第三章 多维随机变量及其分布

y (x,y)
o
x
这时, 点( X , Y )落入任一矩形
G {( x, y) x1 x x2 , y1 y y2}
的概率,即可由概率的加法性质求得(如下图)
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ).
非负的函数 f ( x, y),使得对于任意的 x, y有
F ( x, y)
y


x
f (u, v)dudv
则称( X , Y )是二维连续型随机变量
函数f ( x, y)称为二维随机变量( X , Y )的概率密度
或称为随机变量X 和Y的联合概率密度
概率密度f ( x, y)具有以下性质：
则 ( X1, X 2 ,, X n ) 称为n维随机向量或n维随机变量
对于任意n个实数x1 , x2 ,, xn ,函数
F ( x1 , x2 ,, xn ) P{X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn }
称为n维随机变量( X1, X 2 ,, X n )的分布函数或
随机变量X1 , X 2 ,, X n的联合分布函数 .
第二节 边缘分布 概念
对于二维随机变量( X , Y ),随机变量X 和Y各自的 分布函数称为( X , Y )关于X 和Y的边缘分布函数 记为FX ( x), FY ( y )
定义
若二维随机变量( X , Y )的分布函数F ( x, y)已知，则
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。
易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布 ，对D内任意区域G，有
SG P{( X , Y } G} SD
2. 二维正态分布N(1, 2, 1, 2, )
若二维随机变量(X, Y)的密度函数为(P101)
f ( x, y )
在打靶时,命中点的位置是由一对 r.v(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标维度-经度-高度）来确定的等等.
第一节 二维随机变量
定义 设X , Y是定义在样本空间 Ω上的两个随机变量 ,即：
X X ( ),Y Y ( ), 则( X , Y )称为二维它们的联合分布函数则由下面式子求出：
F ( x , y ) pi j
xi x y j y
例1 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3件次 品．每次从中取1件产品检验质量，不放回地抽取， 连续两次． 定义随机变量 X和Y如下：
1 ，第一次取到次品 X 0 ，第一次取到正品
j x j x
j

x j x i 1
P

ij
边缘分布律自然也满足分布律的性质。
例1.已知(X,Y)的分布律为 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 故关于X和Y的分布律分别为： X 1 0 Y 1 P 2/5 3/5 P 2/5
xi x xi x xi x j 1
- x
同理：
Y的边缘分布律为：
P{ X x j } P j P ij，
i 1
j 1,2,...,
Y的边缘分布函数为：
FY ( y ) F ( , y )
x j x
P( X x ) P
或可列无限对 , 则称( X , Y )是二维离散型随机变量 . 记
P{X xi , Y y j } pij , i, j 1 , 2,
并称为二维离散型随机变量( X , Y )的分布律 或称为随机变量X 和Y的 联合分布律.
其中pij 满足下列条件：
（1） pij 0
（2） pij 1
故有
1 , ( x, y) G f ( x, y ) A 0 , 其它
如果一个二维随机变量 ( X , Y )以上式为概率密度， 则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布 .
两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
1 ， ( x, y ) D R 2 f ( x, y ) D的面积 0 , 其它
0 3/5
例2 把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设
X , Y分别表示投入第 1,2个邮筒内信的数目 , 求( X , Y ) 的分布律及边缘分布律 . 0,1,2.由题设， ( X , Y )取(1,2), (2,1), (2,2) 解 X , Y各自的取值为 均不可能，因而相应的概率均为0 再由古典概率计算得 ：
解 （1） F ( x, y) f ( x, y)dxdy
y x 2e (2 x y ) dxdy , x 0, y 0 0 0 0 , 其他. (1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0 F ( x, y ) 0 , 其他.
2 3 P{ X 0, Y 1} 0.3 5 4 3 2 P{ X 1, Y 0} 0.3 5 4
2 1 5 4
P{ X 1, Y 1} 3 2 0.3 5 4
( X , Y )的分布律用表格表示为 ：
二维连续型随机向量
设二维随机变量 ( X , Y )的分布函数是 F ( X , Y ),如果存在
例2 设G是平面上的一个有界区域，其面积为A二维随 机变量(x,y)只在G中取值，并且取G中的每一个点 都是“等可能的”，即(x,y)的概率密度为
C , ( x, y) G f ( x, y ) 0 , 其它
由概率的性质





f ( x, y)dxdy 1
1 可得 C A
FX ( x) P{X x} P{ X x，Y }
F ( x, ) lim F ( x, y )
y
同理：
FY ( y ) F ( , y ) lim F ( x, y )
x
故边缘分布函数FX ( x), FY ( y) 可由( X , Y )的分布函数所确定
( X , Y ) ~ N (1 , 2 , , , )
2 1 2 2
( X , Y )具有概率密度 例3 设二维随机变量
2e (2 x y ) , x 0 , y 0 f ( x, y ) 0 , 其他
试求:(1)分布函数F ( x, y) (2)P{X Y }
二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质 有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必 须把(X,Y)作为一个整体加以研究. 为此,首先需要引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念.
二维随机变量的分布函数
对于任意实数 x, y,函数 F ( x, y) P{ X x , Y y}
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量
第二节 边缘分布
第三节 条件分布
第四节 随机变量的独立性
第五节 两个随机变量的函数的分布
本章内容是第二章内容的推广 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有 些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要 用几个随机变量来描述.
所有计算结果列表如下 ：
Y
0 1 2 pij
( X,Y )关于Y的
X
边缘分布律
2 1 9 0 0 1 9 pij 4 9 4 9 1 9
（1）
f ( x, y) 0
（2）





f ( x, y)dxdy 1
（ , X , Y）落在G内的概率为 （3） 设G是平面xoy上的区域
P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy
G
（4） 若f ( x, y)在点( x, y)连续，则有
2 F ( x, y ) f ( x, y ) xy
（4）对任意的( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2
有
F ( x2 , y2 ) F ( x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) 0
二维离散型随机向量
联合分布律 如果二维随机变量 ( X , Y )可能取的值 ( xi , yi )只有有限对
1 212 1 2
e
1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 [ 2 ] 2 2 2 1 2 2 ( 1 ) 1 2
,
其中，1、2为实数，1>0、 2>0、| |<1，则称(X, Y) 服从参 数为1, 2, 1, 2, 的 二维正态分布，可记为
称为二维随机变量 ( X , Y )的分布函数 , 或称为随机
变量X和Y的联合分布函数 . x, y
一维随机变 量 X的分布函数
F ( x ) P( X x ) x
若将二维随机变量 ( X , Y )看成是平面上随机点 ( X , Y )的 的坐标, 则分布函数 F ( x, y)就表示随机点 ( X , Y )落在以点 ( x, y)为顶点的左下方的无限 矩形域内的概率 .
离散型二维随机变量的边缘分布
边缘分布律
设离散型随机变量 ( X , Y )的联合分布率为 P( X xi , Y y j ) pij ,