第七章振动与波动1

9
昆虫翅膀振动的频率（Hz） 雌性蚊子 雄性蚊子 苍 黄 蝇 蜂 355~415 455~600 330 220
10
例： 物体的质量为 m , 弹簧的劲 度系数为 k 。其静止变形 x 0 手拉物体后无初速地释放，确定物 体的运动规律 。 建立如图坐标系，以平衡位置为坐标 原点。物体坐标为 x , 所受的弹性回 复力为 f 和重力 mg 在平衡位置处
2 2
其解为： 复数指数表示与 三角表示
x Ae
e
i ( t )
cos( t ) i sin( t )
i ( t )
所以位移可以表 示为：
~ Ae x
30
速度与加速度：
~ v ~ a
d~ x dt ~ dv dt
i Ae
i ( t )
确定物体振动状态的物理量
二 、简谐运动的速度和加速度
x t A cos t

v
dx dt
A sin t
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
A cos t 2
a d x dt
2 2
A cos t
质点m受力分析
F Gm r
2
y
3
(
r
3 3
R
Me )
GmM e R
r
建立oy坐标系
F y F sin GmM e R
3
r
GmM e R
3
F
o
R
r sin
y

GmM e R
3
ym
d y dt
2
2
16
d y dt
2
2

GM e R
3
y0
满足简谐振动微分方程，故为简谐振动
第七章
振动和波动
1
广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。
周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次
x(t ) x(t T )
振动频率

1 T
机械振动：物体在某一位置附近往复运动 复杂振动 = 若干个简谐振动的合成 研究目的 —— 利用、减弱 或 消除
2
§7.1 简谐振动 一、简谐振动的基本特征

3
,


3

3
)

2


3
0,

5 6
33
四、简谐振动的能量
（1） 动能 (以弹簧振子为例)
Ek 1 2 1 2 mv
2 2 2
1 2
2
m A sin( t )
2
m A sin ( t )

2
k m
m
O x X
F
m
质量可忽略的弹簧，一 端固定，一端系一有质 量的物体，称此系统为 弹簧振子。
建 立 如 图的 坐 标系 物 体 质 量 m, 坐 标 x 所 受 回 复 力 为 F. 令

k m
k
0
x
d x dt
2 2
X
k m x 0
F kx
F m d x dt
d
2
2
2
x
2

2
x 0
1
A2
t
a
2
A cos t
x( t )
1 0 t 2
19
2. 简谐振动的矢量图示法
旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 A 在纸平面
内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角 频率相等，这个矢量称为旋转矢量。 采用旋转 矢量法，可直 观地领会简谐 振动表达式中 各个物理量的 意义。
34
（2） 势能
Ep
1 2
kx
2
1 2
kA cos ( t )
2 2
（3） 机械能
E Ek Ep
1 2
m A
2 2
1 2
kA
2
线性回 复力是保守 力，作简谐 运动的系统 机械能守恒.
m
O x X
35
x, v
o
简谐运动能量图 0
xt
vt
x A cos t
A 0 . 1m ,
v
dx dt
,a
dv dt
32
例2：已知
t 0 , x 0 0 . 02 m , t 1, x1 0 A 0 . 04 m
代入方程：
x0 A cos v0 A sin 0
x1 A cos(
dt
此方程的通解为：
x A cos
t

3
x t A cos t

物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函 数描述，称之为简谐振动。
上式称之为 简谐 振 动表 达式（简谐函数或振动方程）
d x dt
2
2
x 0
2
简谐振动的动力学特征方程
F kx
x A mg / k t 0 x 0 mg / k v t 0 0 x mg k cos(t ) （
k m J /R
2
）
15
例题：设想地球内有一光滑隧道，如图所示。 证明质点m在此隧道内的运动为简谐振动，并 求其振动周期。 证明：
d (
导出
2
简谐运动方程
2
1 2
1
mv
mv
2
1 2
1 2
kx 常量
kx ) 0
2
dt 2
mv
2
dv dt
2
kx
dx dt
0
d x dt

k m
x 0
38
例3 单摆
动力学分析： 5 时， sin

M mgl sin mgl
mgl J
简谐振动特点：(1)等幅振动；(2)周期振动。
5
二描述简谐振动的特征量
1、 2、
A
振幅
ห้องสมุดไป่ตู้
T
周期

1 T
频率
x A cos t
T
3、
A cos ( t T )
2
圆频率又称 固有圆频率
2

2
m k
t 相位
初相位
6
系数为k，物体的质量为m，
滑轮的半径为R，转动惯量
为J。开始时托住物体m，使 得系统保持静止，绳子刚好
f
R
T
拉直而弹簧无形变，t=0时放 k 开m。设绳子与滑轮间无相
对滑动。 (1) 证明放开后m作简谐振动； (2) 求振动周期；
m
x0
O
T
x
a
mg
13
(3) 写出m的振动表达式。
x
解：
（1） mg kx 0 x 0 mg / k
M 质点 m 受力如图重力矩： mgl sin mgl
根据质点的动量距定理 T
d
2
l
dL dt
M
dt
m
2

g l
0
摆角在作简谐振动
0 cos t 0
mg
g l

固有 园频率
0 设初始条件 v0 0
振幅和 初相=
？
12
例 如图所示，已知弹簧的劲度
20
A 的长度 振幅A A 旋转的角速度
振动圆频率
O
ω
A
t 0
M
P
x
X
逆时针方向 A 旋转的方向 振动相位 A 与参考方向x 的夹角
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x A cos( t 0 )
21
旋转矢量
x A cos t
2

2
a m cos( t ) x
简谐振动的运动学特征方程
7
x A cos( t )
常数A 和 的确定
v A sin( t )
初始条件 t 0 x x
A x0
2
0
v v0
v0
2

2
tan
v0
l0
x0
0
mg k x 0 0
物体受的合力：
f
x mg
x0
k
F R mg k ( x 0 x ) k x
x x 0
2

2

k m

g x0
T 2
x
mg
x0 g
11
例、单摆
0

约 定
1、细线质量不计
2、 5 sin
0
3、阻力不计
x0
对给定振动 系统，周期由系 统本身性质决定， 振幅和初相由初 始 条 件 决 定 .
8
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有
关 例如，心脏的跳动80次/分 1 60 周期为 T (min ） (s) 0.75 s
80 80
频率为 1 / T 1.33Hz 动物的心跳频率(参考值,单位:Hz) 大象 猪 松鼠 0.4~0.5 1~1.3 6.3 马 兔 鲸 0.7~0.8 1.7 0.13