1.1.1变化率问题

1. 1.1变化率问题 课前预习学案

预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。知道平均变化率的定义。 预习内容： 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？

气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是3

3

4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3

43)(π

V V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水

在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率

已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

学习目标 1.理解平均变化率的概念;

2.了解平均变化率的几何意义;

3.会求函数在某点处附近的平均变化率.

h

t

o

学习重点：

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 学习难点：

平均变化率的概念.

学习过程

一：问题提出

问题1气球膨胀率问题：

气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________. 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.

⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.

⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________.

问题2 高台跳水问题：

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.

）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8

≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.

思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2

+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65

(

h h =， 所以___________.虽然运动员在49

65

0≤

≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；

（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.

（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 二平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子

1

212)

()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化

h t

o

率

2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用

x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)

3． 则平均变化率为

=∆∆=∆∆x

f x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率

=∆∆x f 1

212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 一起讨论、分析，得出结果；

（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率

2121

()()f x f x f

x x x -∆=

∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；

②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1； 三．典例分析

例1．已知函数f (x )=x x +-2

的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点

)2,1(y x B ∆+-∆+-,则

=∆∆x

y

． 解：

例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率。 解：

四．有效训练

1．质点运动规律为32

+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s (t )=3t 2

+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.

3.过曲线y =f (x )=x 3

上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.

反思总结：1、平均变化率的概念

2、如何求函数在某点附近的平均变化率 当堂检测

1、函数()2

x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ）

A 、4

B 、2

C 、

41

D 、4

3 2、经过函数2

2x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数