运筹学基础(运输问题1)
运筹学 04 运输问题
x23
2,12 2 a2’’=0 b3’=10 第2行
x13
16,10 10 a1’=6 b3’’=0 第3列
产量 16 10 22
新产量 新销量 划去
14
销量
8
14
12
14
西北角法步骤 运价表中找出西北角(左上角)运价cij 在该处确定运量xij=min(ai,bj) 计算剩余产量ai’=ai-xij和剩余销量bj’=bj-xij，则出现 (1)ai’=0，bj’≠0——划去第i行运价； (2)ai’≠0，bj’=0——划去第j列运价； (3)ai’=0，bj’=0——划去第i行或第j列运价 重复上述，直到获得(m+n-1)个运输数量
例2：某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售点的 销量及单位运价如下表。求最低运输费的运输方案。
产地 A1 A2 A3 销量
B1 4 2 8 4
B2 12 10 5 3
B3 4 3 11 5
B4 11 9 6 6
产量 8 5 9
解答
由于总产量=8+5+9=22，总销量=4+3+5+6=18，总产量>总销 量，属于产大于销的产销不平衡运输问题。增加一个销地， 销量b5=22-18=4；运价为0。得到产销平衡表如左表。表上作 业法结果见右表。 产地 B1 B2 B3 A1 4 12 4 A2 2 10 3 A3 8 5 11 销量 4 3 5 B4 11 9 6 6 B5 产量 0 8 0 5 0 9 4 产地 B1 A1 1 A2 4 A3 10 销量 4 B2 3 3 B3 4 1 9 5 B4 0 6 6 B5 产量 4 8 1 5 5 9 4
设xij为从Ai运输到Bj的产品数量，若Σai=Σbj，则称为产销平衡 的运输规划问题，数学模型为 min f=c11x11+…+c1nx1n+c21x21+…+cmnxmn xi1+xi2+…+xin=ai (i=1,2,…,m) x1j+x2j+…+xmj=bj (j=1,2,…,n) xij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
一类运输问题的非线性规划模型
一类运输问题的非线性规划模型*摘要经典的运输问题是已知各条路径长度和目的地的需求量, 求最优的运输路径, 这只需要建立线性规划模型就可以解决了. 但实践中遇到的情况常常不是那么简单, 一是路费并不与路线长度成简单线性关系, 再就是目的地的需求量不是已知, 还有货物的价格等等因素都增加了问题的复杂性. 本文就以钢管定购和运输问题为例,禅述了一类复杂运输问题的解决方案.关键词数学模型, 非线性规划, 最省路径1问题简述要铺设一条A1→A2→…→A15的输送天然气的主管道, 如图1所示. 附近有7个钢厂S1, S2,…,S7可以生产这种主管道钢管. 图中粗线表示铁路, 单细线表示公路, 双线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路, 或者建有施工公路), 圆圈表示火车站, 每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km).为方便计, 1km主管道钢管称为1单位钢管.一个钢厂如果承担制造这种钢管, 至少需要生产500个单位.钢厂S i在指定期限内能生产该钢管的最大数量为s i个单位, 钢管出厂销价1单位钢管为P i万元, 如表1.表1 钢厂产量及单价1单位钢管的铁路运价如表2.表2 铁路运价1000km以上每增加1至100km运价增加5万元.公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元.钢管可由铁路、公路运往铺设地点(不只是运到A1, A2,…, A15,而是管道全线).1.请制定一个主管道钢管的订购和运输计划,使总费用最小(给出总费用).2.如果要铺设的管道不是一条线, 而一个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 请就这种更一般的情形给出一种解决办法, 并对图2按问题1的要求给出模型和结果.图 1 钢管运输路线图(1)图 2 钢管运输路线图(2)2问题分析为了求出定购计划, 首先应该知道从各钢厂到各铺设路段运送单位钢管所需费用最小的路径. 为此, 我们定义：定义使得从钢厂S i运送单位钢管到铺设端点A j的费用最小的路径称为从S i到A j的最省路径.如果可以预先知道运往各铺设端点的钢管量, 那么原问题就是一个纯粹的运输问题, 而运输问题已经有着比较成熟的解法[0]. 然而我们遇到的并非如此简单. 各铺设端点只有一个相当大的取值范围（而不是一个确定的值）, 确定这些值只能由运输和铺设的限制条件以及费用极小来决定.由于需铺设的总长度是相当长的, 而一根钢管的长度相对来说就小得多, 所以可以认为：从铺设端点运送钢管到铺设地点时, 钢管是连续不断、均匀地卸下的.基于以上原因, 我们决定, 首先求出各钢厂到各铺设端点的最省路径, 然后根据限制条件和费用极小建立连续型规划模型, 最后求出整个购运计划.3模型假设1.施工公路与普通公路路况一样.2.在实际运输时, 经过的路径不会出现这样的情况：公路夹于两段铁路之间, 或铁路夹于两段公路之间.3.在实际运输时, 总是这样来运输的: 先运往铺设端点(指A1, A2, ...)再运到铺设地点.4.铺设是均匀、连续的, 卸货也是均匀、连续的.在后面的论述中, 我们总是假设所有的钢管量以km为单位, 所有的费用以万元为单位.4模型建立首先, 我们针对图1建立数学模型.4． 1 最省路径容易知道, 要使总费用最小, 所走的路径就应该是最省路径. 所以我们首先求出各条最省路径.对于在一般赋权图中求最短路径问题已有许多成熟的方法, 可以运用到这里. 但由于铁路费用比较特殊（单位路长费用不是定值）, 所以必须做些特殊处理. 经过观察我们发现, 图 1中所有铁路及火车站构成一颗树, 要把钢管从任一钢厂运至铺设地点上都必须至少经过一个交接点(B i ), 再根据假设2, 每一次运输只能经过一个交接点. 这样, 在一次运输中, 经过的铁路将是连接出发点(钢厂)和交接点的那条通路. 不妨把它们直接用铁路连起来. 这样我们可以按照如下方法构造新图：1. 在图 1中将所有的钢厂与交接点全部用铁路连接起来, 铁路长度与图 1中相应的铁路总长度一样. 如果某个点既是钢厂又是交接点, 则把它们拆成两个点, 一个代表钢厂, 一个代表交接点, 它们之间的铁路长度赋值为0.2. 略去图 1中的铁路及火车站(除交接点外).这样就得到一个新图, 重新摆放各点的位置后的形状如图 3.图 3 与图 1等效的简化图我们给图 3的所有边都赋予边权, 它们的值是运送单位钢管经过该边的费用(而不是路的长度).在此必须说明的是, 在假设2的前提下, 图 1与图 3是等效的. 等效的意思是指：在图 1中从任何一个钢厂走到任何一个铺设点, 不管所走的是哪一条路, 在图 3中都有唯一的路径与之相对应, 并且费用相等. 这样, 图 3中的所有的边权值都可以从图 1及铁路、公路运价求出. 譬如, S 1B 1=160, B 1A 2=0.3, A 1A 2=10.4. 由于篇幅关系, 在此不再一一给出.图 3是一个典型的赋权图, 可用Dijkstra 算法[2]、逐次逼近法[3]等算法求出从S i 到A j 的最省路径和相应费用, 在此我们采用逐次逼近法. 为节省篇幅, 结果在此将不给出, 读者可自行计算, 程序可参见[0].2 目标函数(费用表达式)设从钢厂S i 运往铺设端点A j 的钢管量为x ij , 那么, 购买费用为∑∑===ψ711511i j ij i x P用w ij 表示从S i 到A j 的最省路径相应的费用, 则运输过程中的费用为715211()ij ij i j w x ==ψ=∑∑1141312111098765432151765432因为钢管运到铺设端点A j 后, 还要运往铺设地点. 在图 3中, 铺设端点的度最大为2, 所以每个端点运送的方向最多有2个, 可设A j 向左运送的钢管量为L j , 向右运送的钢管量为R j , 显然有71511,1,2,...,15,0,0j j ij i R L x j R L =+====∑(1)再由假设4, 卸货是均匀的, 当从铺设端点A j 向左运输钢管走了t km 时, 剩余在车上的钢管量为L j －t , 所以将钢管运至A j 后再向左运输需要的费用20321)()(j L j L j eL dt t L e j⋅=-⋅=ψ⎰ 其中e 是运输1单位钢管每公里的公路运费. 同理, 将钢管运至A j 后再向右运输需要的费用20321)()(j R j R jeR dt t R e j⋅=-⋅=ψ⎰ 因此这期间的总费用为()∑∑==+⋅=ψ+ψ=ψ15122151333)(21)()(j j j j R jL jR Le购买费用、从钢厂运往铺设端点的费用、从铺设端点运至铺设地点的费用构成了全部费用的总和.所以, 总费用为7157151522123111111()2i ij ij ij j j i j i j j Px w x e L R =====ψ=ψ+ψ+ψ=++⋅+∑∑∑∑∑(2)4．3 约束条件根据需铺设的钢管总长度为5171, 而且运输量总是非负的, 所以715115171iji j x===∑∑ (3)再根据假设4, 铺设是均匀的(不重叠不遗漏), 所以有11,1,2,...,14j j j j R L A A j +++== (4)其中1+j j A A 表示从j A 到1+j A 需要铺设钢管的长度.由于钢厂S i 的产量上限为s i , 所以151,1,2, (7i)i j xs i =≤=∑ (5)而每个钢厂都有自己的产量下限. 如果生产, 则必须不小于500, 否则就不生产, 产量为0. 即1515110,500,1,2, (7i)ijj j xxi ===≥=∑∑或(6)为了方便求解, 我们将上式改写成如下等价形式(在产量非负的条件下):151511(500)0,1,2,...,7ij ijj j x xi ==-≥=∑∑ (7)4．4 数学模型由(1)、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）可以得到一个连续非线性规划模型:∑∑∑∑∑=====+⋅++=ψ151227115171151)(21min j j j i j ij ij i j ij i R L e x w x PS. T.517171151=∑∑==i j ijx7,...,2,1,151=≤∑=i s xi j ij15,...,2,1,71==+∑=j x L R i ij j j , R 15=0, L 1=0.14,...,2,1,11==+++j A A L R j j j j7,...,2,1,0)500(151151=≥-∑∑==i xx j ijj ijx ij ≥0, i =1,...,7, j =1, (15)这就是我们所要建立的钢管购运计划数学模型.5 模型求解这是一个非线性规划模型. 由于模型中变量太多, 人工求解很难进行. 我们使用数学软件LINGO6.0, 成功地求解了这个模型, 从而得到了完整的购运计划. 首先是去钢厂购买钢管的计划, 表 3列出了具体的购买方案, 所花费用1ψ=797725; 然后是将钢管运至铺设端点, 运输方案也在表 3中给出, 运输费2ψ=399731.55; 最后是把钢管从铺设端点运到铺设地点,表 4给出了运输方法, 运输费1522311()80916.452j j j e R L =ψ=+=∑. 这样总费用就是1231278373ψ=ψ+ψ+ψ=.表 3 在图 1中从钢厂购买钢管然后运到铺设端点的计划钢厂购买量 购买费用 运输路径(在图 1中) 运量x ij 单价 运费 S 1800.0128000S 1B 6B 5B 4A 5334.5 38.0 12711.0 S 1B 6B 5A 6 200.0 20.5 4100.0 S 1B 7A 7 265.5 3.1 823.05 S 2800.0124000S 2B 8B 3B 1A 2179.0 205.3 36748.7 S 2B 3A 4 134.1 171.6 23011.56 S 2B 8B 7B 6B 5B 4A 5 186.9 111.0 20745.90 S 2B 8A 8300.0 71.2 21360.00 S 3 1000.0 155000 S 3B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 A 4333.9 181.6 60636.24 S 3B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 2.1 121.0 254.10 S 3B 9A 9 664.0 48.2 32004.80 S 4 0.0 0 无0.0 0.0 S 51015.0157325S 5B 11B 10B 9B 8B 3B 2 A 3 508.0 225.2 114401.60 S 5B 11B 10B 9B 8B 7B 6B 5B 4A 5 92.0 146.0 13432.00 S 5B 11A 11 415.0 33.0 13695.0 S 61556.0233400S 6B 15B 13B 10A 10 351.0 62.0 21762.00 S 6B 15B 13B 12A 1286.0 45.0 3870.00 S 6B 15B 13A 13 333.0 26.2 8724.60 S 6A 14 621.0 11.0 6831.00 S 6B 15B 16A 15165.0 28.0 4620.00 S 7 0.0 0无 0.0 0.0合计5171.01ψ = 797725 5171.02ψ=399731.55表 4 从铺设端点到铺设地点的计划j 1 2 3 4 5 6 7 8 L j 0.0 104.0 226.0 468.0 606.0 184.5 189.5 125.0 R j 0.0 75.0 282.0 0.09.515.576.0175.0 0.0 822.05 6530.0 10951.2 18366.3125 1714.025 2084.3125 2312.5 j 9 10 11 12 13 14 15 合计 L j 505.0 321.0 270.0 75.0 199.0 286.0 165.0 R j159.030.0145.011.0 134.0 335.0 0.0 费用 14015.3 5197.05 4696.25287.32877.859701.051361.2580916.456 模型强化如果要铺设的管道不是一条线, 而是一个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 我们的方法同样是适用的, 因为在求最省路径时, 我们并不排除铁路、公路和管道构成网络的情形. 实际上, 图 2与图 1的差别主要是铺设端点的度数不同. 因此, 只要对第一个模型稍作修改, 就可以解决这种更一般的情形了.对图 2运用相同的方法进行改造, 得到的新图如图 4所示, 其中的边权可以根据图 2求出.图 4 与图 2等效的简化图在图 4中, 铺设路径上的结点的最大度数为3, 从结点运往铺设地点的方向数最多有3个, 分别用D 1j , D 2j , D 3j 表示从A j 运往三个方向的运量, 各方向的取法如下(其中的方向都是指在图4中的方向):i) 如果结点A j 的度为1, 说明从该结点运出的方向只有一个, D 1j 就是这个方向上的运量, 并且令D 2j =0, D 3j =0. 这样的结点有A 1, A 15, A 16, A 18, A 21. ii) 如果结点A j 的度为2, 说明从该结点运出的方向有两个, D 1j 表示向左方向的运量,D 2j 表示向右方向的运量, 并且令D 3j =0. 这样的结点有A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7, A 8, A 10, A 12, A 13, A 14, A 19, A 20. iii) 如果结点A j 的度为3, 则D 1j 表示向左方向的运量, D 2j 表示向右方向的运量, D 3j 表示向下的运量. 这样的结点有A 9, A 11, A 17. 用类似于前面建立模型的方法对问题三建立模型如下: ()72171521222111111m i n 1232i i ji j i j j j ji j i j j P xw x e D DD=====ψ=++⋅++∑∑∑∑∑ S.T.721115903iji j x===∑∑7,...,2,1,211=≤∑=i s xi j ij7,...,2,10500211211=≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∑∑==i x x j ij j ij 21,...,2,1,32171==++∑=j xD D D i ijj j j14,...,2,1,1211==+++j A A D D j j j j 4213169=+D D ,10131711=+D D130121817=+D D ,190131917=+D D260122019=+D D ,100122120=+D D 115161618122320D D D D D ===== 1819202121333230D D D D D =====.15,...,12,10,8,...,1,03==j D jx ij ≥0, i =1,...,7, j =1, (21)求解以上模型得到表 5、表 6的购买和运输计划. 由此可知1ψ=910515, 2ψ=412089.55, 21222311(123)2j j j j e D D D =ψ=++∑=86087.15, 总费用123ψ=ψ+ψ+ψ=1408691.70.表 5 在图 2中从钢厂购买钢管然后运到铺设端点的计划钢厂购买量 购买费用 运输路径(在图 1中) 运量x ij 单价 运费 S 1800.0128000S 1B 6B 5B 4A 5334.5 38.0 12711.0 S 1B 6B 5A 6 200.0 20.5 4100.0 S 1B 7A 7 265.5 3.1 823.05 S 2800.0124000S 2B 8B 3B 1A 2179.0205.336748.7S 2 B 8B 3B 2A 3321.0190.261054.20S 2B 8A 8300.071.221360.00S 3 1000.0 155000S 3 B 9B 8B 3B 2A 380.0 200.2 16016.00 S 3 B 9B 8B 7 B 6B 5B 4A 5 214.0 121.0 25894.00 S 3B 9A 9 664.0 48.2 32004.80 S 3A 1642.044.01848.00S 4 0.0 0无0.00.0S 51613 249938S 5 B 11B 10B 9B 8B 3B 2A 3107.0 225.2 24096.40 S 5 B 11B 10B 9B 8B 7 B 6B 5A 5A 4 468.0 206.6 96688.80 S 5 B 11B 10B 9B 8B 7 B 6B 5A 5 67.0 146.0 9782.00 S 5 B 11B 10A 10 351.0 57.0 20007.00 S 5B 11A 11 415.0 33.0 13695.00 S 5A 17205.0 32.0 6560.00 S 61690.0 294000S 6 B 13B 18B 12A 12 86.0 45.0 3870.00 S 6B 13A 13 333.0 16.2 5394.6 S 6A 14621.0 11.0 6831.00 S 6B 15B 16A 15 165.0 28.0 4620.00 S 6B 13A 18 65.0 37.0 2405.00 S 6B 15B 13B 18A 19 70.0 44.0 3080.00 S 6A 20 250.0 10.0 2500.00 S 6A 21100.00.00.0S 7 0.0 0 无0.00.0合计59031ψ = 91051559032ψ=412089.55表 6 从铺设端点到铺设地点的计划j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11D1j 0.0 104.0 226.0 468.0 606.0 184.5 189.5 125.0 505.0 321.0 270.0 D2j 0.0 75.0 282.0 0.0 9.5 15.5 76.0 175.0 159.0 30.0 145.0 D3j 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0j12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 合计D1j 75.0 199.0 286.0 165.0 42.0 10.0 65.0 60.0 250.0 100.0D2j 11.0 134.0 335.0 0.0 0.0 65.0 0.0 10.0 0.0 0.0D3j 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 130.0 0.0 0.0 0.0 0.0费用287.3 2877.85 9701.05 1361.25 88.2 1061.25 211.25 185 3125 500 86087.157模型评价本文所讨论的问题用线性规划来求解是无法得到满意结果的, 这主要是因为钢管从铺设端点运往铺设地点时的运费不与路长成线性关系, 为此我们建立二次规划模型, 为的是真实反映实际操作中的各种条件限制和费用, 结果是合理可用的. 虽然我们求解的只是一个特定的实际问题, 但其中的方法具有一般性, 容易推文到类似的问题中. 如果只是运输路线图的不同, 则只需修改相应数据就可以了.参考文献1. 张莹. 运筹学基础, 清华大学出版社, 1999.1: 52-53.2. 戴一奇等. 图论与代数结构, 清华大学出版社, 1995.8.3. 胡运权. 运筹学教程, 清华大学出版社, 1998.6: 238-239.4. 楼世博, 金晓龙, 李鸿祥. 图论及其应用, 人民邮电出版社, 1982.7: 437-439.A Continuum and Nonlinear Programming Model of Transport ProblemHe Dengxu1Cao Dunqian1Mo Yongxiang2Song Xueqiang1(1. Dept. of Math. and Computer Sciences, Guangxi University for Nationalities, Nanning, 530006, China2. Dept. of Computing Science and Applied Physics , Guilin University of Electronic Technology, Guilin,541004, China)Abstract: The classical problem of transport is asked to find the shortest path in base of knowing all kind paths' lengths and demand at destination. It only needs to set up linear programming model, but in practice all kind of factors such as cost of transport nonlinear with lengths of paths, not knowing demand and cost of goods, augment complexities of the problem. In this paper, we expound a approach how to solve a complex problem of transport through the problem of order and transport of steel and tube.Keyword:mathematical model, nonlinear programming, shortest path。
运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案[2002年版新教材]第一章导论P51.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。
定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。
举例：免了吧。
2、.构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？.观察待决策问题所处的环境；.分析和定义待决策的问题；.拟定模型；.选择输入资料；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）；.实施最优解；3、．运筹学定义：利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P251、.为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。
但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。
调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。
（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。
2.、某地区积累了5个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α=0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤）年度12345大米销售量实际值（千公斤）52025079393744533979。
答：F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F16=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9F6=3581.1+400.77+35.433+4.5711+0.3764F6=4022.33、某地区积累了11个年度纺织品销售额与职工工资总额的数据，列入下列表中（表略），计算：（1）回归参数a,b（2）写出一元线性回归方程。
运筹学-3运输问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学运输问题.
b K bK aL ，划掉运价表的第L行；反之，
'
若 x LK bK ，则令a L
的第k列。
'
aL bK ，划掉运价表
（2）在运价表剩余元素中重复（1），直
至运价表元素全部被划掉。
例：某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1 — 7吨、A2 —4吨、A3 —9吨。该公司将这些产品运往四个 门市部，各门市部每日销量为：B1 —3吨、B2 —6吨、 B3 —5吨、B4 —6吨。各工厂到各门市部的单位运价如 下表，试确定最优的运输方案。
运输问题求解思路图
下面通过例子介绍它的计算步骤。
一、初始方案的给定
1、最小元素法★ 2、Vogel法★
1、最小元素法
基本思路是：就近供应，即从运价表中 最小运价开始确定调运量，然后次小，一直 到给出初始调运方案为止。
（1）找出运价表中最小元素 CLK ，确 定 xLK minaL , bK ，若 x LK a L，则令
x11 x21 xm1 b1 x x x b 12 22 m2 2 x1n x2n xmn bn xij 0(i 1,2,m; j 1,2,n)
min
Z cij xij
若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省
的调运方案。
建 模 ： 设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n。 销地 产地 A1 A2
. . .
B1 X11 X21
. . .
B2 X12 X22
. . .
... ... ...
. . .
运筹学课件运输问题
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、约 束条件和目标函数组成，用于描述问 题的数学关系。
VS
数学模型的一般形式为： $text{maximize} quad f(x)$$text{subject to} quad a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或$a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$，其中$x_1, x_2, ldots, x_n$是决策变量，$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b$是常数，$f(x)$是目标函 数。
运输问题的分类
按产地和目的地数量
单对多、多对单、多对多运 输问题。
按运输方式
陆运、空运、水运等运输问 题。
按优化目标
最小化运输成本、最小化运 输时间、最小化运输量等运 输问题。
运输问题的应用场景
物流配送
如何将货物从多个仓库运送到 多个零售店，以最小化总运输
成本。
车辆路径规划
如何规划车辆行驶路径，以最 小化总行驶时间和成本。
详细描述
在实际的货物运输过程中，可能会遇到各种不确定性和 风险，如天气变化、交通拥堵、意外事故等。这些因素 可能会对运输计划产生影响，甚至导致运输计划的失败 。因此，在制定运输计划时，需要考虑这些不确定性和 风险，并制定相应的应对措施。
实际案例二：城市物流配送优化
总结词
优化城市物流配送路径和策略
VS
运筹学课件运输问题
目录
• 运输问题概述 • 线性规划与运输问题 • 运输问题的解决方案 • 运输问题的扩展与优化 • 案例分析
01
运输问题概述
运筹学 第二章 运输问题
=
j
j = 1
(
(
这就是运输问题的数学模型，它包含 m·n 变量, m + n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约 束条件上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。 因此，即使是 m = 3 ， n = 4 这样的简单问题, 变量数 就有19个之多，计算起来非常复杂。因此，我们有必 要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简单方便的 求解方法。
销地产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11 、 x12 、 x32 、 x34 、 x24 、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1 ， i2 = 3 ， i3 = 2；j1 = 1 ，j2 = 2 ，j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连 (今后就称这些直线为闭回路的边)。
第二节 表上作业法1. 表上作业法的基本概念与重要结论针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方 程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，该 矩阵中， 每列只有两个元素为1，其余都是0。根据这个特 点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来求解运输 问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次， 要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运输 问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论可以 知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组成。 (即基变量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一步我 们想知道, 怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
运筹学基础(中文版第10版)哈姆迪塔哈课后习题答案解析
运筹学基础（中文版第10版）哈姆迪塔哈课后习题答案解析第一章线性规划模型1.1 线性规划的基本概念1.请解释线性规划模型的基本要素以及线性规划模型的一般形式。
答：- 线性规划模型的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件。
- 线性规划模型的一般形式如下：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 01.2 线性规划模型的几何解释1.请说明线性规划模型的几何解释。
答：线性规划模型在几何上可以表示为一个多维空间中的凸多面体（可行域），目标函数为该多面体上的一条直线，通过不同的目标函数系数向量c，可以得到相应的最优解点。
通过多面体的边界和顶点，可以确定最优解点的位置。
如果可行域是无限大的，则最优解点可以在其中的任何位置。
1.3 线性规划模型求解方法1.简要说明线性规划模型的两种求解方法。
答：线性规划模型可以通过以下两种方法进行求解： - 图形法：根据可行域的几何特征，通过图形方法确定最优解点的位置。
- 单纯形法：通过迭代计算，逐步靠近最优解点。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法。
第二章单变量线性规划2.1 单变量线性规划模型1.请给出单变量线性规划模型的一般形式。
答：Max/Min Z = cxSubject to:ax ≤ bx ≥ 02.2 图形解法及其应用1.请解释图形解法在单变量线性规划中的应用。
答：图形解法可以直观地帮助我们确定单变量线性规划模型的最优解。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，可以确定最优解点的位置。
对于单变量线性规划模型，图形解法特别简单，只需要绘制一条直线和一条水平线，求解它们的交点即可得到最优解点的位置。
运筹学 第三章 运输问题
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学【运输问题】考研必备
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
132 712来自10 62715
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 运价 销售地 1 a1=14 供 应 量 1 6 7 5
b1=22
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
销 售 量
3
b3=12
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
运筹学基础-运输问题(1)
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
4
运输问题
运输问题举例 （续）
【例2】某公司下属三个工厂（甲厂、乙厂、丙厂）生产同类 产品，供应不同地区的3个城市（A城、B城、C城），工厂的 供应量、城市的需求量及工厂到不同城市的单件运费如表，写 出本例数学模型 产销大于销
销地 产地 甲厂 乙厂 丙厂 需求量 A城 8元 4元 7元 5000 B城 6元 3元 4元 7500 C城 7元 5元 6元 7500
56
16 66
36
41
16
运输问题
西北角法图示
初始基可行解：x11=56,x21=16,x22=66,x32=36,x33=41
此时运费 Z=31240
销地 产地 W厂 X厂 A段
5656 40
B段
C段
供应量
0 70
66 36
0 140 0 110
41
56 82
16
16 120 0 80
72
66 240 36 130
运输问题
【另例】
销地
产地
B1 6
7
2
B2
2
B3 3
5
1
B4 2
8
2
2
产量 5
4
行差额
产量
j 1 m
ij
ai , bj ,
i 1,2,...,m j 1,2,...,n
a1 a2 … am
x
i 1
ij
xij 0
11
运输问题
产小于销
a b
i 1 i j 1
m
n
j
min Z cij xij
管理运筹运输课程设计例题
管理运筹运输课程设计例题一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握管理运筹学中有关运输问题的基本概念和理论，如线性规划、运输表、最小成本流等；2. 使学生能够运用运输模型解决实际问题，并能够分析不同运输策略的优劣；3. 帮助学生理解运输问题在各种行业中的应用，如物流、生产、销售等。
技能目标：1. 培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，特别是运用线性规划求解运输问题；2. 提高学生运用计算机软件（如Excel、Lingo等）辅助解决运输问题的技能；3. 培养学生进行团队协作、沟通和表达的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对管理运筹学科的兴趣，激发他们继续深入学习的热情；2. 培养学生具备良好的逻辑思维和分析问题的能力，形成科学、严谨的学习态度；3. 增强学生的社会责任感，使他们认识到运输问题在国民经济中的重要性，从而关注国家和社会发展。
本课程针对高中年级学生，结合课程性质、学生特点和教学要求，将目标分解为具体的学习成果。
在教学过程中，注重理论与实践相结合，以实际案例为载体，引导学生运用所学知识解决实际问题。
通过本课程的学习，学生将能够掌握管理运筹学中运输问题的基本知识和方法，具备解决实际问题的能力，并形成积极的学习态度和价值观。
后续教学设计和评估将以此为基础，确保课程目标的实现。
二、教学内容本章节教学内容依据课程目标，结合教材《管理运筹学》第五章“运输问题”展开，主要包括以下几部分：1. 运输问题基本概念：介绍运输问题的定义、特点及其在现实生活中的应用。
2. 运输模型的建立：学习如何根据实际问题构建运输表，明确供应点、需求点和运输成本。
3. 线性规划在运输问题中的应用：讲解如何利用线性规划求解运输问题，包括北西角法、最小成本法、位势法等。
4. 运输问题求解方法：介绍各种运输问题求解方法，如单纯形法、最小费用流算法等。
5. 计算机软件在运输问题中的应用：学习运用Excel、Lingo等软件辅助解决运输问题。
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学基础(1)
展
英国创刊 ☺ 1952年第一个运筹学学会在美国成立
☺ 1947年丹齐克在研究美国空军资源优化配置 时提出线性规划及其通用解法——单纯形法
战后这些研究成果被应用到生
产、经济领域，其发展可以分
运
为三个阶段：
筹 学
的
① 1945至50年代初期—创建时期
② 50年代初期至50年代末期——成长 时期
产
生
商船护航的规模等等。
战后这些研究成果被应用到生
产、经济领域，其发展可以分
运
为三个阶段：
筹 学
的
① 1945至50年代初期—创建时期
☺ 1948年英国成立“运筹学俱乐部”在煤力、 电力等部门推广应用运筹学
产
☺ 相继一些大学开设运筹学课程
生
1948年美国麻省理工学院
和
1950年英国伯明翰大学
发
☺ 1950年第一本运筹学杂志《运筹学季刊》在
的 定 义
与 特 点
为“运作研究”。
美国运筹学会认为：运筹学所研 究的问题，通常是在要求有限资 源的条件下科学地决定如何最好 地设计和运营人机系统。
中国大百科全书释义：它用数学 方法研究经济、民政和国防等部 门在内外环境的约束条件下合理 分配人力、物力、财力等资源， 使实际系统有效运行的技术科学，
bi ,i 1,2m 为资源系数；
aij ,i 1,2m, j 1,2n 为技术系数，或约束
系数 ；
mn
运筹学基础
第四讲
主讲教师：郑黎黎
学时：48
线 性 数规 学划 模问 型题 及 其
线性规划的标准形式有四个特点 ： 目标最大化、约束为等式、右端项 非负、决策变量均非负。 对于各种非标准形式的线性规划问 题，我们总可以通过以下变换，将 其转化为标准形式。
运筹学第三章 运输问题
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
运筹学基础及应用运输问题胡运权
x12
…
c21
c22
A2
x21
x22
…
Bn c1n
x1n c2n
x2n
产量 a1 a2
┇
Am 销量
┇
┇
┇
cm
cm
1
2
…
xm1
xm2
b1
b1
…
┇
┇
cmn
xmn
am
bn
1.运输规划问题的典例和数学模型 运输问题的求解思路
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
2.表上作业法
计算步骤： (1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表上给出 m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）
运筹学基础及应用
Operations Research
运
第三章
决
筹
胜
帷
运输问题
千
幄
里
之
之
中
Transportation Problem
外
1 运输规划问题的典例和数学模型 2 表上作业法 3 运输问题的应用
CONTENTS
目
录
1.运输规划问题的典例和数学模型
例B33，.1各某产公地司的从产两量个、产各地销A地1、的A销2将量物和品各运产往地三运个往销各地销B地1每, B件2, 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
步骤
描述
方法
第一步 求初始基行可行解（初始调运方案）
最小元素法、西 北角法、 伏格尔法
第二步
求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验
数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若存在检 验数σi j <0，说明还没有达到最优，转第三步。
运筹学运输问题
无穷多解
2020/12/14
解称为位势
设：诸x如ij—这类—有从多A个i地不运同往的B生j地产的、消货费物者数，量如何合理不同的生产者和消费者之
运间分派的价问分m题配i称关n为系z=运，输3达x问到11题最+。小4费x1用2 +的问2x题13也+运3筹x2学1 最+重5x要2的2 +问3题x之23一。我们把这种 在运筹学中，x1运1 +输问x1题2 +是一x1个3 广义的“运=输”10，即许多其它问题也可以通
2020/12/14
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运输问题的数学模型（假定产销平衡）
nm
目标函数：min Z = ∑ ∑ Cij xij
j=1 i=1
产量约束：∑n xij = ai
i=1,2,…m
j=1
m 销量约束：∑ xij = bj
x11
+ x21
=3
x12
+ x22 = 5
x13
+ x23 = 6
111
10
1114
1
1
3
1
1
5
1
16
1）运输问题最优解有界
运输问题求解方法：
表上作业法
2）运输问题系数矩阵非常特殊
3）运输问题约束都是等式约束 4）一般运输问题约束有一个多余的约束
5）一般运输问题都是产销平衡的（不平衡问题要化为平衡问题）
i=1
j=1,2,…n
xij ≥0
max
w
=
m
∑
管理运筹学-02-7运输问题
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
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转运问题
转运问题是运输问题的一个扩充，即在运输问题中， 产品不仅只能直接由产地运往销地，而在产地和销地 之外，还增加了中转点：
允许物品从一个产地运往另一个产地、或中转点、或销 地 允许把物品从一个中转点运往另一个中转点、或产地、 或销地 允许把物品从一个销地运往另一个销地、或中转点、或 产地。
假定从产地Ai向销地Bj运输单位物品的运价是cij 问：怎样调运这些物品才能使总运费最小。
运输问题的一般形式
运输问题的一般形式
运输问题的一般形式
问题的变形
根据题意，我们在对运输问题建模时，需要做一些适 当的变化：
求目标函数的最大值而不是最小值。如，有些运输问 题中，他的目标可能是，找出利润最大的调运方案； 当某些运输线路的运输能力有一定限制时，这时要再 加上相关约束条件，例如从A3到B4的物品数量受到运 输能力的限制，最多运送1000个单位，此时，需要加 上约束条件x34≤1000； 当生产总量不等于销售总量，即产销不平衡时，怎么 办呢？
最低需求（万吨）
最高需求（万吨）
生产与存储问题
某公司按照订单合同规定，须于当年每个季度末分别 提供10，15，25，20台统一规格的产品。已知该公 司各季度生产能力及生产每件产品的成本如表所示。 又已知，若生产出来的产品当季不交货，每台积压一 个季度，其存储、维护费用为0.15万元。要求在完成 合同的情况下，做出使该公司全年生产（包括存储、 维护）费用最小的决策。
转运问题的一般模型
LOGO
产销不平衡例题
甲、乙、丙三地每年分别需要用煤3000、1000、 2000吨，由A、B两处煤矿负责供应。假定两处煤矿 的品质和价格均相同，而A、B年供应量分别为4000 吨和1500吨，单位运价表如下：
甲 A B 1.65 1.60
乙 1.70 1.65
丙 1.75 1.70
由于供大于求，经协商决定，对甲的供应量可减少0200吨，对乙的供应量应全部满足，对丙的供应量不 少于1700吨。试求总运费为最低的调运方案。
运输问题 (transportation problem)
运输问题
运输问题就是将物品由一个空间位置移动 到另一个空间位置。 运输问题是一类特殊的线性规划问题，因 此可以用线性规划的解题思路进行求解。 为何将运输问题单列出来？
运输问题例题
某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、 B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地 的每件物品的运费如下表所两个分公司，武汉分公司每月 生产400台仪器，成都分公司每月生产600台仪器。 该公司在北京和上海有两个销售公司，负责对南京（ 200）、济南（150）、青岛（350）和南昌（300） 四个城市供应仪器（括弧内表示需求量）。又因为武 汉离南昌较近，所以公司同意武汉分公司可以直接向 南昌供货，而不必经由销售公司。城市间每台运输费 用标在了弧上，单位为百元，问该如何调运，使得总 的运输费用最低。
例题
例. 设有三个化肥厂，供应四个地区。假定等量的化 肥在这些地区使用效果相同，各化肥厂年产量、各地 区年需求量以及各化肥厂到各地区运送化肥的运价如 表所示，试求出总的运费最节省的化肥调拨方案。
I A B C 16 14 19 30 50 II 13 13 20 70 70 III 22 19 23 0 30 IV 17 15 无法运输 10 不限 产量（万 吨） 50 60 50
B1 A1 A2 销量 6 （运费单价） 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量（件） 200 300
问：如何调运，使得总运输费用最小。
运输问题的一般形式
设：
有m个产地A1、A2 、…、Am，各产地的产量是a1、 a2 、…、am 有n个销地B1、B2 、…、Bn，各产地的产量是b1、 b2 、…、bn