二次函数第三课时
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二次函数的图象和性质 (第3课时)人教数学九年级上册PPT课件
x
-2
探究新知
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a>0
a<0
h>0 图象
h<0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线x=h （h,k）
直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x<h时，y随x增大而增大；
当x>h时，y随x增大而增大. 当x>h时，y随x增大而减小.
解：由函数顶点坐标是（1，-2）， 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2. 因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2. 所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
课堂检测
拓广探索题
某某在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= 1 x2+3.5的一
5
部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B )
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 （第3课时）
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、 对称轴、顶点.
2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
y - 12（Oxy +1）2
-4 -2
2 4x
-2 -4
y
-
1 2
x2
-6
y - 12（x+1）2-1
y
-
1 2
二次函数第三课时
比较函数 y x 与 y x 1 中的系数有什么异同？猜 想他们的图象有何关系？
2 2
新知导学
y ax 2 c (a 0)的图象与性质: 二次函数
【做一做】在同一坐标系中画出函数
y x 1,
2
y x 1,的图象.
2
... ...
10
８
５ ３
２ ０
１ ２
５ ３
2
【反思】若将抛物线 y 2 x 3 绕其顶点旋转180°, 2 则所得抛物线的解析式为___________. y 2 x 3
2
【拓展】若抛物线 y ax 轴对称,求a,c的值．
2
c 与 y 2 x 5 关于 x
2
巩固练习
向下 y 2 x 2 5 的开口方向＿＿＿，对称轴 (１)抛物线 y轴 (0,-5) ＿＿＿，顶点坐标＿＿＿＿．
2 2
类型二：求二次函数的解析式.
例题2：抛物线 y ax 该抛物线的解析式.
2
c 经过点(-1,2),(0,-4),求
y ax 2 c 向下平移2个单位后, 例题3：已知抛物线 2 所得抛物线为 y 3x 2 ,试求a,c的值．
总结反思,拓展升华
【总结】本节所学的数学知识:函数 y ax c的图象 2 y 特征与性质以及抛物线 ax 上下平移规律.
y ax 2 c
【思考】把抛物线 y 2 x 向上平移５个单位，会得到 哪条抛物线？向下平移３.4个单位呢?请写出它们的函数 解析式.
【练一练】教材第10页 练习
应用迁移，巩固提高
类型一：二次函数 y ax c的图象特征的应用。
2
例题1：抛物线 y ax c 与 y 5 x 的形状大小, 开口方向都相同,且其顶点坐标是(0,3),则其表达式为 2 2 上 3 y__________,它是抛物线 y 5 x 向____平移____个单 5 x 3 位得到的.
2 2
新知导学
y ax 2 c (a 0)的图象与性质: 二次函数
【做一做】在同一坐标系中画出函数
y x 1,
2
y x 1,的图象.
2
... ...
10
８
５ ３
２ ０
１ ２
５ ３
2
【反思】若将抛物线 y 2 x 3 绕其顶点旋转180°, 2 则所得抛物线的解析式为___________. y 2 x 3
2
【拓展】若抛物线 y ax 轴对称,求a,c的值．
2
c 与 y 2 x 5 关于 x
2
巩固练习
向下 y 2 x 2 5 的开口方向＿＿＿，对称轴 (１)抛物线 y轴 (0,-5) ＿＿＿，顶点坐标＿＿＿＿．
2 2
类型二：求二次函数的解析式.
例题2：抛物线 y ax 该抛物线的解析式.
2
c 经过点(-1,2),(0,-4),求
y ax 2 c 向下平移2个单位后, 例题3：已知抛物线 2 所得抛物线为 y 3x 2 ,试求a,c的值．
总结反思,拓展升华
【总结】本节所学的数学知识:函数 y ax c的图象 2 y 特征与性质以及抛物线 ax 上下平移规律.
y ax 2 c
【思考】把抛物线 y 2 x 向上平移５个单位，会得到 哪条抛物线？向下平移３.4个单位呢?请写出它们的函数 解析式.
【练一练】教材第10页 练习
应用迁移，巩固提高
类型一：二次函数 y ax c的图象特征的应用。
2
例题1：抛物线 y ax c 与 y 5 x 的形状大小, 开口方向都相同,且其顶点坐标是(0,3),则其表达式为 2 2 上 3 y__________,它是抛物线 y 5 x 向____平移____个单 5 x 3 位得到的.
实际问题与二次函数_第三课时-课件
图1
图2
【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析 式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例5.如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。 正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小 孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2 中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习：有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米， 把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系 式为__y_____21_5__x_2 __85__x__ 。
解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴ y=ax（x- 40）①
又∵ 函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，
探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
重点知识★
活动2 自学互研，生成能力。
完成下列填空：
1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直 角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_____y____a_x_2。
2.一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为___y____a_x_2_，
当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
n 4
解得
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3， ∴ 当x=3时，y 1 9 25 9 （ 4） 3.6 25
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
=-(x2+4x+4-4)-5 =-(x+2)2-1. 二次项系数-1<0，函数图像开口向下，顶点坐标为(-2，-1)，对称轴 是过点(-2，-1)且平行于y轴的直线.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2 C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增 大而减小 D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个 单位长度得到
13．有相同对称轴的两条抛物线的图象如图所示，则下列关系不正确的 是( C )
A.h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．(2020·兰州)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图 象上，则k＝__3__．
15．(2020·广安)已知二次函数 y＝a(x－3)2＋c(a，c 为常数，a＜0)，当
自变量 x 分别取 5 ，0，4 时，所对应的函数值分别为 y1，y2，y3，则 y1， y2，y3 的大小关系为_y__2＜__y_3_＜__y_1____(用“＜”连接).
点坐标为(1，－5)
(3)当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大
9．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个 单位长度，所得到的拋物线为( D )
A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5 C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3
10．函数y＝3(x－1)2＋2是由函数y＝3x2的图象先向_右___平移1个单位， 再向__上__平移__2__个单位得到的．
3．抛物线 y＝－ 2 (x－5)2＋3 的开口向__下__，对称轴是直线__x_＝__5__．
4．对于抛物线y＝－(x＋1)2－3，下列结论错误的是( B ) A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(－1，－3) D．x＞1时，y随x的增大而减小
5．(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上， 则下列结论正确的是( A )
13．有相同对称轴的两条抛物线的图象如图所示，则下列关系不正确的 是( C )
A.h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．(2020·兰州)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图 象上，则k＝__3__．
15．(2020·广安)已知二次函数 y＝a(x－3)2＋c(a，c 为常数，a＜0)，当
自变量 x 分别取 5 ，0，4 时，所对应的函数值分别为 y1，y2，y3，则 y1， y2，y3 的大小关系为_y__2＜__y_3_＜__y_1____(用“＜”连接).
点坐标为(1，－5)
(3)当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大
9．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个 单位长度，所得到的拋物线为( D )
A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5 C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3
10．函数y＝3(x－1)2＋2是由函数y＝3x2的图象先向_右___平移1个单位， 再向__上__平移__2__个单位得到的．
3．抛物线 y＝－ 2 (x－5)2＋3 的开口向__下__，对称轴是直线__x_＝__5__．
4．对于抛物线y＝－(x＋1)2－3，下列结论错误的是( B ) A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(－1，－3) D．x＞1时，y随x的增大而减小
5．(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上， 则下列结论正确的是( A )
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
221二次函数的图象和性质第3课时课件
3．运用性质，巩固练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
（1）y 1 x2；（2）y 1 x2 2；（3） y 1 x2 2．
2
2
2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方
向、对称轴和顶点．你能说出抛物线 y 1 x2 k 的开口 2
方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线 y 1 x2 有什么联 2
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
抛物线 y = 2x2 + 1，y = 2x2 - 1 与抛物线 y = 2x2 有什 么关系？抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 有什么关系？
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳: 当 k＞0 时，把抛物线 y = ax2 向上平移 k 个单位，就 得到抛物线 y = ax2 + k； 当 k＜0 时，把抛物线 y = ax2 向下平移｜k｜个单位， 就得到抛物线 y = ax2 + k．
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
你能说出二次函数 y = ax2 + k （a＜0）的图象特征 和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＜0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向下，顶点是抛物线的最 高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小．
《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
给出几个具体的二次函数，让学生绘制其图像，并标出顶点、对称轴等关键要素。
提高练习
设计一些需要运用二次函数性质解决的问题，如求最值、判断单调性等，让学生在实践中加深 对二次函数性质的理解。
课堂小结
总结本节课所学的二次函数的图像和性质，强调这些知 识点在后续学习中的重要性。
布置作业：针对本节课所学内容，布置适量的练习题和 思考题，以便学生进一步巩固和拓展所学知识。
如何激发学生的学习兴趣和积极性
采用生动有趣的教学案例 ，将抽象的数学知识与现 实生活相结合，激发学生 的学习兴趣。
组织学生进行小组讨论和 合作学习，鼓励学生积极 参与课堂互动，提高学生 的课堂参与度。
设计具有挑战性的数学问 题，激发学生的求知欲和 探索精神，培养学生的数 学思维能力。
及时给予学生积极的反馈 和鼓励，肯定学生的进步 和成绩，增强学生的自信 心和学习动力。
02 实际应用
二次函数在现实生活中的应用广泛，如抛物线型 桥梁的设计、经济领域的最优化问题等。
03 培养数学思维
学习二次函数有助于培养学生的数形结合思维、 方程思想和分类讨论思想等。
教学目标与要求
01 知识与技能
掌握二次函数的图像特征，理解其性质，能够运 用性质解决问题。
02 过程与方法
通过观察、比较、归纳等方法，探究二次函数的 图像和性质。
05
组织学生进行小组讨论和合作学习，鼓励学生互相交流和 分享学习成果。
06
设计有针对性的课堂练习和作业，帮助学生巩固所学知识 并提高其解题能力。
03
教学过程设计
导入新课
回顾旧知
简要回顾上节课所学的二次函数的基本概念，包括二次 函数的定义、标准形式等。
引入新课
提高练习
设计一些需要运用二次函数性质解决的问题，如求最值、判断单调性等，让学生在实践中加深 对二次函数性质的理解。
课堂小结
总结本节课所学的二次函数的图像和性质，强调这些知 识点在后续学习中的重要性。
布置作业：针对本节课所学内容，布置适量的练习题和 思考题，以便学生进一步巩固和拓展所学知识。
如何激发学生的学习兴趣和积极性
采用生动有趣的教学案例 ，将抽象的数学知识与现 实生活相结合，激发学生 的学习兴趣。
组织学生进行小组讨论和 合作学习，鼓励学生积极 参与课堂互动，提高学生 的课堂参与度。
设计具有挑战性的数学问 题，激发学生的求知欲和 探索精神，培养学生的数 学思维能力。
及时给予学生积极的反馈 和鼓励，肯定学生的进步 和成绩，增强学生的自信 心和学习动力。
02 实际应用
二次函数在现实生活中的应用广泛，如抛物线型 桥梁的设计、经济领域的最优化问题等。
03 培养数学思维
学习二次函数有助于培养学生的数形结合思维、 方程思想和分类讨论思想等。
教学目标与要求
01 知识与技能
掌握二次函数的图像特征，理解其性质，能够运 用性质解决问题。
02 过程与方法
通过观察、比较、归纳等方法，探究二次函数的 图像和性质。
05
组织学生进行小组讨论和合作学习，鼓励学生互相交流和 分享学习成果。
06
设计有针对性的课堂练习和作业，帮助学生巩固所学知识 并提高其解题能力。
03
教学过程设计
导入新课
回顾旧知
简要回顾上节课所学的二次函数的基本概念，包括二次 函数的定义、标准形式等。
引入新课
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
坐标及增减性等；
2．掌握二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象的平移规律． 课堂导入
一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数
解析式为 y＝－510(x－25)2＋12，那么高尔夫球飞行过程中的最大高度是多少？
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
(3)当 y＝1.5 时，1.5＝－34(x－1)2＋3， 解得 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2， 故当 0<m<1＋ 2时，才不会淋湿衣裳．
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
8．[2018·湘潭]如图 22-1-16，点 P 为抛物线 y＝14x2 上的一动点．
后的铅球沿一段抛物线轨迹运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离为 4 m.
(1)求这个二次函数的解析式． (2)该同学把铅球推出去多远？ 图 22-1-14
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)设二次函数的解析式为 y＝a(x－4)2＋3， 把(0,0.6)代入，得 0.6＝a(0－4)2＋3，a＝－230， ∴y＝－230(x－4)2＋3. (2)当 y＝0 时，0＝－230(x－4)2＋3， 解得 x1＝4＋2 5，x2＝4－2 5(舍去)． 答：该同学把铅球推出去(4＋2 5) m.
2．[2017·金华]对于二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象与性质，下列说法正确的 是( B )
A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
二次函数的图像和性质 第三课时-九年级数学下册课件(冀教版)
若不存在，请说明理由．
解：(1)在 y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4. ∴点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝
1 2
OA·OB＝ 1 ×2×4＝4.
2
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
y
2
1(x 2
1)2 与 y
1 ( x 1)2 2
的图像的形状和位置有什么关系?
2
形状相同，位置不同.
1 抛物线 y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A )
A．y＝(x＋2)2
易错点：函数y＝ax 2＋c 与y＝a (x－h)2的图象与性质
区别不清
二次函数 y＝3x 2＋1的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶 点坐标是(0，1)，当x >0时，y 随x 的增大而增大；二次 函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶 点坐标是(1，0)，当x >1时，y 随x 的增大而增大；二次 函数 y＝3x 2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因
x_>__5时，y 随x 的增大而减小.
导引：
y =－1 (x－5)2的图象与抛物线y =－1 x 2的形状相
4
同，但位置不同，y
=－1
4
(x－5)2的图象由抛物线
y
=－1
x
4 2向右平移5个单位得到.
4
1 把抛物线 y ＝x 2平移得到抛物线 y ＝(x＋2)2，则这
解：(1)在 y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4. ∴点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝
1 2
OA·OB＝ 1 ×2×4＝4.
2
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
y
2
1(x 2
1)2 与 y
1 ( x 1)2 2
的图像的形状和位置有什么关系?
2
形状相同，位置不同.
1 抛物线 y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A )
A．y＝(x＋2)2
易错点：函数y＝ax 2＋c 与y＝a (x－h)2的图象与性质
区别不清
二次函数 y＝3x 2＋1的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶 点坐标是(0，1)，当x >0时，y 随x 的增大而增大；二次 函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶 点坐标是(1，0)，当x >1时，y 随x 的增大而增大；二次 函数 y＝3x 2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因
x_>__5时，y 随x 的增大而减小.
导引：
y =－1 (x－5)2的图象与抛物线y =－1 x 2的形状相
4
同，但位置不同，y
=－1
4
(x－5)2的图象由抛物线
y
=－1
x
4 2向右平移5个单位得到.
4
1 把抛物线 y ＝x 2平移得到抛物线 y ＝(x＋2)2，则这
二次函数图像和性质第三课时
二次函数图像和性质第三 课时
欢迎来到第三课时，我们将探索二次函数的定义、性质以及图像的变换和解 析式的影响。让我们一起发现这个引人入胜的主题！
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一个数学函数的 形式，具有一次项和二次项， 表达式为y = ax²+ bx + c。
性质
二次函数的图像通常是一个 平滑的曲线，具有对称性和 特定的函数等于零的x值，它们对 应着图像与x轴的交点，也在实际问题中有重要的 解释。
二次函数的应用
物理问题中的二次函数应用
二次函数在物理问题中的应用非常广泛，例如描述 抛物线形状的拱桥。
抛体运动
二次函数被用来描述抛体运动，如抛射物的轨迹和 高度随时间的变化。
基本形态
二次函数的图像可以是上开 口、下开口或者是两个相同 的顶点。
二次函数图像的平移与缩放
1
平移变换
通过改变二次函数的解析式中的常数项，我们可以上下平移图像。
2
缩放变换
改变二次函数的解析式中的系数，我们可以垂直方向上对图像进行拉伸或压缩。
3
影响
平移和缩放变换会改变图像的位置、形状以及图像的开口方向。
二次函数的解析式
1 一般式和顶点式
2 参数的影响
二次函数可以用一般式 y = ax²+ bx + c 或顶点 式 y = a(x - h)²+ k 来表示。
二次函数的各个参数，如a、h、k和c，会对 图像的位置、形状和开口方向产生影响。
二次函数的最值和零点
最值
通过求解二次函数的最值，我们可以确定图像的最 高点或最低点，这在实际问题中具有重要意义。
欢迎来到第三课时，我们将探索二次函数的定义、性质以及图像的变换和解 析式的影响。让我们一起发现这个引人入胜的主题！
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一个数学函数的 形式，具有一次项和二次项， 表达式为y = ax²+ bx + c。
性质
二次函数的图像通常是一个 平滑的曲线，具有对称性和 特定的函数等于零的x值，它们对 应着图像与x轴的交点，也在实际问题中有重要的 解释。
二次函数的应用
物理问题中的二次函数应用
二次函数在物理问题中的应用非常广泛，例如描述 抛物线形状的拱桥。
抛体运动
二次函数被用来描述抛体运动，如抛射物的轨迹和 高度随时间的变化。
基本形态
二次函数的图像可以是上开 口、下开口或者是两个相同 的顶点。
二次函数图像的平移与缩放
1
平移变换
通过改变二次函数的解析式中的常数项，我们可以上下平移图像。
2
缩放变换
改变二次函数的解析式中的系数，我们可以垂直方向上对图像进行拉伸或压缩。
3
影响
平移和缩放变换会改变图像的位置、形状以及图像的开口方向。
二次函数的解析式
1 一般式和顶点式
2 参数的影响
二次函数可以用一般式 y = ax²+ bx + c 或顶点 式 y = a(x - h)²+ k 来表示。
二次函数的各个参数，如a、h、k和c，会对 图像的位置、形状和开口方向产生影响。
二次函数的最值和零点
最值
通过求解二次函数的最值，我们可以确定图像的最 高点或最低点，这在实际问题中具有重要意义。
北师版数学九年级下册《2.2 二次函数的图象与性质》第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
y = ax2 + k
y = a(x - h )2 左右平移， 括号内左加右减.
上下 平移
y = ax2
左右 平移
二次项系数 a 不变.
练一练 1.请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎 样平移得到?
由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的. 2. 如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
y
y
yy
Ox O
x
Ox O x
2. 请说出二次函数 y = -2x 2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？
向上平移3个单位 y = -2x2+3
3. 把 y = -2x2 的图象 向左平移2个单位
y = -2(x+2)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x+2)2+3 的图象是否 可以由 y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白.
当 x = h 时，y最大值=k
当 x＞h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＜h 时， y 随 x 的增大而增大.
顶点式
y
a
x
h2
k
a
0
h 0, k 0 y ax2
h 0, k 0 y ax2 k
k
0,
h
0
y
a
x
h2
典例精析
例1. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示， 则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是( A )
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
y 1 (x 1)2 1 2
-10
y 1 (x 1)2 1 2
要点归纳 二次函数 y = ax2 与 y = a(x-h)2+k 的关系
22.1.3 第3课时 二次函数 y=a(x-h)^2+k的图象和性质
第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质知识要点基础练知识点1二次函数y=a(x-h)2+k的图象1.二次函数y=2(x+2)2-1的图象大致是(C)2.抛物线y=(x+4)2-1可以由抛物线y=x2平移得到,下列平移方法中正确的是(B)A.先向左平移4个单位,再向上平移1个单位B.先向左平移4个单位,再向下平移1个单位C.先向右平移4个单位,再向上平移1个单位D.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位3.对于二次函数y=(x-3)2+5的图象,下列说法正确的是(D)A.开口向下B.当x=3时,y有最大值是5C.对称轴是x=-3D.顶点坐标是(3,5)知识点2二次函数y=a(x-h)2+k的性质4.与抛物线y=3(x-3)2+4形状相同的抛物线是(B)A.y=(x-3)2B.y=3x2C.y=(2x-1)2+3D.y=(2x-3)2+45.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为(B)A.m>1B.m>0C.m>-1D.-1<m<06.已知点A(4,y1),B(,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3按从小到大的顺序排列为y2<y1<y3.综合能力提升练7.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=4x2不动,把x轴向上、y轴向右平移3个单位,那么在新坐标系中抛物线的解析式是(B) A.y=4(x-3)2+3 B.y=4(x+3)2-3C.-y=4(x-3)2+3D.y=4(x+3)2+38.在下列二次函数中,其图象对称轴为x=-2的是(A)A.y=(x+2)2-3B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)29.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的图象经过(A)A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限10.已知二次函数y=3(x+1)2+1,-2≤x≤1,那么函数y的值(D)A.最小值是1,最大值是5B.最小值是1,无最大值C.最小值是3,最大值是9D.最小值是1,最大值是1311.如图,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,AB∥x轴交抛物线于另一点B,点C为该抛物线的顶点,若△ABC为等边三角形,则a的值为(C)A. B. C. D.112.写出与y=-x2+3的图象形状相同,但开口方向不同,顶点坐标是(4,5)的抛物线的解析式y=(x-4)2+5.13.一条抛物线和y=-3x2的图象形状相同,并且顶点坐标是(-6,1),则此抛物线的函数解析式为y=-3(x+6)2+1或y=3(x+6)2+1.14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=m(x+3)2+n与y=m(x-2)2+n+1交于点A.过点A作x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C(点B在点C左侧),则线段BC的长为10.15.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),点C的横坐标的最小值为-3,则点D的横坐标的最大值为8.16.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)求a的值;(3)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.解:(1)该抛物线的顶点坐标是(3,2).(2)∵y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),∴-2=a(1-3)2+2,解得a=-1,即a的值是-1.(3)y1<y2.17.如图,已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为直线x=1.(1)求抛物线对应的函数解析式;(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标.解:(1)y=-(x-1)2+4.(2)①当MA=MB时,M(0,0);②当AB=AM时,M(0,-3);③当AB=BM时,M(0,3+3)或M(0,3-3).综上可知,点M的坐标为(0,0)或(0,-3)或(0,3+3)或(0,3-3).拓展探究突破练18.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为“梦函数”,例如:二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2+3互为“梦函数”.(1)写出二次函数y=(x+3)2+2的一个梦函数y=(x-3)2+2(答案不唯一);(2)任意一个二次函数的“梦函数”有无数个;(3)①一对“梦函数”中,a1与a2的关系为|a1|=|a2|,h1与h2的关系为互为相反数(或h1+h2=0);②若一对“梦函数”中,a1≠a2,h1=h2,且这对“梦函数”的图象无公共点,请探究k1与k2的关系.解:(2)提示:因为一对梦函数与k的大小无关,所以任意一个二次函数的“梦函数”有无数个. (3)②因为a1≠a2,所以a1与a2互为相反数.又因为h1=h2,h1与h2关于y轴对称,所以h1=h2=0.设y1=a1x2+k1,y2=-a1x2+k2(a≠0).令y1=y2,得a1x2+k1=-a1x2+k2,整理得2a1x2+k1-k2=0.因为y1与y2的图象无公共点,所以方程2a1x2+k1-k2=0无解,所以Δ=02-4×2a1(k1-k2)<0,所以8a1(k1-k2)>0,当a1>0时,k1>k2;当a1<0时,k1<k2.。
2-2二次函数的图象与性质(第三课时)课件
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
400 9
0.0225 x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的 ？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x 20 2 1.
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x2 40 x 4000
9
Y/m 10
0.0225 x2 40 x 20 2 20 2 4000 桥面 -5 0 5
x/m9Βιβλιοθήκη 0.0225x20 2
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第3课时)
13.抛物线y=a(x+2)2过点(1,-3). (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标; (3)当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
解:(1)∵抛物线经过点(1,-3),∴-3=9a,a=-13. ∴抛物线的函数表达式为 y=-13(x+2)2. (2)对称轴为直线 x=-2,顶点坐标为(-2,0). (3)∵a=-13<0,∴当 x>-2 时,y 的值随 x 值的增大而减小.
15.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为 C,对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线对应的函数表达式; (2)M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标. 解:(1)抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)2+4. (2)①当MA=MB时,点M(0,0); ②当AB=AM时,点M(0,-3);
关系是 ( B )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
【变式拓展】对于二次函数y=-
1 3
x2+2,当x为x1和x2时,对应的函数值分别为y1和y2.
假设x1>x2>0,那么y1和y2的大小关系是 ( B )
A.y1>y2 B.y1<y2
C.y1=y2 D.无法比较
《二次函数的图象与性 质》二次函数PPT课件(
第3课时)
第二章 二次函数
二次函数的图象与性质
第3课时
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.对于函数y=-2(x-3)2,以下说法不正确的 ( D )
数学人教版九年级上册二次函数第三课时
一、复习 2 用描点法画出函数 y x 的图象， 2 并根据图象指出 yx 抛物线 的开口方向、对称轴与顶点坐标.
对于二次函数 y ax
a>0时 顶点坐标 对称轴 位置
（ 0， 0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外） 向上
2
a< 0时
（ 0， 0）
y轴 在x轴的下方 （除顶点外） 向下
开口方向 当x=0时,y最小值=0。 当x=0时,y最大值=0 最值 增减性
④
y 2对称轴为
轴；
）．
3顶点坐标（０ k,
例2 在同一平面直角坐标系内 1 1 2 2 ) ) 与 y (x1 画出 y (x 1 2 2 的图象．
12 12 例 题 2 ： 参 照 下 表 画 出 函 数 y = ( x + 1 ) 与 y = ( x 1 ) 的 图 象 2 2
y随着x的增大而减小，当x= _____
它是由抛物线y= −2x2线怎样平移得到
的__________.
（2）抛物线 y= x² -5 的顶点坐标 是____，对称轴是____,在对称轴 的左侧，y随着x的 ；在 对称轴的右侧，y随着x的 ， 当x=____时，函数y的值最___， 最小值是 .
总结:
1 2 y ( x h ) 向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线 2
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
试一试自己的能力
1、要从抛物线y= - 2x2的图象得到y= - 2x2-1的图象， 则抛物线y=-2x2必须（ B）. A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单 位； C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单 2.抛物线y= 2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物 位． 线.向下平移3.4个单位呢? 3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指 出抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大 值还是最小值?是多少?
对于二次函数 y ax
a>0时 顶点坐标 对称轴 位置
（ 0， 0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外） 向上
2
a< 0时
（ 0， 0）
y轴 在x轴的下方 （除顶点外） 向下
开口方向 当x=0时,y最小值=0。 当x=0时,y最大值=0 最值 增减性
④
y 2对称轴为
轴；
）．
3顶点坐标（０ k,
例2 在同一平面直角坐标系内 1 1 2 2 ) ) 与 y (x1 画出 y (x 1 2 2 的图象．
12 12 例 题 2 ： 参 照 下 表 画 出 函 数 y = ( x + 1 ) 与 y = ( x 1 ) 的 图 象 2 2
y随着x的增大而减小，当x= _____
它是由抛物线y= −2x2线怎样平移得到
的__________.
（2）抛物线 y= x² -5 的顶点坐标 是____，对称轴是____,在对称轴 的左侧，y随着x的 ；在 对称轴的右侧，y随着x的 ， 当x=____时，函数y的值最___， 最小值是 .
总结:
1 2 y ( x h ) 向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线 2
的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
试一试自己的能力
1、要从抛物线y= - 2x2的图象得到y= - 2x2-1的图象， 则抛物线y=-2x2必须（ B）. A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单 位； C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单 2.抛物线y= 2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物 位． 线.向下平移3.4个单位呢? 3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指 出抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大 值还是最小值?是多少?
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第三课时)
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，
根据题意，得(x1 -3)(x2 -3)＜ 0， 即 x1 x2 -3(x1 + x2 )+9 ＜ 0， ∵ x1 + x2 = 5-k， x1 x2 =1-k ∴ 1-k-3(5-k)+9＜0 解得k＜ ，
则k的最大整数值为2.
16.（2017•荆州调考）已知关于x的方程 （m-1）x2+（m-2）x-1=0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的整数根； （3）m 取不同的实数（m ≠1）,就对应不同的抛物线 y=（m-1）x2+（m-2）x-1，请证明当m（m ≠1） 变化时，所有这些不同的抛物线 y=（m-1）x2+（m-2）x-1有公共点，并求出它们 的公共点. （1）证明：当m=1时，方程为-x-1=0有唯一实数根x=1 当m ≠1时 △=(m﹣2)2+4（m﹣2） =m2 ≥0 ∴无论m为何实数，方程总有实数根.
y
O A x
y O B
y
y x O x
-1 0
x
x
O
C
D
7. 小明从左边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察得出 下面的五条信息：① a＜0；② c＝0；③ 函数的最小 值为-3； ④当x＜0时，y＞0； ⑤当0＜x1＜x2＜2时， y1＞y2 你认为其中正确的个数有（ C ） A．2 B ．3 C．4 D．5 y y
看作是抛物线y=-
x2+bx+c的一部分，其中出球点B离地面O
点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物 线的解析式是 （ B ） A. C. B. D.
二次函数的第三课时
把抛物线y=２x2向上平 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=２x2+5
(2)得到抛物线y=２x2－３.4
思考:抛物线y=2x2+5
的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
抛物线y=－
1 2
x2向下平移５个单位后，所得
抛物线为
y=－
1 2
x2－５ ，再向上平移７个单位
抛物线y=x2+1: 开口向上,对称轴是y轴,
顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴,
顶点为(0, －1).
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的联系
相同点： ①形状大小相同 ②开口方向相同
y y=x2+1
10
9
y=x2
8
7
③对称轴相同
6 5
不同点：顶点的位置不同， 抛物线的位置也不
抛物线y=ax2
向下平移 k个单位
抛物线
y=ax2－k
二次函数y=ax2+k 的图象和性质
y Ox 向上
y
O
x
向下
(0 ,0) y轴
(0 ,0) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时， y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
后，所得抛物线为
y=－
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（教学要点：1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。）
3.在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关系?
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
学生通过动手操作，不断的实践，不断的观察对比，不断的归纳并得出结论，得出函数y＝ax2＋k的一些性质
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
课件出示复习题，学生独立完成，同桌互相评判
通过复习上节课的知识，更进一步掌握二次函数y＝ax2图像的性质，为本节课的深入学习打下基础
潘庄镇中学2013-2014学年度第二学期教师备课教案
教学
过程
教学内容
师生活动
情感态度
师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦
重点
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系
难点
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系
教学
准备
多媒体课件
教学
过程
教学内容
潘庄镇中学2013-2014学年度第二学期教师备课教案
学科
数学Βιβλιοθήκη 教师姓名冯长喜备课
时间
2014.2.11
课题
26.1二次函数
课时
3
教
学
目
标
知识与技能
使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
过程与方法
让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
（图象略）
由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?
完成填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．
2.先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?
要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2的图象向上平移两个单位得到的。
先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．
教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。
师生活动
设计意图
创
设
情
境
引
入
新
课
复习回顾
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
y＝x2＋1
…
19
9
3
l
3
9
19
…
在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关系?
课
后
反
思
通过本节课的深入探索，学生基本上掌握了y＝ax2＋k图像的一些性质，从整体上对于二次函数的理解加深了，对于后面的学习也起到了一定铺垫作用，学生对于二次函数y＝ax2＋k的性质理解的也比较到位，总体学习效果良好。
潘庄镇中学2013-2014学年度第二学期教师备课教案
课
堂
小
结
1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?
2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?
作业
布置
教科书P14：5（1）
板
书
设
计
课题
1.画二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象
(1)列表：
设计意图
新
课
学
习
过
程
1.画二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象
(1)列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
18
8
2
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2
8
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…
y＝x2＋1
…
19
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3
l
3
9
19
…
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
3.在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关系?
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
学生通过动手操作，不断的实践，不断的观察对比，不断的归纳并得出结论，得出函数y＝ax2＋k的一些性质
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
课件出示复习题，学生独立完成，同桌互相评判
通过复习上节课的知识，更进一步掌握二次函数y＝ax2图像的性质，为本节课的深入学习打下基础
潘庄镇中学2013-2014学年度第二学期教师备课教案
教学
过程
教学内容
师生活动
情感态度
师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦
重点
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系
难点
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系
教学
准备
多媒体课件
教学
过程
教学内容
潘庄镇中学2013-2014学年度第二学期教师备课教案
学科
数学Βιβλιοθήκη 教师姓名冯长喜备课
时间
2014.2.11
课题
26.1二次函数
课时
3
教
学
目
标
知识与技能
使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
过程与方法
让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
（图象略）
由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?
完成填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．
2.先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?
要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2的图象向上平移两个单位得到的。
先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．
教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。
师生活动
设计意图
创
设
情
境
引
入
新
课
复习回顾
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
x
…
－3
－2
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y＝x2
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…
y＝x2＋1
…
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在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关系?
课
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反
思
通过本节课的深入探索，学生基本上掌握了y＝ax2＋k图像的一些性质，从整体上对于二次函数的理解加深了，对于后面的学习也起到了一定铺垫作用，学生对于二次函数y＝ax2＋k的性质理解的也比较到位，总体学习效果良好。
潘庄镇中学2013-2014学年度第二学期教师备课教案
课
堂
小
结
1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?
2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?
作业
布置
教科书P14：5（1）
板
书
设
计
课题
1.画二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象
(1)列表：
设计意图
新
课
学
习
过
程
1.画二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象
(1)列表：
x
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－3
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(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。