………………………………………………6分（II ）由题知ln 2a x x+-≥0对任意x >0恒成立，即a ≥2ln x x x -，令 x x x x g ln 2)(-=，∴ x x x g ln 1)1(ln 2)(-=+-='． ………………………………………………8分显然当0<x <e 时，0)(>'x g ，即得g (x )在(0，e )上是增函数，当x ≥e 时，()g x '≤0，即得g (x )在[)e +∞，上是减函数．∴ e e g x g ==)()(max ．∴ a ≥e ，即a 的最小值为e ．………………………………………………12分19．解：（I ）由已知A =2，且有3)0sin(2=+⋅ϕω，即23sin =ϕ，由|ϕ|<2π得3πϕ=．又∵ 最高点为(1，2)，∴ ，2)3sin(2=+πω 解得6πω=． ∴ )36sin(2ππ+=x y ．…………………………………………………………6分（II ）∵ B 点的横坐标为3，代入函数解析式得2sin(3)63B ππy =⨯+=1，∴ 2)34(122=-+=BD ．…………………………………………………8分在△BCD 中，设∠CBD =θ，则∠BDC =180º-120º-θ=60º-θ．由正弦定理有)60sin(sin 120sin θθ-︒==︒BC CD BD ， ∴ θsin 362=CD ，)60sin(362θ-︒=BC ， …………………………………9分 ∴ )]60sin([sin 362θθ-︒+=+CD BC ]sin 21cos 23[sin 362θθθ-+=)3sin(362πθ+=． ∴ 当且仅当6πθ=时，折线段BCD 最长，最长为362千米．……………12分 20．解：（I ）由于f (1+x )=f (2-x )知函数f (x )关于23=x 对称，即232=-b ，解得b =-3，于是 f (x )=x 2-3x +2．………………………………3分 22111()111x x x g x x x ⎧-≤-≥⎪=⎨--<<⎪⎩，或，，，当x ≤-1，或x ≥1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥x 2-1，解得x ≤1，∴ 此时x 的范围为x ≤-1，或x =1．当-1<x <1时，由f (x )≥g (x )有x 2-3x +2≥1-x 2，解得x ≤12或x ≥1， ∴ 此时x 的范围为-1<x ≤21． ∴ 综上知，使不等式f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |x ≤12或x =1}． ………………………………………………………………7分（II ）⎩⎨⎧<<-+≥-≤++=，，，或，1151132)(2x bx x x bx x x h 若b=0时，22311()51 1.x x x h x x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩，或，，显然h (x )>0恒成立，不满足条件． …………………………………………………………………9分若b ≠0时，函数ϕ(x )=bx +5在(0，1)上是单调函数，即ϕ(x )在(0，1)上至多一个零点，不妨设0<x 1<x 2<2．①如果0<x 1<1，1≤x 2<2时，则0)1()0(<ϕϕ，且(1)(2)h h ≤0，即50(5)(211)0b b b +<⎧⎨++≤⎩，，解得112-≤5b <-．经检验211-=b 时，)(x h 的零点为1011，2（舍去），∴112-<5b <-． ②若1≤x 1<x 2<2时， 2(1)1(2)0124240h h b b ≥⎧⎪>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩，，，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<<->+≥+，或，，，626248011205b b b b b 得：-5≤b <- ∴ 综上所述b的取值范围为112b -<<- ……………………………12分21．解：（I ）∵ )0(2)(<--='a a x e x f x ，∴ 当x ∈[-2，0]时，0)(>'x f ，即f (x )在[-2，0]上是增函数， ∴ 1)0()(max ==f x f ． …………………………………………………………4分（II ）∵ 函数f (x )恰有两个不同的极值点x 1，x 2， ∴ 方程e x -2x -a =0有两个不同的零点x 1，x 2．令h (x )=e x -2x -a ．①2)(-='x e x h ，当2ln <x 时，0)(<'x h ，h (x )是减函数；当2ln >x 时，h '(x )>0，h (x )是增函数， ∴ )(x h 在x =ln2时取得最小值． ∴ x 1<ln2．………………………………………………………………………9分 ②∵ h (x 1)=0，即0211=--a x e x ， ∴ 121x e a x -=．于是21111211111)1()2()(x e x x x e x e x f x x x +-=⋅---=， ∴ )2()(111x e x x f -='．∵ x 1<ln2，∴ 120x e ->．∴ 当x 1<0时，0)(1<'x f ，f (x 1)是减函数；当0≤x 1<ln2时，2()0f x '>，)(1x f 是增函数． ∴ f (x 1)在(-∞，ln2)上的最小值为f (0)=1，此时a =1．…………………14分。

绵阳市高中2013级(2016届)高三第一次诊断性考试数学理

绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADD BACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(]100，12．3 13．a ≥2 14．2 15．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1， ∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα．……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +λ，可得a n +1+λ=2(a n +λ)．∵ a 1=1，当a 1+λ=0，即λ=-1时，a n +λ=0，此时{a n +λ}不是等比等列． …………3分当a 1+λ≠0，即λ≠-1时，21=+++λλn n a a （常数）．此时，数列}{λ+n a 是以λλ+=+11a 为首项，2为公比的等比数列，∴ 12)1(-⋅+=+n n a λλ，于是12)1(-⋅+=+n n a λλ． ………………………6分（2）当λ=1时，a n =2n -1，∴ n n nb 2=. ……………………………………………………………………7分 ∴ n n nS 2232221321++++= ，两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S两式相减得 12221212121+-+++=n n n nS12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n， ∴nn n nS 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴8.070101040>++=n na b n n ，解得：n >8． ……………………………………………………………………5分即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分（2）由题意：nnn n a b a b >++11，即an nna n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0，即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0，化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)(><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCAC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AECAC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， …6分 ∴θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθc o s)120sin(11627⋅-︒⋅=， …………………7分令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++=)602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º， ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴43≤f (θ)≤2143+， ∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴)32(427-≤DCE S ∆≤12327．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1．于是13-=-a b ，23-=ac，得b =3a ，c =-6a . ………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11，把b =3a ，c =-6a 代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1.………………………………………………………………………5分（2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ，即ma ax ax ax =-+62323．∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(333)(2-+=-+='x x b x x x g ．列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0，由题意，知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=仅有一个交点，于是m =10或0<m <29. ………………………………………………………13分 21．解：（1）1111)(+=-+='x xx x f ， ∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f (x -1)+x >k )31(x -变形得)31()1(ln xk x x x ->+--，整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1， ∴ ln x >0若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增， ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21->k ， ∴ .221≤<-k 又∵ k ∈Z ， ∴ k 的最大值为2．若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1<x <2-k e . 即g (x )在(1，2-k e )上单调递减，在(2-k e ，+∞)上单调递增． ∴ g (x )在(1，+∞)上有最小值g (2-k e )=3k -2-k e ，于是转化为3k -2-k e >0(k >2)恒成立，求k 的最大值．令h (x )=3x -2-x e ，于是23)(--='x e x h ．∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增．∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值． ∵ 1<ln3<2， ∴ 3<2+ln3<4， ∵ 013)1(>-=eh ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0， ∴ k ≤4．∴ k 的最大取值为4．∴ 综上所述，k 的最大值为4.…………………………………………………9分（3）假设存在这样的x 0满足题意，则由20)(210x a e x f -<等价于01120020<-++x e x x a （*）．要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=1122-++x ex x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可． ∵ )1()(xe a x x h -='，令)(x h '=0，得e x =a1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ，在0<x <x 0时，)(x h '<0，在x >x 0时，)(x h '>0，∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，下面只需证明：在0<a <1时，1ln )(ln 22-++a a a a a<0成立即可．又令p (a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，a ∈(0，1)，则2)(ln 21)(a a p ='≥0，从而p (a )在a ∈(0，1)时为增函数．∴ p (a )<p (1)=0，因此x 0=-ln a 符合条件，即存在正数x 0满足条件．…………………………………………………14分。

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟（三）数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．45.25m B．50.76mA．52B．10．已知实数0x>，则函数A．(0,)+¥B．11．若函数()y f x=满足由图知：AD BC EC ==，D Ð所以,DM EM AM CM ==，而令,AM a DM x a ==-且2a >所以222(6)()x x a a a -+-=Þ构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>，所以原问题等价于存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()f x f y =，显然函数()f m 不是正实数集上的单调函数，()()e 20m f m m t m ¢=-+>，设()()()e 20e 2m m g m m m g m ¢=->Þ=-，当ln 2m >时，()()0,g m g m ¢>单调递增，当0ln 2m <<时，()()0,g m g m ¢<单调递减，故()()minln 22ln 2g m g ==-，当2ln 20t -+³时，即ln 22t ³-时，()()0,f m f m ¢³单调递增，所以不符合题意；当2ln 20t -+<时，即ln 22t <-时，显然存在0m ，使得()00f m ¢=，因此一定存在区间()()00,0m m e e e -+>，使得()f m ¢在()()0000,,,m m m m e e -+上异号，因此函数()f m 在()()0000,,,m m m m e e -+上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数x ，y ，使得()()e e x y x y x y t -+-=-成立，故答案为：),2l 2(n2-¥-【点睛】关键点睛：本题的关键是由()()e e x y x y x y t -+-=-构造函数()()2e 0m f m m mt m =-+>.17．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；。

2024届绵阳市中学高三数学(理)上学期第一次模拟考试卷附答案解析

2024届绵阳市中学高三数学（理）上学期第一次模拟考试卷（试卷满分为150分，时量为120分钟）2023.10一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分．每题只有一个选项符合题意）1．已知集合{}260A x x x =--≤，{}4B x x a =-≤≤，且{}43A B x x ⋃=-≤≤，则实数a 的取值范围是（）A ．(]4,2--B ．(]3,2--C ．[]3,3-D ．[]2,3-2．已知(3,22m ⎤∈⎥⎦，命题2:2320p m m --≤，命题22:1623x y q m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆.则下列命题中为假命题的是（）A ．p q∧B ．p q∧⌝C ．p q∨⌝D ．p q∨3．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．54．涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线216x y =-的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）A ．6B ．C ．D 5．经研究发现：某昆虫释放信息素t 秒后，在距释放处x 米的地方测得信息素浓度y 满足函数21ln ln 2Ky t x At =--+（A ，K 为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a ，则释放信息素4秒后，信息素浓度为12a 的位置距释放处的距离为（）米．A ．B ．2C D ．46．若2cos230,,21tan 8πααα⎛⎫∈= ⎪+⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．22C ．12D ．17．若向量,a b 满足||||||a b a b +=+ ，则向量,a b一定满足的关系为（）A ．0a =B ．存在实数λ，使得a b λ=C ．存在实数,m n ，使得ma nb = D ．||||||a b a b -=-8．函数()()1,21,20x x f x f x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩的图象大致为（）A．B ．C ．D．9．若1201x x <<<，则（）A ．2121e e ln ln x x x x ->-B ．2121e e ln ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <10．某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（）A ．288种B ．336种C ．384种D ．672种11．已知双曲线C 22221(0,0)x y a b a b -=>>：的右顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且1||2MF MA=，则该双曲线的离心率为（）A．BC ．2D112．函数()f x 满足：①()f x 关于原点对称：②R x ∀∈，都有()()40f x f x +-+=；③当[)0,2x ∈时，()f x =()()2g x f x =，直线1y kx =-与()g x 无交点，则k 的取值范围是（）A ．212182⎛⎤+ ⎥⎝⎦B．⎤⎥⎝⎦C ．(]31,11,24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D．⎤⎥⎝⎦二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2log 3，则输出y 的值为.14．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a=，48a =，则5S =．15．在ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos c A A b =-，则21tan tan A B +=．16．已知函数228,0()4,0x x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩，若从集合{}N 10x x ∈≤中随机选取一个元素m ，则函数()()()g x f f x m =-恰有7个零点的概率是．三、解答题（本题分为必考题和选考题两部分，17-21题每小题12分，22、23题10分）（一）必考题（共60分）17．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=+()0ω>，其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.（1）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移ϕ()π02ϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，求ϕ的值.18．高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形ABCDEF ，屋底近似为正六边形111111A B C D E F ．(1)如图2，已知该体育馆屋顶上有,,A M N 三点用电缆围成了三角形形状，测得75MAN ∠=，45,50AMN AM ∠== 米，求该电缆的长度；(2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底111,,B D E 处的垂直方向上分别有1,2,3号塔吊，若1号塔吊（点2B 处）驾驶员观察2号塔吊（点2D 处）驾驶员的仰角为30,2 号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点2E 处）驾驶员的仰角为45，且1号塔吊高a 米，2号塔吊比1号塔吊高33a 米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）．19．已知函数()3211124326k f x x x kx ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭（R k ∈）．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在()0,3上恰有两个零点，求函数()f x 在[]0,3上的最小值．20．某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号．该店对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格：配置甲乙丙丁频数25401520每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元．(1)根据以上100名消费者的购机情况，计算该商场销售一部手机的平均利润；(2)某位消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，求商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率．21．已知函数2()(1)e x x f x b x a=-+-+在0x =处的切线与y 轴垂直．（其中e 是自然对数的底数）(1)设2()2e x x g x +=，,()0x ∈+∞，当1a =时，求证：函数()f x 在,()0x ∈+∞上的图象恒在函数()g x 的图象的上方；(2)[)0,x ∞∀∈+，不等式()2e ()cos ln 1x f x x x ⎡⎤->+⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题（考生从22、23题中任选一题作答，并将答题卡上对应题目标号涂黑．如有多做，按所做的第一题计分）[选修4-4：极坐标与参数方程]22．如图，在极坐标系中，已知点()2,0M ，曲线1C 是以极点O 为圆心，以OM 为半径的半圆，曲线2C 是过极点且与曲线1C 相切于点2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的圆.(1)分别写出曲线1C 、2C 的极坐标方程；(2)直线()0π,R θααρ=<<∈与曲线1C 、2C 分别相交于点A 、B （异于极点），求ABM 面积的最大值.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2f x m x m x =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=1．D【分析】求出集合A，利用并集的定义可求得实数a的取值范围.【详解】因为{}{}26023A x x x x x=--≤=-≤≤，{}4B x x a=-≤≤，且{}43A B x x⋃=-≤≤，所以，23a-≤≤.故选：D.2．B【分析】根据二次不等式的求解以及椭圆标准方程的概念，解得不等式的解集，可得命题的真假，结合逻辑用语的概念，可得答案.【详解】对于命题p，由22320m m--≤，()()2120m m+-≤，解得13,2,222x⎡⎤⎛⎤∈-⊇⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，则命题p为真命题；对于命题q，由方程221623x ym m+=--表示焦点在x轴上的椭圆，则60230623mmm m->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得33,3,222m⎛⎫⎛⎤∈⊇⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故命题q为真命题；综上，可知命题p q∧，p q∨⌝，p q∨为真命题，命题p q∧⌝为假命题.故选：B.3．C【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故142n+=，得6n=.故选：C4．B【分析】根据鸽子到抛物线焦点的距离为10米，利用抛物线的定义求解其位置，再利用两点间的距离求解.【详解】解：如图所示：设鸽子所在位置为点()(),0,0P x y x y><，因为它到抛物线焦点的距离为10米，所以410y+=，解得y=-6，则()216696x =-⨯-=，所以鸽子到拱顶的最高点的距离为OP =，故选：B 5．D【分析】根据已知数据可得ln 4a K A =-+，再根据21lnln 4224a Kx A =--+即可求出x 值.【详解】由题知：当1t =，2x =时，y a =，代入21ln ln 2Ky t x At =--+得：ln 4a K A =-+，当4t =，12y a=时，21ln ln 4224a Kx A =--+，即2ln ln 2ln 24Ka x A-=--+，而ln 4a K A =-+，解得：4x =或4-（舍）故选：D.6．C【分析】将cos 2α用221tan 1tan αα-+替换后，解方程解出α即可.【详解】因为2cos230,,21tan 8πααα⎛⎫∈= ⎪+⎝⎭，可得()2222222sin cos 1tan 31tan 88sin cos 1tan ααααααα--+=⨯=⨯++，可得()22231tan 88tan αα+=-，解得21tan 3α=，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 3α=，所以6πα=，所以1cos cos 632ππα⎛⎫+==⎪⎝⎭.故选：C.7．C【分析】对于A,B,D 通过举反例即可判断，对于C 需分a 与b是否为0 讨论即可.【详解】||||||a b a b +=+，两边同平方得222222||||a a b b a a b b +⋅+=+⋅+||||a b a b ∴⋅= ，||||cos ||||a b a b θ∴= ，对A ，0b = 时，a 为任一向量，故A 错误，对B ，若0b = ，0a ≠ 时，此时不存在实数λ，使得a b λ= ，故B 错误，对于C ，因为||||cos ||||a b a b θ=，当a 与b 至少一个为零向量时，此时一定存在实数m ,n ,使得ma nb =，具体分析如下：当0a = ，0b ≠r r 时，此时m 为任意实数，0n =，当0a ≠ ，0b =时，此时n 为任意实数，0m =，当0a = ，0b =时，,m n 为任意实数，当0a ≠ ，0b ≠r r 时，因为||||cos ||||a b a b θ=，则有cos 1θ=，根据[]0,θπ∈，则0θ=，此时,a b 共线，且同向，则存在实数λ使得a b λ=（0λ>），令n m λ=，其中,m n 同号，即n a b m = ，即ma nb = ，则存在实数m ,n ,使得ma nb = ，故C 正确，对于D ，当0a = ，0b ≠r r 时，||||||a b a b -≠- ，故D 错误，故选：C.8．D【分析】先利用导函数研究01x <≤上的单调性，得到()f x x =10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且1144f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而研究10-<≤x 上的单调性，得到在314x -<≤-上单调递减，在304x -<≤上单调递增，且3142f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，从而选出正确答案.【详解】当01x <≤时，()1f x '==当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x ¢>，故()f x x =10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x x =14x =处取得极小值，11114424f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，当10-<≤x 时，011x <+≤，故()(21f x x =+-，()2f x '=，当314x -<≤-时，()0f x '=<，当304x -<≤时，()0f x '=>，()(21f x x =+-在314x -<≤-上单调递减，在34x -<≤上单调递增，且33121442f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然1124-<-，综上：只有D 选项满足要求.故选：D 9．C【分析】构造函数()e ln x f x x =-，利用导数讨论单调性即可判断A 和B ，再构造()e xg x x =，利用导数讨论单调性即可判断C 和D.【详解】令()e ln x f x x=-，则()1e xf x x '=-，令2(11e ,e 0())x x h x h x x x =-='+>恒成立，即()1e xf x x '=-在定义域()0,∞+单调递增，且()1e 1e e<0,1e 1>0,ef f ⎛⎫=-'=- ⎪⎝⎭'因此在区间()0,1上必然存在唯一0x 使得()00f x '=，所以当()00,x x ∈时()f x 单调递减，当()0,1x x ∈时()f x 单调递增，故A ，B 均错误；令()e xg x x =，()()2e 1x x g x x -'=，当01x <<时，()0g x '<，∴()g x 在区间()0,1上为减函数，∵120x x <<，∴1212e e x x x x >，即1221e e x x x x >，∴选项C 正确，D 不正确.故选:C.10．D【分析】分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得.【详解】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，22442A A ⋅种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，1312442A A A ⋅⋅种方案，所以共有22131442442A A 2A A A 672⋅+⋅⋅=种方案.故选：D11．C【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出cos MOA ∠，再由余弦定理求出||MA ，判断MOA 形状即可求解作答.【详解】设双曲线C 的半焦距为c ，直线OM 的方程为b y x a =，有tan bMOA a ∠=，如图即有sin cos b MOA MOA a ∠=∠，而22sin cos 1MOA MOA ∠+∠=，解得cos a MOA c ∠=，在MOA中，由余弦定理得：||MA b =，因此222||||||MA OA OM +=，即有90OAM ∠= ，而1||2MF MA=，则130MF A ∠=，又1||||OM OF c==，于是1260MOA MF A ∠=∠=，所以双曲线的离心率||112||cos cos60c OM e a OA MOA =====∠.故选：C12．C【分析】首先分析函数()f x 的对称性和周期性，从而得到函数()g x 的性质，并画出函数()g x 的图象，利用数形结合，结合临界条件，即可求解.【详解】由①可知，函数为奇函数，满足()()f x f x -=-，由②可知，函数关于点()2,0对称，并且()()4f x f x -+=-，则由①②可知，()()4f x f x -+=-，函数()f x 是周期为4的函数，当[)0,1x ∈，[)20,2x ∈，()()2g x f x ==()()()()22g x f x f x g x -=-=-=-，所以函数()g x 是奇函数，由()()40f x f x +-+=可知，()()220f f +=，得()20f =，则()10g =，()()()()2242g x f x f x g x +=+==，所以()g x 周期为2的函数，根据以上函数的性质，画出函数()g x的图象，如图，当直线1y kx =-与()g x 无交点，有两个临界值，一个是直线1y kx =-过点()1,1，即11k -=，得2k =，另一个临界点是直线1y kx =-与()y g x =，[)2,3x ∈相切，根据周期可知，当[)2,3x ∈时，()g x =(0x ，=，得022x -+=，即)213=，1=，所以切线的斜率k ===，且直线1y kx =-过点()1,0时，1k =如图，直线1y kx =-与()g x 无交点，则k的取值范围是(]1,11,24⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ .故选：C【点睛】易错点睛：本题考查抽象函数的性质与具体函数的图象相结合的综合应用问题，本题的关键是根据()f x 的性质分析()g x 的性质，并且得到函数()g x 的零点，从而利用数形结合分析出k 的取值范围.13．3【分析】根据流程图的计算求解.【详解】由题意：2log 3,12x x =∴＜＜，23xy ∴==，所以输出值为3y =；故答案为：3.14．31【分析】利用等比数列通项公式，结合0q >，可求得公比2q =，进而得到1a，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0n a > ，0q ∴>，又2424a q a ==，2q ∴=，211a a q ∴==，()551123112S ⨯-∴==-.故答案为：31.15．1【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换运算求解.【详解】∵sin cos c A A b =-，由正弦定理可得：s s i in n n os s c i A A C B =-，则()sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B A B C A B A B A B-==+=+，整理得sin cos 2cos sin sin sin A B A B A B +=①，又∵(),0,πA B ∈，则sin 0,sin 0A B ≠≠，即sin sin 0A B ≠，将①式两边同除于sin sin A B ，可得cos 2cos 1sin sin B A B A +=，即211tan tan A B +=.故答案为：1.16．311【分析】由()0f x =，得3,0,4x =-，由()0g x =，得()3,,4f x m m m =-+，画出()f x 的图象结合010m ≤≤，且N m ∈，分情况求解即可.【详解】由()0f x =，得3,0,4x =-，当0x ≥时，()f x 的最小值为4-．由()0g x =，得()3,0,4f x m -=-，即()3,,4f x m m m =-+，因为010m ≤≤，所以337m -≤-≤．而N m ∈，当0m =时，方程()()()3,,4f x m f x m f x m =-==+的实数解的个数分别为3，3，2；当{}1,2,3m ∈时，方程()()()3,,4f x m f x m f x m =-==+的实数解的个数分别为3，2，2；当{}4,5,6,7,8,9,10m ∈时，方程()()3,f x m f x m=-=，()4f x m =+的实数解的个数均为2．所以当{}1,2,3m ∈时，函数()()()g x f f x m =-恰有7个零点，故所求概率为311．故答案为：311【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题.17．（1）π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）π12ϕ=.【分析】（1）先由二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再由正弦函数的单调增区间即可求解；（2）根据图象的平移变换得出()π2sin 223g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()ππ2πZ 32k k ϕ+=+∈结合ϕ的范围即可求解.【详解】（1）()3(1cos2)sin23f x x x ωω=++π2sin22sin23x x xωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，因为相邻对称轴间距离为π2，所以函数的最小正周期π2π2T=⨯=，即2ππ2ω=，解：1ω=，所以()π2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭.由()πππ2π22πZ232k x k k-+≤+≤+∈，可得()5ππππZ1212k x k k-+≤≤+∈，当0k=时，5ππ1212x-≤≤，所以函数()f x在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）将函数()π2sin23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π2ϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得()()ππ2sin22sin2233g x x xϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()g x为偶函数，所以()π02sin223gϕ⎛⎫=+=±⎪⎝⎭，即πsin213ϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，所以()ππ2πZ32k kϕ+=+∈，即ππ()212k k Zϕ=+∈，又因为π2ϕ<<，所以0k=，π12ϕ=.18．(1)50+.(2)1a⎛⎝⎭米.【分析】（1）根据正弦定理求出三角形边长，可得三角形周长；（2）在直角梯形1122B D D B中，过2B作212B M D D^，垂足为M，求出112B D B M a==米，在直角梯形1122E D D E中，过2D作212D NE E^，垂足为N ，求出233E N a=米，再由1222B B D M E N++可得结果.【详解】（1）因为75MAN∠= ，45AMN∠= ，所以60ANM∠= ，()sin sin 75sin 4530MAN ∠==+ sin 45cos 30cos 45sin 30=+o o oo 122224=⨯+=.由正弦定理得sin sin MN AM MAN ANM =行，得sin sin AM MANMN ANM ⋅=ÐÐ502==sin sin AN AM AMN ANM =行，sin sin AM AMNAN ANM=ÐÐ2502⨯=米，所以该电缆的长度为50AM MN AN ++=+50=+米.（2）在直角梯形1122B D D B 中，过2B 作212B M D D ^，垂足为M ，则12B B a =米，2230D B M =Ð，233D M a=米，所以22tan 30D M B M a === 米，所以112B D B M a ==米，所以正六边形111111A B C D E F的边长为123a=米，在直角梯形1122E D D E 中，过2D 作212D NE E ^，垂足为N ，则23D N a =米，2245E D N = Ð，所以23E N a =米，所以3号塔吊高为1a a a ⎛= ⎝⎭米.19．(1)答案不唯一，具体见解析(2)()min116136********.265k f x k k ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，，【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解，（2）根据第一问可知()f x 的单调性，进而可判断()f x 在()0,3上恰有两个零点，满足03k <<，根据零点存在性定理即可列不等式求解.【详解】（1）由题意得2()(4)4(4)()f x x k x k x x k '=-++=--．当4k =时，由2()(4)0f x x '=-≥，函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增．当4k >时，令()04f x x k¢<Þ<<,令()04f x x ¢>Þ<或x k>故函数()f x 在(4)k ，上单调递减，在(4)∞-，和()k ∞+，上单调递增．当4k <时，令()04f x k x ¢<Þ<<，令()0f x x k ¢>Þ<或>4x 函数()f x 在(k ，4)上单调递减，在()k ∞-，，(4)+∞，上单调递增．（2）当0k ≤或3k ≥时，函数()f x 在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．当03k <<时，函数()f x 在(0，k)上单调递增，在(k ，3)上单调递减．要使函数()f x 在(0，3)上有两个零点，则需满足：03k <<且()()()00030f k f f ⎧>⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1319k <<．∴()()(){}minmin 03f x f f =，．又15(3)(0)92f f k -=-，∴当65k >时，(3)(0)f f >；当65k <时，(3)(0)f f <．又61359<，∴()min11613659156561265k f x k k ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，，，20．(1)475元；(2)12.【分析】(1)根据给定频数表直接计算平均数作答.(2)求出两部手机中有一款甲手机的事件的概率即可作答.【详解】（1）依题意，25600404001550020450475100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.（2）消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，所有不同结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个结果，从这两部手机获得的利润不低于1000元的事件有：甲乙，甲丙，甲丁，共3个结果，所以商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率3162P ==.21．(1)证明见解析(2)()1,+∞【分析】（1）根据切线性质可得1b =，利用作差法构造函数()()()x f x g x ϕ=-，在由导数判断单调性证明()0x ϕ>恒成立即可得出结论；（2）将不等式变形可得()21e cos ln 12x a x x x -->+，根据题意可知()021e 0cos0ln 012a -->+，即可得1a >，利用（1）中的结论[)0,x ∞∀∈+，21e 12x x x ≥++，结合()ln 1x x ≤+即可得1a >即满足题意.【详解】（1）证明：因为函数2()(1)e x x f x b x a=-+-+在0x =处的切线与y 轴垂直，所以(0)0f '=，因为22()1e xx xf x b -'=+-，所以(0)10f b '=-=，解得1b =．当1a =时，2()1e x xf x =-+，令22211()()()1e 1e 2e e 2x x x x x x x f x g x x x ϕ+⎛⎫=-=-+-=--- ⎪⎝⎭，又令21()e 12x p x x x =---，则1()e 22x p x x '=--，再令1()e 22x m x x =--，则()e 2xm x =-'，令()0m x '=，解得ln 2x =，故()m x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，则()323()ln 22ln 2ln e ln 42m x m ≥=-=-，易知332e 2.719.683164==>>，所以32e 4>，即32()ln e ln 40m x ≥->；故()0p x '>在()0,∞+上恒成立，所以()p x 在()0,∞+上单调递增，所以()(0)0p x p >=，即21e 12x x x >++在()0,∞+上恒成立，所以()0x ϕ>，所以()()f x g x >，故函数()f x 在()0,x ∈+∞上的图象恒在函数()g x 的图象的上方．（2）因为2e ()cos ln(1)xf x x x ⎡⎤->+⎣⎦，可得()21e cos ln 12x a x x x -->+；又因为[)0,x ∞∀∈+，不等式()2e ()cos ln 1xf x x x ⎡⎤->+⎣⎦恒成立，所以()021e 0cos0ln 012a -->+，即1a >．令()(n 1)l h x x x=+-，则1()111xh x x x '=-=-++，令()0h x '=，解得0x =．故()h x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，则()(0)0h x h ≤=，即()ln 1xx ≤+．由（1）可知[)0,x ∞∀∈+，21e 12x x x ≥++．当1a >时，()()221e ln 1e cos ln 11co 22s x x a x x x x x x --+>----+()()221111cos 11cos ln 11cos 0222x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤≥++---+=-+-+≥-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以[)0,x ∞∀∈+，不等式()2e ()cos ln 1xf x x x ⎡⎤->+⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为()1,+∞．【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题，往往通过构造函数再利用导数得出函数单调性即可求解，构造函数过程中要特别关注已有结论的应用，比如()ln 1xx ≤+，e 1xx ≥+等，还要培养灵活运用上一问结论的意识和习惯.22．(1)()1:20C ρθπ=≤≤，()2:2sin 0C ρθθπ=≤≤；(2)12.【分析】（1）分析可知曲线1C 是以极点O 为圆心，以2为半径的半圆，结合图形可得到曲线1C 的极坐标方程，设(),P ρθ为曲线2C 上的任意一点，根据三角函数的定义可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设(),A A ρα、(),B B ρθ，由题意得2sin B ρα=，2A ρ=，求出AB以及点M 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得结果.【详解】（1）解：由题意可知，曲线1C 是以极点O 为圆心，以2为半径的半圆，结合图形可知，曲线1C 的极坐标方程为()20ρ=≤θ≤π.设(),P ρθ为曲线2C 上的任意一点，可得2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因此，曲线2C 极坐标方程为()2sin 0ρθθπ=≤≤．（2）解：因为直线()0π,R θααρ=<<∈与曲线1C 、2C分别相交于点A 、B （异于极点），设(),A A ρα、(),B B ρθ，由题意得2sin B ρα=，2A ρ=，所以，22sin A B AB ρρα=-=-．因为点M 到直线AB 的距离为sin 2sin d OM αα==，所以，()()()2sin 1sin 11122sin 2sin 2sin 1sin 22242ABMS AB d αααααα+-=⋅=-⋅=-≤⨯=△，当且仅当1sin 2α=时，等号成立，故ABM 面积的最大值为12.23．（1）2；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最大值，让最大值等于6即可得m 的值；（2）由（1）知，2x y z ++=，由222xx x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式即可求证.【详解】（1）由题意得()2()(2)3f x x m x m x m x m m=+--≤+--=，因为函数()f x 的最大值为6，所以36m =，即2m =±.因为0m >，所以2m =；（2）由（1）知，2x y z ++=，因为0x >，0y >，0z >，所以222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2xy z==时，即1x =，12y z ==等号成立，2m +≤=≤，当且仅当11,2x y z ===时，等号成立.。

四川省绵阳中学2023-2024学年高三上学期一诊模拟(三)数学(理科)试题

D． 1 2016
7．已知函数
f (x) sin(x )
π 2
π 2
在
3π 8
,
7π 8
内单调递减，x
3π 8
是函数
f (x)
的一条对称轴，且函数
y
f
x
π 8
为奇函数，则
f
7π 24
（
）
A． 3
2B． 1C．1 2D． 3 2
8．设等比数列an 的公比为 q，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项积为 Tn ，且满足条件 a1 1，
C．“ b2 ac ”是“ a, b, c ”成等比数列的充分必要条件 D．设 a,b R ，则“ a 0 ”是“ ab 0 ”的必要不充分条件 4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点 A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 B，C 两点与点 A 在同一条直线上，且在点 A 的同侧，若在 B，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为 60°和 20°，且 BC=100 m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）
O1
1,
π 2
，O2
1,
3π 2
，M
是半圆弧
C1
上的一个动点， N
是半圆弧
C2
上的
一个动点.
(1)若 O2ON
π 3
，求点
N
的极坐标；
(2)若点 K 是射线 π 0 与圆 O 的交点，求 MOK 面积的取值范围.
3
23．选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) x 2 a ， g(x) x 4 ， a R .

绵阳市高中2013级第一学年末考试数学试题及答案

绵阳市高2013级第一学年末考试数学参考答案及评分意见一、选择题：每小题4分，共40分．1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．D 8．A 9．B 10．D 二、填空题：每小题4分，共20分．11．1412．21513．π553 14．27 15．①④三、解答题：共40分． 16．解：（Ⅰ）依题意有a 1+(a 1+a 1q )=2(a 1+a 1q +a 1q 2)，……………………………………2分由于a 1≠0，故整理得2q 2+q =0，………………………………………………………4分又q ≠0，从而q =-21．…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由已知可得a 1-a 1(21-)2=3，解得a 1=4，于是a 3=a 1q 2=4×(-21)2=1，∴ b n =1+n . ………………………………………………………………………………8分 ∴ T n =211b b +321b b +…+n n b b 11-=321⨯+431⨯+…+)1(1n n +=21-31+31-41+…+n 1-n +11=21-n+11．………………………………………………………………………10分17．解：（Ⅰ）∵ b +c=( cos β-1，sin β)，……………………………………………………1分∴ |b +c|=βcos 22-， ……………………………3分 ∴ 当cos β=-1时，|b +c |max =2． ………………………………………………………5分（Ⅱ）当α=4π时，a =(2222，)，由 a ⊥(b +c )得(2222，)( cos β-1，sin β)=0，即0sin 22)1(cos 22=+-ββ，整理得sin β+ cos β=1，① ………………………………………………………………8分又sin 2β+ cos 2β=1，②由①②解得cos β=1或cos β=0．………………………………………………………10分18．解：（Ⅰ）由47)43(1sin 43cos 2=-==B B ，得， ……………………………………1分由b 2=ac 及正弦定理得.sin sin sin 2C A B = 于是BC A C A A C A C C C A A C A2sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+=+=774sin 1=B 。

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