J曲线在坐标面上的投影和空间区域简图

y
'

y

Bt,

z'

z

Ct.
所以存在t0 , 使得: (x At0, y Bt0, z Ct0 )

F1 ( x F2 (x

At0 , At0 ,
y y

Bt0 , Bt0 ,
z z

Ct0 ) Ct0 )

0, 0.
消掉参数t0，得到 投影柱面的方程：
1
投影柱面的方程：
设空间曲线的方程为
:

F1 F2
(x, (x,
y, y,
z) z)

0, 0.
平面的方程为 : Ax By Cz D 0.
在投影柱面上任意取一点P(x, y, z)，那么过P点
垂直于平面的直线L的参数方程可以设为
x' x At, 因为直线L和曲线必定会相交，
x 0, y 0, z 0, x y 1, y2 z2 1.
x y 1,
z

y
2

z2
1.
1•
z 1
1• x
•1 y
1 x
1y
作图练习二
作出曲面 x2 y2 a2，x2 z2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体图形？
（2）消去y 得投影
x2 5z2 2xz 4x 0

,
y 0
（3）消去x 得投影
y2
z2
2y z

0 .
x 0
例4 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2
和 上半锥面z 3(x2 y2 )所围成,求它在 xy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
x2

y2
ax
0,
即
(
x

a 2
)2
y2

a, 4
z 0.
z 0
曲线在XY平面的投影：消掉 z 曲线在 XZ平面的投影：消掉 y
x2 y2 ax 0, z0 z2 ax a2 0, y0
曲线在YZ 平面的投影：消掉 x
因为a 0,所以从第二个方程可知x 0
z
0
a
x
a
y
18. 作图练习二
作出曲面 x2 y2 a2，x2 z2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体图形？
z
y=0
.
x=0
0
a
y
z= 0
a
x
18. 作图练习二
作出曲面 x2 y2 a2，x2 z2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体图形？
3(25 z2 ) 16
z=3或者z 25 (舍去z 0)， 3
所以两曲面的交线方程为
3( x 2

y2)
16z即x2

y2
16
z 3
z 3
这是z 3平面上的圆，圆心在(0,0,3z)，半径为4.
所得到的空间区域的简图为：
3
0 x
例2：作出由下例条件所确定的区域的简图：
(x, y, z) 0
投影的方程：
投影柱面的方程为：(x, y, z) 0。
平面的方程为 : Ax By Cz D 0.
从而得到投影的方程
(x, y, z) 0，

Ax

By

Cz

D

0.
其中(x, y, z) 0是由下列方程组消去参数t0得到.
R( y, z) 0 (投影柱面) T( x, z) 0 (投影柱面)
x 0

y

0
例1 求曲线
x2 y2 z2 a2, : x2 y2 ax 0 (a 0)
在各个坐标平面的投影. 第一个方程所表示的曲面是球面。 而第二个方程所表示的曲面是圆柱面， 其和XY 平面的交是一个圆，方程为
曲 面
4 空间区域简图 作出由空间曲面所围成的空间区域的简图，关键是 联立两个曲面(平面)的方程确定两个空间曲面交线 的位置.再适当的表示出空间区域的边界曲面
例1 曲面 3(x2 y2 ) 16z 和z 25 x2 y2
围成一个区域，作出它的简图.
两曲面的交线的方程为
3(x2 y2 ) 16z z 25 x2 y2
投影柱面的特征：
以此空间曲线为准线， 垂直于所投影的坐标面.
设空间曲线的一般方程：
F1 ( x, F2 (x,
y, z) y, z)

0 0
空间曲线在 xy 面上的投影曲线:
(x, y) 0 (投影柱面)
z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yz 面上的投影曲线: xz 面上的投影曲线:
学画草图
z
a
.
0
a
x
a
y
作图练习三
作出曲面z x y 和 x y z 所围立体图形
z 1
0
x –1
y 1
| y | 3 . 2
例 3 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
如图,
（1）消去z 得投影
x2 5 y2 4xy x 0

,
z 0
C
:
z

4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
则交线 C 在 xy 面上的投影为
x2 y2 1,

圆周,
z 0.
x2 y2 1,
z 0.
圆.
空间立体或曲面在坐标面上的投影:
空 间 立 体

y2

3 4,
z 0
x2 y2 z2 1
曲线：
z

1 2
（2）因为曲线在平面 z 1 上，
2
所以在 xz 面上的投影为线段.
z

1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yz 面上的投影也为线段.
z

1 2,
x 0
z) z)

0, 消去参数z, 0.
得到投影柱面方程:(x, y) 0
曲线在坐标面内的投影的方程
设空间曲线的一般方程：
F1 ( x, F2 (x,
y, y,
z) z)

0 0
求其在xy平面上的投影曲线方程.
消去变量 z后得： (x, y) 0
曲线关于 xy 面的投影柱面
从第一个方程解出x 1 (a2 - z2 ),带入第二个方程得 a
z4 a2 ( y2 z2 ) 0, x0
x2 y2 z2 1
例2
求曲线

z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xy 面上的投影为
x2

F1 F2
(x (x

At0 , At0 ,
y y

Bt0 , Bt0 ,
z z

Ct0 Ct0
) )

0, L
0.
L
(1)
如果 就是坐标平面情况又如何呢？如 是XY 平面.
如果是XY平面.即的方程为z 0.
所以A B 0,C 1.代入方程(1)得到
4 曲线在坐标面上的投影
设 是一条曲线， 是一个平面，曲线上每一
点在平面上有一个垂足，这些垂足构成的曲线， 叫做曲线在平面上的投影
如果已知的方程和平面的方程
如何求投影1的方程呢？
投影柱面：过曲线 上

的每一点，都有平面
的一条垂线，这些垂线
构成的柱面。

பைடு நூலகம்
投影1就是投影柱面和平面的交线

F1 ( x, F2 (x,
y, y,
z z

t0 ) t0 )

00,.消去参数t0
,
得到投影柱面方程:
(x, y, z) 0.
由于投影柱面垂直于XY 平面, 所以方程(x, y, z) 0与z无关.
所以,可以直接从方程组

F1 ( x, F2 (x,
y, y,