2016-2017年湖北省部分重点中学联考高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.05B ．0.35C ．0.7D ．0.95 2．全称命题“2,54x R x x ∀∈+=”的否定是( )A ．2000,54x R x x ∃∈+=B ．2,54x R x x ∀∈+≠C ．2000,54x R x x ∃∈+≠D ．以上都不正确3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．144．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是( ) A ．7?i ≥ B ．6?i ≥ C ．5?i ≥ D ．4?i ≥5．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)- 7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到 定点A 的距离|PA |1<|的概率为( )A.πB.2π C.4π D ．6π8．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分） 9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分 成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层 抽样方法抽取6个 城市，则甲组中应抽取的城市数为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．11．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示， 据图知，样本数据在[8，10)内的频数为 12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合） 的中点的轨迹方程为13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 ． 14．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若1m ≥，则22(m 1)x m 30mx -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．第18题图16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．17．（满分13分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求,,n a p 的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=>（1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率； （2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，求22|F ||F |A B ⋅的值.2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．全称命题“∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0≠4 D ．以上都不正确解析：选C 全称命题的否定为特称命题．3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．14解析：由甲组数据的众数为14得x ＝y ＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C4．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5?解析：根据题意可知该程序运行情况如下： 第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2； 第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3； 第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4； 第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5； 第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6； 第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此判断框应该是“i >6？”．答案：A5．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a，故a <0，故选C.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)-【解析】圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴5a =. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 【答案】 D7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4. 答案：C 8．直线l 经过椭圆的一个短轴顶点顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12．故选B ．二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分）9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．答案：110．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．答案：311．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95 答案：C12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合）的中点的轨迹方程为2214x y += 13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．【答案】221168x y +=14．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是 ①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1. .....................3分 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由不等式2(x 1)22-+≥(x ＝1时取等号)知(x)f 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2 ......................6分若q 真，则42c <，即12c < .......................8分 若p 真q 假，则112c ≤<； .......................10分 若p 假q 真，则0c ≤. ......................12分 综上可得，(]1,0,12c ⎡⎫∈-∞⎪⎢⎣⎭......................13分16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，计算被调查的出租车司机对新法规知晓情况比较好的频率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45. .......................6分 （2）记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，.......................9分（3）至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种 ..12分则P (M )＝710＝0.7. ......13分16．（满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM第3题图17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………3分 又因为 AC FB ⊥， 因为BC FB B =所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………6分 （Ⅱ）M 为AC 中点时，连结CE ，与DF 交于点N ，连结MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ……………8分 所以 EA //MN ． ……………10分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………12分 所以 EA //平面FDM ． …………13分18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率. 规范解答不失分 （Ⅰ）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间， 而乙班身高集中于170180: 之间．因此乙班平均身高高于甲班 ...............4分 （Ⅱ）158162163168168170171179182170.10x ++++++++==...............6分 甲班的样本方差为:222222222221(158170)(162170)(163170)(168170)10(168170)(170170)(171170)(179170)(179170)(182170)57.2.s ⎡=-+-+-+-⎣+-+-+-+-+-+-=...............8分（Ⅲ）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，...............10分而事件A含有4个基本事件；...............12分所以42().105P A ...............14分19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.............2分 频率分布直方图如下：............4分第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n ＝2000.2＝1 000 .............6分 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a ＝150×0.4＝60 .............8分(2)因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的情况有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种， ............10分(3)其中恰有1人年龄在[40，45)岁的情况有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种， ............12分(4)所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝815.............14分 20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=> （1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，证明22|F ||F |A B ⋅为定值. 解：（1）焦点坐标12(1,0),F (1,0)F - ..........2分离心率12e = ..........3分（2）当斜率不存在时11|||F B |F A ===此时212|FA ||F B|3a ⋅= 5分当斜率不存在=时，设1122(x ,y ),B(x ,y )A:()AB y k x a =-由222(x a)x 4y k y a =-⎧⎨+=⎩ 得222222(1k )x 240ak x k a a +-+-= 7分 222212122224,11ak k a a x x x x k k -+==++ 9分11|FA |x a |==-22|F A |x a |==-所以22111212|FA||FB|(1)|x x a(x )a |k x ⋅=+-++ 12分 22222222242(1k )|a |11k a a a k k k -=+-+++23a = 13分 所以 22|F ||F |A B ⋅为定值23a .。
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湖北省重点高中联考协作体2016-2017学年高二数学上学期期中试题文（扫描版）广水一中、孝昌一中等26所重点高中2015-2016学年高二上学期期中联考文科数学参考答案 一、选择题：（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B D C A C B B C A A D二、填空题：（每小题5分，共20分）13、9；14、85；15、12；16、n mn -；三、解答题：（共70分，其中第17题10分，其余的每题都是12分）17、解：（Ⅰ）易得：2-=AC k ，则直线AC 的方程为：)5(21--=-x y ，即为：0112=-+y x ， ……2分 联立⎩⎨⎧=-+=--0112052y x y x ，可得：⎩⎨⎧==34y x ，即：点4(C ，)3. ……5分（Ⅱ）设点a B (，)b ，则点25(+a M ，)21+b ，故可列得：052=--b a ， ……① ……6分 又由点M 在直线CM 上可列得：05215=-+-+b a ，即为：012=--b a ， ……② ……7分 由①、②解得：1-=a ，3-=b ，即点1(-B ，)3-， ……9分 则56=BC k ，故BC 的直线方程是)1(563+=+x y ，即为：0956=--y x . ……10分18、解：（Ⅰ）易得：3=x ，536=y ， ……2分故2.1101235)2516941(53635503221125ˆ2==⨯-++++⨯⨯-++++=b ， ……6分 ∴6.332.1536ˆ=⨯-=a ， ……7分 故所求得的线性回归方程是6.32.1ˆ+=x y. ……8分 （Ⅱ）令6=x ，易得：8.106.362.1=+⨯=y ，故预测该地区在2016年的煤矿产量是10.8万吨. ……12分19、解：（Ⅰ）易得：186003.010=⨯⨯，即所求得的69.5~79.5的频数是18. ……4分 （Ⅱ）易得：39.5~49.5的频率是：1.001.010=⨯；49.5~59.5的频率是：15.0015.010=⨯；59.5~69.5的频率是：15.0015.010=⨯；69.5~79.5的频率是：30.003.010=⨯，∴中位数是：643730.01.0105.69=⨯+. ……8分 平均数是：5.9405.05.8425.05.7430.05.6415.05.5415.05.441.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=70.5（分） ……12分 故所求得的这次数学竞赛的中位数是6437分，平均数是5.70分. 20、解：（Ⅰ）由直线⊥MA 底面ABCD ，MA PD //，易得：直线⊥PD 平面ABCD ， 而⊂BC 平面ABCD ，∴BC PD ⊥， ……2分又∵底面ABCD 是正方形，∴CD BC ⊥，而D CD PD =I ，且PD ，⊂CD 平面PCD ，故直线⊥BC 平面PCD ， ……4分而由G ，F 分别是PB ，PC 的中点，易得：BC GF //，∴直线⊥GF 平面PCD ， ……5分又∵⊂GF 平面EFG ，∴平面⊥EFG 平面PCD . ……6分（Ⅱ）由底面ABCD 是正方形，易知：AD BC //，而⊂AD 平面PAM ，且⊄BC 平面PAM ，∴//BC 平面PAM ， ……8分 故点B ，C 到平面PAM 的距离相等， ……10分 故1==----PAMC PAM B MAC P MABP V V V V . ……12分 21、解：设x 、y 分别为甲、乙两艘船停靠该泊位时的时刻，则x ，0[∈y ，]24， 而点（x ，y ） 可以看作平面上的点，且试验的全部结果所构成的区域为x {(=Ω，240)≤≤x y ，且}240≤≤y ， 这是一个正方形的平面区域，面积是5762424=⨯=ΩS ， ……4分 设事件A 表示这两艘船中至少有一艘船在停靠泊位时必须等待，对于事件A 而言， ①当y x ≥时，则6≤-y x ；②当y x <时，则4≤-x y ，作出事件A 所满足的平面区域A （阴影部分）， 则214181821202021576=⨯⨯-⨯⨯-=A S ， ……10分故288107576214)(===ΩS S A P A . ……12分 故所求得的这两艘船中至少有一艘船在停靠泊位时必须等待的概率是288107.注：没有图像的，扣4分.22、解：（Ⅰ）设圆心a C (，)0，则易得：0104>+a ，解得：25->a ， ……1分依题意可列得：25104=+a ，解得：0=a ，或5-=a ， ……2分而25->a ，故0=a ，故所求得的圆C 的标准方程是：422=+y x . ……3分x 24 6 O y 424（Ⅱ）①当直线l '的斜率不存在时，即直线l '的方程是：1=x ，令1=x 可得：3±=y ，此时弦长为32，满足题意； ……4分 ②当直线l '的斜率存在时，设直线l '为：)1(1-=-x k y ，即：01=-+-k y kx ， 而易得：圆心C 到直线l '的距离是1)3(222=-，故可列得：1112=+-k k ，解得：0=k ，即此时直线l '为：1=y， ……6分 综合①、②可得：直线l '的方程是1=x 或1=y . ……7分 （Ⅲ）设满足题意的定点λ(N ，)0，其中实数0>λ，①当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB ：1+=my x ，1(x A ，)1y ，2(x B ，)2y ，联立⎩⎨⎧=++=4122y x my x ，化简可得：032)1(22=-++my y m ，则12221+-=+m m y y ，13221+-=m y y ， ……8分而依题意易得：0=+NB NA k k ，故可列得：02211=-+-λλx y x y ，即为：0112211=-++-+λλmy y my y ，化简得：0))(1(22121=+-+y y y my λ，代入得：012)1(13222=+-⋅-++-⋅m mm m λ，解得：4=λ. ……11分②当直线AB 与x 轴重合时，此时不妨设点2(-A ，)0，点2(B ，)0，此时，显然x 轴平分ANB ∠，满足题意. ……12分 综上所述，故所求得的定点N 的坐标是（4，0）.yxO M N AB。
湖北省普通高中联考协作体高二数学上学期期中试题 理(扫描版)
湖北省普通高中联考协作体2016-2017学年高二数学上学期期中试题理（扫描版）高二理数参考答案及评分细则一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBDCBAAABBDA二、13、14 14、5800 15、102116、10 三、17、解：AC 与:250BH x y --=垂直，故AC 的斜率为12-，又点A 的坐标为（1，2），∴直线AC 的方程为：12(1)2y x -=--，即250x y +-=.（4分）由250(5,0)250x y C x y +-=⎧⎨--=⎩解得.（8分）AC ∴==故AC 边的长为（10分）18、设顶点C 的坐标为(,)x y .在ABC ∆中，因SinB =，b ∴=，即AC =.（2分）(1,0),(1,0)A B - =，化简得：22610x y x +-+=.（4分）故轨迹T 的方程22610(0)x y x y +-+=≠.（5分）∴T 是以点（3，0）为圆心，x 轴的两个交点）.（6分）由22610y x ax y x =+⎧⎨+-+=⎩得222(26)10x a x a +-++=，当直线与T 有两个共同点时，有22(26)8(1)0a a ∆=--+>， 即2670a a +-<. 解得：71a -<<.（10分）又T 与x 轴无交点，由30a ±=得3a =-±，此时直线与T 只有一个公共点，3a ∴≠-±故a 的取值范围为(7,3(33(3---⋃---+⋃-+.（12分）19. 解：（1）由（0.003+0.005×2+0.011+2a+0.018+0.021+0.007+0.002）×10=1得0.014a =.（3分）设本次期中考试数学成绩的中位数为x ，因前5组的频率之和为0.03+0.05+0.11+0.14+0.18＝0.51>0.5，90100x ∴<<.（4分）0.030.050.110.140.018(90)0.5x ∴++++-=解得99.44x ≈.故本次期中考试数学成绩的中位数约为99.44分.(6分)（2）依题意这三组的人数之比为3：2：1，若用分层抽样法抽取6人，则成绩在[)100,110的应抽3636⨯=（人），成绩在[)110,120的应抽2626⨯=（人），成绩在[)120,130的应抽1616⨯=（人），（9分）记事件A 为“这3人中至少有1人的成绩在[]110.120中”，用列举法可得基本事件总数为20，事件A 包含的基本事件数为16.()164205A p ∴==，即这3人中至少有1人成绩在[]110,120的概率为45.（12分） 20、解：依题意可得：11010103707P ++==.（4分） 设小华、小明分别在7：00后过,x y 分钟到校，则不等式060060x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为A ，其面积为3600，（6分）；又06010060x y x y ≤≤⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域为B ，其面积为21250050125022⨯==.（9分） 2125025360072p ∴==.（11分） 11216175,504504p p ==，12p p ∴>.（12分） 21、（1）证明：法1：取AF 的中点N,连DN ，BF,NG ，CG.分别过点D 、C 作,DO EF CM EF ⊥⊥，,O M 为垂足..因G 为正方形ABEF 的中心，∴BF 过点G,且G 为BF 中点，GN ∴∥AB ，且122GN AB ==.在Rt DFO 中，因DF ＝2，060DFO ∠=，DO =1,OF =同理1,EM CM ==2OM ∴=且DO//CM,DO=CM.∴四边形DCMO 为平行四边形，//,2DC EF DC OM ∴==.而//EF AB ，∴DC ∥GN ，且D C G N =.故四边形DCGN为平行四边形.CG ∴∥DN .又CG ⊄平面ADF ，DN ⊂平面ADF ，CG ∴∥平面ADF .法2：取AB 的中点H ， 连结HG,CH,BF. 作DO EF ⊥，CM EF ⊥，O ，M 为垂足. ABCD 为正方形，G 为其中心，∴BF 经过点G 且G 为BF 的中点，HG ∴∥AF . 又HG ⊄平面ADF ，HG ∴∥平面AFD .060DFE ∠=，2DF =.1,OF DO ∴==.同理可得EM=1，CM =.∴DO ∥CM ，DO CM =,故DOMC 为平行四边形.DC ∴∥EF ，且2DC OM ==.又AB ∥EF ，且AB EF =,∴ CD ∥AH ，且CD AH =，故ADCH 为平行四边形. CH ∴∥AD ，又CH ⊄平面ADF ，CH ∴∥平面AFD而HG HC H =，∴平面CGH ∥平面ADF ，又CG ⊂平面CGH ，CH ∴∥平面ADF .（8分）（其它证法酌情给分）. （2）解：作OQ EF ⊥交AB 于Q ，222DF AF AD +=.AF DF ∴⊥，又，AF ∴⊥平面DCEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC .∴ DO ⊥平面ABEF .故可以O 为坐标原点，直线EF 、OD 分别为x 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标O xyz -，可得(1,4,0)A ，(3,4,0)B -，(3,0,0)E -，D ，(1,0,0)F，(C -.则(4,0,0)AB =-，(1,AD =-，(0,4,0)FA =，(FD =-. 设平面ADF 的法向量为(,,1)m x y =，则由00m FA m FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(3,0,1)m ∴=.设平面ABCD 的法向量为22(,,1)n x y =，则由00n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2204x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，3(0,,1)4n ∴=. 则219cos ,m n m n m n⋅==⋅由于二面角F AD B --是钝角，故二面角F AD B --的余弦值为19-.（12分） 22、解：（1）设1(,0)(0)C a a >，依题意有2234,1a a +=∴=. 1a ∴=. 故圆1C 的方程为22(1)4x y -+=.（2分）易知直线1y k x =+经过圆1C 内的点（0，1），故该直线必与圆1C 有两个交点A ,B.设1122(,),(,)A x y B x y由221(1)4y kx x y =+⎧⎨-+=⎩可得22(1)(22)20k x k x ++--=，则122221k x x k -+=-+， 12221x x k=-+.（4分） 1212OA OB x x y y ∴⋅=+＝221212222(1)()1211k kk x x k x x k-++++=--++ 22231k k+=-++ （7分） 令221,()1(1)22t tt k f t t t t =+==+--+，0,1k t >∴>.11()222f ttt∴=≤=+-.当且仅当t=，即1k=时等号成立.故OA OB⋅2.（9分）（2）设000(,)(0)R x y y≠，则2200(1)4x y-+=，又可得(1,0),(3,0)M N-.故直线RM的方程为0(1)1yy xx=++，0(,)1yp ox∴+.又直线RN的方程为0(3)3yy xx=--，03(0,)3yQx-∴-.故圆2C的方程为200003()()013y yx y yx x+-+=+-，即2200003()3031y yx y yx x++-+=-+.当0y=时，x=2C过定点(和0)，而点0)在圆1C的内部，故当点R变化时，以PQ为直径的圆2C总是经过圆1C内部的定点0).（12分）。
湖北省部分重点中学2015-2016上学期高二期中考试数学试题(理科)(含详细答案)
湖北省部分重点中学2015-2016上学期高二期中考试数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.下列命题正确的是（）A.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数3. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是（）A．B．C．D．与P点位置有关5.在同一坐标系下，直线ax+by=ab和圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（ab≠0，r＞0）的图象可能是（）A． B．C．D．6. 在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A． B. C. D.27. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．38.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A．11.8万元B．11.4万元C．12.0万元D．12.2万元9. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1410. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%11. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是（）A．{t|} B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}12. 已知△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上一点，P是平面ABC外一点，下列四个命题正确的是（）①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，M是AB边上中点，则有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC是的距离为．其中正确命题的序号是A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.与直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为．14. 若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．15. 在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的表面积为．16. 点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②DP⊥BC1；③A1P∥面ACD1；④面PDB1⊥面ACD1．其中正确的命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人和成绩位于[]90,100分数段的人均被抽到的概率。
2016-2017年第一学期高二数学期中试题及答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
礼券额
20
40
60
80
100
120
100
80
60
40
20
方案3总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．
总点数
2
3
4567891011
12
礼券额
120
100
80
60
40
20
40
60
80
100
120
如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．
17.（10分）用秦九韶算法求多项式
当 时的值。
18.（12分）为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为 ，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多 少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
（3）据（2）的结果估计当房屋面积为 时的销售价格．
21.（12分）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
（2）记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有2×3=6个，故P
湖北省部分重点中学2016-2017学年度上学期期中联考 高二数学试卷(理科)参考答案
24, < >= ,
所以AB与EF所成角的正切值为 . …………………(12分)
20．（1）在 中， ， ，
，在 中，
， ，
可得： ．
．又 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
．…………………(6分)
（2）取线段 的中点 ，连接 , , ．
(Ⅱ)解:如图,过点A作AQ∥EF,交MP于点Q,
则∠BAQ是AB与EF所成的角,且AQ⊥平面BMQ.
在△BMQ中,由∠BMQ＝ ,BM＝MQ＝2,得BQ= 2.
在Rt△BAQ中，由AQ＝AC ＋CM＝4 ,BQ= 2,得tan∠BAQ= .
因此AB与EF所成角的正切值为 . …………………(12分)
方法二: (Ⅰ)解:如图,在平面 内,过点P作PM⊥EF,点M为垂足,连结BM,则∠BMP为二面角 －EF－ 的平面角.以点P为坐标原点,以直线PM为x轴,射线PB为z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz.
在Rt△BMC中,
由∠BCM＝ ,CB= 4,得CM= ,BM=2.
在Rt△BMP中,
又 平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
= = = ，
过点 作 交 于 ， 平面 ，
， ，
， ，
= = ，
= = ，
平面 将三棱锥 分成的两部分的体积之比 ……(12分)
21．解：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，
∴ ， 为 与 的交点，
∴O为 的中点，
又 为等边三角形，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ， ，
∵ ，∴
∵ 平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）A．12 B．11 C．10 D．92．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．4．（5分）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（）A．α和β都垂直于同一平面B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β5．（5分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．4π6．（5分）已知平面α的法向量为=（3，﹣1，2），=（﹣3，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α7．（5分）下列的算法流程图中，其中能够实现求两个正整数的最大公约数的算法有（）个．A．1 B．2 C．3 D．08．（5分）下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②相等的线段在直观图中仍然相等③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）过正三棱锥S﹣ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为（）A．B．C．或D．或10．（5分）球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的体积为（）A． B．4πC．12πD．11．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．12．（5分）已知如图1，点E，F，G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上，以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图在下列四个图（图2）中有可能的情形有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为cm3．14．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解的程序框图，要求解的精确度为ε，①处填的内容是，②处填的内容是．15．（5分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1长为3，且∠A1AB=∠A1AD=120°，则AC1=．16．（5分）棱长均相等的四面体A﹣BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．18．（12分）（1）已知如图1平面α，β，γ和直线l，若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，求证：l⊥γ；（2）已知如图2平面α和β，直线l和α，且α∩β=l，若a∥α，a∥β，求证：a∥l．19．（12分）如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α﹣EF﹣β，BP⊥平面α，点P为垂足．（Ⅰ）求△ACP的面积；（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值．20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC上，且BD=3BE，BC=2BF．（1）求证：BC⊥AD；（2）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．21．（12分）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF 为等边三角形，O为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．22．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）A．12 B．11 C．10 D．9【解答】解：∵由题意可得，（101）2=1×22+0×21+1×20=5．110（2）=1×22+1×21+0×20=6．∴5+6=11．故选：B．2．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选：D．3．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：B．4．（5分）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（）A．α和β都垂直于同一平面B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β【解答】解：利用排除法：对于A：如图所示对于B：α内不共线的三点到β的距离相等，必须是α内不共线的三点在β的同侧．对于C：l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β，l和m不是平行直线．故选：D．5．（5分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．4π【解答】解：将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，如图所示：则BC⊥CD，BA⊥AD，OA=OB=OC=OD，三棱锥C﹣ABD的外接球直径为BD=2，外接球的表面积为4πR2=（2）2π=8π．故选：A．6．（5分）已知平面α的法向量为=（3，﹣1，2），=（﹣3，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α【解答】解：∵=﹣，∴∥，∴直线AB与平面α的位置关系为相交．故选：C．7．（5分）下列的算法流程图中，其中能够实现求两个正整数的最大公约数的算法有（）个．A．1 B．2 C．3 D．0【解答】解：①辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里得算法，算法如下：第一步，输入两个正整数m，n，第二步，m除以n的余数是r，接下来，将原来的除数作为新的被除数，原来的余数作为除数，继续上面的过程，直到余数r=0，退出程序，输出两个正整数的最大公约数m．②更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，算法如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数．若是，则用2约简；若不是则执行第二步．第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数．结合算法，模拟执行流程图，即可得解能够实现两个正整数的最大公约数的算法有3个．故选：C．8．（5分）下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②相等的线段在直观图中仍然相等③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故①错误．②相等的线段在直观图中仍然相等，不一定相等，不正确；③根据一个直角三角形绕其一个直角边边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，可得不正确；④用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，不正确．故选：A．9．（5分）过正三棱锥S﹣ABC侧棱SB与底面中心O作截面SBO，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：延长BO交AC于D，则D为AC中点．截面为△SBD．由正棱锥的性质，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDC为侧面和底面所成角的平面角．设底面边长BC=2．易知SB≠SD．（1）若SD=BD，则SC=BC，正三棱锥S﹣ABC为正四面体．BD==，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB===．（2）若SB=BD=，在RT△SDA中，SD=，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB===故选：C．10．（5分）球O与锐二面角α﹣l﹣β的两半平面相切，两切点间的距离为，O点到交线l的距离为2，则球O的体积为（）A． B．4πC．12πD．【解答】解：设OAB平面与棱l交于点C，则△OAC为直角三角形，且AB⊥OC，OC=2设OA=x，AC=y，则由等面积可得xy=∵x2+y2=4∴或时，∠ACO=30°，∠ACB=60°，满足题意，球的体积为π；时，∠ACO=60°，∠ACB=120°，不满足题意，故选：A．11．（5分）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．【解答】解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．故选：A．12．（5分）已知如图1，点E，F，G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上，以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图在下列四个图（图2）中有可能的情形有（）种．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在底面ABCD上考察，P、M、N、Q四点在俯视图中它们分别在BC、CD、DA、AB上，先考察形状，再考察俯视图中的实虚线，可判断C不可能，因为该等腰三角形且当中无虚线，说明有两个顶点投到底面上重合了，只能是Q、N投射到点A或者M、N投射到点D，此时俯视图不可能是等腰三角形．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为16πcm3．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，设圆锥的半径为r，∴有πr×5=20π⇒r=4，∴圆锥的高为=3，∴圆锥的体积为×π×r2×3=16πcm3．故答案：16πcm3．14．（5分）如图是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解的程序框图，要求解的精确度为ε，①处填的内容是f（x1）•f（m）＜0，②处填的内容是|x1﹣x2|＜ε．【解答】解：由已知得该程序的作用是用二分法求方程x2﹣2=0在[﹣2，2]的近似解，①框的作用是判断零在二分区间后的哪个区间上，根据零存在定理，及判断框的“是”、“否”指向，不难得到该框是判断a，m的函数值是否异号故①框填：f（x1）•f（m）＜0；而由要求解的精确度为0.0001故可知②框是判断精度是否满足条件，以决定是否继续循环的语句，故②框应填：|x1﹣x2|＜ε故答案为f（x 1）•f（m）＜0；|x1﹣x2|＜ε．15．（5分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1长为3，且∠A1AB=∠A1AD=120°，则AC1=．【解答】解：==4+4+9+0+2×2×3×（﹣）+2×2×3×（﹣）=5．∴AC1=．故答案为．16．（5分）棱长均相等的四面体A﹣BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是．【解答】解：由题意把正四面体A﹣BCD放到正方体BK内，则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面APQ 所成角的余弦值，问题等价于平面APQ绕AP转动，当平面ACD与平面APQ所成角等于BK与AP夹角时，平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，此时该正弦值为：；当平面APQ与BK平行时，所成角为0°，此时正弦值为1．∴平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为[，1]．故答案为：[，1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f（﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f（3）=a3﹣1=7，∴a=2．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x＜0时，f（x）=﹣2x＞1，∴；②当x≥0时，f（x）=2x﹣1＞1，∴x＞1．综上满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为或x＞1}．18．（12分）（1）已知如图1平面α，β，γ和直线l，若α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ，求证：l⊥γ；（2）已知如图2平面α和β，直线l和α，且α∩β=l，若a∥α，a∥β，求证：a∥l．【解答】证明：（1）如图，在平面内γ任取一点P，过点P作PA⊥l1，PB⊥l2，A，B为垂足，…（1分）∵α∩γ=l1，α⊥γ，PA⊂γ，∴PA⊥α又∵l⊂α，∴PA⊥l…（3分）同理：PB⊥l…（5分）∴l⊥γ…（6分）（2）过直线a作平面γ1，γ2使得α∩γ1=l1，β∩γ2=l2…（1分）∵a∥α，α∩γ1=l1，a⊂γ1，∴a∥l1…（3分）同理a∥l2，∴l1∥l2，又l1⊂α，l2⊂β，∴l1∥β，∴l1∥l…（5分）∴a∥l…（6分）19．（12分）如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α﹣EF﹣β，BP⊥平面α，点P为垂足．（Ⅰ）求△ACP的面积；（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）如图，在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连接BM，则∠BMP为二面角α﹣EF﹣β的平面角．在Rt△BMC中，由∠BCM=30°，CB=4，得CM=，BM=2．在Rt△BMP中，由∠BMP=60°，BM=2，得MP=1．在Rt△CMP中，由CM=，MP=1，得CP=，cos∠PCM=，sin∠PCM=．=．…（7分）故sin∠ACP=sin（150°﹣∠PCM）=．所以S△ACP（Ⅱ）如图，过点A作AQ∥EF，交MP于点Q，则∠BAQ是AB与EF所成的角，且AQ⊥平面BMQ．在△BMQ中，由∠BMQ=60°，BM=MQ=2，得BQ=2．…（10分）在Rt△BAQ中，由AQ=AC•cos30°+CM=4，BQ=2，得tan∠BAQ=．因此AB与EF所成角的正切值为．…（13分）20．（12分）在如图所示三棱锥D﹣ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC上，且BD=3BE，BC=2BF．（1）求证：BC⊥AD；（2）求平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成两部分的体积之比．【解答】（1）证明：在Rt△ADC中，AD=DC=2，AD⊥DC，∴，在△ABC中，∵∠BAC=45°，AB=4，∴BC2=AC2+AB2+2AC•AB•cos45°=，可得：，∴AC2+BC2=AB2．则AC⊥BC．又∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面ACD，得AD⊥BC；（2）解：取线段AC的中点O，连接DO，∵AD=CD，∴DO⊥AC．又∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，∴DO⊥平面ABC，，，∴V D===，﹣ABC过点E作EG∥DO交BO于G，∴EG⊥平面ABC，∵BD=3BE，∴，∵BC=2BF，∴，V A﹣EBF═=，=V D﹣ABC﹣V E﹣ABF=，∴V A﹣EFCD∴平面AEF将三棱锥D﹣ABC分成的两部分的体积之比．21．（12分）如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF 为等边三角形，O为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点，又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF，∵AC⊂平面ACEF，OF⊂平面ACEF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面ACEF．（Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF，∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB=2，∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），A（，0，0），F（0，0，），∵=，∴E（﹣2，0，），=（﹣，﹣1，0），=（﹣2，﹣1，），设=（x，y，z）为平面BEC的法向量，则，取x=1，得=（1，﹣，1），则理求得平面ECD的法向量=（1，，1），设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==，∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为．22．（12分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）设点Q满足，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD．∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，故BD=4，．又设PO=x，则，，所以O（0，0，0），P（0，0，x），，，故，所以，当时，．此时，…（6分）设点Q的坐标为（a，0，c），由（1）知，，则，，，．∴，，∵，∴．∴，∴．（10分）设平面PBD的法向量为，则．∵，，∴取x=1，解得：y=0，z=1，所以．…（8分）设直线OQ与平面E所成的角θ，∴=．…（10分）又∵λ＞0∴．∵，∴．因此直线OQ与平面E所成的角大于，即结论成立．…（12分）。
2016-2017学年湖北省武汉市江岸区高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
2016-2017学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x||x+2|≤3}，则A∩B=（）A．{x|﹣5≤x＜﹣1}B．{x|﹣5≤x＜5}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|1≤x＜5} 2．（5分）已知复数为实数，则实数m的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣3．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．0 B．1 C．4 D．66．（5分）执行如图的程序框图，若输入的i=1，那么输出的n=（）A．B．C．D．7．（5分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.458．（5分）已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的最大值是（）A．1 B．2 C．D．9．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|=|PF|，则△PMF的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．3210．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+1，g（x）=则函数h（x）=g（f（x））﹣a（a为正常数）的零点个数最多为（）A．2 B．4 C．9 D．8二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=．12．（5分）利用计算机产生0﹣1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为．13．（5分）在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是．14．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．15．（5分）已知两点M（﹣5，0）、N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“和谐直线”，给出下列直线：①y=x﹣1；②y=﹣x；③y=x；④y=2x+1．其中为“和谐直线”的是．（填全部正确答案的序号）16．（5分）已知点P是直线l：kx+y﹣2=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A、B是切点．若四边形PACB的最小面积为，则k=．17．（5分）已知函数f（x）=其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=k（x+1）（k＞0）有3个不同的实数根，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足bcosC+bsinC=a+c．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=，求2a﹣c的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣2a n=2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．20．（13分）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1=a，A1B1=A1A=2，点D，E分别为棱B1B，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：AD⊥平面BEC1；（Ⅱ）当a为何值时，异面直线AD与BC所成的角为60°？21．（14分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：（+1）n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）．22．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过椭圆右焦点F的任一弦，问：在x轴上是否存在定点C，使得•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x||x+2|≤3}，则A∩B=（）A．{x|﹣5≤x＜﹣1}B．{x|﹣5≤x＜5}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|1≤x＜5}【解答】解：由A中的不等式变形得：（x+1）（x﹣6）＜0，解得：﹣1＜x＜6，即A={x|﹣1＜x＜6}，由B中的不等式解得：﹣5≤x≤1，即B={x|﹣5≤x≤1}；则A∩B={x|﹣1＜x≤1}故选：C．2．（5分）已知复数为实数，则实数m的值为（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：由=，∵复数为实数，∴，解得m=﹣．故选：D．3．（5分）“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由lgx，lgy，lgz成等差数列可得2lgy=lgx+lgz，故可得lgy2=lgxz，故可得y2=xz；而由y2=xz不能推出lgx，lgy，lgz成等差数列，比如当x和z均为负数时，对数无意义．故“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图知，该几何体为圆柱上面加上一个圆锥，圆柱底面直径为2，高为1，圆锥母线为2，高为，所以体积为=π+π．故选：D．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．0 B．1 C．4 D．6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，故选：B．6．（5分）执行如图的程序框图，若输入的i=1，那么输出的n=（）A．B．C．D．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=2，m=1，n=；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=3，m=2，n=；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=4，m=3，n=；当i=4时，不满足进行循环的条件，故输出的n值为；故选：C．7．（5分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在[﹣，]上是增函数，∴，求得ω≤，则ω的最大值为，故选：C．9．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|=|PF|，则△PMF的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：如图所示，F（2，0），过点P作PN⊥l，垂足为N．∵|PM|=|PF|，|PF|=|PN|，∴|PM|=|PN|，设P，则±t=+2，解得t=±4．∴△PMF的面积===8．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+1，g（x）=则函数h（x）=g（f（x））﹣a（a为正常数）的零点个数最多为（）A．2 B．4 C．9 D．8【解答】解：令t=f（x），则g（t）=a，当t＞0时，由g（t）=a，得，即4t2﹣4t+5﹣a=0，即（2t﹣1）2=a﹣4，①当t≤0，由g（t）=a，得﹣t2﹣6t﹣8=a，即（t+3）2=a﹣1，即t=﹣3，②若0＜a＜1，①无解，②无解；若a=1，①无解，由②得t=﹣3；若1＜a＜4，①无解，由②得t=﹣3；若a=4，由①得t=，由②得t=﹣3；若4＜a＜5，由①得t=，由②得t=﹣3；若a=5，由①得t=1，由②得t=﹣1，t=﹣5；若5＜a≤10，由①得t=，由②得t=﹣3；若a＞10，由①得t=，由②得t=﹣3﹣．函数f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），由f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，此时函数单调递减，即当x=0时，函数取得极大值f（0）=1，当x=2时，函数取得极小值f（2）=﹣3，则当4＜a＜5时，此时t=或t=﹣3+∈（﹣3，1），函数h（x）=g（f（x））﹣a（a为正常数）的零点个数最多为9个．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=．【解答】解：由已知中等式：12=1=，12﹣22=﹣3=，12﹣22+32=6=，12﹣22+32﹣42=﹣10=，…由此我们可以推论出一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=故答案为：12．（5分）利用计算机产生0﹣1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为．【解答】解：由3a﹣1＜0得：a＜，数集（0，）的长度为，数集（0，1）的长度为1，∴事件“3a﹣1＜0”发生的概率为；故答案为：．13．（5分）在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是2．【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，∴=•，∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），∴3a+4=6+4b，∴3a﹣4b=2，故答案为：2．14．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故答案为：．15．（5分）已知两点M（﹣5，0）、N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“和谐直线”，给出下列直线：①y=x﹣1；②y=﹣x；③y=x；④y=2x+1．其中为“和谐直线”的是①②．（填全部正确答案的序号）【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|=6，∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，双曲线的方程为﹣=1．∵双曲线的渐近线方程为y=±x∴直线y=x与双曲线没有公共点，直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞，与双曲线也没有公共点．而直线①y=x﹣1、②y=﹣x都与双曲线﹣=1有交点因此，在①y=x﹣1、②y=﹣x上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，满足“和谐直线”的条件．只有①②正确．故答案是：①②．16．（5分）已知点P是直线l：kx+y﹣2=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A、B是切点．若四边形PACB的最小面积为，则k=．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y+1）2=1，∴圆心C（0，﹣1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为，∴PA=PB═，∴圆心到直线l的距离为d=．∵直线kx+y﹣2=0，∴=，解得k=±，所求直线的斜率为故答案为：．17．（5分）已知函数f（x）=其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=k（x+1）（k＞0）有3个不同的实数根，则实数k的取值范围是[，）．【解答】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2．当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x．当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2设g（x）=k（x+1），则g（x）过定点（﹣1，0），坐标系中作出函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图：当直线y=g（x）绕着点（﹣1，0）从（2，1）到（3，1）时，图象有3个交点．由两点（﹣1，0）和（2，1）的斜率为=；两点（﹣1，0）和（3，1）的斜率为=．故实数k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足bcosC+bsinC=a+c．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若b=，求2a﹣c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴．∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）．∴．化简，得．又sinC＞0，∴．∴．又0＜B＜π，∴．…（6分）（Ⅱ）∵，∴．由正弦定理，得，即a=2sinA，c=2sinC．所以==．∵，∴．∴，．所以2a﹣c的取值范围为．…（12分）19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣2a n=2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴．∴{}是以为首项，1为公差的等差数列．∴．则；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，∴．两式相减，得=．得．20．（13分）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1=a，A1B1=A1A=2，点D，E分别为棱B1B，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：AD⊥平面BEC1；（Ⅱ）当a为何值时，异面直线AD与BC所成的角为60°？【解答】解：（Ⅰ）因为三棱柱是直棱柱，所以平面A1B1C1⊥平面A1B1BA．因为A1C1=B1C1，E为A1B1的中点，所以C1E⊥A1B1．所以C1E⊥平面A1B1BA．因为AD⊂平面A1B1BA，所以C1E⊥AD．因为A1B1=A1A=2，点D，E分别为棱B1B，A1B1的中点，所以AD⊥BE．因为C1E⊂平面BEC1，BE⊂平面BEC1，C1E∩BE=E，所以AD⊥平面BEC1．…（6分）（Ⅱ）取C1C的中点F，连结DF，AF．因为DF∥BC，所以∠ADF为异面直线AD与BC所成的角，即∠ADF=60°．在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，所以．在Rt△AFC中，AC=a，CF=1，所以．显然DF=BC=a．在△ADF中，由余弦定理，得．所以，解得．…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：（+1）n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣x，．当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）＜0．所以，函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数．所以，当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0．…（4分）（Ⅱ）解：．（1）若a≥1，则，f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0在（0，+∞）上恒成立；（2）若a≤0，则，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．（3）证明：若0＜a＜1，则，且．当时，f'（x）＞0，f（x）在上单调递增，此时f（x）＞f（0）=0，不符合题意．综上，所求a的取值范围[1，+∞）．…（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，所以在（0，+∞）上恒成立．于是，所以．取，得．…（14分）22．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过椭圆右焦点F的任一弦，问：在x轴上是否存在定点C，使得•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由在椭圆上，得．由，得，即a=2c．又a2=b2+c2，∴a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（n，0），使得为常数．设直线AB：x=my+1，联立方程，化为得（3m2+4）y2+6my﹣9=0．设A（x 1，y1），B（x2，y2），则，．于是x 1+x2=m（y1+y2）+2，．∴=====．∵与m无关，∴时，．故在x轴上存在定点，使为常数．。
2017年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考高二上学期数学期中试卷与解析
2016-2017学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是（）A．16 B．12 C．8 D．42．（5分）已知全集U为R，集合A={x|x2＜4}，B=（x﹣2）}，则下列关系正确的是（）A．A∪B=R B．A∪（∁∪B）=R C．（∁∪A）∪B=R D．A∩（∁∪B）=A3．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．6 B．3 C．D．4．（5分）设l为直线，α，β为不同的平面，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，α∥β，则l∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β5．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．（5分）在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．17．（5分）已知函数f（x）=sinxcos2x，下列结论正确的是（）A．y=f（x）的图象关于对称B．y=f（x）的图象关于对称C．y=f（x）的图象关于y轴对称D．y=f（x）不是周期函数8．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则（）A．该几何体的表面积为4+2πB．该几何体的体积为πC．该几何体的表面积为4+4πD．该几何体的体积为π9．（5分）已知点P（x，y）满足过点P的直线与圆x2+y2=36相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．8 B．C．D．1010．（5分）已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A．B．2 C．D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=，判断框内填入的条件可以是（）A．n＜10 B．n≤10 C．n≤1024 D．n＜102412．（5分）钝角△OAB三边的比为2：2：（﹣），O为坐标原点，A （2，2）、B（a，a），则a的值为（）A．2 B．C．2或D．+二、填空题13．（5分）直线2x+y﹣2=0被圆x2+y2=5截得的弦长为．14．（5分）已知θ服从上的均匀分布，则2|sinθ|＜成立的概率为．15．（5分）已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2，则此四面体外接球的表面积为．16．（5分）记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令，则t的最大值为．三、解答题17．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩（单位：cm），用茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为合格，成绩在175cm以下（不含175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不含165cm）定义为“不合格”．（1）求男生跳远成绩的中位数．（2）根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，求抽取的5人中女生的人数．（3）以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率．18．（12分）已知函数f（x）=在（﹣1，+∞）是增函数．（1）当b=1时，求a的取值范围．（2）若g（x）=f（x）﹣1008没有零点，f（1）=0，求f（﹣3）的值．19．（12分）在数列{a n}中，a1=1a n+1=，n∈N*．（1）求证数列为等比数列．（2）求数列{a n}的前n项和S n．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB⊥AC．（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．21．（12分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣（x+1）+5．（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3，l4，l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．22．（10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a=，求角C．2016-2017学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是（）A．16 B．12 C．8 D．4【解答】解：在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16﹣12=4，12﹣4=8，8﹣4=4，由此可以看出12与16的最大公约数是4．故选：D．2．（5分）已知全集U为R，集合A={x|x2＜4}，B=（x﹣2）}，则下列关系正确的是（）A．A∪B=R B．A∪（∁∪B）=R C．（∁∪A）∪B=R D．A∩（∁∪B）=A【解答】解：全集U为R，集合A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，B=（x﹣2）}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，A∪B={x|x＞﹣2且x≠2}，A错误；∁U B={x|x≤2}，A∪（∁U B）={x|x≤2}，B错误；∁U A={x|x≤﹣2或x≥2}，∴（∁U A）∪B={x|x≤﹣2或x≥2}，C错误；A∩（∁U B）={x|﹣2＜x＜2}=A，D正确．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1（ω＞0）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．6 B．3 C．D．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）﹣1的图象向右平移个单位后，可得函数y=2sin[ω（x﹣）+]﹣1=2sin（ωx+﹣）﹣1的图象．再根据所得图象与原图象重合，可得﹣=2kπ，k∈z．即ω=﹣6k，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为，6故选：A．4．（5分）设l为直线，α，β为不同的平面，下列命题正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，α∥β，则l∥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β【解答】解：对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故B错；对于C，若l⊥α，l∥β，可过l作一个平面与β相交于m，则m∥l，且m⊥α，则α⊥β，故C正确；对于D，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故D错．故选：C．5．（5分）直线xcosθ+y﹣1=0（θ∈R且θ≠kπ，k∈Z）与圆2x2+2y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：圆2x2+2y2=1 即x2+y2=，圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离等于，由于θ≠kπ，k∈Z，∴cosθ≠±1，∴＞，即圆心（0，0）到直线xcosθ+y﹣1=0的距离大于半径，故直线和圆相离，故选：C．6．（5分）在△OAB中，C为边AB上任意一点，D为OC上靠近O的一个三等分点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵D为OC上靠近O的一个三等分点，∴3=，又∵=λ+μ，∴=3λ+3μ，∵C为边AB上任意一点，∴3λ+3μ=1，故λ+μ=，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=sinxcos2x，下列结论正确的是（）A．y=f（x）的图象关于对称B．y=f（x）的图象关于对称C．y=f（x）的图象关于y轴对称D．y=f（x）不是周期函数【解答】解：对于函数f（x）=sinxcos2x，∵f（π﹣x）=sin（π﹣x）cos2（π﹣x）=sinxcos2x=f（x），∴f（x）关于直线x=对称，故A正确，B不正确．根据f（﹣x）=﹣sinxcos2x=﹣f（x），故函数为奇函数，它的图象关于x轴对称，故排除C．∵f（x+2π）=sin（2π+x）cos2（2π+x）=sinxcos2x=f（x），∴2π是函数y=f（x）的周期，故D错误．故选：A．8．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则（）A．该几何体的表面积为4+2πB．该几何体的体积为πC．该几何体的表面积为4+4πD．该几何体的体积为π【解答】解：由三视图可知，该几何体为上部为半径为的球，下部为半径为1，高为2的半个圆柱，球的表面积：4π×（）2=π，半圆柱的底面面积为2××π=π，半圆柱的侧面积为2×（2+π）=4+2π．几何体的表面积为：4+4π．故选：C．9．（5分）已知点P（x，y）满足过点P的直线与圆x2+y2=36相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．8 B．C．D．10【解答】解：不等式对应的平面区域为三角形CDE，C（3，3），D（2，2），E（2，4）过点P的直线l与圆x2+y2=36相交于A、B两点，要使|AB|最小，则圆心到过P 的直线的距离最大，当点P在E处时，满足条件，此时OE⊥AB，此时|OE|==2，∴|AB|=2|BE|=2=8，故选：A．10．（5分）已知一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，那么3，4，5，a，b这组数据的方差为（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵一组数据3，4，5，a，b的平均数是4，中位数是m，从3，4，5，a，b，m这组数据中任取一数，取到数字4的概率为，∴，解得a=4，b=4，m=4，∴3，4，5，a，b这组数据的方差为：S2=[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2]=．故选：D．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=，判断框内填入的条件可以是（）A．n＜10 B．n≤10 C．n≤1024 D．n＜1024【解答】解：本程序的功能是计算S=+++…+==1﹣，∵S+=，∴S=，∴1﹣=，∴=，∴k=10，即运行了10次，故可判断框内可填入的条件n≤210=1024，故选：C．12．（5分）钝角△OAB三边的比为2：2：（﹣），O为坐标原点，A （2，2）、B（a，a），则a的值为（）A．2 B．C．2或D．+【解答】解：由题意画出图象：（1）当OA：0B：AB=2：2：（﹣）时，则cos∠OBA===，因为∠OBA是内角，则∠OBA=120°，cos∠OAB====，因为∠OAB是内角，则∠OAB=45°，在△OAB中，由正弦定理得，则OB===，因B（a，a），则a=，解得a=，（2）当OB：0A：AB=2：2：（﹣）时，则cos∠OAB===，因为∠OAB是内角，则∠OAB=120°，cos∠OBA====，因为∠OBA是内角，则∠OBA=45°，在△OAB中，由正弦定理得，则OB===2，因B（a，a），则a=2，解得a=2，综上可得，a的值是或2故选：C．二、填空题13．（5分）直线2x+y﹣2=0被圆x2+y2=5截得的弦长为．【解答】解：由题意，弦心距为：=；半径为：，半弦长为：，弦长=．故答案为：．14．（5分）已知θ服从上的均匀分布，则2|sinθ|＜成立的概率为．【解答】解：θ服从上的均匀分布，区间长度为π，在此范围下满足2|sinθ|＜的θ∈[]，区间长度为，由几何概型得到所求概率为；故答案为：．15．（5分）已知四面体P﹣ABC各面都是直角三角形，且最长棱长PC=2，则此四面体外接球的表面积为12π．【解答】解：若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，将此三棱锥的外接球的直径为2，故此三棱锥的外接球的半径为，故此三棱锥的外接球的表面积S=4π•3=12π，故答案为：12π．16．（5分）记Min{a，b}为a、b两数中的最小值，当正数x，y变化时，令，则t的最大值为2．【解答】解：∵，∴当时有4x+y≤2；当时，有，∴t≤2，故答案：2．三、解答题17．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已测得五年级一班30名学生的跳远成绩（单位：cm），用茎叶图统计如图，男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为合格，成绩在175cm以下（不含175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不含165cm）定义为“不合格”．（1）求男生跳远成绩的中位数．（2）根据男女生的不同，用分层抽样的方法从该班学生中抽取1个容量为5的样本，求抽取的5人中女生的人数．（3）以此作为样本，估计该校五年级学生体质的合格率．【解答】解：（1）男生跳远成绩数据为偶数个，∴中位数为（cm）．…（4分）（2）女生总人数为18人，所占比例为，∴女生应抽取的人数为人．…（8分）（3）由茎叶图可知，样本中男生有8人合格，女生有10人合格．样本的合格率为=60%．∴该校五年级学生体质的合格率估计为60%．…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=在（﹣1，+∞）是增函数．（1）当b=1时，求a的取值范围．（2）若g（x）=f（x）﹣1008没有零点，f（1）=0，求f（﹣3）的值．【解答】解：（1）b=1时…（3分）∵f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，∴1﹣a＜0即a＞1．所求a的范围为（1，+∞）．…（6分）（2），∴f（x）关于点（﹣1，a）对称．即f（x）+f（﹣2﹣x）=2a…（8分）∵g（x）=f（x）﹣1008没有零点，∴a=1008…（10分）∵f（1）=0又f（1）+f（﹣3）=2×1008=2016∴f（﹣3）=2016…（12分）19．（12分）在数列{a n}中，a1=1a n+1=，n∈N*．（1）求证数列为等比数列．（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：由，得，又，∴是首项为1，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知，是首项为1，公比为2的等比数列，∴，则，则，…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，两式作差得：﹣Sn=1+2+22+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴．20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．（1）求证：PB⊥AC．（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．【解答】证明：（1）设AD中点为F连接BF、PF．∵PA=PD=AB=a，∴，∴．∴△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…（4分）又∵PF⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PF⊥面ABC，∴PF⊥AC，∴AC⊥平面PBF，AC⊥PB．…（6分）解：（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO．由（1）知EH⊥面ACD，HO⊥AC，∴∠EOH为二面角E﹣AC﹣D的平面角…（8分）．．∴．∴二面角E﹣AC﹣D的正切值为．…（12分）21．（12分）已知圆C1：（x+2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，过点P（﹣1，5）作两条互相垂直的直线l1：y=k（x+1）+5，l2：y=﹣（x+1）+5．（1）若k=2时，设l1与圆C1交于A、B两点，求经过A、B两点面积最小的圆的方程．（2）若l1与圆C1相交，求证：l2与圆C2相交，且l1被圆C1截得的弦长与l2被圆C2截得的弦长相等．（3）是否存在点Q，过Q的无数多对斜率之积为1的直线l3，l4，l3被圆C1截得的弦长与l4被圆C2截得的弦长相等．若存在求Q的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当k=2时，l1的方程为y=2x+7联立方程组，整理得5x2+28x+36=0设A、B为A（x1，y1），B（x2，y2）∴，，，，经过A、B两点面积最小的圆应是以AB为直径的圆，圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0．即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2=0所求圆的方程：…（4分）（2）设圆C1的圆心到l1的距离为d1，圆C2的圆心到l2的距离为d2，则，∴l2与圆C2相交，∵两圆的半径相等，而两弦心距相等，∴所截得的弦长相等．（3）设Q（a，b）ℓ3的方程为y=m（x﹣a）+b．l4的方程为，依题意圆C1的圆心到l3的距离为，由d3=d4得|1﹣b+m（a+2）|=|a﹣3+m（4﹣b）|∴1﹣b+m（a+2）=a﹣3+m（4﹣b）（1）或1﹣b+m（a+2）=3﹣a+m（b﹣4）（2）（1）（2）对于无数多个m的值都成立∴（3）或（4）（3）（4）都无解∴Q不存在…（12分）22．（10分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）是偶函数，且b=f（）．（1）求b．（2）若a=，求角C．【解答】（本题满分为10分）解：（1）f（x）=sin（3x+B）+cos（3x+B）=，∵f（x）是偶函数，∴…（2分）∵B∈（0，π），∴…（4分）∴，∴．…（6分）（2）∵，由正弦定理得：，…（8分）∵a＜b，∴，∴从而．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
湖北省部分重点中学高二数学上学期期中试题 理
湖北省部分重点中学2016－2017学年度上学期高二期中考试数 学 试 卷(理 科)一、选择题（5×12＝60分） 1. 下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2. 为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ）A.40 B.30 C.20 D.12 3. 已知直线⊥平面，直线m ，给出下列命题： ①∥②∥m; ③∥m④tan DCPCα∴=其中正确的命题是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③ 4. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为（ ）A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?5. 有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为 ( )A ． B ． C ． D ．6. 如右图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1、a 2的大小不确定7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48.两条异面直线a,b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a,b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A.1条B.2条C.3条D.4条9. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④10.如图，在棱长为1的正方体—中，点在线段上运动，给出以下四个命题：①异面直线与所成的角为定值；②二面角的大小为定值；③三棱锥的体积为定值；其中真命题的个数为( )A．B．C．D．11. 下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为，后因某未知原因第5组数据的值模糊不清，此位置数据记为（如下表所示），则利用回归方程可求得实数的值为（）（A）（B）（C）（D）12.在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝， SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是，若点S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A.B. 6 C.8 D.二、填空题（5×4＝20分）13. 已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N ②a⊥M，若b∥M,c∥a,则a⊥b,c⊥b③a⊥M，b M,若b∥M，则b⊥a④a b∩=A,c为b在内的射影，若a⊥c，则a⊥b。
湖北省重点高中联考协作体高二(上)期中数学试卷含答案
【解析】解：①的逆命题是“若푏2 = 9，则푏
= 3 ”，应是 푏
，故 错； =±3 ①
②的否命题是“如果两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，错；
③푐 ≤ 1时，判别式 △= 22−4 ⋅ 1 ⋅ 푐 = 4−4푐 ≥ 0，有实根；
④由逆否命题与原命题同真同假，若퐴 ∪ 퐵 = 퐴，则퐵 ⊆ 퐴，④错；
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1.【答案】B
答案和解析
【解析】解：集合푀 = {푥|−2 < 푥 < 3}， 由已知得푁 = {푥|2푥 > 1} = {푥|푥 > 0}
， 所以푀 ∩ 푁 = {푥|−2 < 푥 < 3} ∩ {푥|푥 > 0} = {푥|0 < 푥 < 3}．
故选：B． 求出集合 M，N，由此能求出푀 ∩ 푁．
2
A. 푒21 + 푒22 = 2
B. 푒2 푒2
+ =4
C.
1 푒21
+
1 푒22
=
2
D.
1 푒21
+
1 푒22
=
4
12
{ 12.
已知函数푓(푥) =
푥
+ 12,푥
≤
1 2
2푥−1,12 < 푥
푥−1,푥 ≥ 1
<
1，若数列{푎 }满足푎
푛
1
=
7푎
3
，
= 푓(푎 )(푛 ∈ 푁 ) ，
푛 +1
푛
+
21.
已知 ⊙ 퐶过点푃(1,1)，且与 ⊙ 푀：(푥
+
2)2
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省部分重点中学2016-2017学年高二上学期期末联考数学试题(理)
2016年秋季湖北省部分重点中学期末联考高二数学试卷（理）命题学校：应城一中 命题教师：陈志雄 审题教师：祁建红考试时间：2017年1月14日上午8:00～10：00 试卷满分：150分注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前。
考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是（ ）①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系； ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④2．下列命题中，正确的一个命题是（ ）A. “x ∃∈R ，使得012<-x ”的否定是：“x ∀∈R ，均有012>-x ”；B.“若3x =,则2230x x --=”的否命题是：“若3x ≠，则2230x x --≠”； C.“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题； D.“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是真命题．3．设随机变量ξ的分布列为3,2,1,)31()(=⋅==i a i P iξ，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．139 C ．1311 D ．13274．2016年9 月4日至5日在中国杭州召开了G20峰会，会后某10国集团领导人站成前排3人后排7人准备请摄影师给他们拍照，现摄影师打算从后排7人中任意抽2人调整到前排，使每排各5人。
若调整过程中另外8人的前后左右相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )A ．2327A CB ．5527A CC ．2527A CD ．2427A C5．下列命题中真命题为（ ）A.过点00(,)P x y 的直线都可表示为00()y y k x x -=-B.过两点1122(,),(,)x y x y 的直线都可表示为121121()()()()x x y y y y x x --=--C.过点（0，b ）的所有直线都可表示为y kx b =+D.不过原点的所有直线都可表示为1x ya b+= 6．在空间直角坐标系中已知点)3,0,0(P 和点)0,2,1(-C ,则在y 轴上到P 和C 的距离相等的点M 坐标是( )A ．)0,1,0(B ．)0,21,0(-C ．)0,21,0( D ．)0,2,0( 7．在圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中，若D 2＝E 2>4F ，则圆的位置满足( )A ．截两坐标轴所得弦的长度相等B ．与两坐标轴都相切C ．与两坐标轴相离D ．上述情况都有可能 8．设20172017221020152)2()2()2()32)(3(+++++++=+-x a x a x a a x x ，则 201721a a a +++ 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 9．直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）A ．若a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥αB ．若b ⊂α, a//b 则 a//αC ．若a//α,α∩β=b 则a//bD ．若a ⊥α, b ⊥α 则a//b10．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（ ）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．211011．袋中有8只球，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中任取3只球，以ξ表示取出的3只球中最大号码与最小号码的差，则()E ξ= （ ）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.512．把座位编号为6,5,4,3,2,1的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ）A. 240B. 288C. 144 D . 196第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2016年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试高二数学(理科)试卷含答案
湖北省重点高中联考协作体期中联考高二理科数学试卷（共4页）第1页2016年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试高二理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”,初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大哩，原来这句话的等价命题是A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福 2、抛物线214y x =的焦点坐标是 A ． ()1,0 B ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,1 D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭3、命题2",220"x R x x ∀∈++>的否定是A ．2000,220x R x x ∃∈++≤B ．2000,220x R x x ∃∉++>C ．2000,220x R x x ∀∈++≤D ．2000,220x R x x ∀∉++>4、若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，则能使l α的是A ．()()1,3,5,1,0,1a u =-=B ．()()1,0,0,2,0,0a u ==-C ．()()0,2,1,1,0,1a u ==-D ．()()1,1,3,0,3,1a u =-=5、已知定点()00,P x y 不在直线():,0l f x y =上，则方程()()00,,0f x y f x y -=表示一条A ．过点p 且垂直于l 的直线B ．过点p 且平行于l 的直线C ．不过点p 但垂直于l 的直线D ．不过点p 但平行于l 的直线6、使不等式240x ->成立的一个充分不必要条件是A ． 2x >B ．3x >C ．1x >D ．{}1,2x ∈7、已知椭圆的焦点是12,F F ，P 是椭圆上一个动点，如果M 是1F P 的中点，则动点M 的轨迹是A ． 圆B ．双曲线的一支C ．椭圆D ．抛物线 8、设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程为74120x y --=，则,a b 的值为湖北省重点高中联考协作体期中联考高二理科数学试卷（共4页）第2页A ．1,3a b ==B ． 3,1a b ==C ．239,5614a b ==D ．113,82a b == 9、给出以下命题：①曲线的切线一定和曲线只有一个交点②可导函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取得极值的必要不充分条件③若()f x 在(),a b 内存在导数，则'"()0"f x <是()f x 在(),a b 内单调递减的充要条件 ④求曲边梯形的面积用到了“以直代曲”的思想，在“近似代替”中，函数()f x 在区间[]1,i i x x +上的近似值可以是该区间内任一点的函数值()[]()1,i i i i f x x ξξ+∈其中正确的个数是A ． 1B ．2C ．3D ．410、双曲线：221412x y -=的离心率为m ，记函数2y x =与y mx =的图像所围成的阴影部分的面积为S ,任取[]0,2x ∈，[]0,4y ∈，则点(),x y 恰好落在阴影区域内的概率为A ．9617 B ．325 C ．61 D ．487 11、当[2,1]x ∈--时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[]5,3--B ．9,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(],2-∞-D ．[]4,3-- 12、若,A B 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使120AQB ︒∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为A．⎫⎪⎪⎣⎭ B．⎫⎪⎪⎣⎭ C．⎛ ⎝⎦ D．⎛ ⎝⎦二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13、函数()ln f x x x =-的单调递减区间为_______________.14、已知向量,a b 满足1,2a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=__________. 15、已知,,A B P 是双曲线2222-1x y a b=上不同的三点，且,A B 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k =,则该双曲线的离心率为__________. 16、已知定义在[]0,1上的函数()y f x =，()'f x 为()f x 导函数，()f x 图象如图。
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2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（5×12=60分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．123．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④4．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？5．（5分）有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为（（）A．B．C．D．6．（5分）如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（）A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1=a2D．a1，a2的大小不确定7．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）两条异面直线a，b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a，b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④10．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；③三棱锥D﹣BPC1的体积为定值；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为=0.8x﹣155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m（如表所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（）x196197200203204y1367mA．8.3 B．8.2 C．8.1 D．812．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题（5×4=20分）13．（5分）已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N②a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b③a⊥M，b⊄M，若b∥M，则b⊥a④a⊂β，b∩β=A，c为b在β内的射影，若a⊥c，则a⊥b．其中命题成立的是．14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．16．（5分）甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．三、解答题（10+12×5=70分）17．（10分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．18．（12分）已知：四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45°（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求点D到平面PCE的距离．19．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y1：12：13：44：520．（12分）已知四棱锥P﹣GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，PF：FC=k，求k的值．21．（12分）等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．22．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．2016-2017学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【解答】解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B不对；C、比如空间四边形则不是平面图形，故C不对；D、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确．故选：D．2．（5分）为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（）A．40 B．30 C．20 D．12【解答】解：抽样距==40．故选：A．3．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选：C．4．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故选：A．5．（5分）有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为（（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，从5根木棒中任取3根，有C53=10种情况，其中能构撘成三角形的有3、5、7，3、7、9，5、7、9，共3种情况，则能搭成三角形的概率为；故选：D．6．（5分）如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（）A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1=a2D．a1，a2的大小不确定【解答】解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分，，∴a2＞a1故选：B．7．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选：D．8．（5分）两条异面直线a，b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a，b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：过P作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′所成锐角为60°．①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a′、b′所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成60°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条．∵a′∥a，b′∥b，∴过点P与a′、b′都成60°角的直线，与a、b也都成60°的角．故选：C．9．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选：C．10．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；③三棱锥D﹣BPC1的体积为定值；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①因为在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，有正方体的及题意易有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以①正确；对于②因为二面角P﹣BC1﹣D的大小，实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故②正确；对于③三棱锥D﹣BPC1的体积还等于三棱锥的体积P﹣DBC1的体积，而平面DBC1为固定平面且大小一定，又因为P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确．故选：D．11．（5分）下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为=0.8x﹣155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m（如表所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（）x196197200203204y1367mA．8.3 B．8.2 C．8.1 D．8【解答】解：根据题意，计算=×（196+197+200+203+204）=200，=×（1+3+6+7+m）=，代入回归方程=0.8x﹣155中，可得=0.8×200﹣155=5，解得m=8．故选：D．12．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：B．二、填空题（5×4=20分）13．（5分）已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N②a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b③a⊥M，b⊄M，若b∥M，则b⊥a④a⊂β，b∩β=A，c为b在β内的射影，若a⊥c，则a⊥b．其中命题成立的是②③④．【解答】解：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N，或a⊂N，故错误；②a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b，故正确；③a⊥M，b⊄M，若b∥M，则b⊥a，故正确；④a⊂β，b∩β=A，c为b在β内的射影，若a⊥c，则a⊥b，故正确．故答案为：②③④14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．【解答】解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：815．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．16．（5分）甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．【解答】解：设甲船在x点到达，乙船在y点到达，必须等待的事件需要满足如下条件：，画出不等式组表示的平面区域如图所示；所以p（A）=1﹣=；所以一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是．故答案为：．三、解答题（10+12×5=70分）17．（10分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（5分）（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…（13分）18．（12分）已知：四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45°（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求点D到平面PCE的距离．【解答】（1）证明：取PC的中点为G，连结FG、EG∵FG∥DC，FG=DC，DC∥AB，AE=AB∴FG∥AE且FG=A∴四边形AFGE为平行四边形，∴AF∥EG．又∵AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，∴AF∥平面PCE…（4分）（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥D，∴PD⊥DC∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA=45°，即△PAD为等腰直角三角形又∵F为PD的中点，∴AF⊥PD ①由DC⊥AD，DC⊥PD，AD∩PD=D，得：DC⊥平面PAD．而AF⊂平面PAD，∴AF⊥DC ②由①②得AF⊥平面PDC．而EG∥AF∴EG⊥平面PDC，又EG⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PDC…（8分）（3）解：过点D作DH⊥PC于H．∵平面PCE⊥平面PDC，∴DH⊥平面PEC．即DH的长为点D到平面PEC的距离．在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=a在Rt△PDC中，PD=a，CD=a，PC=a，DH=a．即：点D到平面PCE的距离为a…（12分）19．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y1：12：13：44：5【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．20．（12分）已知四棱锥P﹣GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，PF：FC=k，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为．（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC ∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面GBCD，∴FM⊥平面GBCD∴FM∥PG由得GM⊥MD，∴GM=GD•cos45°=∵，∴k=321．（12分）等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．在Rt△BRD中，BR2=BD2+RD2=，AR2=x2．故d2=BR2+AR2=．∴当时，d2取得最小值．（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，∴当时，cosθ取得最小值．22．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D﹣ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=．设G为CD的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D﹣ABC的表面积为．（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．（3）存在这样的点N，当CN=时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=．。