山东省实验中学2020届高三第一次诊断性考试试题 数学 含答案

山东省实验中学2020届高三第一次诊断性考试试题数学第I 卷(选择题，共52分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 中元素个数是 A ．4B ．5C ．6D ．72．己知函数()1f x x =，则()2f '-等于 A ．4B ．14C ．4-D ．14-3．己知命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝为 A ．,21000nn N ∀∈< B ．,21000nn N ∀∉< C ．,21000n n N ∀∈≤D ．,21000nn N ∀∉≤4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<， 则ABC ∆的形状是 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 D.不确定5．已知()[]3=sin 1,2,2f x x x x ππ-+∈-，若()f x 的最大值为M ，()f x 的最小值为N ，则M+N 等于 A ．0B ．2C ．4πD ．38π6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知40,20,C 60b c ===， 则此三角形的解的情况是 A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定7．若一扇形的圆心角为72，半径为20cm ，则扇形的面积为 A ．240cm πB ．280cm πC ．240cmD ．280cm8.20世纪初，辽东半岛大连普兰店东部发现古莲子，其寿命在千年以上，至今大部分还能发芽开花，己知碳14半衰期为5730年(注：半衰期为放射性元素残留量降为原来的一半所需要的时间)，若1单位的碳14经过x 年后剩余量为y 单位，则y 关于x 的函数表达式是 A ．57302x y -=B ．57302x y =C ．573012x y -=-D ．()573012xy -=-9．计算22sin 13cos 582sin13cos58++等于A ．12B ．22C ．32D ．210．函数()22ln 3f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为 A ．4B ．3C 6D 3二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

) 11．给出下列关系，其中正确的选项是A ．{}{}∅∈∅ B ．{}{}∅⋃∅ C ．{}∅∈∅ D ．{}∅⊆∅12．以下说法正确的是 A. 1a a-=-B.已知()233my m m x=--m 的值为4C ()22221log 34log 34log 23-+=- D ．钝角是第二象限的角13．己知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 A ．()f x 的一个周期是2π- B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x 的一个零点为6πD ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减第II 卷(非选择题，共98分)三、填空题(本大题共4小题。

每小题4分，共16分，15题每空2分) 14.设()()()1ln ,1,1,x f x ae b x f e f a b e''=+=-=+=且则_________；15．已知曲线122:cos ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，则为了得到曲线1C ，首先要把2C 上各点的横坐标变为到原来的____倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移____个单位长度；(本题所填数字要求为正数)16．若01x <<，则181x x+-的最小值是___________； 17．已知1x 是函数()22xf x x =+-的零点，2x 是函数()()2log 13g x x x =-+-的零点，则12x x +的值为__________．四、解答题(本大题共6小题，共82分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 18．(本小题10分)已知函数()log a g x x = (a >0且a ≠1)的图像过点(9，2) (I)求函数g(x )的解析式；(II)解不等式()()315g x g x ->-+．19．(本小题12分)已知命题:11p x ∀-≤≤“，不等式2x x m --<0成立”是真命题． (I)求实数m 的取值范围；(II)若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20．(本小题14分)如图，在△ABC 中，边AB=2，1cos 3B =，且点D 在线段BC 上， (I)若34ADC π∠=，求线段AD 的长； (II)若BD=2DC ，sin 42sin BADCAD∠=∠，求△ABD 的面积.21．(本小题14分)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 以及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，CB=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 内(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ． (I)设BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；(II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．22．(本小题16分)设函数()cos F x x x =+，直线y mx n =+是曲线()y F x =的切线， (I)当02x π≤≤时，求m n -的极大值；(II)曲线()y F x =是否存在“上夹线”，若存在，请求出()F x 的“上夹线”方程；若不存在，请说明理由．【注】设直线():l y g x =，曲线():S y F x =，若直线l 和曲线S 同时满足下列条件： ①直线l 和曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意的x R ∈，都有直线()()g x F x ≥．则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．23．(本小题16分)已知函数：()()21ln ,12x f x x a x a g x e x =--=-- (I)当[]1,x e ∈时，求()f x 的最小值；(II)对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,x e ∈使得()()12g x f x =，求实数a 的取值范围．答案一、单项选择题1.B2.D3.C4.C5.B6.C7.B8.A9.A 10.A 二、多项选择题 11.BCD 12.BD 13.ABC 三、填空题 14.1 15.2，6π16. 942+四、解答题18.（I ）因为log 92a =，所以3a =，即()3log g x x =………………………………5分 （II ）因为()g x 单调递增，所以3150,x x ->-+>即不等式的解集是3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭………………………………………………………………10分19.（I ）由题意211m x x x >--≤≤在恒成立，因为221124x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以2122x x m -≤-≤>，即，所以实数m 的取值范围是()2,+∞…8分（II ）由q 得44a m a -<<+，因为q p ⇒，所以426a a -≥≥，即，所以实数a 的取值范围是[)6,+∞………………………………………………………………………12分20.（I ）由122cos ,sin ,33sin sin4AD ABB B ABDπ===∠得所以83AD =……………………………………………………………………………6分 （II ）由22BADCADS BD DC S ∆∆==，得，所以1sin 221sin 2AB AD BAD AC AD CAD ⋅∠=⋅∠， 因为sin 422sin BAD AB CAD∠==∠，，所以42AC =9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， 即234840BC BC --=，可得1463BC BC ==-或（舍去），……………………12分 所以1122824sin 242233ABD BD S AB BD B ∆==⋅=⨯⨯⨯=，.………………14分21.（I ）由条件PQ 垂直平分AB ，若BAO θ∠=，则10cos cos AQ OA θθ==， 故101010tan cos OB OP θθ==-，又， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10,0cos 4y θπθθ-⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭………………………………6分（II ）()102sin 2010sin 1010cos cos y θθθθ--=+=+因为sin 2cos u θθ-=可看作点()0,2和点()cos ,sin θθ的连线的斜率，…………………8分由单位圆知，当0234u πθ≤≤-≤≤-时，1010330y +≤≤，所以当6πθ=，即点P 位于线段AB 的中垂线上且距离103AB 处时， 三条排污管管道总长最短为)10103km +.…………………………………………14分 22.（I ）()()cos ,1sin F x x x F x x '=+=-，所以函数()()()00,F x x F x 在处的切线是()()()0000cos 1sin y x x x x x -+=--， 即()00001sin cos sin y x x x x x =-++，所以00001sin cos sin m n x x x x -=---………………………………………………4分 设()()1sin cos sin ,02u x x x x x x π=---≤≤所以()()()cos sin sin cos cos 1u x x x x x x x x '=-+-+=-+……………………6分 由()30cos 0,22u x x x ππ'>⇔<<<即， 所以()02u x π⎛⎫⎪⎝⎭在，单调递减，在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，在322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，…8分 由33=222u ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，得m n -的极大值是322π+.……………………………………9分 （II ）假设曲线()y F x =存在“上夹线” ():l g x mx n =+，由（I ）知，00001sin cos sin m x n x x x =-⎧⎨=+⎩，因为直线l 和曲线S 相切且至少有两个切点，所以存在0t x ≠，使得1sin cos sin m tn t t t =-⎧⎨=+⎩，所以0021sin 01t x m x n π=+=⎧⎧⎨⎨==±⎩⎩，即， 又因为对任意的x R ∈，都有直线()()g x F x ≥，则()()1g x x y F x =+=是的上夹线.…………………………………………………16分23.解：（I ）()2x af x x-'=……………………………………………………………1分01.1a ≤时，[]()()1,0x e f x f x '∈≥递增，()()min 112f x f a ==- 022.a e ≥时，[]()()1,0,x e f x f x '∈≤递减，()()2min22e f x f e a ==-023.1a e <<时，x a ⎡∈⎣时()()0,f x f x '<， ()(),0,x a e f x f x ⎡⎤'∈>⎣⎦时递增，所以()min ln 22a af x fa a ==--………………………………………………4分 综上，当()min 112a f x a ≤=-时，； 当()2min 1ln 22a aa e f x a <<=--时，当()22min 22e a ef x a ≥=-时，…………………………………………………5分 （II ）因为()1,xg x e '=-[]()()0,10,x g x g x '∈≥时递增，()g x 的值域为()()[]0,10,2g g e =-⎡⎤⎣⎦………7分（i ）当1a ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递增，又()()211,222e f a f e a =-=-，所以2102222a e a e ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩即112a ≤≤………………………………………………………………………………10分 （ii ）当21a e <<时，因为x a ⎡∈⎣时，()f x 递减，,x a e ⎡⎤∈⎣⎦时，()f x 递增，且()10,0f fa <<，所以只需()2f e e ≥-，即2222e a e -≥-，所以21142e e a <≤-+…………………………………………13分 （iii ）当2a e ≥时，因为()[]1f x e 在，上单调递减，且()()1102f x f a ≤=-<， 所以不合题意.……………………………………………………………………………15分综合以上，实数a 的取值范围是2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.………………………………… 16分。