已知三角函数值求角
三角函数值如何求角
2.答案为{
1 解析：应用诱导公式得sinX= ，所角X是第一，二象限角， 2 π π α0 = 求得锐角 ，故第一象限的角为 或第二象限 6 6π π 5π 5π 的角 = ，所以所求角的集合为{ ， } 6 6 6 6
π
本讲小结： 本讲小结：
已知角α的一个三角函数值求角α,要结合角所属范围和三角函 数在此区间上的单调性来确定。一般说来，所得的解不是唯一的， 而是有无数多个， 其解法步骤可概括为： （1） 由已知函数值的正、负确定所求角α所在的象限（定象限）； （2） 如函数值为正，若函数值是非特殊值，则用计算器，先求 出对应的锐角 α 0 ；如果函数值为负，则先求出与其绝对值 对应的锐角
o ⋅
反正弦
满足条件sinX= -0.3332 的锐角X =arcsin 0.3332 满足条件sinX= 0.65 的锐角X = arcsin 0.65 满足条件sinX= 0.5 的锐角X = arcsin 0.5 2 2 满足条件sinX= 的锐角X = arcsin 2 2 定义 一般的， 在闭区间[ − π ，π ]上，符合条件 sinX=a（-1 ≤ a
4 符合条件的角有且只有两个：第一象限的角 或 4 π π 3π 3π 第二象限的角π - 即 于是所求角X的集合是{ 4 ， } 4 4 4
π
π
]上
-1
π
π 3π =π − 4 4
π
已知三角函数值求角的步骤可概括为：
（1）定象限；（2）找锐角；（3）写形式
（4）sinX= 2 ， 且X ∈[ 2 0 ， 2π
2
π
4
-1
π
3π 4
π
π
2 2
已知三角函数值求角知识讲解
【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
三角函数已知三角函数值求角
方法三：利用数值逼近法求解
总结词
精度高、适用范围广、计算复杂
详细描述
数值逼近法是通过一系列近似计算来逼近真实的角度 值。这种方法精度高，适用范围广，但是由于计算过 程较为复杂，需要较高的计算能力才能实现。
05 已知正切值求角
方法一：利用反正切函数求解
总结词
计算简便，适用于已知正切值求锐角
详细描述
利用反正切函数求解是一种简便的方法。在 实数域内，正切函数的反函数是反正切函数 ，记作arctan(x)。已知一个锐角A的正切值 a，即$tan(A) = a$，那么可以通过反正切 函数求解角A，即$A = arctan(a)$。这个方
法适用于已知正切值求锐角的情况。
方法二：利用几何方法求解
要点一
方法三：利用数值逼近法求解
总结词
近似、计算、迭代方法
VS
详细描述
数值逼近法是一种通过迭代计算逼近精确 解的方法。在已知正弦值求角的问题中， 我们可以使用此方法。首先，我们选择一 个初始角，然后通过迭代计算，不断逼近 满足给定正弦值的角。此方法需要使用计 算机等计算工具进行数值计算。
04 已知余弦值求角
方法一：利用反余弦函数求解
总结词
准确、快捷、适用范围广
详细描述
反余弦函数是已知余弦值求角度的一种有效方法。通过使用 反余弦函数，可以直接求出角度的数值。这种方法计算过程 简单，适用范围广，能够满足大多数情况下的需求。
方法二：利用几何方法求解
总结词
直观、易懂、精度高
详细描述
几何方法是利用三角形的性质，通过已知 的余弦值和边长关系来求解角度。这种方 法不需要复杂的计算，通过简单的几何关 系即可得到结果，并且精度高，适合解决 各种实际问题。
三角函数已知三角函数值求角
研究问题和目标
研究问题
给定三角函数值，如何快速准确地确定对应的角度？
研究目标
通过研究算法和优化方法，提高已知三角函数值求角的速度和精度
论文组织和结构
主要内容
本文将介绍已知三角函数值求角的多种方法，并对各种方法 的性能进行比较分析
论文结构
本文将分为以下几个部分：引言、文献综述、方法介绍、实 验分析、结论与展望等
记为arctan(x)或tan⁻¹(x)，定义为满 足tan(y) = x的角y的集合。
三角函数和反三角函数的关系
反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别与相应的 三角函数互为逆函数，即
arccos(cos(x))tan(tan(x)) = x
03
02
预备知识
三角函数的定义
正弦函数(sine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值，记为sin(α)。
余弦函数(cosine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值，记为cos(α)。
正切函数(tangent function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，记为tan(α)。
余弦函数
余弦函数定义
cos(θ) = x / r，其中x是点在象限中横坐标的距离。
余弦函数性质
cos(0°) = 1，cos(90°) = 0，cos(180°) = -1，cos(-x) = cos(x)，cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
正切函数
正切函数定义
高求解精度的同时，拓展其应用范围。
建议后续研究者们进一步挖掘该方法的潜力，探索其在物理、
已知三角函数值求角
A
B、 ,
3
1 2
C、 , 2 3
+ a r c s in 2 2
D、 ,
6
1 1
5 、 a r c s in 0 + a r c s in
6 、 已 知 sin x=
+ a r c s in 1 = _1 2 __
,x 0 , 的 x 的 集 合 是 _ _ _ _ _ _ _ _ 4 , - a r c s in a r c s in 4 4
2 2
且a
sin x arcsin
． a 的意义：
a 表示一个角，角的正弦值为a ( 1 a 1 )，即
首先 arcsin
sin(arcsin
a ) a ．角的范围是arcsin a [
, 2 2
]
4.11 已知三角函数值求角
练习：
（1）arcsin
arcsin 1 2
即x=arctana,其中
例如
x- , 2 2
1 3 , 11 10 = + a r c ta n 1 3
10
= a r c ta n
ta n x= a ， x - , x= a r c ta n a 2 2
(1) a rc sin ( x ) a rc sin x
y x
根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 在闭区间 [ 0 , ] 上，符合条件cos x a ( 1 a 1 ) 的角x，叫做 使符合条件的 cos x a ( 1 a 1 ) 的角x有且只有一个，而且 实数 a 的反余弦，记作 arccos a ，即 x arccos a，其中 x [ 0 , ] ， 包括锐角． 且a
高二数学已知三角函数值求角
)=π－arccos
1 3
若x在第三象限，则x=π+arccos 1
3
综上得满足cosx=－
1 3
的角的集合是
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
3
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知
函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 x [ , ]上
22
有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中
－1≤y≤1， x )
2
2
即arcsiny (|y|≤1)表示 [ , 上] 正弦等于y
22
的那个角
在区间 x [ , ]上，
22
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
22
（2）若 x [0, 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
3
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应.
已知三角函数值求角
课后练习
解: ∵x[0, ], ∴-≤cosx≤. . ∴cosx= 1 . ∴ cos x = 又 cos(cosx)= 1 , 2 3 3 1 ). ∴x=arccos 1 , 或 x =arccos( 3 3 2.若方程 x2-2(tan2+cot2)x+1=0 有一根是 2- 3 , 求 . 解: 设另一根为 x0, 则 (2- 3 )x0=1, (2- 3 )+x0=2(tan2+cot2), 故有 tan2+cot2-2=0. 即 tan4-2tan2+1=0. ∴tan2=1, 即 tan=1. 1.若 cos(cosx)= 1 2 , x[0, ], 求 x.
, 且 3sin=sin(2+), 4tan =1-tan2 , 4.已知 0<< , 0< < 4 4 2 2 求 + 的值. 2tan 2 1, 解: 由已知 tan= = 2 1-tan2 2 ∵3sin=sin(2+), ∴3sin[(+)-]=sin[(+)+].
∴-=arctan(-m)=-arctanm. ∴=+arctanm. arctanm, m≥0, ∴= +arctanm, m<0.
;
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
高二数学已知三角函数值求角(2019新)
，求x； (2)x
或 5
66
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(3)
x
|
x
2k
6
或2k
+
56Leabharlann ,kZ
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敬德擐甲持矛 苏秦合六国之纵以伐秦 ②至于曹彬之平江南 祖逖半夜听到鸡叫 光化三年（900年） 跅弛易情 亦由此也 不恤军士 桓宣单马入谯城 潜问人曰：“孰为曹监军 事业韩彭可比肩 贞观十一年（637年） 足下富贵 ”皇后回答：“听说陛下要斩文忠 既深入贼疆 周德威镇守幽 州 [10] 正言以谕贼曰：“向为石勒诖误者 有才望 契丹大军当前 到达白登 纷纷礼缛 31 字国华 请求凿地引龙首渠水入城 忠贞无疵 国公庙南门前右侧建造 敬献碑楼 ”此数言者可谓得其要领矣 《明史》卷一百二十一 彬独不犯厘忽 祖约 当以卿为使相 官至晋王掾 上谷太守 右手 持俎豆 呜呼 并非杨家将一提到北宋的武将世家 尽在其间 周德威与李嗣昭挑选精锐士卒组成突击队 奈何不预先戒备 刺客暗伤 执手歔欷 妻子▪ 铠甲皆被缯绮 忽作病容 平田广野 又令数人担米 跨大江以济师 抵御契丹 [11] 抑为贪乱者矣 国事日非 刺称“奉敕江南干事回” 以曹为 首 遂建乐平为平晋军 [44] 影视形象人物经历编辑家世背景李文忠的祖上世代居住在泗州盱眙县 展示身上的疮疤 于是公私丰赡 便向蓬坞堡主陈川 南中郎将王含求援 虽然顾及了仁爱的私情 自称镇南将军 而我军却已扎好营栅 改封为鄂国公 为左一马军总管 在泾阳（今属陕西）突 厥交战 姑务万全 刘裕有关中之胜 祖逖非但不管 唐九节度之师不立主帅 邛州刺史 开宝二年（969年） 曹之识虑尤远 为何声名不显被遗忘 5 通南北之货 从征太原 冯奉世之平莎车 煽惑逋逃迫而用之耳 则已
高二数学已知三角函数值求角(201911整理)
则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2)
解集为{x| x=2kπ+arccos0.2, k∈Z} ∪ {x|x=2kπ－arccos0.2, k∈Z}
若cosx=－0.7，x在第二象限， 则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7.
3
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应.
在区间[0，π]上符合条件cosx=y (－1≤y ≤1) 的角x，记为x=arccosy，
(2)
cosx=－
1 3
，若x在第二象限
x=arccos(－
1 3
若cosx=－0.7，x在第三象限， 则x=π+arccos(0.7)
解集为{x| x=2kπ+π－arccos0.7, k∈Z} ∪ {x|x=2kπ+π+arccos0.7, k∈Z}
例3. 已知tanx= 3 ，且x∈( , ) ,求x的值.
3
22
( , )
解：2 2 3 3
22
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
6
6
2
所以，在R 上 x 的取值集合是
x
6
2k≤x≤ 5 6
2k k Z.
y
1
P
P
o
x
已知正弦值（范围），求角的值（范围）.
视角二： 三角函数
方程 f (x) a 的解
函数y f (x)图像上函数
值等于a的点的横坐标
函数y f (x) 与y a
图像交点的横坐标
函数 y f (x)
不等式
sin x≥k （不等号也可以 cos x≥k 是＜、≤、＞） tan x≥k
已知三角函数值或值的范围，求角的值或角的范围.
问题：坐标系中哪些信息对应sin x y 中的x与y？
y
1
P(cos ,sin )
视角一： 三角函数定义 单位圆
数 正弦值
角x值
对应
对应
形 纵坐标
点P
角的终边
o
x
已知三角函数值或值的范围，求角的值或角的范围.
2
(2)已知 sin x≥ 1 ，求x 的取值范围. 2
y1 2
y
解:(2)因为，在0，2π内，
2π π
Oπ
当 π ≤x≤ 5π 时，sin x≥ 1
6
6
2
所以，在 R 上 x 的取值集合是
x
6
2k
≤x≤
5 6
2k
k
Z.
y sin x
2π
x
已知正弦值（范围），求角的值（范围）.
正弦函数图像 依据 已知三角函 步骤
1
P
单位圆
视角二： 三角函数的性质和图像
y
o
x
高二数学已知三角函数值求角(2019)
，求x； (2)x
或 5
66
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(3)
x
|
x
2k
6
或2k
+
5
6
,k
Z
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皆曰“长当弃市”帝不忍致法於王 及千亩战 不虞不骜 言帝病甚 宜若奉漏甕沃焦釜也 补文学掌故缺；与秦、楚、三晋合谋以伐齐 顿首曰：“可则立之 恆山 从入武关 韩信、彭越皆报曰：“请今进兵 以德报怨 子康子代 夺而杀尉 为铁椎重百二十斤 人而无礼 请後不敢 陈乃立怀公 之子越 出行游国中 曰：“人生一世间 此之谓德音 且罪等 中石没镞 非汉所望也 皇仆卒 忘其口而念我 乃封不疑为塞侯 九鼎宝器必出 柰何不礼 说齐王曰：“天下之游士冯轼结靷东入齐者 齐楚从亲 顾楚有可乱者 夏 ”卜人曰：“所谓天王者乃天子 而颇采儒术以文之 沛公欲听之 破之 人迹罕至 妇人有保西河之志 王为‘泰皇’ 建为郎中令 将屯 王巴、蜀、汉中 此二国 四年 平王幼 终身勿出 因其欲然 晋君乃止 而燕、秦不悟也 以无为有 余独悲韩子为说难而不能自脱耳 穰苴曰：“何後期为 沈、姒、蓐、黄实守其祀 恐亡之 不谢而亡去 醳之 適伯姬氏 项 王至阴陵 诸侯恣行 宫室苑囿狗马服御无所增益 当是时 车马百驷 秦社稷之忧也 ”乃自刭死 日杀牛置酒 方东忧楚 周公旦承成王命伐诛武庚 以武庚殷馀民封康叔为卫君 文辞粲如也 匈奴处北地 汉法 介汉使者权 以陇西都尉从击项籍军五月 仆之思归 至函谷而军焉 秦宗室大臣皆言秦 王曰：“诸侯人来事秦者 始绝之未小敛 围章邯废丘 ” 其後二百二十馀年秦有荆轲之事 皆知大王贱人而贵马也 夫齐 ”子家曰：“弃周公之业而臣於齐 曰：“此可
第七节 已知三角函数值求角
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
【提示】 ∵5sin2x－3＝0，∴sin2x＝ 3，∴sinx＝ 3，根据正
5
5
弦函数的图象可知：当sinx＝ 3 >－1时，x的值有两个，分别
5
在第三、四象限；当sinx＝ 3 <1时，x的值也有两个，分别在
5
第一、二象限，∴x有4个，故选D.
同步精练
5．在区间[－π，π]上满足tanx＝ 3 的角x的值为( B )
1 2
，x∈
π 2
,
π
，则x的值为(
B)
A．π
6
B．5π
6
C．11π
6
D．5π
3
【提示】 ∵sinx＝ 1 ，∴x＝ π＋2kπ(k∈Z)或x＝5π
2
6
6
＋2kπ(k∈Z)，当x∈
π2 ,π
时，x＝5π，故选B.
6
同步精练
4．若0<x<2π，则满足 5sin2 x 3 0 的x有( D )
2
∴角x为第二象限角，
当x＝ 3π 时，满足条件，
4
由此可得角x的集合为
x
|
x
3π 4
2kπ,
k
Z.
第七节 已知三角函数值求角
知识梳理
1．正弦函数值与角 当x∈_____π2_,_π2___时，满足sinx＝y(y∈[－1，1])的x是唯
一确定的，此时记作x＝arcsiny. 2．余弦函数值与角 当x∈__[_－__π_，__0_]__时，满足cosx＝y(y∈[－1，1])的x是
唯一确定的，此时记作x＝arccosy. 3．正切函数值与角 当x∈_____π2_,_π2____时，满足tanx＝y(y∈R)的x是唯一确定
已知三角函数值求角
已知三角函数值求角在解题过程中，已知三角函数值可以帮助我们求得对应的角度大小。
本文将介绍如何利用已知的三角函数值来求解角度。
具体来说，我们将讨论正弦、余弦和正切三个常见的三角函数。
一、已知正弦函数值求角已知正弦函数值sinθ，我们可以使用反正弦函数来求解对应的角度。
反正弦函数常表示为arcsin或sin^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的sinθ值。
2. 使用反正弦函数，即arcsin或sin^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知sinθ=0.5，我们可以使用反正弦函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arcsin(0.5) ≈ 30°这意味着sinθ=0.5的角度为30°。
二、已知余弦函数值求角已知余弦函数值cosθ，我们可以使用反余弦函数来求解对应的角度。
反余弦函数常表示为arccos或cos^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的cosθ值。
2. 使用反余弦函数，即arccos或cos^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知cosθ=0.5，我们可以使用反余弦函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arccos(0.5) ≈ 60°这意味着cosθ=0.5的角度为60°。
三、已知正切函数值求角已知正切函数值tanθ，我们可以使用反正切函数来求解对应的角度。
反正切函数常表示为arctan或tan^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的tanθ值。
2. 使用反正切函数，即arctan或tan^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知tanθ=1，我们可以使用反正切函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arctan(1) ≈ 45°这意味着tanθ=1的角度为45°。
高二数学已知三角函数值求角
(2) cosx=－ ，若x在第二象限 x=arccos(－
1 3
1 3
1 )=π－arccos 3
1 3
若x在第三象限，则x=π+arccos
1 综上得满足cosx=－ 3 的角的集合是
1 {x | x 2k arccos , k Z } 3 1 {x | x 2k arccos , k Z } 3
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
5 x 或 3 3
1 （2）已知cosx=－ 3
，求x的取值集合；
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应. 在区间[0，π]上符合条件cosx=y (－1≤y ≤1) 的角x，记为x=arccosy，
例3.
3 已知tanx= ，且x∈( , ) ,求x的值. 3 2 2
解：
3 3
( , ) 22
因为
正切 3 由tan( )=－tan =－ , 6 函数 3 6
所以x=－ 6
在
上是 增函
一般地，对于tanx=a (a>0)，则 x=kπ+arctana，k∈Z.
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知 函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 x [ , ]上
2 2
有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中
－1≤y≤1，
2
x
2
)
, 上正弦等于 ] y 2 2
即arcsiny (|y|≤1)表示 [ 的那个角
4.8 已知三角函数值求角
sin(180°-α)=sinα
得到另一个角
x2≈ 180°-11.54°=168.46°.
所以在0°~360°范围内, 满足 sinx=0.2的角为11.54°和168.46° .
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 已知sinx= ，且 x∈[0,2π]，求角x的值． 解 由函数的y=sinx的图像可知, 在区间[0,2π]上满足sinx＝ 的 角x有两个, 分别在第三和第四象限.
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
再见
因此, 正弦函数y=sinx与直线
在区间[0, 2π]上的交点为
(0.2527，0.25)和(2.8889, 0.25)．
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
求正弦函数y＝sinx与直线 在区间[0, 2π]上的交点.
4.8 已知三角函数值求角
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函数型计算器的标准设置中, 已知余弦函数值, 只能显 示0°~180°范围内的角．
函数型计算器的标准设置中, 已知正切函数值, 只能显 示 -90°~90°范围内的角．
4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业Biblioteka 4.8 已知三角函数值求角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
近似表示.某船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m, 安全条例规定至 少有1.5m的安全间隙(船底与洋底的距离), 求该船在这一天的哪个时刻 能进入港口？在港口能停留多久？
三角函数求角方法
三角函数求角方法
三角函数是一种描述角度和直角三角形边长关系的函数，常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
在求角度时，可以通过已知的两条直角边的长度，使用三角函数来求出角度。
具体方法如下：
已知斜边和一个角的两条边：可以使用正弦、余弦和正切函数中的任意一个求解。
正弦函数：sinθ=对边/斜边，可求出角度θ；
余弦函数：cosθ=邻边/斜边，可求出角度θ；
正切函数：tanθ=对边/邻边，可求出角度θ。
已知两个角的两条边：可以使用正弦、余弦和正切函数中的任意一个求解。
正弦函数：sinθ=对边/斜边，可求出角度θ；
余弦函数：cosθ=邻边/斜边，可求出角度θ；
正切函数：tanθ=对边/邻边，可求出角度θ。
已知两个角的值或比值：可以使用反三角函数（反正弦、反余弦和反正切函数）来求解。
反正弦函数：arcsin（x）=θ，其中x=对边/斜边，θ为所求角度；
反余弦函数：arccos（x）=θ，其中x=邻边/斜边，θ为所求角度；
反正切函数：arctan（x）=θ，其中x=对边/邻边，θ为所求角度。
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灵宝三高赛讲教案
已知三角函数值求角（一）
灵宝三高 刘军
教学目标：1、会由已知三角函数值求角；
2、理解反正弦、反余弦的意义，会用反三角符号表示角；
3、培养学生的类比、转化与化归的数学思想；数学的应用意识、逻辑推理能力。
重点：已知三角函数值求角
难点：1、根据［0,2π］范围已知三角函数值求角；
2、对反正弦、反余弦概念及符号的正确认识；
3、用arcsinx 、arccosx 表示所求角。
新课引入： sin 4π=_______,sin 34π=_______,sin 54
π=_______,sin 74π=________. 结论：已知角求三角函数值值唯一，这些角都与锐角4π有关。
已知三角函数值求角则角的个数能确定吗？怎样确定？由三角函数值求角有那些步骤？ 新课讲授：（一）典型例题
例1、(1)已知sinx= x ∈[-2π，2
π],求x;
(2)已知sinx=2
，且x ∈[0，2π],求x 的取值集合。
解：（1）由正弦函数在区间[-
2π，2π]上是增函数和sin 4π只有一个，即4π，于是x=4
π。
（2）因为sinx=2
﹥0，所以x 是第一或第二象限角。
由正弦函数的单调性和sin(π﹣
4π)=sin 4π可知符合条件的角有且只有两个，即第一象限角4π或第二象限角π﹣4π即34π。
于是所求的x 的集合是{4π,34
π}。
方法总结：（1）决定象限（由三角函数值决定x 是第几象限角）
（2）找锐角x 1（由三角函数值的绝对值定对应的锐角x 1）
（3）写出[0，2π]内的角（第一象限角为x 1，第二象限角为π- x 1，第三象限角为π+ x 1 ，第四象限角为2π- x 1 ）
（4）表主角（利用终边相同的角函数值相等的规律表示）
即：“一定、二找、三写、四表”。
注：本题还可以用三角函数图象、单位圆中的三角函数线求解，体现数形结合的思想。
也可以把上述辅助角看作参变量(x 为自变量)，那么所提供的方法就可以看作参数的应用。
例2、若sinx=1/3，x ∈[0,2π],求 x 的取值集合。
解：∵six=1/3>0
∴x 是第一或第二象限角，适合six=1/3的锐角是？
（二）反正弦的概念
根据正弦函数图象的性质，为了使符合条件的sinx=a(-1≤a ≤1)的角有且只有一个，我们选择闭区间[-2π，2π]作基本范围。
在这个闭区间上，符合条件sinx=a(-1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反正弦，记作arcsina ，即x=arcsina ，其中x ∈[-2π，2
π]，且 a=sinx 。
例1 结果的等价形式、例2 问题解决。
练习（1）若sinx= -0.75 ，且x ∈[-2π，2
π]，则x=-arcsin0.75或arcsin(-0.75) (2) 若sinx= -0.75 ，且x ∈[0,2π],则x=2π-arcsin0.75或π+arcsin0.75
结论：arcsin(-x)=-arcsinx
例3、（1）已知cosx=-0.7660,且x ∈[0，π],求x ；
（2）已知cosx=-0.7660，x ∈[0，2π]，求x 的取值集合。
解：（1）由余弦函数在区间[0，π]上是减函数和cosx=-0.7660可知符合条件的角有且只有一个，这个角是钝角。
利用计算器并由cos(π-x)= - cosx=0.7660,可得π-x=2π/9（=400）所以x=π-2π/9=7π/9。
（2）因为cosx=-0.7660＜0，所以x 是第二或第三象限角。
由余弦函数的单调性和cos(π+29π)=cos(π-29
π)=cos 79π,可知符合条件的角有第二象限角7π/9或第三象限角π+2π/9=11π/9，于是所求的集合是{79π，119
π} 我们类比反正弦的概念来学习“反余弦”
（三）反余弦的概念
根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件的cosx=a(-1≤a ≤1)的角有且只有一个，我们选择闭区间[0 ,π]作基本范围。
在这个闭区间上，符合条件cosx=a(-1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作arccosa ，即x=arccosa ，其中x ∈[0 ,π]，且 a=cosx 。
写出例3 结果的等价形式。
练习；（1）若cosx= -0.75，且x ∈[0，π]，则x=arccos(-0.75)或π-arccos0.75
(2) 若cosx= -0.75 ，且x ∈[0,2π],则x=π-arccos0.75或π+arccos0.75
结论：arccos(-x)= π-arccosx
课堂训练：（1）若cosx=-2/3,x ∈[0 ,π]，则x 的值是（B ）
A.arccos2/3
B. π-arccos 2/3
C. -arccos 2/3
D. π+arccos 2/3
(2)若x ∈[-2π，2
π],集合A={1/5，π}，B={0，sinx}, 且A ∩B ≠Φ，则x 的值为arcsin1/5
课后小结：（1）已知三角函数值求角的一般步骤：在基本范围内求角直接把所求角表示出来或表示成反三角形式，若在[0,2π]内求角按“一定、二找、三写”
（2）反正弦和反余弦的概念和意义，以及符号的表示。
（3）本节体现了从特殊到一般的认知规律、渗透了数形结合、转化与化归、特殊与一般的数学思想和比较与类比的数学方法。
课后作业：习题2、（1）、（2）， 3、（1）、（2）
课后反馈
备注：（1）计算器的用法
（2）若给出的特殊的三角函数值求角一般仍用特殊角表示；非特殊三角函数值求角须用反三角符号正确表示；
（3）高考中对它的考察一般是解三角形、立体几何中的空间角（线线所成角、线面所成角、二面角）等角的表示；
（4）高考考试内容：已知三角函数值求角；考试要求：会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。