不定积分的概念与性质

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不定积分的概念与性质

式
任意常数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求

1dx x
解:
ln x 1
x

1dx x

ln
dx sin 2
x

csc2
xdx

cot
x

C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节不定积分的概念与性质
一不定积分的概念二不定积分的性质三基本积分表
一、不定积分的概念
定义在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积分号
被积积分表变达量
例9 解：
求

2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx

不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分
定义：如果在区间I 内，可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2

x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx

1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？例
sin x cos x

sin x C cos x
（C 为任意常数）

关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6

1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x ) 的带有任意

不定积分的概念与性质及基本积分公式

不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。

不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。

在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。

一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。

给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。

二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。

2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。

3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。

三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。

c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。

d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。

e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。

2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。

b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。

3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。

b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。

c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。

d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。

e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。

不定积分的概念及性质

2 1
x
（２）
x
xdx
3
x 2 dx

2
5
x2

C
.
5
（３）

dx 2gx
1 2g

dx x
例5
1
1
1 1
x 2 C
2g 1 1
2
求下列不定积分:
2gx C ． g
（１）
x 1 x

1
x
dx；（２）
x x
2 2
1 1
dx
则称F(x)为 f (x)的一个原函数．
例因为(ln x) 1 ，故ln x 是 1 的一个原函数；
x
x
因为(x2) 2x，所以 x2 是2x 的一个原函数，但
(x2 1) (x2 2) (x2 3) 2x ，所以 2x 的原函数不是惟一的．
原函数说明：第一，原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间连续，那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．
．
解（1）
x 1 x

1 x
dx Nhomakorabeax
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x

2
5
x2

1
x2

x

1
2x2

C.
52
（２）
x2 x2
1dx 1

x
2 x2
1 1
2
dx

1
做被积表达式，C 叫做积分常数，“ ”叫做积分号．

不定积分的概念与性质

y=∫3x2dx =x3+C, 又曲线过点(0,1)，从而得C=1,于是所求的曲线方程为
y=x3+1.
三、不定积分的几何意义
【例4】
一物体作直线运动，速度为v(t) 2t 2 1m / s,当t 1s时，物体所经过的路程为 3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为 s s(t).依题意有 s(t) v(t) 2t 2 1, 所以
7 sinx dx = cosx C ;
8 sec2x dx tanx C ;
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ; 1 x2
11
dx arctanx C ;
1 x2
例2：求下列函数的不定积分
01
1 dx x3
解：
1 dx x3
x 3dx
一、原函数与不定积分
一、原函数与不定积分
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的一个原函数. 注意：如果函数f(x)有原函数，那么原函数有无数个。
（2）
sin 2
1 x cos2
dx x
解： sin2
1 x cos2
dx x
1 cos2
dx x
1 sin 2
x
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
dx

不定积分的概念与性质

运动规律 .
x
解建立如图所示的坐标系. 设质点的
x x(t)
运动规律为 x = x(t)，设质x 点抛出时刻为
x0 x(0)
t
=
0，
t
=
0
时的位置为
x
x0
,
速x(t度) 为
v0
.
O
于是可得
dx
dt
v(t),
x
|t0
x0
,
d2x dt 2
x0 g ,
O
dx dt
t 0
v0
.
x(0) x
原函数称为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f (x)dx . 其中
积分号，
f (x)
f (x)dx 被积表达式， x
被积函数，积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F(x) C .
第一节不定积分的概念与性质
f (x)dx F(x) C ,
称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是一簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行.
例如，y = cos x 的积分曲线如下：
第一节不定积分的概念与性质
y
O
x0
x
y = cos x 的积分曲线
第一节不定积分的概念与性质
(2) 积分运算与微分运算是互逆运算
第一节不定积分的概
例3 求 x(x3 7)dx .
例6 求求 ccooss22 22xxddxx ..
解
x(x3
7
1
第7)一dx节不定(x积2分的7解概x 2念)d与x性co质s2

不定积分的概念与性质

注意：当k 0时， 0dx C(任意常数)，0 dx 0,
0dx 0 dx.
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例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
分项积分
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
说明：被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
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例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
f (ln x) eln x 1 x
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2. 若
是 ex 的原函数 , 则
f
(ln x
x)
d
x

不定积分的基本概念与性质

不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。

本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。

一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。

它是函数求导的逆运算。

给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。

二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。

2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。

即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。

3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。

通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。

4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。

常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。

5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。

根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。

1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。

2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。

例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。

3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。

4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。

不定积分的概念与基本性质

不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。

它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。

在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。

一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。

二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。

2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。

这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。

3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。

这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。

4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。

换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。

5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。

三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。

不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。

不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。

例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。

2211)1l n ([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。

原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。

注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。

设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。

注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即 C x G x F =-)()( （C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。

定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。

如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数）例1．因为 23)3(x x='，得⎰+=C xds x332例2．因为，0>x 时，xx 1)(ln ='；0<x 时，xx xx 1)(1])[ln(='--='-，得xx 1)||(l n ='，因此有⎰+=C x dx x||ln 1例3．设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。

不定积分的概念和性质

不定积分的概念和性质
也就是说，连续函数一定有原函数.下面我们进一步讨论原函数的相关知识.
由于 x2 x2 2 x2 35 2x，所以x2、x2 2、x2 35都为2x的原函数.
由此例可以看出：如果函数f x有一个原函数，则f x就有无穷多个原函数，而这些原
函数之间仅差一个常数，即
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数 .
不定积分的概念和性质
性质2
被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前 .
kf xdx k f xd（x k 0，常数）.
性质3
两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和.
例3 解
设所求曲线方程为y F x，因为y F x 3x2，由不定积分定义，有
F x 3x2dx x3 C .
因所求的曲线过点1，3，代入得C 2，于是所求的曲线方程为 y x3 2.
不定积分的概念和性质
1.3 不定积分的性质性质1
不定积分与求导数或微分互为逆运算.
（1） f xdx f x 或 d f xd x f xdx. （2） F xdx F x C 或 dF x F x C.
对于每一个给定的常数C，F x C表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为f x的一条积分曲线 .由于C可以取任意
值，因此不定积分 f xdx表示f x的一族积分曲线 . 而其中任意
一条积分曲线都可以由曲线y F x沿 y 轴方向上、下平移得
到，如图4-1所示.
图4-1
不定积分的概念和性质
F x C F x f x (C为任意常数) . 所以F x C是f x的原函数.

5.3 不定积分的概念与性质

1 3 = x x + arctan x + C 3 1 + 2x2 dx . 练习: 练习: 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
例9 求积分 ∫ 解
1 dx . 1 + cos 2 x
1 1 1 dx = 1 ∫ 1 + cos 2 x ∫ cos 2 x dx = 2 tan x + C . 2
n
则
∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1
例5. 求
[(2e)x 5 2x )dx 解: 原式 = ∫
(2e)x 2x = +C 5 ln(2e) ln 2
ex 5 x =2 +C ln 2 +1 ln 2
3 2 )dx . 练习: 练习: 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1 x
= sec x + csc x
2 2
6. 求不定积分解：
(e2x ex +1)
7. 已知求A,B.
∫
x2 1 x2
dx = Ax 1 x + B∫
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 1 x2
= A 1 x
2
Ax2 1 x2
+
B 1 x2
1 x2 A+ B = 0 ∴ 2A =1
ex dx = ex + C ∫
x
(12)
a +C (13) ∫ a dx = ln a
x
ex ex sh x = 2 ex + ex ch x = 2
(14)
(15)
∫sh xdx = ch x+ C

不定积分的概念与性质

x
c
(6)
sin 2
1 x cos2
x
dx
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x dx
1 ( cos2
x
1 sin 2
x
)dx
tan
x
cot
x
c
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
四、不定积分的性质性质1 求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算
（1） [ f (x)dx] f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx
（2） F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 0)
性质3 ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx
dx
x arctan x C
(2)
1 x2 (1
2x2 x2
)
dx
(1 x2 ) x2 x2 (1 x2 ) dx
1 ( x2
1
1 x2
)dx
1 arctan x C x
(3)
sin2
x 2
dx
1
cos 2
x
dx
1 2
(1 cos x)dx
1 (x sin x) c 2
(1
cos
x)dx
1 (x sin x) c 2
【作业】求不定积分
(1) x x dx
1 e2x
(3) 1 ex dx
x4
(5) x2 1 dx
(2) 1 x x2 dx x(1 x2 ) 1
(4) x2 (x2 1) dx
1
(6) sin2 x cos2 x dx

不定积分知识点总结

不定积分知识点总结不定积分是高等数学中的重要内容，是定积分的逆运算，也称为反导数。

它在微积分中有着广泛的应用。

下面是不定积分的知识点总结。

一、不定积分的定义和性质：1. 不定积分的定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有原函数f(x)，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记为F(x)=∫f(x)dx。

其中F(x)是不定积分号∫的上界，f(x)是被积函数，dx是自变量。

2.基本性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

其中a、b为常数。

（2）和差性质：∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。

（3）分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。

将f'(x)视为u'(x)，g(x)视为v(x)。

3.不定积分的四则运算：（1）常数定积分：∫kdx = kx + C。

其中，k是常数，C是任意常数。

（2）幂函数的不定积分：∫x^kdx = 1/(k+1) * x^(k+1) + C。

其中，k≠-1（3）指数函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。

（4）对数函数的不定积分：∫1/xdx = ln，x， + C。

（5）三角函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。

（6）反三角函数的不定积分：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arcsinhx + C。

其中，-1≤x≤14. 不定积分的换元法：设F(x)是f(x)的一个原函数，g(x)是可导函数，则∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C。

其中，F(g(x))是∫f(g(x))dx 的原函数。

二、基本初等函数的不定积分：1. e^x函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。