谈考场如何审题—高考数学审题“8环节”
高考数学成功的法宝——审题
审题
朱
永
例如 ： 在某高峰时
所示，图中
ｌ ２ ， 分别表 示该时 段单位时间 通过 路段盒窳 ａ的机动
车辆数 （ 假设：单 位时间内， 在 上述路段中 ，同一 路段上驶 入与驶出的 车辆数 相等） ， 则
考查知识点：读 图能力、对题 目 条件的理解能力 （ 抓关键 的一句话： “ 驶
参考文献 ： ［ １ 】 《 语文研 究》２ ０ ０ ８ 年第７ 期 ［ ２ 】 《 语文研 究》２ ０ ０ ８年第 ８ 期
ｐ 】 《 语文研 究》２ ０ ０ ８年第 ９ 期
高考数学成功的法宝
包铁 一 中
每 一届高考之后 ，我都 找学生 了解情况 ，问过不少在高考 中数 学成绩优 秀的学生 ， “ 你们成功的秘诀是什么？” 他们 的回答几乎如 出一辙 “ 注意 审题 。 ” 也问过一些高考中数学考试 失败 的学 生： “ 你们平时成绩还可 以，为什么高考 会失败呢？”他们的回答 几乎也一样 ： “ 审题 失误 。”的确 ，在高考这样紧张 的考试中，对于平时已经进行了积极准 备，认 真复 习的同学来说 ，高效率 的审 题在很大程度上决定了高考成绩的好 坏，从这个意义上讲 ，审题成功 ，全盘 皆 活，审题失误，全盘皆输一点都不过 分。审题 时可 以咬文 嚼字 。数学 习题 的遣 词造句，大都是经过编题者严密的推敲，其 文字叙述或者 言简意深 ，或者语言 晦涩，或者拐弯抹角，而且还常常有一些容易看错、容 易混淆 的字词 出现 。 常有人说 ，数 形结合是解题 的利器 。事实上，画 图的过 程实际上也就是 种审题的过程 ，它首先为正确审题发挥了重要的作用。许多数 学题 的数量关 系 比较抽象复杂 ，不易看懂，但用数形结合方法可以使复杂问题 简单化、抽象 问题具体化。有助于把握数 学问题的本质 。 （ 一 ）阅读理解能力是学 习数学一个十分重要而又容易被 忽视 的技能 ． 有 的同学不能正确理解数 学的文字语言 ，无法把 文字语言转化为数 学的 图形语言 、符号语言 ，也就不能建构合乎题意的数学模型 ， 有的同学看不懂数 学的符号语言不知所云 ， 所以，理解数学语言是解题的成 的带有个性化的理解与感悟， 不可能都是正确、 合理 、清晰 的。因此 ，要珍视学生阅读的独特感受，教师 自己首先要正确理解
广东高考数学考试审题思路范本3份
广东高考数学考试审题思路范本3份广东高考数学考试审题思路 11.抓基础有三个要点(1)保证综合训练题量，限时限量完成套题训练，在快速、准确、规范上下功夫。
(2)“抬起头来做题”，从清晰解题思路、优化解题步骤、寻找最佳切入点方面，做好解题的归纳小结。
(3)及时改错、补漏、拾遗。
2.从能力要求的角度跟进提升(1)熟练三种数学语言(数学文字语言，数学符号语言，数学图形语言)的相互转换。
(2)强化训练细致严密的审题习惯。
(3)加强训练快捷灵活的解题切入。
(4)要在确定合理运算方向，选择合理运算途径，优化组合公式法则，形成灵活善变的解题策略方面下功夫。
(5)对实际应用、开放探索问题，解选择题、填空题等策略问题也应适度训练。
3.做好心理调节除数学能力外，过硬的心理素质也是影响考试成败的主要因素。
考生要找准自己的位置，确立合理的参照目标，始终看到自己的成绩和进步，形成积极的心理效应，以提高后期复习效率和应考能力。
同时要明确，试卷必有难题，作答时要充满自信，明确试卷的难易对每个人都公平。
广东高考数学考试审题思路 21、函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。
同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。
2、数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
3、特殊与一般的思想用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。
浅谈高三数学复习中的审题教学
第 三 问 ： 样 才 能 使 厂 在 ［ １ ｏ） 递 增 ？ 怎 （ ） 一 ， 。上 ＋ 这
个 学 生 很 明 白 ， ｔ ａ ＋ ， ｙ ｌｔ 因 为 ｙ ｌｔ 设 ＝ ｘ＋ Ⅱ 则 ＝ｇ ， ＝ｇ
是 增 函数 ， 以要 使 ｙ ｌ（ｘ ＋ ） ［ ｌ Ｑ） 递 所 ＝ｇ ａ ＋ ｎ 在 一 ， 。上 ＋ 增 ， 只需 拄似 ＋ 则 ＋ ０在 ［ １ ∞） 递 增 ， 以 只 需 一， 上 ＋ 所 二 次 函 数 ｆ似ｚ ＋ ＝ ＋ 口开 口 向 上 ， 称 轴 小 于 或 等 对
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众 所 周 知 ．高 考 数 学 复 习应 侧 重 蕊 个 方 面 ： 其
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查 学 生对 数 学概 念 的理 解 和 掌握 ． 需 学 生 在 审 题 这 中 辨 误 深思 ． 解 到 位 就 可 以在 审 题 中解 决 问题 ． 理 例 １ 函数 ｙ ｌ（ ２２ ＋ ）其 中 ａ ． ． 设 ＝ｇａ ＋ ｘ ａ ， ｘ ∈Ｒ
于 一１ ．
纵观近几年 高考数学命题 ， 有许 多 问题表述 新
颖 灵活 ， 问题 的 解 决 不 需 烦 琐 计 算 或 推 理 。 接 考 直
Ｚ
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综 观 试 题 的 形 式 ， 审 题 教 学 中可 以设 置 以下 在
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意． 看清隐含条件．
第 一 问 ： 么 是定 义 域 为 Ｒ， 个 学 生 很 清 楚 ， 什 这
高考数学大题答题技巧
高考数学大题答题技巧
高考数学大题答题技巧如下：
认真审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和问题。
不要忽略题目中的细节，它们可能会成为解题的关键。
明确解题思路：在开始解题之前，先思考一下可能的解题思路。
如果遇到难题，可以尝试采用不同的解题方法，例如逆向思维、画图辅助等。
划分解题步骤：将复杂的题目划分为若干个简单的步骤，逐步解决。
这样有助于理清思路，避免遗漏知识点。
准确运算：在解题过程中，确保运算准确。
尽量避免粗心大意导致的错误。
书写整洁：保持书写整洁，使答案一目了然。
这不仅有助于评分老师理解你的解答过程，也可以在检查答案时更容易地发现错误。
使用数学语言：在答题时使用正确的数学符号、术语和表达式。
这有助于提高答案的准确性和简洁性。
检查答案：解完题目后，检查解答过程是否有错误，结果是否合理。
可以对照题目中的已知条件和问题，看看是否都满足了。
合理安排时间：在高考中，合理安排答题时间是非常重要的。
不要在一道题目上花费过多的时间，导致其他题目没有时间解答。
如果有些题目暂时没有思路，可以先跳过，做其他题目，然后再回来尝试。
做好高考数学题的八种方法
做好高考数学题的八种方法2014-01-25 10:35:17| 分类：数学| 标签：|举报|字号大中小订阅方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
方法二、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
方法三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
方法四、“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。
就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
2.先熟后生。
通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。
高考数学审题技巧
高考数学审题技巧高考数学审题技巧对于考生至关重要，因为它直接关系到你对问题的理解和解题的准确性。
以下是一些审题的技巧：1.仔细阅读题目：在考试紧张的情况下，有时会快速浏览题目而忽略一些关键信息。
确保你仔细阅读每个问题，理解题目要求。
2.标记关键信息：在阅读题目时，标记出关键信息，比如问题中的条件、已知、待求等，这有助于你在解题时快速定位关键点。
3.理解问题：在解答问题之前，确保你完全理解了问题的要求。
不要匆忙下手，而是先思考问题的背景和意义。
4.画图辅助理解：对于与几何相关的问题，可以通过画图来更好地理解问题。
图示有助于你形象地理解问题的条件和要求。
5.分析解题思路：在开始解题前，分析一下解题思路。
确定解题的大致方向，这样可以更有目的性地去寻找解题方法。
6.逐步求解：将问题分解为更小的部分，逐步进行求解。
这有助于降低解题的难度，也减少出错的可能性。
7.注意题目的难度：有些题目可能在形式上比较简单，但实际求解可能较为繁琐。
对于不同难度的题目，采取不同的解题策略。
8.留意题目的变体：有时，相似的题目可能会以不同的方式出现。
在做模拟题或练习时，留意题目的变体，这有助于你更全面地理解问题类型。
9.检查计算：在得到最终结果后，花一些时间仔细检查计算，确保没有计算错误。
特别是在代入数值计算时，要注意单位、符号等问题。
10.善用公式和定理：确保你熟悉并能够正确运用相关的公式和定理，这将提高你解题的效率。
以上技巧可以帮助你更好地审题，理解问题，从而提高数学解题的准确性和效率。
在考试中，冷静和耐心也是十分重要的因素。
高考数学专题审题方法与答题模板
四审结构定方案 数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进 行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含 着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构 进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．
例4 (2010·江苏)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c.若ba＋ab＝6cos C，则ttaann CA＋ttaann CB的值是________．
∴直线 l1 的方程为 y－2xp21＝xp1(x－x1)，
直线 l2 的方程为 y－2xp22＝xp2(x－x2)．
由yy－－22xxpp2122 ＝＝xxpp12((xx－－xx12))
解得，x＝x1＋2 x2 y＝－p2
，
∴点 D 的纵坐标为－p2.
(2)证明 ∵F 为抛物线 C 的焦点，∴F0，p2. ∴A→F＝－x1，p2－2xp21 ＝－x1，p22－px21， B→F＝－x2，p2－2xp22 ＝－x2，p22－px22.
()
A．0 条 B．1 条 C．2 条 解析 SⅣ＝π2，SⅡ＝1－4π，
D．3 条
如图，设直线倾斜角为
α2π<α<π，
作 CM⊥y 轴于 M，作 CN⊥x 轴于 N，则∠CAN＝π－α，∠BCM ＝π－α，∠ACN＝α－π2.
∵CM＝CN＝1，∴BM＝－tan α，AN＝－tan1 α， ∴SⅢ＝－12tan α－12(π－α)，
审题路线图
〈观察方向一〉 观察条件：ba＋ab＝6cos C
(数式中既有边又有角，应统一) ba＋ab＝6×a2＋2ba2b－c2
(将条件转化为简洁形式)
a2＋b2＝32c2
观察结论所求：ttaann
高中数学审题技巧
高中数学审题技巧作者：吴咏梅来源：《读写算》2012年第21期接要：数学解题成在审题，败也在审题。
审题要慢做题要快，审对题才能解对题，审得越透，解得越快。
关键词：数学审题技巧俗话说："磨刀不误砍柴功"。
在高考有限的时间里，数学解题成在审题，败也在审题。
什么是审题？审题就是"读题"。
读题时不放过一句一字，要抓住重点，分清主次。
有些数学题目是一段话，有些题目字很少。
现在的考生有很多走两个极端的，字少了反而不注意去读，实际上字少了它一字千金，甚至一个标点符号都特别重要，那种题目也往往越难；字少反而难，字多呢？考生也有一个不好的习惯，往往超过三行字的题目就不读了，实际上物理学科都有能量守恒定律，因此题目叙述越长，考察的数学知识越简单，所以说那种题目只要耐得住性子，踏实地把题目读完，会发现那个题目其实非常简单，因为它在出题的过程当中就已经告诉你怎么下手了，这个题目解题计划是什么，先干什么再干什么，最后就把题目做出来了，所以说要从辩证上对待难题。
由此我们得出审题的关键是发现信息、记录信息、转译信息、整合信息；审题的要求是细致准确，全面深刻。
其实如果审题没有审明白的话，贸然下笔，或许中途才发现思维方向错误，那时候会浪费一些时间和影响卷面的整洁，就会影响得分了。
为此，本人结合平时的教学实践，略谈审题技巧，请同行指正。
一、逐字理解，字斟句酌，掘之又掘。
审题的第一步是读题。
读必须逐字逐句进行，不放过一句一字，并且抓住重点，分清主次，绝不能漏读、错读或多读一个字，以保证准确、全面理解题意，否则意思相去甚远。
如"有两个实根就是△＞0"，"四边形对角线共点"等等，这些都是同学们不认真审题而导致出错的结果。
此外，读题时还须反复琢磨，挖掘隐含。
例1、是圆O：x2+y2=25的弦，BC=6，求BC中点P的轨迹方程。
分析：弦BC长度定，可位置动，动中有定，由勾股定理可挖掘出OP=4，于是可知轨迹是圆，方程为x2+y2=16。
高考数学审题五环节
２０２３年１１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀高考数学审题五环节◉江苏省高邮市第一中学㊀薛晋红㊀㊀摘要:审题是解题中至关重要的一步,也是解题成功与否的关键所在．审题是根据题目条件,正确阅读理解,提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息,合理构建数学模型．结合高考真题,总结审题 五环节 ,借助数学知识,推理运算破解,展示常见审题技巧与解题策略．关键词:审题;高考;条件;关键;转换㊀㊀数学审题就是正确弄清题目条件与内涵,这是解题的基础,是能否正确㊁迅速解题的关键．因而要想有效解决数学问题,关键就是要把好审题关．如果审题掉以轻心,往往会导致数学思维的偏差,致使解题失误或陷入到繁冗的解题中[１]．１环节一:题设字斟句酌,全面弄清题意认真细致审题的重要策略就是逐字逐句地仔细分析,特别是一些容易看错㊁理解错㊁被忽视或被误解的字㊁词㊁句等,要善于 字斟句酌 ,弄清题意与内涵实质,为正确数学解题创造条件．例１㊀(２０２２年高考数学上海卷 １０)已知等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,若S ５＝０,则S i (i ＝１,２,３, ,１００)中不同的数值有个．审题:结合题设,抓住等差数列的背景,理解其中的关键语句 S ５＝０ ,合理建立关系式,确定等差数列的首项与公差之间的关系,结合等差数列的前n 项和将所求问题转化为二次函数的相关问题,弄清问题的内涵与实质,并结合图象的对称性来分析与应用．解析:由等差数列{a n }的公差不为零,S n 为其前n 项和,S ５＝０,可得S ５＝５a １＋５ˑ４２d ＝０,解得a １＝－２d ．所以S n ＝－２n d ＋n (n －１)２d ＝d ２(n ２－５n )．由d ʂ０,利用二次函数的图象与性质,可知S i (i ＝１,２,３, ,１００)中S ５＝０,S ２＝S ３＝－３d ,S １＝S ４＝－２d ,S ６＝３d ,S ７＝７d , ,其余各项均不相等．所以S i (i ＝１,２,３, ,１００)中不同的数值有１００－２＝９８(个)．故填答案:９８．２环节二:抓住问题本质,合理切入突破解题过程中,审题时要注意题设条件中的一些关键性字㊁词㊁句等,抓住问题的本质,为解题突破口与切入点的寻找提供依据,也是数学思维的关键点．例２㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷 ５)从２至８的７个整数中随机取２个不同的数,则这２个数互质的概率为(㊀㊀)．A．１６㊀㊀㊀B ．１３㊀㊀㊀C ．１２㊀㊀㊀D．２３审题:以古典概型的形式设置问题,抓住题中的关键词 ２个数互质 ,结合计数原理与排列组合㊁概率等相关知识来综合与应用．特别,针对关键词的理解与切入,当中隐藏一组特殊的数(３,６),这里容易遗漏而导致错误．解析:依题知,从７个整数中随机取２个不同的数的不同取法种数共有C ２７＝２１种．所取的２个数不互质的不同取法有(２,４),(２,６),(２,８),(３,６),(４,６),(４,８),(６,８),共７种．因此所求概率为P ＝１－７２１＝２３．故选择答案:D ．３环节三:善于变形转化,实现化繁为简在具体解题过程中,审题时要善于对题设中给出的已知条件或所求的结论形式进行必要的变形与简化,这是实现化繁为简,有效寻找解题方法和途径的一种基本策略与技巧方法．例３㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷 １３)(１－y x)(x ＋y )８的展开式中x ２y ６的系数为(用数字作答)．审题:要求展开式中x ２y ６的系数,先将代数式１－y x 与(x ＋y )８的展开式的乘积通过分类讨论化繁为简,降低思维难度与知识层次,先分开再综合,进而确定对应代数式的系数,实现问题的解决．解析:(x ＋y )８的通项公式为T r ＋１＝C r ８x ８－r y r(r ＝０,１,２, ,８)．３７解法探究２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀当r ＝６时,T ７＝C ６８x ２y ６;当r ＝５时,T ６＝C ５８x ３y ５．所以(１－y x)(x ＋y )８的展开式中x ２y ６的系数为C ６８－C ５８＝２８－５６＝－２８．故填答案:－２８．４环节四:寻求问题转换,巧妙化生为熟数学审题时,不能只停留在问题的题设条件上,要合理转换,将题设条件转变成比较熟悉与典型的模型或问题,实现化生为熟,合理变形与转化．常见的有化实际问题为数学问题,化几何(或代数)问题为代数(或几何)问题,化代数问题为三角问题,等等．例４㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 １２)(多选题)对任意x ,y ,x ２＋y ２－x y ＝１,则(㊀㊀)．A．x ＋y ɤ１㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ＋y ȡ－２C ．x ２＋y ２ɤ２D．x ２＋y ２ȡ１审题:结合题设条件,直接判断不等式成立问题,涉及较多的不等式性质等,对思维与能力的要求较高．而根据条件中的二元方程加以配方处理,转化为两代数式的平方和为１的形式,引入三角参数进行转换,化代数问题为三角问题,化陌生为熟悉,即可顺利进行分析与判断．解析:由x ２＋y ２－x y ＝１,配方可得(x －１２y)２＋(３２y )２＝１．令x －１２y ＝c o s θ,３２y ＝s i n θ,θɪ[０,２π),可得x ＝３３s i n θ＋c o s θ,y ＝２３３s i n θ．所以x ＋y ＝３s i n θ＋c o s θ＝２s i n (θ＋π６)ɪ[－２,２],则选项A 错误,选项B 正确．而x ２＋y ２＝(３３s i n θ＋c o s θ)２＋(２３３s i n θ)２＝３３s i n ２θ－１３c o s２θ＋４３＝２３s i n (２θ－π６)＋４３ɪ２３,２éëêêùûúú,则选项C 正确,选项D 错误．故选择答案:B C ．５环节五:深入挖掘条件,注意隐含信息审题时往往需要对题设条件进行必要的再加工,进而深入挖掘条件,特别是其中隐含的一些信息㊁注意点及其他一些细节等,为问题的正确突破与求解扫清障碍．例５㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷 ８)已知正四棱锥的侧棱长为l ,其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为３６π,且３ɤl ɤ３３,则该正四棱锥体积的取值范围是(㊀㊀)．A．１８,８１４éëêêùûúúB ．２７４,８１４éëêêùûúúC ．２７４,６４３éëêêùûúúD．[１８,２７]审题:结合题设条件,有一些解题者采用 极端思想 ,通过题目中侧棱长的两个端点值来快速分析与求解,确定与之对应的答案,导致出错．解题时要合理挖掘条件,注意侧棱长l 的变化与该正四棱锥体积变化之间的隐含关系,构建关系式来分析与处理．图１解析:如图１,在正四棱锥P ＧA B C D 中,顶点P 在底面A B C D 内的射影为点M ,球心O 在直线P M 上,设球O 的半径为R ．由球的体积４３πR ３＝３６π,解得R ＝３．设P M ＝h ,AM ＝a ,则有(h －３)２＋a ２＝９,即６h ＝h ２＋a ２,又l ２＝h ２＋a ２ɪ[９,２７],所以６h ɪ[９,２７],故h ɪ３２,９２éëêêùûúú．所以该正四棱锥体积V ＝１３(２a )２h ＝２３a ２h ＝２３(６h －h ２)h ＝２３(６h ２－h ３)．构建函数f (h )＝２３(６h ２－h ３),h ɪ３２,９２éëêêùûúú,则fᶄ(h )＝２(４h －h ２)．由f ᶄ(h )＝０,解得h ＝４．所以函数f (h )在３２,４éëêê)上单调递增,在(４,９２ùûúú上单调递减,又f(３２)＝２７４,f (４)＝６４３,f (９２)＝８１４,则f (h )ɪ２７４,６４３éëêêùûúú．故选择答案:C ．著名数学教育家波利亚说过: 最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图． 从这个意义上讲,高考数学谋试在 审 ,成试在 审 ,一点都不过分[２]．参考文献:[１]陈云韬．数学多选题的审题策略技巧[J ]．中学数学,２０２２(１７):４９Ｇ５０．[２]张梅．数学解题的本质 审题[J ]．课程教材教学研究(中教研究),２０２２(Z ４):３４Ｇ３５．Z ４７。
高考数学题审题“八环节”
高考数学题审题“八环节”江苏省东海高级中学（222300） 徐 明审题是解题的基础,是正确、迅速解题的前提.著名数学教育家波利亚说“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图.”事实上,学生常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中.本文对高考数学解题中,审题时要注意的几个环节综述如下.一. 审视条件条件是解题的主要材料,充分利用条件间的内在联系是解题的必径之路.审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息,发挥隐含条件的解题功能.例1.(2001年全国高考题)过点)1,1(-A 、)1,1(-B 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是( )A.4)1()3(22=++-y xB.4)1()3(22=-++y xC.4)1()1(22=-+-y xD.4)1()1(22=+++y x 解析:作为本题的常规解法,设圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,由题设条件布列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-++=++-,02,)1()1(,)1()1(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===,4,1,12r b a 故选C.若利用好条件的凸显信息,考虑到选择题的特殊性,可检验四个选择支是否满足条件:首先选项(B)、(D)的圆心不在直线02=-+y x 上,其次选项(A)的圆不过点)1,1(-A .若挖掘条件的隐含信息,把握圆的几何特征(垂径分弦),则有简解:圆心在线段AB 的垂直平分线x y =上,由⎩⎨⎧=-+=02,y x x y 得圆心坐标)1,1(.二. 审视结论结论是解题的最终目标,解决问题的思维很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,善于从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.例2.(2002年全国高考题)设数列}{n a 满足.,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n (I)当21=a 时,求432,,a a a ,并由此猜想n a 的一个通项公式;(II)当31≥a 时,证明对所有的1≥n ,有(i)2+≥n a n ; (ii)2111111121≤++++++n a a a . 解析:本题的(I)及(II)之(i)不难解决,(II)之(ii)难倒了不少考生.关键在于大部分考生不能正确利用结论信息,错误的利用结论2+≥n a n ,想通过31514111111121++++≤++++++n a a a n 证明,但+∞=+∑=n k k 131.结论要证明n a a a ++++++11111121 小于等于21,注意到41111≤+a ,而1618141++ 21211≤+++n ,故只要能证明121218*********++++≤++++++n n a a a 即可,即要证明121+≥+n n a .由121+-=+n n n na a a ,得2)2(2)(11+-+≥+-=++n n a n a a a n n n n )1(2+=n a ,从而111122)31(2)1(1+--=⋅+≥⋅+≥+n n n n a a ,问题得证.若用数学归纳法证明,更要注意结论的分析.因为当n 从k 到1+k 时,用2111111121≤++++++k a a a 证明2111111111121≤+++++++++k k a a a a ,由于只增加正项111++k a ,而无法证明,所以需要把原结论加强.此时,可以通过证明新结论na a a ++++++11111121 12121+-≤n ,完成证明. 三. 审视结构 结构是数学问题的搭配形式,某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系.审视结构要对结构进行分析、加工和转化,以实现解题突破.例3.(2000年全国高考题)设}{n a 是首项为1的正项数列,且21)1(++n a n 012=+-+n n n a a na )3,2,1( =n ,则它的通项公式是=n a . 解析:从显式结构看,递推关系式0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n 较为繁杂,但本质是关于1+n a 与n a 的二次齐次方程,形如0)1(22=-++nb ab a n .将其结构式分解变形,得0)]()1[(11=+-+++n n n n a a na a n ,注意到01>++n n a a ,得n n na a n =++1)1(.再一次认识新结构,容易知道数列}{n na 是常数数列,从而有11==a na n ,即有na n 1=. 四. 审视数值数值是数学运算中最基本的单元,特殊的数值往往能暗示解题的方向.审视数值要善于观察、分析数值,从数值本身的变化,数字与数字之间的联系去寻找解题的思路,获得优美的解法.例4.(2002年全国高考题)已知函数221)(x x x f +=,那么+++)21()2()1(f f f =+++)41()4()31()3(f f f f . 解析:本题侧重思维能力的考查,但实际情况事与愿违.多数考生是硬算出来的:原式271711716101109515421=++++++=,没有领会“多考一点想,少考一点算”的高考命题意图.感觉敏锐的考生通过观察,凭借直觉应该抓住数值变化上的暗示信息:对于函数)1()(),(af a f x f +的值会比较特殊,由1111)1()(222=+++=+a a a a f a f ,得+++)21()2()1(f f f )41()4()31()3(f f f f +++ 271321=⨯+=.即使感觉不那么敏锐,在算出)21()2(f f +之后,也应该有所领悟,比较快地得出结果. 若将求值式改为)20021()2002()31()3()21()2()1(f f f f f f f +++++++,则更能体现上述思路的优越性,突出考查考生的思维灵活性. 五. 审视形象形象是数学问题的几何形式.审视形象要把握形象的本质特征,或赋予问题中的某些代数关系以几何意义,借助图象作出透彻分析,从而提供解题途径.例5.(2002年北京市高考题)已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数,当30<<x 时,)(x f 的图象如图1所示,那么不等式0cos )(<x x f 的解集是( ) A.)3,2()1,0()2,3(ππ-- B.)3,2()1,0()1,2(π-π- C.)3,1()1,0()1,3( -- D.)3,1()1,0()2,3( π-- 解析:本题以函数图象为载体,考查函数与方程及不等式的关系. 只要利用函数的奇偶性,在同一坐标系内画出函数)(x f 与x cos 在)3,3(-上的图象(如图2),根据x x f cos ),(的取值范围)3,2()1,0()1,2(π-π- .六. 审视范围范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束范围,从整体上把握问题的解决方向.例6.(2000年全国高考题)设函数,1)(2ax x x f -+=其中0>a . (I)解不等式;1)(≤x f(II)求a 的取值范围,使函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数.解析:在当年高考试题的阅卷过程中,发现众多考生都照搬无理不等式的一般解法: ⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥⇔⎩⎨⎧+≤+≥+⇔+≤+021111011122222ax x a a x ax x ax ax x )()( 致使解题过程复杂化.分析不等式112≤-+ax x ,注意“112≥+x ”与“0>a ”的范围限制,挖掘“0≥x ”这一隐性范围,将不等式化为⎩⎨⎧+≤+≥22110)(ax x x 求解,同时解二次不等式02122≥+-ax x a )(也紧扣该范围,会使解题过程更加优化与简单:⎩⎨⎧≥+-≥⇔⎩⎨⎧+≤+≥⇔+≤+0210110112222a x a x ax x x ax x )()( 所以,当10<<a 时,原不等式的解集为}|{2120aax x -≤≤;当1≥a 时,原不等式的解集为}|{0≥x x .而第(II)问讨论函数单调性,对)11)(()()(2221212121a x x x x x x x f x f -++++-=-的正负判断,也要注意1211x x >+与2221x x >+的范围特征.七. 审视语言语言是问题的表述方式.审视语言要理解问题的文字语言、符号语言、图表语言,并正确地进行转换,以便理解题意,正确解题.例7.(2002年上海市高考题)某工程由下列工序组成,则工程总时数为 天.解析:本题用表格形式给出某一工程各工序的紧前工序与该工序的工时数.为了方便理解题意,理顺各工序间的关系,可以将该工程用树图形式表示(如图3).考虑到并行工序(a 与b 、d 与e )可同时进行,而串行工序(如a 与c 、c 与d 、d 与f )只能在前一工序完成后,下一工序才能开始.故工程总时数为3+2+5+1=11(天).八. 审视方法方法是解题的手段,数学思想方法是问题的主线.审视方法,选择适当的解题方法,往往使问题解决事半功倍.例8.(2000年全国高考题)过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点.若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则qp 11+=( ) A.a 2 B.a 21C.a 4D.a4 解析:本题属直线与抛物线相交的弦长问题,解题的一般方法是联立方程组,通过解方程,利用根与系数的关系求解,但明显非常繁琐,不是一道选择题应有的工作量.仔细分析题意,qp 11+是定值,不随直线工序 a b c d e f 紧前工序 工时数(天) － 2 － 3 a 、b 2 c 5 c 4 d 、e 1(图3)位置的变化而变化.因此,可以采用特殊化手段,只考虑特殊位置的情况:直线平行于x 轴时,由定义得aq p 21==,所以a q p 411=+.或将直线的位置极限化,当直线垂直于x 轴时,∞→=q a p ,41,所以a q p 411=+.。
高考数学答题技巧：考场审清题意最为重要
高考数学答题技巧：考场审清题意最为重要高考数学答题技巧：考场审清题意最为重要选择题策略直、排、数、特、估高考数学选择题由三部分构成：指令性语言 ;题干 ;选项。
考生解选择题的方法可归纳为：直、排、数、特、估。
直直接法。
即直接经过计算或推理得出正确结论，高考取大多数选择题的解答用的是此法，所以，我们对直接法要高度重视。
排清除法。
即逐个否认错误的选项，达到排三选一的目的。
数数形联合法。
即利用图形联合数目关系直观地进行判断。
在每年高考题中都有三个以上能够用此法解答的选择题，要要点掌握。
特别化方法。
在不影响结论的前提下，将题设条件特别化，进而得出正确结论。
估估量方法。
由题干及选项所供给的信息，预计出所求量的大概范围，即可清除三个选项，进而达到目的。
以上五种重要方法不是孤立使用的，解题时可能是几种方法的综合运用，选择题在高考取多属中低档题，所以在解选择题时不要小题大做。
不然，用时过多造成潜伏失分。
填空题策略直、数、特填空题是一种客观性试题，与选择题比较，它没有选项作为参照 ;与解答题比较，它不要求写出推理及运算过程，只需求给出正确结果即可。
大多数填空题都属于中档题，可是得分要么是满分，要么是零分。
解答填空题的常用方法可归纳为：直、数、特。
直直接法。
即从题设条件出发，运用定义、性质、定理、公式等知识，经过变形、推理、计算等，直接得出所求结论。
直接法是解答填空题最常用的方法。
数数形联合法。
依据题设条件的几何意义，画出问题的协助图形，而后经过对图形的直观剖析，得出正确结论。
这也是解答高考填空题的重要方法。
特特值法。
当题设条件中供给的信息示意答案是一个定值时，能够取一些特别值或一些特别地点来确立这个定值，以提升解题效率。
解答填空题，选择方法时要注意合理、正确、迅速。
基于填空题只重结果不重过程，所以，为保证答案的正确性，就一定仔细审题明确要求，弄清观点，明确算理，正确表达。
解答题策略审清题意追求最正确思路“教书先生”唯恐是街市百姓最为熟习的一种称号，从最先的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人仰慕甚或敬畏的一种社会职业。
高考数学一轮复习答题审题要慢做题要快_答题技巧
高考数学一轮复习答题审题要慢做题要快_答题技巧为了帮助考生们了解高考信息，查字典数学网分享了高考数学一轮复习答题审题要慢做题要快，供您参考!一、调整好状态，控制好自我。
(1)保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
(2)按时到位。
今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5~10分钟内。
建议同学们提前15~20分钟到达考场。
二、通览试卷，树立自信。
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。
答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。
面对偏难的题，要耐心，不能急。
三、提高解选择题的速度、填空题的准确度。
数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。
填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。
四、审题要慢，做题要快，下手要准。
题目本身就是破解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。
找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。
答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。
五、保质保量拿下中下等题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。
谁能保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会更放得开。
六、要牢记分段得分的原则，规范答题。
会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”。
高考数学解题技巧：审题要慢 做题要快
高考数学解题技巧：审题要慢做题要快要想在高考数学考场上考出优异的成绩，不但需要扎实的基础知识、较高的数学解题能力做基础，临场考试的技巧更是无数学子圆梦所必备的。
针对数学学科特点，谈一下高考数学解题技巧，仅供参考：1. 调整好状态，控制好自我。
（1）保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或1个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
（2）按时到位。
但发卷时间应在开考前5-10分钟内，建议同学们提前15-20分钟到达考场。
2. 通览试卷，树立自信。
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。
答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。
面对偏难的题，要耐心，不能急。
3. 提高解选择题的速度、填空题的准确度。
数学选择题要求知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求快、准、巧，忌讳小题大做。
填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求完整、严密。
4. 审题要慢，做题要快，下手要准。
题目本身就是破解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。
找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。
答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。
5. 保质保量拿下中下等题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。
谁能保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会更放得开。
6. 要牢记分段得分的原则，规范答题。
会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，今年仍是网上阅卷，望同学们规范答题，减少隐形失分。
【高中数学】高考数学解题方法技巧：审题要慢 做题要快
【高中数学】高考数学解题方法技巧：审题要慢做题要快根据广大考生的需求，数学网高考频道整理了高考数学解题方法技巧，欢迎大家关注!1.调整好状态，控制好自我。
(1)保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
(2)按时到位。
今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。
建议同学们提前15-20分钟到达考场。
2.通览试卷，树立自信。
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。
答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。
面对偏难的题，要耐心，不能急。
3.提高解选择题的速度、填空题的准确度。
数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求快、准、巧，忌讳小题大做。
填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求完整、严密。
4.审题要慢，做题要快，下手要准。
题目本身就是破解这道题的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。
找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不拖泥带水，牢记高考评分标准是按步给分，关键步骤不能丢，但允许合理省略非关键步骤。
答题时，尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。
5.保质保量拿下中下等题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要部分，是考生得分的主要来源。
谁能保质保量地拿下这些题目，就已算是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高难题会更放得开。
6.要牢记分段得分的原则，规范答题。
会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被分段扣点分。
高考数学审题方法秘籍
必备二审题方法秘籍审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.一审审条件挖隐含有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.典型例题例1(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sin x-x+-,则关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为.▲审题指导sin(-x)=-sin x,2-x=f'(x)<0f(1-x2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x答案(2,3)解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f'(x)=cos x-1--2x ln2,∴f'(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)<f(7-5x),即1-x2>7-5x,解得2<x<3,故所求不等式的解集为(2,3).跟踪集训1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时,f(x+1)≤f[(2x+a)2]恒成立,则a的取值范围为.二审审结论会转换解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.典型例题例2已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.▲审题指导思路:证明两曲线有唯一公共点函数φ(x)=e x-x2-x-1有唯一一个零点φ'(x)=e x-x-1结论证明曲线y=e x与曲线y=x2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=e x-x2-x-1零点的个数.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0.又φ'(x)=e x-x-1,令h(x)=φ'(x)=e x-x-1,则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),∴φ(x)在R上是单调递增的,∴φ(x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.跟踪集训2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g+mln x+(m∈R,x>0).(1)求g(x)的表达式;(2)若∃x>0,f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;(3)设1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:∀x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.三审审结构定方案数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.典型例题例3设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.▲审题指导(1)(2)a n=2n→=→T n=1-→解不等式|T n-1|<n取10解析(1)由已知S n=2a n-a1,得S n-1=2a n-1-a1(n≥2),所以a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=,所以T n=++…+=-=1-.-由|T n-1|<,得--<,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10.所以使|T n-1|<成立的n的最小值为10.跟踪集训3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{a n}中,a1=,a n+1=-,b n=,其中n∈N*.(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)设c n=b n b n+1cos nπ,n∈N*,数列{c n}的前n项和为T n,若当n∈N*且n为偶数时,T n≤tn2恒成立,求实数t的取值范围;(3)设数列{a n}的前n项和为S n,试求数列{S2n-S n}的最大值.四审审图形抓特点在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键.典型例题例4已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)∈的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f--f的单调递增区间.▲审题指导第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x的单调区间,通过解不等式求得结果.解析(1)由题图知,周期T=2-=π,所以ω==2,因为点在函数图象上,所以Asin=0,即sin=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)g(x)=2sin--2sin2+=2sin2x-2sin=2sin2x-2=sin2x-cos2x=2sin-.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是-,k∈Z.跟踪集训4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)=.五审审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.典型例题例5把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设a ij(i,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2015,则i+j=.12,43,5,76,8,10,129,11,13,15,1714,16,18,20,22,24…▲审题指导i是奇数2015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j答案110解析由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2015=2×1008-1,所以2015为第1008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为31×1+×2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32×1+×2=1024,故2015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1921,所以第63行的第一个数为1923,所以2015=1923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.跟踪集训5.已知数列{a n},a n=2·,把数列{a n}的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则A(10,8)=.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…6.下表给出一个“三角形数阵”.…已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a ij(i≥j,i,j∈N*).(1)求a83;(2)试写出a ij关于i,j的表达式;(3)记第n行的和为A n,求数列{A n}的前m项和B m的表达式.六审审范围防易错范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.典型例题例6已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.▲审题指导结论(2)由(1)中结论→f(x)的最大值ln a+a-1<0g(a)=lna+a-1解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈∞时,f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a-=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,a>0,g'(a)=+1>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).跟踪集训7.在三角形ABC中,已知2·=||·||,设∠CAB=α,(1)求角α的值;(2)若cos(β-α)=,其中β∈,求cosβ的值.七审审方法寻捷径方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.典型例题例7已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.▲审题指导(1)(2)四边形OPTQ是平行四边形S ▱OPTQ=2S△OPQ→S△OPQ=|OF||y1-y2|→y1与y2解析(1)由已知可得=,c=2,所以a=.由a2=b2+c2,得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率k TF=----=-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,则直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也满足方程x=my-2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得-消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,∴Δ=16m2+8(m2+3)>0,y1+y2=,y1y2=-,则x1+x2=m(y1+y2)-4=-.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以--解得m=±1.所以S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2| =2-·-=2.跟踪集训8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN,且·=b2.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若S△ANM+S△POF=a,求椭圆C的标准方程.答案精解精析一审审条件挖隐含跟踪集训1.答案{a|a≥1或a≤-8}解析因为f(x)=2x是单调增函数,所以由f(x+1)≤f[(2x+a)2]得x+1≤(2x+a)2,则问题转化为x+1≤(2x+a)2对x∈[0,3]恒成立,即4x2+(4a-1)x+a2-1≥0对x∈[0,3]恒成立,令h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,若-<0,则h(0)≥0,此时a≥1;若->3,则h(3)≥0,此时a≤-8;若0≤-≤3,则Δ=(4a-1)2-16(a2-1)≤0,此时无解.综上,a的取值范围是{a|a≥1或a≤-8}.二审审结论会转换跟踪集训2.解析(1)设g(x)=ax2+bx+c,a≠0,于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以-又g(1)=-1,则b=-.所以g(x)=x2-x-1.(2)f(x)=g+mln x+=x2+mln x(m∈R,x>0).当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R;当m=0时,f(x)=,∀x>0,f(x)>0恒成立;当m<0时,由f'(x)=x+=0⇒x=-,列表:这时,f(x)min=f(-)=-+mln-.f(x)min>0⇔ --⇒-e<m<0.所以若∀x>0,f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围是(-e,0].故∃x>0,f(x)≤0成立,实数m的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞).(3)证明:因为∀x∈[1,m],H'(x)=--≤0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=m2-mln m-,|H(x1)-H(x2)|<1⇒m2-mln m-<1⇒m-ln m-<0,记h(m)=m-ln m-(1<m≤e),则h'(m)=-+=-+>0,所以函数h(m)=m-ln m-在(1,e]上是单调增函数,所以h(m)≤h(e)=-1-=-<0,故命题成立.三审审结构定方案跟踪集训3.解析(1)证明:∵b n+1==·-=-=,∴b n+1-b n=-=1.∴数列{b n}是公差为1的等差数列.(2)由题意可知,b1==1,故b n=n.因为c n=b n b n+1cos nπ,n∈N*,所以T n=c1+c2+…+c n=-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+(-1)n b n b n+1.当n∈N*且n为偶数时,设n=2m,m∈N*.则T n=T2m=-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+(-1)2m b2m b2m+1.=b2(-b1+b3)+b4(-b3+b5)+…+b2m(-b2m-1+b2m+1)=2(b2+b4+…+b2n)=4(1+2+…+m)=2m2+2m=n2+n.要使T n≤tn2对n∈N*且n为偶数恒成立,只要使n2+n≤tn2对n∈N*且n为偶数恒成立,即使t≥+对n为正偶数恒成立.∵=+=1,∴t≥1,故实数t的取值范围是[1,+∞).(3)由(2)知b n=n,又b n=,∴a n=-.∴S n=10…-,∴S2n=10……-,设M n=S2n-S n=10…-,∴M n+1=10…-,∴M n+1-M n=10--=10--=-,∴当n=1时,M n+1-M n=->0,即M1<M2,当n≥2时,M n+1-M n<0,即M2>M3>M4>….∴(M n)max=M2=10×-1=.因此数列{S2n-S n}的最大值为.四审审图形抓特点跟踪集训4.答案-解析由三角函数的图象可得T=3-1=2,所以最小正周期T==,解得ω=.又f(1)=sin =1,解得φ=-+2kπ,k∈Z,所以f(x)=sin-,k∈Z,则f(2)=sin-=sin=-.五审审图表找规律跟踪集训5.答案2×解析由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9==45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53=2×,故答案为2×.6.解析(1)由题知,{a i1}成等差数列,因为a11=,a21=,所以公差d=,a81=+(8-1)×=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=,a32=,所以,每行的公比q=,故a83=2×=.(2)由(1)知a i1=+(i-1)=,所以a ij=a i1·-=·-=i·.(3)A n=a n1…-=--=-n.B m=(1+2+…+m)-….设T m=+++…+,①则T m=+++…+,②由①-②,得T m=+++…+-=1--=1-,所以B m=·--=+-1.六审审范围防易错跟踪集训7.解析(1)由2·=||·||,得2||·||cosα=||·||,所以cosα=,又因为α为三角形ABC的内角,所以α=.(2)由(1)知sinα=,且β-α∈,又cos(β-α)=,所以sin(β-α)=,故cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα=×-×=.七审审方法寻捷径跟踪集训8.解析(1)由题意知消去y,得x2+ax+b2=0,解得x1=-a,x2=-,所以x M=-∈(-a,0),·=x M x A=a=b2,=,所以e=. (2)由(1)知M--,右准线方程为x=b,直线MN的方程为y=x,所以P,S△POF=OF·y P=b·b=2b2,S△AMN=2S△AOM=OA×|y M|=2b×b=b2,所以2b2+b2=a,b2=b2,所以b=,a=2,椭圆C的标准方程为+=1.。
2016届高考数学(理)二轮复习综合练谈考场如何审题—高考审题8环节
审题即弄清题意，是解题的基础，也是正确、迅速解题的前提，要想有效解决问题，关键要过审题关．著名数学教育家波利亚说过：“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”事实上，考生常常对此掉以轻心，致使解题失误或陷入繁冗之中．据统计，高考试卷通常控制在2 000个左右的印刷符号，若以每分钟300～400个符号的速度读题审题，约需5～7分钟，考虑到有的题要读两遍以上，仅审题就要约15分钟．能否迅速准确地理解问题，在很大程度上影响和决定了高考成绩的好坏．从这个意义上讲，高考数学谋试在“审”，成试在“审”，一点都不过分．下面从实例出发，就高考数学解题中审题要注意的几个环节综述如下：逐字逐句，仔细分析是审题的重要策略之一．在数学解题中，经常会出现一些容易看错的或易被忽视的或容易误解的字词，如果麻痹大意，就会导致失误．因此，要善于“斟字酌句”，认真思考，弄清含义，为正确解题创造条件．[例1] (2015·郑州模拟)已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 是12和2的等比中项，c 是1和5的等差中项，则a 的取值范围是________．[审题] (1)要求a 的取值范围，应建立关于a 的不等式；(2)由条件“b 是12和2的等比中项”和“c 是1和5的等差中项”可分别求出b 和c 的值；(3)根据△ABC 为锐角三角形，利用余弦定理即可建立关于a 的不等式．但是，题目条件并没有明确a 是否为最大边，故应分类讨论．[提醒] 本题易误认为a 为最大边，由b 2＋c 2－a 2>0得出结论，从而忽视c 为最大边的情形，掉入漏解陷阱．题目中没有明确a 是否为最大边，由此找到分类的依据．[解析] 因为b 是12和2的等比中项，所以b ＝12×2＝1； 因为c 是1和5的等差中项，所以c ＝1＋52＝3.又因为△ABC 为锐角三角形，①当a 为最大边时，有⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 2>0，a≥3，1＋3>a ，解得3≤a＜10；②当c 为最大边时，有⎩⎪⎨⎪⎧12＋a 2－32>0，a ＋1>3，a≤3，解得22＜a≤3.由①②得22<a<10，所以a 的取值范围是(22，10)． 答案：(22，10) [即时应用]1．直线l 过点P(5，2)，并且在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为________． [解析] (1)当直线过原点时，方程为2x －5y ＝0；(2)当直线不过原点时，用直线方程的截距式，设所求方程为x a ＋ya ＝1，把已知点P(5，2)的坐标代入方程，得a ＝7.此时所求方程为x 7＋y7＝1，即x ＋y －7＝0.故所求直线方程为2x －5y ＝0和x ＋y －7＝0. 答案：2x －5y ＝0和x ＋y －7＝02．已知曲线y ＝13x 3＋43，则过点P(2，4)的切线方程为________．[解析] 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y′|x＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －y 0＝x 20(x －x 0)，即y －13x 30－43＝x 20(x －x 0)．把P(2，4)的坐标代入，即4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0. 解得x 0＝2或x 0＝－1.故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 答案：4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0许多题目都存在关键性的词语，抓住它们就会把握事物的本质属性，找到解题的突破口．因此，审题时，除了熟悉问题的整体背景，注意各个部分之间的区别和联系外，还要特别注意根据“关键词”展开思维．[例2] (2015·兰州模拟)李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题，如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后(点A 与B 重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(如在第一次操作后，原线段AB 上的14、34均变成12，12变成1等)．那么在线段AB 上(除A ，B)的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是________．[审题] 本题的关键词是新定义中的“一次操作”，要解决此题，首先要读懂“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度，第一次操作后，在12处为对折点，均匀拉长后12变成1，原线段AB 上的14、34均变成12，这在题目中已有提示．第二次操作后，在线段12处有两个数14和34为对折点，均匀拉长后这两个数都变为1，根据题意，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为14和34，这样马上可以得出结论．[解析] ∵在第一次操作后，原线段AB 上的14、34均变成12，12变成1，∴在第二次操作后，原线段AB 上的14、34均变成1，∴所求点所对应的数之和是14＋34＝1.答案：1 [即时应用]1．已知双曲线C ：x 2－y24＝1，过点P(1，1)作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有________条．[解析] 当直线l 斜率存在时，令l ：y －1＝k(x －1)，代入x 2－y 24＝1中整理有(4－k 2)x2＋2k(k －1)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，即k ＝±2时，l 和双曲线的渐近线平行，有一个公共点．当k≠±2时，由Δ＝0，解得k ＝52，即k ＝52时，有一个切点．直线l 斜率不存在时，x ＝1也和曲线C 有一个切点． 综上，共有4条满足条件的直线． 答案：42．在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C ，在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于M ，则AM<AC 的概率为________．[解析] 由于在∠ACB 内任作射线CM ，所以CM 在∠ACB 内等可能分布，如图所示，基本事件的区域应是∠ACB，在线段AB 上取一点C′，使得AC′＝AC ，连接CC′，故P(AM<AC)＝∠ACC′∠ACB ＝π－π42π2＝34.答案：34有许多数学题，给出的已知条件或结论的形式比较复杂、繁琐．审题时，只要善于对已知或未知进行简化，就会化繁为简找到有效解决问题的方法和途径．[例3] (2015·太原模拟)已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，其中b>a ，且对任意x∈R 都有f(x)≥0，则M ＝a ＋2b ＋3cb －a的最小值为( )A.5－232 B.5＋232 C.7－352 D.7＋352[审题] 本题是多元问题，解多元问题的思路是将多元问题转化为二元或一元问题．由条件f(x)≥0恒成立可知⎩⎪⎨⎪⎧a>0，b 2－4ac≤0，即c≥b 24a .从而M ＝a ＋2b ＋3cb －a ≥a ＋2b ＋3b24a b －a ，故问题转化为求a ＋2b ＋3b 24a b －a 的最小值，可考虑令t ＝ba ，从而化简并求得a ＋2b ＋3b24a b －a 的最小值，即求得问题的答案．[解析] 选D 由题意得a>0，b 2－4ac≤0，即c≥b 24a，则M ＝a ＋2b ＋3cb －a ≥a ＋2b ＋3b 24a b －a ＝1＋2·b a ＋34·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2ba－1.令b a ＝t ，则t>1，于是M≥1＋2t ＋34t 2t －1＝34（t －1）2＋72（t －1）＋154t －1＝34(t －1)＋154·1t －1＋72≥352＋72，当且仅当t －1＝5，即b ＝(1＋5)a ，c ＝b 24a ＝3＋52a 时等号成立． 所以M ＝a ＋2b ＋3c b －a 的最小值为7＋352.[即时应用]1．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是________．[解析] 由b a ＋a b ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6abcos C.根据余弦定理，化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2， 将tan C tan A ＋tan Ctan B通过切化弦化简， 得sin C cos C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin Asin B ＝sin C cos C ·sin Csin Asin B＝sin 2Ccos Csin Asin B.根据正、余弦定理得sin 2C cos Csin Asin B ＝c 2ab·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c232c 2－c2＝4. 答案：42．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1，2，3，…)，则它的通项公式a n ＝________．[解析] 由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，得[(n ＋1)·a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即(n ＋1)a n ＋1＝na n .故数列{na n }为常数列． ∴na n ＝a 1＝1，即a n ＝1n .答案：1n审题时，思路不能只停留在原题上，而应积极地将其转换成熟悉和易解的问题．其方法有：把实际问题转换成数学问题，把几何问题转换成代数问题，把代数问题转换成三角问题等，不一而足．因此，我们在审题时，要注意分析题意，善于转换．[例4] (2015·绍兴模拟)水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况)，需计算带子的缠绕角度α(α指缠绕中将部分带子拉成如图所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分)．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为________．[审题] 解决本题的关键是如何将空间图形转化为平面图形，而将空间图形中的点和量与平面图形中的点和量对应起来是解决本题的难点，如果以AB所在的母线把它剪断，拿出其中的一段并压平，画出其平面图形(如下图)，点A与点C是重合点，所以AC的长就是水管的周长，AH的长是带子宽度，通过互余关系，角α转换到△AHC中，使这些已知量都集中在同一个三角形内，再以三角函数来求解问题．[解析] 如图，沿一条母线剪开，侧面是一个矩形，带子ABCD是一个平行四边形，过点A作AH⊥BC于H，∵∠ABC＝∠CAH＝α，AC＝2π，∴在Rt△AHC中，cos α＝12π.答案：1 2π[即时应用]1．函数y＝x2－2x＋2＋x2－6x＋13的最小值为________．[解析] 原函数等价于y＝（x－1）2＋（0－1）2＋（x－3）2＋（0－2）2，即求x轴上一点到A(1，1)，B(3，2)两点距离之和的最小值．将点A(1，1)关于x轴对称，得A′(1，－1)，连接A′B交x轴于点P，则线段A′B的值就是所求的最小值，即|A′B|＝（1－3）2＋（－1－2）2＝13.答案：132．(2015·长春模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，则ba ＋1的取值范围为________． [解析] 因为a>0，所以二次函数f(x)的图象开口向上，又因为f(0)＝－1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1，2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子ba ＋1表示平面区域内的点P(a ，b)与点Q(－1，0)连线的斜率．而直线QA 的斜率k ＝1－00－（－1）＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2，1)．答案：(－2，1)有些题目中某些条件给出的并不明显，需要对这些条件进行再加工；也有某些条件虽然题目已经给出，但解题者却没有把它作为条件来使用，从而使解题遇阻，需要对这些条件进行再认识．[例5] 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)[审题] 由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即得到∠B 的度数，∠B＝60°.设三角形的三个内角为A ，B ，C ；A 为钝角，则A>B>C ，设角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，则m ＝a c ＝sin A sin C，但是下一步，如何判断m 的范围，就不知如何做了． 注意到，这里有一个隐含条件，即∠B＝60°，∠A>90°，则∠C<30°.于是m ＝ac ＝sin A sin C >sin Asin 30°＝2sin A ，从而将问题转化为求2sin A 的最大值问题． [解析] 选B 设△ABC 的三边为a ，b ，c ，且a>b>c.又△ABC 为钝角三角形且三内角的度数成等差数列，所以B ＝60°，且A>90°.故0°<C<30°，则m ＝a c ＝sin A sin C >sin A sin 30°＝2sin A.又∵A∈(90°，180°)，∴2sin A∈(0，2)． 故m>2. [即时应用]1．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233[解析] 选A ∵直线l 过(a ，0)，(0，b)两点， ∴直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.又原点到直线l 的距离为34c. ∴|ab|a 2＋b 2＝34c ，即a 2b 2a 2＋b 2＝316c 2又c 2＝a 2＋b 2，∴a 2(c 2－a 2)＝316c 4即316c 4－a 2c 2＋a 4＝0，化简得(e 2－4)(3e 2－4)＝0， ∴e 2＝4或e 2＝43，又∵0<a<b， ∴e 2＝c 2a 2＝1＋b2a2>2，∴e 2＝4，即e ＝2，故选A.2．函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋b 有极值，又在其曲线上极大值点和极小值点分别为A 、B ，若线段AB(不含端点)与曲线交于点M(1，0)，求a ，b 的值．[解] 由f′(x)＝3x 2＋6ax ＝0，得x ＝0或x ＝－2a. 即A(0，b)，B(－2a ，4a 3＋b)． 又A ，B ，M 三点共线． ∴∥，即(1，－b)∥(1＋2a ，－4a 3－b)，∴－4a 3－b ＝－b(1＋2a)．又M 在曲线上，∴0＝1＋3a ＋b.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧－4a 3－b ＝－b （1＋2a ），3a ＋b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝12.又M 在线段AB 的内部，故0<1<－2a ，即a<－12，∴a＝－1，b ＝2.数形结合也是审题的一种重要方法．一旦题目与数轴、单位圆、图象、几何图形等存在联系，就可通过画图利用其直观性和几何性来帮助分析、思考，甚至根据图形直接找出答案．因此，我们要养成利用图形的直观性来分析问题的思维习惯．[例6] (2015·天水模拟)已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t ∈R，恒有|a －te|≥|a－e|，则( )A ．a⊥eB ．a⊥(a－e)C ．e⊥(a－e)D ．(a ＋e)⊥(a－e)[审题] 解这个题目时，如果不仔细研究已知条件之间的关系，很容易采用下面的解法， 即从不等式|a －te|≥|a－e|的计算入手，有a 2－2te·a＋t 2e 2≥a 2－2e·a＋e 2，即t 2－2e·at＋2e·a－e 2≥0，因为该不等式对任意t∈R 恒成立，所以Δ＝4(e·a)2－8e·a＋4e 2≤0，因而(e·a－1)2≤0.于是e·a－e 2＝0，所以e·(a－e)＝0，e⊥(a－e)．故选C.这是一个非常好的解法，但是运算量还是大了一些．如果认真思考已知条件，向量a≠e，且不等式|a －te|≥|a－e|对任意实数t 都成立，可以从向量本身的意义来思考，并借助图形解决．如图，＝a ，＝e ，则＝a －e ，设＝a －te ，由题设，||恒不小于||，显然，仅当⊥时才能实现，因此，e⊥(a－e)．[解析] 选C 如图，设＝a ，＝e ，D 为直线AC 上的一点，且＝te ，则＝a－e ，＝a －te ，由题意|a －te|≥|a－e|，知||≥||，即||是点B 到直线AC 上点的距离的最小值，故⊥，即e⊥(a－e)．[即时应用]1．已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(x ＋2)＝f(－x)，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x ，则满足f(2x)<f(x)的x 的取值范围是________．[解析]f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥1，2－x ，x ＜1，f(2x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x≥12，2－2x ，x<12.如图可知不等式f(2x)<f(x)的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0<x<23.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0<x<232．已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，若平面区域M 由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则M 的面积为________．[解析] 由向量的平行四边形法则，可知点P 构成的区域为图中阴影部分的平行四边形BDEF 及其内部，它与平行四边形ABDC 是全等的，于是易求得其面积为3.答案：3结论是解题的最终目标，解决问题的思维很多情形下都是在目标意识下启动和定向的．审视结论要探索已知条件和结论间的联系与转化规律，善于从结论中捕捉解题信息，确定解题方向．[例7] 已知α，β为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧3sin 2α＋2sin 2β＝1 ①，3sin 2α－2sin 2β＝0 ②，求α＋2β的值．[审题] 由α＋2β的构成特点，可知本题化简变形时，不宜按照常规对α，β的三角函数都采用降次，而需要把已知表达式中的含α的三角函数升次，含β的三角函数降次，即把α和2β的表达式拼凑出来．[解] 由①得，3sin 2α＝cos 2β，③由②得，3sin αcos α＝sin 2β，④③÷④得，sin αcos α＝cos 2βsin 2β⇒cos(α＋2β)＝0， 因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<3π2，故α＋2β＝π2. [即时应用]1．已知函数f(x)＝x 21＋x 2，那么f(1)＋f(2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f(2 015)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝________． [解析] ∵f(x)＝x 21＋x 2，∴f(a)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a 21＋a 2＋11＋a 2＝1.∴f(1)＋f(2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f(2 015)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝12＋1×2 014＝4 0292. 答案：4 02922．设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．[解] (1)设f(x)＝ln x x ，则f′(x)＝1－ln x x 2. 所以f′(1)＝1，即L 的斜率为1.又L 过点(1，0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)＞0(∀x ＞0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x 2－1＋ln x x 2. 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增．当x ＝1时，g(x)取得最小值．所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x ＞0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．解题，常常会困惑于找不到突破口，此时可考虑从特殊的点、特殊的值、特殊的图形等出发进行试探，取得部分成果，发现规律，从而获得解题途径．[例8]如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若＝λ，＝μ，则1λ＋1μ＝________. [审题] 由题目条件可知，直线PQ 过定点M ，但斜率未知，即直线方程未定，而所要求的结果为定值，故1λ＋1μ的值与P 、Q 的位置无关，从而可采用特殊直线求解． [解析] 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2. 答案：2[即时应用]1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP⊥BD，垂足为P ，且AP ＝3，则·＝________．[解析] 把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则·＝18.答案：182．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的一个交点A 在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两点)，顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点，则a 的取值范围是________．[解析] 当交点A 在(－2，0)，且顶点C 在F(3，2)时，抛物线的开口最大．设这时的解析式为：y ＝a(x －3)2＋2，把点(－2，0)代入解析式得0＝25a ＋2，解得a ＝－225，当交点在(－1，0)，且顶点C 在D(1，3)时，抛物线的开口最小．设这时的解析式为：y ＝a(x －1)2＋3，把点(－1，0)代入解析式得0＝4a ＋3，解得a ＝－34. 所以a 的取值范围是－34≤a≤－225. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－225。
解答数学考题要抓好几个环节
解答数学考题要抓好几个环节每次考试之后都有学生给我说：“老师，这次我又考砸了！”“不是时间不够用，就是题没审好，不是题很容易没做对，就是分析错跑题了”等诸如此类的问题。
的确，细节决定成败，好多学生，不是因为不会而导致错误，而是因为没有把握好做题的环节而导致了失败。
像这种情况，在我带的学生中，可以说是屡见不鲜。
怎样才能在考试中，做到正常发挥或超常发挥，抓好答题的环节起着非常重要的作用，下面就根据我平时的教学，谈谈个人的一点体会。
第一个环节：要仔细审题1.开考前，浏览试卷，大致估计哪些题熟悉易做，哪些题生疏难做。
2.看清题目要求。
比如做选择题，就要看清是选正确的还是选不正确的。
3.弄清题目内涵。
要确实弄清楚每道题的题意，搞清楚题目给予的条件和要求。
因为考试要求可能与自己的答题习惯有所不同。
要特别注意题目的隐含条件。
考生应从题目的文字叙述，或从给出的示意图中去挖掘隐含条件，才能准确地解决问题。
要记住题意，在头脑中保持题目清晰、完整的印象。
不能瞎子摸象，只见树木不见树林。
第二个环节：要沉着答题1.稳定情绪，可以做几次深呼吸，增加大脑的供氧，尽快使自己的情绪稳定下来。
2.合理分配时间。
现在的考试都是限时考试，既考答题的准确度，又考答题的速度，要求既快又准确。
一份试卷中各题的占分比例不一样，要学会“量体裁衣，看分花时。
”分值小就少花时，分值大就多花时。
3.先易后难。
拿到试卷，先做容易题，后做难题，这不但是经验之谈，而且符合心理学原理。
刚进考场时，人的心情都比较紧张，感知、记忆、思维等心理过程都还未适应考场上的紧张气氛，没有达到最佳状态。
待做过几题后，特别是做了几道有把握的容易题之后，心情就逐渐稳定下来，自信心得到了增强，智力活动也恢复了常态，这时再做难题就容易成功。
而且做的小题越多，拿到的分数也越多，心里就越有底。
4.准确快速解题。
在认真审题后，要力求答题准确无误。
不仅要做到思路清晰、方法对路，还应做到每一步的推导、演算要准确，且书写清楚，格式规范。
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＝0.当 4－k2＝0，即 k＝± 2 时，l 和双曲线的渐近线平行， 5 5 有一个公共点．当 k≠± 2 时，由 Δ＝0，解得 k＝ ，即 k＝ 2 2 时，有一个切点． 直线 l 斜率不存在时，x＝1 也和曲线 C 有一个切点． 综上，共有 4 条满足条件的直线．
答案：4
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1 3 4 Ax0，3x0＋3，则切线的斜率
－y0＝x2 0(x－x0)，即
1 3 4 y－ x0－ ＝x2 0(x－x0)． 3 3
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把 P(2，4)的坐标代入，即 2 3 4 2 4＝2x0－ x0＋ ， 3 3
2 3 2 2 即 x3 0－3x0＋4＝0，∴x0＋x0－4x0＋4＝0，
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[例 3] (2015· 太原模拟)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c， a＋2b＋3c 其中 b>a，且对任意 x∈R 都有 f(x)≥0，则 M＝ 的最 b－a 小值为( ) 5＋2 3 B. 2 7＋3 5 D. 2
5－2 3 A. 2 7－3 5 C. 2
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创新方案元问题的思路是将多元问题
转 化 为 二 元 或 一 元 问 题 ． 由 条 件 f(x)≥0 恒 成 立 可 知
a>0，b －4ac≤0， 即
2
b2 c≥ . 从 而 4a
a＋2b＋3c M ＝ b－a
3b 2 3b2 a＋2b＋ a＋2b＋ 4a 4a ≥ ，故问题转化为求 的最小值，可考虑令 t b－ a b－a 3b2 a＋2b＋ 4a b ＝a，从而化简并求得 的最小值，即求得问题的答案． b－a
b2 3＋ 5 ＝ ＝ a 时等号成立． 4a 2 a＋2b＋3c 7＋ 3 5 所以 M＝ 的最小值为 . 2 b－ a
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1．在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. b a tan C tan C 若a＋b＝6cos C，则 ＋ 的值是________． tan A tan B
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谈考场如何审题—高考数学审题 “8 环节”
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审题即弄清题意，是解题的基础，也是正确、迅速解题的前 提，要想有效解决问题，关键要过审题关．著名数学教育家 波利亚说过：“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演 算和作图．”事实上，考生常常对此掉以轻心，致使解题失 误或陷入繁冗之中．据统计，高考试卷通常控制在 2 000 个 左右的印刷符号，若以每分钟 300～400 个符号的速度读题 审题，约需 5～7 分钟，考虑到有的题要读两遍以上，仅审 题就要约 15 分钟．
1 (2)由条件“b 是 和 2 的等比中项”和“c 是 1 和 5 的 2 等差中项”可分别求出 b 和 c 的值； (3)根据△ABC 为锐角三角形，利用余弦定理即可建立 关于 a 的不等式． 但是， 题目条件并没有明确 a 是否为最大 边，故应分类讨论．
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[解析] b a 由a＋b＝6cos C，得 b2＋a2＝6abcos C.
根据余弦定理，化简整理得 2(a2＋b2)＝3c2，
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tan C tan C sin C cos A cos B ＝ ＋ 将 ＋ 通过切化弦化简，得 · tan A tan B cos C sin A sin B sin C sinA＋B sin C sin C sin2C · ＝ · ＝ . cos C sin Asin B cos C sin Asin B cos Csin Asin B sin2C 根据正、余弦定理得 ＝ cos Csin Asin B 2c2 c2 2c2 ＝ ＝ a2＋b2－c2 a2＋b2－c2 ab· 2ab
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[例 4] (2015· 绍兴模拟)水管的外部需要包扎，包扎
时用带子缠绕在管道外部． 若要使带子全部包住管道且不 重叠 ( 不考虑管道两端的情况 ) ，需计算带子的缠绕角度 α(α 指缠绕中将部分带子拉成如图所示的平面 ABCD 时的 ∠ABC， 其中 AB 为管道侧面母线的一部分)． 若带子宽度 为 1，水管直径为 2，则 α 的余弦值为________．
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[ 例 2] (2015· 兰州模拟 ) 李老师从油条的制作受到启
发，设计了一个数学问题，如图所示，在数轴上截取从原点 到 1 的对应点的线段 AB，对折后(点 A 与 B 重合)再均匀地 拉成 1 个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(如在第 1 3 1 1 一次操作后，原线段 AB 上的 、 均变成 ， 变成 1 等)．那 4 4 2 2 么在线段 AB 上(除 A，B)的点中，在第二次操作后，恰好 被拉到与 1 重合的点所对应的数之和是________．
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[解析] 选D b2 由题意得 a>0，b －4ac≤0，即 c≥ ， 4a
2
3b2 b 3 b2 a＋2b＋3c a＋2b＋ 4a 1＋2· a＋4· a 则 M＝ ≥ ＝ . b b－ a b－ a a－ 1 3 3 7 15 1＋2t＋ t2 t－12＋ t－1＋ 4 4 2 4 3 b 令a＝t，则 t>1，于是 M≥ ＝ ＝ (t 4 t－ 1 t－ 1 －1)＋ 15 1 7 3 5 7 · ＋ ≥ ＋ ，当且仅当 t－1＝ 5，即 b＝(1＋ 5)a，c 4 t－ 1 2 2 2
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[例 1] (2015· 郑州模拟 )已知锐角△ ABC 的三个内角
1 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 b 是 和 2 的等比中 2 项，c 是 1 和 5 的等差中项，则 a 的取值范围是________．
[审题]
(1)要求 a 的取值范围， 应建立关于 a 的不等式；
＝4. 3 2 2 c －c 2
答案：4
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2 2．设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a2 n＋1－nan＋
an＋1an＝0(n＝1,2,3，„)，则它的通项公式 an＝________.
2 [解析] 由(n＋1)a2 n＋1－nan＋an＋1an＝0，
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能否迅速准确地理解问题， 在很大程度上影响和决定了高考 成绩的好坏．从这个意义上讲，高考数学谋试在“审”，成试 在“审”，一点都不过分．下面从实例出发，就高考数学解题 中审题要注意的几个环节综述如下：
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逐字逐句， 仔细分析是审题的重要策略之一． 在数学解 题中， 经常会出现一些容易看错的或易被忽视的或容易误解 的字词，如果麻痹大意，就会导致失误．因此，要善于“斟 字酌句”，认真思考，弄清含义，为正确解题创造条件．
[提醒] 本题易误认为 a 为最大边，由 b2＋c2－a2>0 得
出结论，从而忽视 c 为最大边的情形，掉入漏解陷阱．题目 中没有明确 a 是否为最大边，由此找到分类的依据．
1 [解析] 因为 b 是 和 2 的等比中项， 所以 b＝ 2 1＋5 因为 c 是 1 和 5 的等差中项，所以 c＝ ＝3. 2 又因为△ABC 为锐角三角形，
答案：2x－5y＝0 和 x＋y－7＝0
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1 3 4 2 ．已知曲线 y ＝ x ＋ ， 则过点 P(2 ， 4) 的切线方程为 3 3 ________．
[解析] 1 3 4 设曲线 y＝ x ＋ 与过点 P(2，4)的切线相切于点 3 3 k＝y′|x＝x0＝x2 ∴切线方程为 y 0，
1 ×2＝1； 2
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由①②得 2 2<a< 10， 所以 a 的取值范围是(2 2， 10)． 答案：(2 2， 10)
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1．直线 l 过点 P(5，2)，并且在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 直线 l 的方程为________．
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[解析] (1)当直线过原点时，方程为 2x－5y＝0； (2)当直线不过原点时， 用直线方程的截距式， 设所求方程 x y 为a＋a＝1，把已知点 P(5,2)的坐标代入方程，得 a＝7.此时所 x y 求方程为 ＋ ＝1，即 x＋y－7＝0. 7 7 故所求直线方程为 2x－5y＝0 和 x＋y－7＝0.
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2． 在等腰直角三角形 ABC 中， 直角顶点为 C， 在∠ACB 的内部， 以 C 为端点任作一条射线 CM， 与线段 AB 交于 M， 则 AM<AC 的概率为________．
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[解析] 由于在∠ACB 内任作射线 CM，所以 CM 在∠ACB
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2 y 1.已知双曲线 C：x2－ ＝1，过点 P(1,1)作直线 l，使 l 4
与 C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有 ________条．
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[解析] 当直线 l 斜率存在时，令 l：y－1＝k(x－1)，
2 y 代入 x2－ ＝1 中整理有(4－k2)x2＋2k(k－1)x－k2＋2k－5 4
内等可能分布，如图所示，
基本事件的区域应是∠ACB，在线段 AB 上取一点 C′，使得 π π－ 4 2 ∠ACC′ 3 AC′＝AC，连接 CC′，故 P(AM<AC)＝ ＝ ＝ . ∠ACB π 4 2 3 答案： 4 高考专题辅导与测试·数学