一次函数与正比例函数教案

课题：一次函数与正比例函数
教学目标：
知识与技能目标：
1、经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符合意义
2、理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次
函数表达式
过程与方法目标
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。

2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。

情感与态度目标
1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。

2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力
重点：
将实际问题用一次函数表示
难点：
能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的抽象思维能力•教学流程：
一、课前回顾
1. 函数
一般的，在某个变化过程中，有两个变量X和y,如果给定一个X值，相应的就确定
一个y值，那么我们称y是X的函数.
2、函数的表示法：
①图象法、
②列表法、
③解析式法（关系式法）
二、情境引入
探究1：某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量X每增加1kg,弹簧
长度
y增加0.5cm.
x/kg012345
y/cm
(2)你能写出X与y之间的关系式吗？
答案⑴ 3 、3.5、4、4.5、5、5.5 ；
(2) y = 3+ 0.5x.
探究2:某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.
(1) 完成下表：
汽车行驶路程x/km050100150200300
油箱剩余汽油量y/L
(2) 你能写出X与y之间的关系式吗？
(3) 汽车行驶的路程X可以无限增大吗？有没有一个取值范围？剩余油量y呢?
答案(1)100 、91、82、73、64、46；
⑵X 与y之间的关系式为y= 100- 0.18x ；
(3) 汽车行驶路程X不可能无限增大，因为汽油只有100L,每行驶50km耗油9L, 行驶560km 后,油箱就没有油了，所以X不会超过560km.y代表油箱剩余油量，所以y应该小于100但不能小于零.
归纳：一次函数的定义
思考：这些函数的形式都是自变量X的k倍与一个常数的和
般地，若两个变量χ
,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k ≠0）的形式,
则称y是X的一次函数（X是自变量，y为因变量）.特别地，当b= 0时，则y是X的正比例
函数.
注意：1. k ≠ 0
2. χ 的次数为1
3 •常数k可以取任意实数
当b=0时，y=kχ+b就变成了y=kχ,则称y是X的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数
练习1 :
1、下列语句中，具有正比例函数关系的是（C ）.
A. 长方形花坛的面积不变，长y与宽X之间的关系；
B. 正方形的周长不变，边长X与面积S之间的关系；
C. 三角形的一条边不变，这条边上的高h与S之间的关系；
D. 圆的面积为S，半径为r，S与r之间的关系.
2、下列说法正确的是（D ）
A. 一次函数是正比例函数•
B. 正比例函数不是一次函数•
C. 不是正比例函数就不是一次函数•
D. 正比例函数是一次函数.
3、当m= _1或0__时，函数y=x m+4x-5 （X≠ 0）是一个一次函数。

练习2:已知正比例函数y=-2x ,写出下列集合中相对应的自变量X的值或函数y的次函歌©比例网晏
值。

探究3:写出下列各题中X与y之间的关系式，并判断：y是否为X的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；
由路程=速度×时间,得y= 60x, y是X的一次函数,也是X的正比例函数；
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
由圆的面积公式，得y= px2, y不是X的一次函数，也不是X的正比例函数；
（3）某水池里有水15mι,先打开进水管进水，进水水速为5mι/h，X小时后，水池内有
水ym3.
y = 5x+15,形如y=kx+b，所以y是X的一次函数，但不是X的正比例函数.
练习3: 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数?
(1)y=-x-4它是一次函数，不是正比例函数.
(2)y=5χ2+6它不是一次函数，也不是正比例函数
(3)y=2π X它是一次函数，也是正比例函数.
(4)y—仝X 它不是一次函数，也不是正比例函数.
(5)y=-8x它是一次函数，也是正比例函数.
三、自主思考
探究4:我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%勺所得税……如
某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500) × 3%=10.8 (元)
(1)
当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y 元与月收入X元之间的关系式；
y=(x —3500) × 3%,
即y=0.03x —105;
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
当x=4160 时，
y=0.03 × 4160—105=19.8(元);
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税
19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
因为(5000 —3500) × 3%=45元)
19.2<45
所以此人本月工资、薪金收入低于5000。

设此人本月工资、薪金收入是X元，则
解得x=4140
即此人本月工资、薪金收入是4140元。

小结：一次函数、正比例函数定义及一般形式？
注：正比例函数是一种特殊的一次函数.
五、达标测评
1. 函数y =2x「3 ,当X =1时，y的值是(C )
A、1 B 、0 C 、一1 D 、一5
2. 甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程S与行驶时间t之间的关系式是_ s = 264-24t_, S是t的一次函数.
3. 已知正比例函数 y=2x 中，
(1)_______________________________________ 若0< y <10,则X 的取值范围为__0<x<5
⑵ 若-6< X <10,则y 的取值范围为__-12<y<20_
4. 已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m 为何值时, (1) 此函数为一次函数； (2)
此函数为正比例函数.
解:(1)由题意得，k = 2-m ≠ 0, m ≠ 2,所以m ≠ 2时，
此函数为一次函数
⑵由题意，k = 2-m ≠ 0, 解得，m ≠ 2，
3
1
所以当m= 2 时，函数为正比例函数 y= 2 X. 5.
某地区电话的月租费为 25元，在此基础上，可免费打50次市话(每次3
分钟),超过50次后， 每次0.2元.
(1)写出每月电话费y (元)与通话次数X ( X >50)的函数关系式；
⑵求出月通话150次的电话费；
⑶ 如果某月通话费为 53.6元，求该月通话的次数.
分析：解决此类问题首先要理解题意 ，然后找出相等关系.此题相等关系为：每月通话费=
月租费+超过50次后电话费
答案：(1)根据题意得：y= 25+ (X- 50) × 0.2,即 y= 0.2x+ 15 ;
(2) 当 X = 150时，y = 0.2 × 150+ 15= 45 ;
⑶ 因为53.6 > 25 ,可知通话次数大于50次，即当y = 53.6时，求X 的
值.53.6= 0.2x+ 15,解得 X= 193.
六、应用提高 1、已知函数
y
=(m -3)x"'
1
,m 为何值时，y 是X 的一次函数?
/ m -3 =0
解：由题意可知 m -8二1
又因为b = 2m-3= 0,
3
解得，m= 2
解得m=-3
.∙.当m=-3时，y是X的一次函数。

2、已知y与X-3成正比例，且当X = 4时y=3.
(1) 写出y与X之间的函数关系式；
(2) y与X之间是什么函数关系；
⑶求X = 2.5时，y的值.
解(1) ∙∙∙ y与X —3成正比例，
•••设y= k(X- 3).
又∙.∙ X = 4 时，y = 3,
• 3 = k(4 - 3),解得k = 3,
y= 3( X —3) = 3X—9.
(2) y是X的一次函数.
(3) 当X = 2.5 时，y = 3× 2.5 = 7.5 .
3、已知一次函数y=kX+b,当自变量X=2时，
函数值y=— 1 ;当X=5时，y=8。

求k、b的值。

解：由X=2时y=-1,得-1=2 k+b;
由X=5时y=8,得8=5 k+b.
-1 =2k b
8 =5k b
解方程组
得k=3, b=-7.
• k的值为3, b的值为-7。

七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、什么是一次函数
2、什么是正比例函数。

3、学会区分一次函数与正比例函数。

七、布置作业
教材82页习题第3、4题。