3.2一元二次不等式的解法

题4：解不等式- 2x2 + 3x +5 >0
解：整理，得 2x2 - 3x - 5< 0 因为△= 9+40 = 49 > 0 方程 2 x2 -3x -5=0 的解是x1=5/2 , x2=-1
故原不等式的解集为{ x| x <-1或x< 5/2}
课堂练习:80页等1,2题
小结
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、
2 2
它所对应的二次方程的两 根为-2a，3a。
当-2a＞3a，即a＜0时，
原不等式的解集为{x︱3a＜x＜-2a}；
当-2a＜3a，即a＞0时，
当-2a=3a，即a=0时，原不等式的解集为
；
原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
练习 设m为实常数，解不等式mx2+1＞(m+1)x. • 解：不等式化为mx2-(m+1)x+1＞0， • 即(mx-1)(x-1)＞0. • ①当m=0时，有-x+1＞0，即x＜1; 1 • ②当m＞0时，有(x- m )(x-1)＞0. 1 1 • 若 m ≥1，即0＜m≤1，则x＞ 或x＜1; 1 1 m • 若0＜ m＜1，即m＞1，则x＞1或x＜m . 1 1 • ③当m＜0时,有(x- m )(x-1)＜0,所以 ＜x＜1.
一元二次不等式及其解法
思考：
x 2 5x 6 0 1、如何解一元二次不等式
2、如何解一元二次不等式ax2 bx c 0, (a 0）的解集
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x
x 2, 2
对一切
x R恒成立
2、已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对 一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解：有两种情况，
（1）当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5，m=1 时,y=3>0恒成立，m=-5时，不适合；
（2）
m2+4m-5>0
△<0 ∴1<m<19
2
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集
△＞0
△＝0
1
△＜0
x x x 或x x
2
b xR x 2a
R R
x x x x
y
O
1
x x2
2 1
R
f(x) ≥0的解集
f(x) ≤0的解集
x x x 或x x
2
2 注意：二次项系数为0的情况一定要考虑， ax bx c 0 的解集为R的条件为 以上不等式对x∈R恒成立。 ∴a＞m，则有a-m＞0 ③ a 0 而这往往是容易忽略的，一定要引起大 当a-m+1=0时，原不等式化为 –x-1＞0， 2 联立①③得a＞m。0 家的高度重视。ac b 4 与x∈R不符，应舍去。
练习、若关于x的不等式x 2 ax a 3 0的解集为 单元素，求a的取值范围。
解：由y x 2 ax a 3的图像知 a 4(a 3) 0,即a 4a 12 0
2 2
a 6或a 2
恒成立的问题
例1：不等式
解：
(a 2) x 2 2(a 2) x 4 0
x x1 x x2 0或x x1 x x2 0 来解。
例3：（2003年春季北京高考）若不等式ax
2
x20
的解集为（-1，2）则实数a的值为_____。 解：
不等式
ax2 x 2 0
解集为（-1，2）
即 x1=-1、x2=2 为方程
ax2 x 2 0 的两个根
2
求不等式bx ax 1 0的解集
2
参数取值范围问题： 例1：m为何值时，不等式x 2 (m 3) x m 0 的解集是全体实数。
解：依题意知，
2 m 3） 4m 0,即m 2 10 m 9 0 （
所以1 m 9. 故1 m 9不等式的解集是全体实数
△=0
y
△<0
y
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:
2 2



由此可得abc=(-2) (-5) (-2)且a<0,
2 x 2 5x 2 0 ∴所求解的不等式为：
1 即(x-2)(2x-1)<0,解得 x 2 2 ax2 bx c 0 ∴不等式 的解集为 1 x x 2 2
△≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
题1：解不等式4x2-4x +1>0
解: 由于4x2-4x+1=(2x-1)2≥0
另解： 因为△= 16 -16 =0
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
x1=x2=1/2
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
题2：解不等式- x2 + 2x – 3 >0
2
∴ 即不等式
2
1 x2 2
ax bx c 0
的解集为
1 x x 2 2
• 小结：两种解法都是先试图找出a、b、c的 • 关系，再解出一元二次不等式的解集。
点评、若 ax
2
bx c 0 的两个根为x1、x2， 一元二次不等式
ax 2 bx c 0(a 0) 或 ax 2 bx c 0(a 0) 可等价转化为
例4、设函数f ( x) mx 2 mx 6 m
练习：设函数f ( x) mx mx 1
2
(1)若对于一切实数x, f ( x) 0恒成立，求m 取值范围 （2）对于x 1,3, f ( x) m 5恒成立，求m 取值范围
解：（ ）当m 0时，f ( x) 1 0 1 m 0, f ( x) 0对于一切实数x恒成立 f ( x) mx 2 mx 1 m 0 开口向下与x轴无交点 4 m 0 0 (2)要使f ( x) m 5在x 1,3恒成立 1 3 就要使m( x ) 2 m 6 0在x 1,3恒成立 2 4 m 0 1 2 3 令g ( x) m( x ) m 6, x 1,3. 2 4 g ( x) max g (3) 7 m 6 0 m 0 m 0 或 或 g ( x) 6 0 g ( x) max g (1) m 6 0 6 综上所知m 7
1 2, 是方程ax2 bx c 0 解法二：由已知得 2 4a 2b c 0
的两个根，且a＜0，∴ 1 1 4 a 2 b c 0
5 b a, c a 解得 2
ax bx c 0 即为 2 x 2 5x 2 0 ∴不等式
1 x1 x2 1 2 1 a
所以
a=-1
练习： 1 1、不等式ax 5 x 2 0的解集是 x x 2 2 求不等式ax2 5 x a 2 1 0的解集
2
2、不等式x ax b 0的解集为（ ,2） 1
综合(1)(2),得到m的取值范围是{m|1≤m<19}.
例3、不等式 (a 1) x ax a m( x x 1)
2 2
对任意x∈R恒成立，求a与m之间的关系。
① 当a-m+1≠0时， a m 1 0 (a m) 4(a m 1)( a m) 0 ② 分析：不等式对任意x∈R恒成立，就是 解：将原不等式变形为 由②得： () x 2 m)[a( mx )( 1] 0 a (3 a m) 1 a m) 不等式的解集为R。对于二次不等式 0 (a m 1
例2、已知关于x的不等式
ax bx c 0
2
的解集是{x︱x＜-2或x＞ 1 }
求 ax2 bx c 0 的解集。 解法一： x x 2或x 1 x ( x 2)( x 1 ) 0
2 2
2
x 2 x 5 x 2 0 {x 2 x 5 x 2 0
m
• • • • • •
综上分析得，当m＞1时， 1 解集为{x|x＜m 或x＞1}； 1 当0＜m≤1时,解集为{x|x＜1或x＞ m}； 当m=0时，解集为{x|x＜1}； 1 当m＜0时，解集为{x| m ＜x＜1}. 点评:解一元二次不等式通常先将不等式化为 ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a＞0)的形式,然 后求出对应方程的根(若存在根),再写出不等式 的解集:大于0时两根之外,小于0时两根之间;或 者利用二次函数的图象来写出一元二次不等式 的解集.
1
x x2
y
x1 x2
b xx 2a
y x x＝－b／2a
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=f(x)的图象
x
O
x
简单的含参数的一元二次不等式的解法 例1：解关于x的不等式：x (1 a) x a 0
2
例2、解关于x不等式 x ax 6a 0 解：原不等式可化为 ( x 3a)( x 2a) 0
（ ）若对于m 2,2, f ( x) 0恒成立，求实数x取值范围 1 （2）若对于x 1,3 f ( x) 0恒成立，求实数m取值范围
解：)设f ( x) m( x 2 x 1) 6 g (m) (1 则g (m)是关于m的一次函数，且一次项系数为x 2 x 1 1 2 3 x 2 x 1 x ） 0， g (m)在- 2,2是增函数 （ 2 4 g (m) 0等价于g (2) 2( x 2 x 1) 6 0 即 - 1 x 2, 实数x的取值范围为x 1 x 2 1 3 (2) f ( x ) m( x ) 2 m 6 0在x 1,3恒成立 2 4 m 0 m 0 或 f ( x) max f (3) 7 m 6 0 f ( x) max f (1) m 6 0 m 0 6 或 m 7 f ( x ) 6 0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 x2 - 2x +3 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
题3：解不等式2x2+x -3>0
解： 因为△= 1+24=25>0
方程 2 x2 +x -3=0 的解是x1=-3/2 , x2=1
故原不等式的解集为{ x| x <-3/2或x> 1}
对一切
x R 恒成立，则a的取值范围。
（1）当a-2=0时，即a=2，原不等式为 -4<0 显然，对一切 （2）当
x R都成立。
a 2 0 时，此不等式对一切x都成立，则有
a 2 0 2 4a 2 16a 2 0
解得： 由（1）、（2）知，当 -2<a<2
ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是： (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; (3)写出不等式的解集.
作业
习题3.2 A组 第1、 2、 3、 4题 B组 第1题
f ( x) ax bx c(a 0)