第十章 概率与统计
江西三校生单招对口升学数学总复习资料第十章概论与统计
巩固练习
提升进阶
§第四节 统 计
知识清单
知识点一 总体、样本、抽样方法
1.总体与样本
在统计中，所研究对象的全体称为总体，组成总体的每个对象称为个体.被抽取出来的 个体集合称为总体的样本，样本所含个体的数目称为样本容量.
2.抽样方法
（1）简单随机抽样：抽签法是最常用的简单随机抽样方法. （2）系统抽样又称等距抽样（或机械抽样），这种抽样方法是对研究的总体中的个体 按一定规则编号，然后按相等距离或间隔抽取个体组成样本. （3）分层抽样又称类型抽样，这种抽样方法是在抽样之前将总体分成互不交叉的若干 层（类），然后再从各层中独立抽取一定数量的个体组成样本.
命题探究
本章内容在历年真题中题目的数量基本保持在3~4道， 其分值比例约占13%.主要涉及的知识有随机事件的概率、样 本的统计、排列数、组合数和二项式定理的应用等.
知识结构
第一节 排列与组合 第二节 二项式定理 第三节 概率 第四节 统计
目录
§第一节 排列与组合
知识清单
知识点一 两个计数原理
（3）在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件. （4）在一定条件下，肯定不会发生的事件称为不可能事件.
知识清单
知识点一 随机事件和概率
2.事件的关系与运算
（1）和事件（并事件）：“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，称为事件A与事件B的 和（或并），记作A+B（或A∪B）.
（2）积事件（交事件）：“事件A与事件B同时发生”这一事件，称为事件A与事件B的积（或 交），记作AB（或A∩B）.
则P（AB）=P（A）P（B）.
知识清单 知识点二 随机变量
知识清单
知识点二 随机变量
高一第十章数学知识点归纳
高一第十章数学知识点归纳高一的数学学习中，第十章是一个重要的章节，主要学习了数学中的一些基础知识和概念，为以后的学习打下坚实的基础。
下面将对这一章节的知识点进行归纳总结。
一、函数与方程1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
函数可以用图表、公式和文字来表示。
2. 一次函数：一次函数是自变量的最高次数为1的函数，其表达式为f(x) = ax + b。
其中a为斜率，b为截距。
3. 二次函数：二次函数是自变量的最高次数为2的函数，其表达式为f(x) = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数。
4. 方程：方程是等式的一种特殊形式，其中包含一个或多个未知数，并要求找出满足等式的未知数的取值。
二、平面几何1. 直线与角：直线可以通过两个点确定，它是一个无限延伸的线段。
角是由两条射线共享一个起点而形成的图形。
2. 三角形与四边形：三角形是由三条线段组成的图形，而四边形是由四条线段组成的图形。
3. 相似与全等：相似是指两个图形的形状相同但大小不同，而全等是指两个图形的形状和大小完全相同。
4. 圆：圆是由一组与圆心的距离相等的点组成的图形。
三、概率与统计1. 概率：概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用一个介于0和1之间的数来表示。
2. 随机事件：随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，其结果是随机的。
3. 统计：统计是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程，以得出结论并作出预测。
四、数列1. 等差数列：等差数列是一种数列，其中每个项与前一项的差都相等。
其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：等比数列是一种数列，其中每个项与前一项的比值都相等。
其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 数列求和：数列求和是指将数列中所有项相加的过程，可以通过求和公式或递推关系式来计算。
中职数学第十章统计概率知识点
第十章概率与统计初步一、概率1.计数原理（1）分类计数原理：完成一件事，有n 类方式，第1类方式有K 1种方法，第2类方式有K 2种方法，……,第n 类方式有Kn 种方法，那么完成这件事的方法共有12n N K K K =++⋅⋅⋅+ 种（2）分步计数原理：完成一件事，需要分n 个步骤，完成第1个步骤有K 1种方法，完成第2个步骤有K 2种方法，……, 完成第n 个步骤有Kn 种方法，那么完成这件事的方法共有12n N K K K =⨯⨯⋅⋅⋅⋅⨯ 种2、概率的基本概念：（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，叫做必然事件；Ω（2）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；φ（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件；（4）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件；（5）基本事件：在试验和观察中不能再分的最简单的随机事件，叫做基本事件。
（6）复合事件：可以用基本事件来描绘的随机事件叫做复合事件。
3.频率与概率：（1） 频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，某一事件A 发生了m 次，称m 为事件A 发生的频数；事件A 的频数在试验的总次数中所占的比例m n，叫做事件A 发生的频率。
（2）概率:当试验次数n 充分大时，如果事件A 发生的频率m n总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件A 发生的概率，记作P(A)。
对于必然事件Ω：P(Ω)=1 对于不可能事件φ，P(φ)=0 0≤P(A )≤14.古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且每个基本事件发生的可能性相同，那第这个随机试验属于古典概型。
设试验共包含n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件A 发生的概率为：P(A)= m n（1）互斥事件（互不相容事件）：在一个试验中不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（互不相容事件）如果事件A 与B 互斥，那么事件 A B 发生的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即概率加法公式：()()()P A B P A P B =+（2）对立事件：在一次随机试验中必发生一个的两个事件，称为对立事件,记作A⑶ 相互独立事件：一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，则称两个事件为相互独立事件。
高等数学第十章-概率与统计
• 概率论与数理统计（简称概率统计）是 研究随机现象的统计规律性的一门数学 学科。
第一节 概率的概念
• 一 实际现象 • 试验： • 我们将在极广泛的意义下理解“试验”一词。 做任何一件或大或小的事情均可看作是做 “试验”。如：各种科学实验、投掷硬币或 骰子、吃饭、睡觉等等。
• 实际现象（包括自然现象、社会现象、 思维现象等）分为三类：
• 概率的简单性质： • （1）0 P( A) 1
• （2）P( ) 0, P() 1
• 严格地讲，所谓统计规律性就是指频率 的稳定性。至此便可真正从整体上理解 本章开头对概率统计学科所下的定义。 • 由于在实际问题中遇到的事件大多数都 是随机事件，因此，为方便计，我们往 往将随机事件简称为事件。
• 四 古典概型 • 概率的统计定义提供了计算概率的一种 近似方法：用频率近似代替概率。但有 些情形往往不必具体做试验即可预先算 出概率，而且结果精确。下面将介绍的 古典概型就是如此。 • 基本事件：在一定条件下做试验，根据 问题的具体背景不可能进一步细分的事 件。 • 复合事件：既不是基本事件又不是不可 能事件的事件。
• 至此，仍没有解决“一般的P(A)究竟有多 大？”这一问题。现在用“试验”来详细考 察之。对于一般的随机现象，仅做一次试验 是看不出什么规律的。但当多次反复试验后 就会发现一种统计规律性。例如：掷一颗均 匀的骰子，仅做一次试验是看不出有何规律 的。但当投掷多次后，譬如讲6000次后，就 会发现1，2，3，4，5，6点大致各出现1000 次左右，这些点出现的次数占试验总次数的 比例（也叫频率）大约各为1000/6000=1/6， 这就是一种统计规律性，而1/6就是所谓概率， 1000就是频数。
• 设 A1 , A2 ,, An 为等概基本事件组，事 • 件B由其中m个基本事件组成，人们从大 量实践中总结出一个公式： • P(B)=B包含的基本事件数/基本事件总数。 • 用上式计算事件概率的概率模型称为古 典概型。
中职数学教学：第10章-概率与统计初步PPT课件
概率的起源
• 第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《 Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由古尔德从拉丁文 翻译出来的。
• 卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。 例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》、
《为什么亚里斯多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长 赌博呢？》等。
解 由于100件商品中含有3件次品，随机地抽取1件，可能是次品， 也可能是正品；随机地抽取4件，全是次品是不可能的；随机地抽取10 件，其中含有正品是必然的．
因此，事件B是不可能事件，事件C是必然事件．
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动脑思考 探索新知
作为试验和观察的基本结果，在试验和观察中不能再分的最简单的随机 事件，叫做基本事件．可以用基本事件来描绘的随机事件叫做复合事件．
解 （1）记A={ 生产的产品是次品 }，则事件A发生的频率为
m 109 0.091． n 1200 即星期五该厂生产的产品是次品的频率约为0.091．
（2）本周内生产-的产品是次品的概率约为0.100．
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运用知识 强化练习
某市工商局要了解经营人员对工商执法人员的满意程度． 进行了5次“问卷调查”，结果如下表所示：
在描述一个事件的时候，采用加花括号的方式．如抛掷一枚硬币，出现正 面向上的事件，记作 A={抛掷一枚硬币，出现正面向上}．
在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，用 表示．在一定条件下
不可能发生的事件叫做不可能事件，用表示．
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创设情境 兴趣导入
任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数．事件A＝{点数是1 }， B＝{点数是2 }，C＝{点数不超过2 } 之间存在着什么联系呢？
第十章 统计与概率10-6排列与组合(理
重点难点 重点：1.两个计数原理的理解和应用． 2．排列与组合的定义、计算公式，组合数 的两个性质． 难点：1.如何区分实际问题中的“类”与 “步”． 2．组合数的性质和有限制条件的排列组合 问题．
知识归纳 1．分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第1类办法 中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1 ＋m2＋„＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第 一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种 不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有N＝ m ×m ׄ×m 种不同的方法．
4．组合 从 n 个不同元素中，取出 m(m≤n)个元素并成一组，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合，所有组合的 个数为组合数． (1)组合数公式 „· Anm nn－1n－2· n－m＋1 m Cn ＝A m＝ m！ m n！ ＝ . m！n－m！ 规定：Cn0＝1.
解析：若甲在第一位有A44＝24种方法；若 甲在第二位有C31A33＝18种方法，故共有18 ＋24＝42种方法． 答案：B (5)至多、至少间接法．含“至多”、“至 少”的排列组合问题，是需要分类问题．可 用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况 明确且易于计算的情况．
[例5] (09·湖南)从10名大学毕业生中选3人 担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选， 而丙没有入选的不同选法的种数为( ) A．85 B．56 C．49 D．28 解析：甲、乙、丙都没入选有C73＝35种， 丙没有入选的有C93＝84种， 故甲、乙至少有1人入选而丙没有入选的不 同选法种数有84－35＝49(种)． 答案：C
第十章 统计与概率10-7二项式定理(理)
重点难点 重点：二项式展开式的通项和二项式系数的 性质． 难点：二项式系数的性质、二项式系数与项 的系数的区别． 知识归纳 1．二项式定理 (a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr ＋…Cnn－1abn－1＋Cnnbn(n∈N＋)，叫做二项 式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展 开式，其通项公式为Tr＋1＝Cnran－rbr. (a－b)n的展开式第r＋1项T ＝(－1)r·C ran
2011 2011 a2011 C2011 －2 又 2011＝ ＝－1，∴原式＝－1. 2 22011
答案：－1
点评：观察待求式可以发现将已知等式右边的x换为
1 1 a1 a2 a2011 可得，因此可令x＝ 得，a0＋ ＋ 2 ＋…＋ 2011 ＝0，只 2 2 2 2 2 要求出a0即可，不难发现已知等式中，当x＝0时，有a0 a1 a2 a2011 ＝1，∴ 2 ＋22…＋22011＝－1.
－ －2r
＝(－1)r 1C10r 1·11 r·12 2 x Tr＋2＝C10
＋
－
－
，
r＋1
(2x)
＋
9 －r
1 ＋ － · x r 1
－ －2r
＝(－1)r 1C10r 1·9 r·8 2 x
，
C r·10－r≥C r－1·11－r 2 10 2 10 ∴ r 10－r ＋ － C10 · 2 ≥C10r 1·9 r 2 C r≥2C r－1 10 10 ∴ ＋ 2C10r≥C10r 1
(2010· 全国卷Ⅰ，5)(1－x)4(1－ x )3的展开式中x2的 系数是( A．－6 C．0 ) B．－3 D．3
第十章 统计与概率内容分析与教学研究----统计与概率教学策略
• 6．能设计统计活动，检验某些预测。 • 7．能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交
流。
• 8．初步体会数据可能产生误导。
（二）第二学段的总目标：
• 经历简单数据统计过程，进一步收 集、整理和描述数据的方法，并根 据数据分析的结果作出判断与预测； 在具体情境中体会事件发生可能性 的含义，并能计算一些简单事件发 生的可能性；较为清晰的表达自己 的看法。
• ④通过丰富的实例，如向学生提供“一名身高1.4 米的学生在一个水深1.2米的游泳池中会不会有危 险？”这样一个现实背景的问题情境来帮助学生 准确把握平均数的意义，继而引导学生求简单平 均数（结果为整数）。
• ⑤组织学生进行调查，如设计让学生从报刊、杂 志、电视等媒体中获取有关数据信息，从而使学 生认识到统计的必要性和广泛性。
解释统计结果试分析数据的一种能力， 也是对数据统计结果进行判断的基础。学生 只有会从不同的角度解释统计结果，才能根 据结果做出判断和预测。
这一学段课程目标要求学生能设计统计 活动，检验某些预测、能理解统计结果，根 据结果做出简单的判断和预测，并能进行交 流。
5、渗透统计与概率知识之间的联系
这部分内容的教学，应为发展和运用 比、分数、百分数、度量、图像等概念提 供活动背景，统计与概率之间的关联在这 一学段有初步表现。例如：让学生调查统 计“白色污染”问题、“统计交通路口车 流量”等等。加深对不同统计量意义的理 解。在活动中运用已学知识，感受丢弃塑 料袋行为对大自然所造成的污染，唤起环 保意识。
• 计 算 器 和 计 算 机 在 提 供、 记录和处理数据方面， 为学生提供了一个良好 的 工 具 。计 算 机 还 可 以 产生足够的模拟结果， 是学生更好地体会事件 发 生 概 率 的 意 义 ，较 为 准确地获得事件发生的 概 率。
中职数学基础模块知识点、典型题目系列---10.统计与概率(适合打印,经典)
第十章 概率与统计初步第1节 计数原理一、分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类方式。
第一类方式有1k 种方法，第2类方式有2k ，...第n 类方式有n k 种方法，那么完成这件事的方法共有n k k k N +⋅⋅⋅++=21（种）二、分步计数原理（乘法原理）完成一件事，有n 个步骤，完成第1步有1k 种方法，完成第2步方式有2k ，...完成第n 步方式有n k 种方法，那么完成这件事的方法共有n k k k N •⋅⋅⋅••=21（种）第2节 随机事件三、事件随机事件:可能发生，可能不发生（表示：A,B,C ） 必然事件：一定发生（表示：Ω） 不可能事件：一定不发生（表示：Φ）举例说明生活中哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件。
事件的描述：加大括号 A=｛抛掷一枚硬币，出现正面向上｝任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数。
事件A=｛点数是1｝，B={点数是2}.C={点数不超过2}之间存在着什么联系呢？基本事件：不能再分的最简单事件 复合事件：基本事件组成的事件 二、概率回忆频率的概念，频数：出现的次数总数频数频率=举例：抛掷一枚硬币25次，出现13次正面向上，则正面向上的频率为2513；大量重复地抛一枚硬币，发现事件A 发生的频率稳定在21，事件A 发生的概率为21概率：在大量重复试验中，事件发生的频率的稳定值记为()A P 。
频率与概率的区别：1、频率是试验中的近似值，概率是理论上的准确值；2、概率是频率在大量试验中的稳定值。
三、事件的概率的性质1.对于任意事件A ，有()10≤≤A P2.必然事件的概率为1，()1=ΩP ;3.不可能事件的概率为0，();0=ΦP第3节 古典概型一、古典概型 满足（1）有限性：基本事件有有限个；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相等。
的试验称为古典概型。
举例：1.在圆内随机找一点，如果找出的每个点都是等可能的，这是古典概型吗？ 分析：满足等可能性不满足有限性2.在射击训练中，结果有“命中10环”，“命中9环”，“命中8环”，“命中7环”，“命中6环”，“命中5环”，“不中环”，你认为这是古典概型吗？ 分析：满足有限性不满足等可能性。
第十章 统计与概率10-2用样本估计总体
注意以下结论： (1)如果x1、x2、„、xn的平均数为 － ，则ax1＋b，ax2 x ＋b，„，axn＋b的平均数为a －＋b. x
(2)数据x1、x2、„、xn与数据x1＋m、x2＋ m、„、xn＋m的方差相等． (3)若x1、x2、„、xn的方差为s2，则kx1， kx2，„，kxn的方差为k2s2. 计算方差时，要依据所给数据的特点恰当选 取公式以简化计算．
3．茎叶图 统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎 叶图． 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长 出来的数． 在样本数据较少、较为集中，且位数不多时， 用茎叶图表示数据的效果较好，它当 样本数据较多时，茎叶图就不太方便．
4．平均数、中位数和众数
把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样 本标准差．
(3)数据的离散程度可以通过极差、方差或
误区警示 1．对频率分布直方图和茎叶图识图不准是常见的错 误．在频率分布直方图中，小矩形的高＝ 频率 组距 ＝
频数 频率 .频率＝ ×组距＝小矩形的面积． 组距×样本容量 组距
2．中位数可能不在样本数据中． 3．计算公式用错或计算错误．计算平均数、 方差、标准差等时计算量大，要注意计算结 果的准确性．
③将数据分组：通常对组内数值所在区间取 左闭右开区间，最后一组取闭区间，也可以 将样本数据多取一位小数分组；
④列频率分布表：登记频数，计算频率，列 出频率分布表． 将样本数据分成若干小组，每个小组内的样 本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫 做这一小组的频率．频率反映数据在每组 所占比例 的大小．
方差：s12＝ 100)2]≈3.43. 乙车间：
第十章--概率与统计初步过关试题
第十章《概率与统计初步》过关试题一、选择题:(每小题5分,共计50分)1. A,B,C,D,E五种不同的商品要在货架上排成一排,其中A,B两种商品必须排在一起,而C,D两种商品不能排在一起,则不同的排法共有( )种种种种2. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A.{至少有一个白球},{都是白球}B.{至少有一个白球},{至少有一个红球}C.{恰有1个白球},{恰有2个白球}D.{至少有1个白球},{都是红球}3. 从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )A.59B.49C.1121D.10214. 同一天内,甲地下雨的概率是,乙地下雨的概率是,假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响,那么甲、乙两地都不下雨的概率是( )某射手射击1次,击中目标的概率是.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是;②他恰好击中目标3次的概率是×;③他至少击中目标1次的概率是1—.其中正确结论的是( )A.①③B.①②C.③D.①②③6. 从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析,下列说法正确的是（）名学生是总体B.每个被抽查的学生是样本C.抽取的60名学生的体重是一个样本D.抽取的60名学生的体重是样本容量7. 为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响,某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量,结果如下(单位:个):33、25、28、26、25、31.如果该班有45名学生,那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋( )个个个个8. 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株,测得它们的株高分别如下:（单位:cm）根据以上数据估计( )A.甲种玉米比乙种不仅长得高而且长得整齐B.乙种玉米比甲种不仅长得高而且长得整齐C.甲种玉米比乙种长得高但长势没有乙整齐D.乙种玉米比甲种长得高但长势没有甲整齐9. 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A.分层抽样法,系统抽样法B.分层抽样法,简单随机抽样法C.系统抽样法,分层抽样法D.简单随机抽样法,分层抽样法10. 实验测得四组()x y，的值为(12)(23)(34)(45)，，，，，，，,则y与x之间的回归直线方程为( )A.1y x=+ B.2y x=+C.21y x=+ D.1y x=-二、填空题:(每小题5分,共计25分)11. 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有种.12. 有1元、2元、5元、50元、100元的人民币各一张,取其中的一张或几张,能组成不同的币值的种数是 .13. 同时掷四枚均匀硬币,恰有两枚“正面向上”的概率是 .14. 某学校共有教师490人,其中不到40岁的有350人,40岁及以上的有140人.为了了解普通话在该校中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试,其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为______. 15. 有下列关系:（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系（3）苹果的产量与气候之间的关系（4）森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系（5）学生与他（她）的学号之间的关系其中,具有相关关系的是.三、解答题:(16-19每小题12分,20题13分,21题14分,共计75分)16. 用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)可组成多少个无重复数字的自然数(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数(3)组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少17. 解答下列各题：(1)一个口袋内装有相同的7个白球和3个黑球,从中任意摸出两个,得到1个白球和1个黑球的概率是多少(2)有发芽率分别为与的两批种子,在两批种子中各任取1粒,求恰有1粒种子发芽的概率18. 5人并排坐在一起照像,计算:(1)甲恰好坐在正中间的概率;(2)甲、乙两人恰好坐在一起的概率;(3)甲、乙两人恰好坐在两端的概率;(4)甲坐在中间、乙坐在一端的概率.19. 盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率:(1)取到的2只都是次品;(2)取到的2只中正品、次品各一只;(3)取到的2只中至少有一只正品.20. 某港口为了加强货运管理,缩短货物候船日期,从去年的原始资料中随机地抽出10份,得出关于货物候船日期如下:（单位:日）15 20 11 7 910 16 13 1118试估计该港口去年货物候船日期的均值和标准差.21. 某医院用光电比色计检验尿汞时,得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表:（1）如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程;（2）估计尿汞含量为9毫克/升时的消光系数.。
第十章 统计与概率10-5古典概型与几何概型
x 2 y 解析：(1)由题意可得，18＝36＝54，所以x＝1，y＝3. (2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为 c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基 本事件有 (b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2， c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10种． 设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事 3 件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3种．因此P(X)＝ . 10 3 故选中的2人都来自高校C的概率为10.
根据几何概型的计算公式可知
2 2 － －－1＋1－ 3 3
P＝
1－－1
1 ＝3，故选A.
答案：A
(文)(2010·青岛市质检)已知区域Ω＝{(x， y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－ y≥0，x≤5，y≥0}，若向区域Ω内随机投1个 点，则这个点落入区域A内的概率P(A)＝ ________.
[例4] (09·天津)为了了解某市工厂开展群 众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法 从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调 查．已知A、B、C区中分别有18、27、18 个工厂． (1)求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个 数； (2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进 行调查结果的对比，用列举法计算这2个工 厂中至少有1个来自A区的概率．
2．古典概型 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称 为古典概型： (1)有限性：在一次试验中，可能出现的不 同的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件的发生都是等 可能的． 古典概型中事件的概率计算
中职教育数学《概率与统计初步》专题复习
A、①②③④ B、①④⑤ C、①②③④⑤ D、②③
4、下列说法正确的是（ D ）
A、事件A、B中至少一个发生的概率一定比事
件A、B恰有一个发生的概率大；
B、事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B
中恰有一个发生的概率小；
C、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一
定是互斥事件；
D、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一
排列数。用
表示。
（3）排列数公式：
!
−1 −2 ⋯ −+1 =
=__________________________________。
（ − ）!
（4） 全排列： 个不同元素全部取出的一
个________，叫做
个不同元素的一个全排
排列
列。于是排列数公式写成阶乘的形式为：
63 ∙ 42 ＝120种选法。
（2）方法1：至少1名女运动员包括以下几种情
况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男。由分
类计数原理可得总法数为
41 ∙ 64 +42 ∙ 63 + 43 ∙ 62 + 44 ∙ 61 ＝246种
方法2： “至少1名女运动员”的反面是“全是
男运动员”可用间接求法求解，从10个人中任
定是互斥事件。
5、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知
80
至少命中一次的概率为 ，则此射手的命中率为
81
（ B ）
1
2
A、
B、
4
2
C、
5
3
1
D、
3
设此射手每次射击命中的概率为p，分析可得，至少命中
一次的对立事件为射击四次全都没有命中，
八年级数学第十章知识点
八年级数学第十章知识点第十章是八年级数学的最后一章，内容比较丰富，主要包含了三大模块：三角形、等比数列和统计与概率。
今天我们就来一一学习这些知识点，希望大家认真听讲。
一、三角形1. 三角形的定义三角形是由三条线段所组成的一个图形，其中任意两条线段的和大于第三条线段。
2. 三角形的分类按边长分类：等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
按角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3. 勾股定理在直角三角形中，三角形直角边的平方等于其他两边平方和。
即a²+b²=c²（其中c为斜边，a、b为直角边）。
4. 三角形面积公式三角形的面积公式为S=（底边×高）÷2。
二、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是由首项和公比两个参数所决定的一组元素，公比是相邻两项的比值。
2. 等比数列的性质①相邻两项的比值相等；②任意两项的比值相等；③首项与尾项的比值等于公比的n-1次方；④等比数列前n项和公式为Sn=a1(1-qⁿ)/(1-q)；⑤等比数列求和公式为∑(1～n)an=a1(1-qⁿ)/(1-q)。
三、统计与概率1. 统计的基本概念统计是对现实中某种事物进行数据收集、整理分析、描述和解释的科学。
2. 频数、频率和统计量频数是指某个数值在统计样本中出现的次数；频率是指某个数值在样本中出现的次数与样本总数的比值；统计量是通过对样本中的数据进行加工处理得到的一个特定数值。
3. 概率的基本概念概率是指某些随机事件发生的可能性大小，在0～1之间。
其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
4. 事件概率的计算事件A的概率P(A)=事件A的总数/样本空间中元素的总数。
以上就是八年级数学第十章的全部知识点了，希望大家学有所得，积极备考，争取好成绩！。
[精品]人教版中职数学教案-第十章--概率与统计初步[8份教案]
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10.1计数原理【教学目标】1．理解分类计数原理与分步计数原理，会利用两个原理解决实际问题.2．培养学生利用数学思想方法分析、解决实际问题的能力．3．通过教学，让学生感受生活中的数学思想，提高数学的应用意识.【教学重点】两个计数原理的理解与应用．【教学难点】分类计数原理与分步计数原理的区别．【教学方法】本节课主要采用问题教学法．教师创设问题情景，引导学生观察发现分类计数原理与分步计数原理．并通过例题讲解，使学生进一步深化对定理的理解．最后通过对比实例，明确两个定理的联系和区别.10.2概率初步【教学目标】1．正确理解古典概型的两个特点，掌握古典概率计算公式．2．通过教学，发展学生类比、归纳、猜想等推理能力．3．通过古典概率解决游戏问题，培养学生的数学应用能力以及科学的价值观与世界观．【教学重点】古典概型特点，古典概率的计算公式以及简单应用．【教学难点】试验的基本事件个数n和随机事件包含基本事件的个数m．【教学方法】通过三个简单的例题让学生初步理解古典概型的特征，并由此引出样本空间和基本事件等诸多概念，教师紧扣这三个例题讲解各个概念，并由学生总结古典概率的计算公式．然后通过后面的例题巩固古典概率的求法．【教学过程】10.3.1总体、样本和抽样方法（一）【教学目标】1．理解总体、样本和随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法．2．通过实例，体验简单随机抽样的科学性及可靠性，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识在实际生活中的重要应用．【教学重点】正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数表法的步骤．【教学难点】能灵活应用抽签法或随机数表法从总体中抽取样本．【教学方法】这节课主要采取启发引导和讲练结合的教学方法．引导学生根据现实生活的经历和体验及收集到的信息来理解理论知识，同时通过例题、练习和课后作业，启发学生从书本知识回到社会实践，学以致用．10.3.1 总体、样本和抽样方法（二）【教学目标】1．理解系统抽样的概念，掌握系统抽样的一般步骤．2．通过实例的分析、解决，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．通过数学活动，感受数学在实际生活中的应用，体会现实世界和数学知识的联系．【教学重点】掌握系统抽样的步骤．【教学难点】能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题．【教学方法】本节课采用启发引导和讲练结合的教学方法.教学中教师带领学生从系统抽样的定义分析得出系统抽样的方法和步骤，然后结合例题及其变式练习巩固系统抽样的步骤．10.3.1 总体、样本和抽样方法（三）【教学目标】1．正确理解分层抽样的概念，掌握分层抽样的一般步骤．2．区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，能灵活选择适当的方法进行抽样．3．通过数学活动，感受数学在实际生活中的应用，体会现实世界和数学知识的联系．【教学重点】分层抽样的定义和步骤．【教学难点】利用分层抽样的方法解决现实问题．【教学方法】这节课主要采取启发引导和讲练结合的教学方法．教学中教师带领学生从分层抽样的定义分析得出分层抽样的方法和步骤，然后结合例题及课后练习巩固分层抽样的步骤．【教学过程】10.3.2频率分布直方图【教学目标】1．掌握列频率分布表、画频率分布直方图的步骤，会用样本频率分布直方图估计总体分布．2．培养学生利用数学方法分析数据、解决实际问题的能力．3．通过画频率分布直方图的过程，培养学生耐心细致，严谨认真的科学态度.【教学重点】绘制频率直方图.【教学难点】列出频率分布表．【教学方法】本节主要采用例题教学法．通过一个具体的题目，讲解极差、频率等概念，教师带领学生一步步列出例题的频率分布表，画出频率分布直方图．随着教师的讲解，学生分步练习，真正掌握画频率分布直方图的各个步骤.【教学过程】10.3.3 用样本估计总体【教学目标】1．理解样本平均数和总体平均数，会用样本平均数估计总体平均数．2．理解样本标准差的意义和作用，学会计算样本标准差，并能用样本标准差估计总体标准差．3．通过实例，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法，通过感性认识帮助学生理解统计在社会生活中的重要作用．【教学重点】理解样本平均数，样本标准差的意义和作用，学会计算样本平均数和样本标准差．【教学难点】理解样本平均数及样本标准差的意义和作用．【教学方法】采用支架式教学方法．教师提供研究的材料和问题，即向上攀登的支架，从学生的认知规律出发，通过大量实例，引导学生自主探索解决问题的方法，通过合作讨论互相学习，取长补短，并归纳总结成一般规律，使得原有的认知结构得到进一步补充和完善．10.3.4 一元线性回归【教学目标】1. 了解相关关系、回归分析、散点图、回归直线方程的概念．2. 掌握散点图的画法，掌握回归直线方程的求解方法，会求回归直线方程．3. 让学生参与回归直线的探求，结合身边的实例，发现散点图的线性特征，主动构建线性回归直线方程的模型．【教学重点】散点图的画法，回归直线方程的求解方法．【教学难点】回归直线方程的求解方法．【教学方法】这节课主要采取启发引导和讲练结合的教学方法．通过创设情境、设置问题等手段对学生进行了启发、诱导，结合讨论法、讲授法组织学生自主探究．然后结合例题及课后练习巩固求回归直线方程的步骤．【教学过程】。
第十章概率论与数理统计
第十章概率论与数理统计10．1写出下列随机试验的样本空间及下列事件的样本点：（1）掷一颗骰子，出现奇数点；（2）将一枚均匀硬币抛两次，A：第一次出现正面；B：两次出现同一面；C：至少有一次出现正面；（3）一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取三个球，球的最小号码为1；（4）1，2，3，4四个数中可重复地取两个数，一个数是另一个数的2倍。
10．2在信息工作系学生中选一名学生，令事件A表示被的学生是男生，事件B 表示该生为三年级生，事件C表示该生是运动员。
（1）叙述事件CAB意义；ABC=成立？（2）在什么条件下CC⊂是正确的？（3）在什么时候关系式B（4）什么时候BA=成立？（5）什么时候BA=成立？10．3将下列事件用A，B，C表示出来：（1）A发生；（2）只有A发生；（3）A与B都发生与C不发生；（4）三个事件中至少有两个发生；（5）三个事件中不多于两个发生；（6）三个事件都不发生。
10．4一批灯泡有40只，其中3只是坏的，从中任取5只进行检查，问：（1）5只都是好的概率是多少？（2）5只中有2只坏的概率是多少？10．5一幢10怪楼中的一架电梯在底层走上7位乘客。
电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，设每位乘客在每层离开都是等可能的，求没有2位乘客在同一层离开的概率。
10．6某城市的摩托车有10 000辆，牌照号从00001到10000，问事件“偶然遇到的一辆摩托，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？10．7一个中学有15个班级，每班选出3个代表出席学生代表会议，从45名代表中选出15名组成工作委员会。
求下列事件的概率：（1）一年级一班在委员会中有代表；（2）每个班级在委员会中都有代表。
10．8从一副扑克牌（共52张）中任意抽出4张，求4张牌花色各不相同的概率。
10．9在书架上任意放着10本书，求某给定的3本书放在一起的概率。
n≤），求下列10．10设有n个人等可能地被分配到N个房间中的任一间去住（N事件的概率：（1）指定的n间房间里各住一人；（2）恰好有n间房间，其中各住一人。
【数学教案】四年级下册第十章3统计与概率
四年级下册第十章3 统计与概率一、教学目标1.掌握统计和概率的基本概念。
2.学会使用频数表和频率分布图进行数据分析和解释。
3.学会用概率语言表示概率，并能够使用试验和事件的概念描述概率。
4.通过游戏和实例的形式了解一些简单的概率常识。
二、教学重难点1.数据的统计分析和概率的计算。
2.学生对于统计和概率的概念和应用掌握程度。
三、教学内容1.统计的基本概念统计是指通过对一定数量的数据进行收集、整理、处理和分析，从中获得有用的信息的一种方法。
统计学是研究如何进行统计的一门学科。
常见的统计方法有：调查法、实验法、抽样法、测量法等。
在统计学中，经常使用频数表和频率分布图来描述和展示数据的特征。
2.概率的基本概念概率是指在一定条件下，某一事件发生的可能性大小。
通常用一个在0到1之间的数字来表示，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
事件是指所有可能的结果组成的集合。
试验是指为了研究概率而进行的某种操作，比如抛硬币、掷骰子等。
在概率学中，经常使用样本空间、事件、试验等概念来描述和计算概率。
3.统计和概率的应用统计和概率在生活中有广泛的应用，比如：(1)统计学可以在医学、人口学、经济学、商业等领域中应用，可以用来研究人群的特征、市场的趋势等。
(2)概率可以用来计算各种事件发生的可能性大小，比如中彩票、被雷击等等。
(3)统计学和概率学都可以用来进行科学实验，比如在医学中，可以通过临床试验来研究治疗方法的有效性，这就需要对数据进行统计分析和概率计算。
四、教学方法1.讲解法：通过教师的讲解和演示来让学生掌握概念和应用。
2.游戏法：通过游戏的形式来让学生了解概率常识，并加深对概率计算的理解。
3.探究法：通过研究实际问题和数据来让学生了解统计和概率的应用，提高学生的综合能力。
五、教学案例1.游戏：抛硬币让学生抛硬币，记录正反面的结果，并让学生通过计算分析出正面和反面的出现概率。
通过这个游戏，学生可以深入了解概率的基本概念，并学会用试验和事件的概念计算概率。
第十章 统计与概率10-8离散型随机变量及其概率分布(理)
第10章 第8节一、选择题1．(2010·厦门质检)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为( ) A.1738 B.2738 C.1719 D.2719 [答案] B[解析] m ⎝⎛⎭⎫231＋m ⎝⎛⎭⎫232＋m ⎝⎛⎭⎫233＝1，∴m ＝2738.故选B. 2．(2010·辽宁理)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16 [答案] B[解析] 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是，则情形为两种，即甲为一等品，乙不是或乙为一等品甲不是，∴P ＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512，故选B. 3．从甲袋中摸出一个红球的概率为13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出一个球，则概率等于23的是( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率 [答案] C[解析] 两袋中各摸出一个球： ①甲红，乙红，P 1＝13×12＝16；②甲红，乙不是红，P 2＝13×⎝⎛⎭⎫1－12＝16； ③甲不是红，乙红，P 3＝⎝⎛⎭⎫1－13×12＝13； ④甲、乙都非红，P 4＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－12＝13. 因此A 的概率为56，B 的概率为16，C 的概率为23，D 的概率为12，故选C.4．(2010·山东省实验中学)种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为( )A ．p ＋q －2pqB ．p ＋q －pqC ．p ＋qD ．pq [答案] A[解析] 恰有一株存活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2pq .5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则E (ξ)＝( )A.1225B.2325C.1350D.4625 [答案] B[解析] 由条件知c ＋c 2＋c 3＋c 4＝1，∴c ＝1225，故分布列为故E (ξ)＝0×1225＋1×625＋2×425＋3×325＝2325，∴选B.6．(2010·江西文，9)有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率是p (0<p <1)．假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n [答案] D[解析] 采用正难则反的方法，都通不过测试的概率为(1－P )n ，则至少有一个通过测试的概率为1－(1－P )n .选D.7．在一次抽奖中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，则这10个小球中，中奖号码小球的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] C[解析] 设有x 个小球的号码为中奖号码，则 P (X ＝1)＝C x 1·C 10－x 3C 104＝821，∴x (10－x )(9－x )(8－x )＝480，将选项中的值代入检验知，选C.8．在四次独立重复试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.13B.23C.3281D.881 [答案] C[解析] 设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为P k ＝C 4k p k (1－p )4－k (k ＝0,1,2,3,4)，∴p 0＝C 40p 0(1－p )4＝(1－p )4，由条件知1－p 0＝6581，∴(1－p )4＝1681，∴1－p ＝23，∴p ＝13，∴p 1＝C 41p ·(1－p )3＝4×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281，故选C.9．(2010·衡阳模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1210·⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582 B ．C 119·⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 119·⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 119·⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 [答案] B[解析] 从口袋中任取一球，取到红球的概率为38.重复进行了ξ次取球试验，其中红球恰好取到了10次，ξ＝12即进行了12次试验，其中前11次试验中出现了9次红球，第12次试验结果为红球，∴P (ξ＝12)＝C 119·⎝⎛⎭⎫389×⎝⎛⎭⎫582×38. 10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 75⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235B ．C 72⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135 C ．C 75⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235D ．C 73⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235 [答案] B[分析] 关键是弄清S 7＝3的含义：S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7，而a i 的取值只有1和－1，故S 7＝3表示在a i 的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．[解析] S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝3表示七次取球试验中，有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P 1＝23，∴所求概率为P ＝C 72⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135. 二、填空题11．(2010·山东枣庄模拟)设随机变量X ～B (n,0.5)，且D (X )＝2，则事件“X ＝1”的概率为________(用数字作答)[答案]132[解析] ∵X ～B (n,0.5)，∴D (X )＝n ×0.5×(1－0.5)＝2，∴n ＝8.∴事件“X ＝1”的概率为P (X ＝1)＝C 81×0.5×0.58－1＝132. 12．为了了解学生的体能素质，随机抽取一小组进行体能检测，要求每位学生长跑、跳远至少通过一项才算合格，已知通过长跑测试的有2人，通过跳远测试的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既通过长跑测试又通过跳远测试的人数，且P (ξ>0)＝710，则该小组有______人．[答案] 5[解析] 设该小组共有x 人，其中既通过长跑测试又通过跳远测试的有y 人，则 ⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ>0)＝C y 1C x －y 1＋C y 2C x 2＝710(2－y )＋y ＋(5－y )＝x 解得x ＝5或x ＝11237(舍去)．所以该小组一共有5人．13．在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为________．[答案] 12[解析] 设第一次抽到理科题为事件A ，第二次抽到理科题为事件B ，则两次都抽到理科题为事件A ∩B ，∴P (A )＝35，P (A ∩B )＝310，∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12.[点评] 由于是不放回抽样，故在第一次抽到理科题条件下，相当于有2道理科题和2道文科题，从中抽一道，抽到理科题的概率为多少，故为P ＝12.14．(2010·上海大同中学模考)一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球，现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的，用ξ表示摸出的黑球数，则ξ的数学期望E (ξ)＝________.[答案] 32[解析] P (ξ＝0)＝C 33C 30C 63＝120，P (ξ＝1)＝C 32C 31C 63＝920，P (ξ＝2)＝C 31C 32C 63＝920，P (ξ＝3)＝C 30C 33C 63＝120，∴E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.三、解答题15．(2010·温州十校)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)从袋子里一次取出3个球，得4分的概率为P ＝C 32C 21C 53＝35.(2)依题意，ξ的可能取值为2,3,4.P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫352＝925，P (ξ＝3)＝C 21×35×25＝1225，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫252＝425，故ξ的分布列为故ξ的数学期望E (ξ)＝2×925＋3×1225＋4×425＝145.[点评] 取球问题是随机变量的常见题型，要注意球有无颜色限制，摸球的方法，终止摸球的条件，记分方法等等附加了哪些限制条件，请再练习下列两题：1°口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则换成对方进行下一次摸球；②每一次摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球．求在前三次的摸球中：(1)乙恰好摸到一次红球的概率； (2)甲至少摸到一次红球的概率；(3)甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望．[解析] 记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，“乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则 P (A )＝P (B )＝44＋8＝13，P (A －)＝P (B －)＝23，且事件A ，B 相互独立．(1)在前三次摸球中，乙恰好摸到一次红球的概率为 P ′＝P (A A －B )＋P (A －B B －) ＝13×23×13＋23×13×23＝29. (2)因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为 P 1＝P (A －·B )＋P (A －·B －·A －) ＝23×13＋⎝⎛⎭⎫233＝1427， 所以甲至少摸到一次红球的概率为 P 2＝1－P 1＝1－1427＝1327.(3)根据题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝P (A －·B )＝P (A －·B －·A －) ＝23×13＋⎝⎛⎭⎫233＝1427， P (ξ＝1)＝P (A ·A －)＝P (A －·B －·A ) ＝13×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝1027， P (ξ＝2)＝P (A ·A ·A －)＝⎝⎛⎭⎫132×23＝227，P (ξ＝3)＝P (A ·A ·A )＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 故ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝0×1427＋1×1027＋2×227＋3×127＝1727.2°袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13.(1)求m ，n 的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“第一次摸出3号球”为事件A ，“第二次摸出2号球”为事件B ，则P (B |A )＝m 9＝13， ∴m ＝3，n ＝10－3－1＝6. (2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.P (ξ＝3)＝1·C 31C 102＝115，P (ξ＝4)＝1·C 61＋C 32C 102＝15，P (ξ＝5)＝C 31C 61C 102＝25，P (ξ＝6)＝C 62C 102＝13.ξ的分布列为E (ξ)＝3×115＋4×15＋5×25＋6×13＝5.16．(2010·广东理，17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505克的概率． [解析] (1)重量超过505克的产品数量是 40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件． (2)Y 的分布列为(3)从流水线上取5 C 283C 122C 405＝28×27×263×2×1×12×112×140×39×38×37×365×4×3×2×1＝21×1137×19＝231703. 17．一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个岗遇到红灯的概率为p ，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为12. (1)若p ＝23，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过518，求p 的取值范围．[解析] (1)记“该学生在第i 个交通岗遇到红灯”为事件A i (i ＝1,2，…，5)， 则P (A －1A －2A 3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝112. 即该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为112.(2)“该学生至多遇到一次红灯”指“没有遇到红灯(记为A )或恰好遇到一次红灯(记为B )”，P (A )＝(1－p )2·⎝⎛⎭⎫1－123＝18(1－p )2， P (B )＝(1－p )2·C 31⎝⎛⎭⎫1－122×12＋C 21p (1－p )×⎝⎛⎭⎫1－123＝38(1－p )2＋14p (1－p )． 由18(1－p )2＋38(1－p )2＋14p (1－p )≤518得， 13≤p ≤83，又0≤p ≤1，且p ＝1时，首末两个交通岗都必遇到红灯，不合题意，所以p 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.。
第十章 统计与概率10-3变量间的相关关系与统计案例
(3)利用回归直线方程对总体进行估计 ^ ^ ^ 若回归直线方程为y＝bx＋a，则在x＝x0处的估计值： ^0＝bx0＋a. ^ y ^ (4)线性相关强度的检验： 对于变量x与y随机取到的n对数据(xi，yi)，用y与x间 x y xi－－yi－－
i＝1 n
的相关系数r＝ x y xi－－2· yi－－2
i＝1 4 ^
所以，由最小二乘法确定的回归直线方程的系数 为：
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产 品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
(2010·山东枣庄模考)某单位为了了解用电 量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计 了某4天的用电量与当天气温，并制作了对 照表： 18 13 10 －1 气温(℃)
疱疹面积不 疱疹面积小 合计 小于 2 于70mm 70mm2 注射药物 A a＝ b＝
注射药物 nad－bc2 c＝ d＝ 2 附：χ ＝ B a＋bc＋da＋cb＋d 合计
n＝
[解析]
(1)
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数 在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积 的中位数在70至75之间，所以注射药物A后 疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面 积的中位数． (2)表3： 疱疹面积 疱疹面积不 合计 小于 小于 70mm2 70mm2 100 注射药物A a＝70 b＝30 100 注射药物B c＝35 d＝65 105 95 合计 n＝200
关关系，这条直线叫做回归直线． 数为：
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法．
n n y x y xiyi－n x · xi－－yi－－ i＝1 i＝1 ^ ＝ b＝ n n 2 2 x xi －n x xi－－2 i＝1 i＝1 a＝－－b x ^ y ^ 1 n 1 n 其中 － ＝ x i， － ＝ y i，( － ， － )称作样本点的中 x y x y n i＝1 n i＝1 心． ^ ^ a ， b 表示由观察值用最小二乘法求得的a，b的估计 值，叫回归系数．
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种不同的方法． 上面的计数原理叫做分类计数原理（或加法原理）。 例1：某校二年级有旅游专业3个班，园林专业2个班，信息专业4个班，现任选一个班参加就业咨询 会，有多少种不同的方法？ 解：任选一个班参加就业咨询会有三类办法：第一类选旅游专业班有3种方法，第二类选园林专业 班有2种方法，第三类选信息专业班有4种方法。根据分类加法计数原理，任选一个班参加就业咨询会的 不同方法共有 N=3+2+４=9(种)。 例2：银行储蓄有活期储蓄，定活两便储蓄，整存整取定期储蓄（存期分三个月、半年、一年、二 年、三年、五年６种），零存整取定期储蓄（存期分一年、三年、五年３种），存本取息定期储蓄（存 期分一年、三年、五年３种），个人通知存款，现去银行存款有多少种不同的方法? 解： 去银行存款有六类办法：第一类活期储蓄，有１种方法；第二类定活两便储蓄，有１种方法
概率论是生活真正的领路人。如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行， 无所作为。 ——杰文斯（William·Stanley·Jevons, 公元1835年--1882年） （英国经济学家、逻辑学家） 数学科学最近的进步帮助我们提高预测气象的能力,估计环境危险的影响的能力, 研究宇宙起源的能力，以及筹划选举结果的能力。数学方法对于我们这个技术社会真 正发生效能已经变得不可缺少了。 ——哈尔莫斯（Paul·Halmos，公元1916年－2006年） （美籍匈牙利数学家）
每个步 成这件 必须经 能完成
例1 校广播站有男生5人，女生4人，从中任选男、女生各一人去参加演讲比赛，有多 少种不同的选法？ 解：完成从学生中任选男、女各一人去参加演讲比赛, 须分２个步骤完成：第１步， 选一名男学生，有5种方法；第２步，选一名女学生，有4种方法，根据分步乘法计数原理, 得到不同选法共有 N = 5 × 4 = 20 （种）
现实生活中充满了不确定性，从玩掷骰子和扑克牌等简单的博弈游戏，到物理学、 医学、军事学、社会学、大气预测和金融保险等重要领域内得种种问题，都包含了不 确定性。抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数是几点？某射手射击一次,击中几环？购 买本期体育彩票是否能够中奖等。 这些事情的结果都是无法预知的，但又有一定的规律性。对一次随机试验中将出 现可能结果的可能性大小进行推断，概率和统计就是研究这方面问题的数学学科。本 章就来探讨与概率、统计相关的一些基本概念和研究方法。
例２ 一种密码锁有３个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这种密码锁可以组成 多少个密码？ 解：组成一个密码,须分3个步骤完成：第１步，从第一个拨号盘上选一个数字有10种取法， 第2步，从第二个拨号盘上选一个数字有10种取法，第3步，从第三个拨号盘上选一个数字有10 种取法，根据分步乘法计数原理，这种密码锁可以组成的密码有
10.1 两个计数原理
10.1.1 分类计数原理
看下面的问题： 某校元旦文艺会演有歌唱节目3个，舞蹈节目5个，相声小品节目2个，从中任选一个节目观看， 有 多少种不同方法？ 因为任选一个节目观看有三类不同办法：选择歌唱节目有３种方法，选择舞蹈节目有５种方法，选 择相声小品节目有２种方法，所以共有3+5+2=10种方法。 一般地，完成一件事，有n类办法。在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不 同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不同的方法。那么完成这件事共有
21世纪中等职业学校规划教材
数
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（下 册）
北京出版社
第十章
概率与统计
10.1两个计数原理 10.1.1分类计数原理 10.1.2分步计数原理 10.2随机事件和概率 10.2.1随机现象与随机事件 10.2.2事件的关系与运算 10.2.3事件的概率和性质 10.2.4等可能事件的概率 10.3直方图与频率分布 10.3.1直方图 10.3.2频率分布 10.3.3频率分布直方图 10.4随机抽样 10.4.1总体与样本 10.4.2抽样方法 10.5用样本估计总体 10.5.1样本的均值与标准差（方差） 10.5.2用样本均值估计总体均值 10.5.2用样本标准差（方差）估计总体标准差（方差） 10.6一元线性回归
例３. 甲厂生产的手机外壳形状有4种，颜色有3种，乙厂生产的手机外壳形状有6种，颜色有 4种，那么这两厂生产的手机仅从外壳的形状和颜色看，共有多少种不同的品种？ 解： 手机的品种可分两类： 第一类：甲厂生产的手机品种，由外壳形状和颜色组成，因为形状有4种，颜色有3种，根据 分步乘法计数原理，共有4×3＝ 12种不同的品种； 第二类：乙厂生产的手机品种，由外壳形状和颜色组成，因为形状有６种，颜色有４种，根 据分步乘法计数原理，共有6×4＝ 24 种不同的品种。 根据分类加法计数原理，手机品种有 说明：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是完成一件事的不同方法的种数问题。区 别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做 完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完 成才能完成这件事。
；第三类 整存整取定期储蓄，有６种方法；第四类零存整取定期储蓄，有３种方法；第五 类存本取息定期储蓄，有３种方法；第六类个人通知存款，有１种方法． 根据分类加法计 数原理，去银行存款不同的方法有 N=１+１+６+３+３&#
看下面的问题 如图10-1所示，由A地去B地的道路有2条，由B地去C地的道路有3条 从A地经B地去C 地，共有多少种不同的走法？ 如图10-1 从A地经 B地去C地有2个步骤： 第一步, 由A地去B地有2种方法, 第二步, 由B地去C地有3种方法, 所以从A地经 B地去C地共有 2×3 = 6 种不同的方法 一般地，完成一件事，必须分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 上面的计数原理叫做分步计数原理（或乘法原理）。