概率统计3-1

y
x→−∞
F(−∞, y) := lim F( x, y) , F( x,−∞) := lim F( x, y),
y→−∞
y
( x, y)
F(−∞,−∞) := lim F( x, y) ,
x→−∞ y→−∞
Y O
( X,Y )
X
x
x
F(∞, ∞) := lim F( x, y)
x→∞ y→∞
3 . F( x, y) = F( x + 0, y) , F( x, y) = F( x, y + 0) .
P{ X > 0.1,Y > 0.1}
= 1− F(0.1,+∞) − F(+∞,0.1) + F(0.1,0.1) +∞
= 1− (1− e
−0.1
) − (1− e
−0.1
) + (1− e
y
−0.1
)(1− e
−0.1
)
=e
−0.2
x = 0.1
• (0.1,0.1) = 0.1 y
o
x
二
F(x, y) = FX (x)FY ( y) 即 则称 X 和Y 相互独立
P( X ≤ x,Y ≤ y) = P( X ≤ x)P(Y ≤ y)
相互独立, 注: 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布
由定义可证 二维 随机变量 ( X, Y ) 相互独立
F(x, y) = FX (x)FY ( y) ∀a < b, c < d
x→+∞
= F( x,+∞)
= lim F( x, y)
y→+∞
逆不真
设随机变量(X 例3 设随机变量 ,Y )的联合分布函数为 的联合分布函数为 x y F( x, y) = A B + arctan C + arctan 2 2 其中A 为常数. − ∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞ 其中 , B , C 为常数 (1) 确定 , B , C ；(2) 求X 和Y 的边缘分布函数； 确定A 的边缘分布函数； (3) 求P (X > 2)
y y
( x, y)
Y O
( X,Y )
X
x
x
X
]x
O
x
随机点 ( X,Y ) 落在矩形域 [ x1 < x ≤ x2 , y1 < y ≤ y2 ] 内的概率为
P( x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 )
= F( x2 , y2 ) − F( x1, y2 ) − F( x2 , y1 ) + F( x1, y1 )
F(x0 + 0, y) = lim+ F(x, y) = F(x0 , y)
x→x0
F(x, y0 + 0) = lim+ F(x, y) = F(x, y0 )
4.F( x2 , y2 ) − F( x2 , y1 ) + F( x1, y1 ) − F( x1, y2 ) ≥ 0.
y→y0
任何二维随机变量的分布函 数都具有这四条性质；反之 可证：如果某一二元函数具 有这四条性质，那么，它一 定是某一二维随机变量的分 布函数．
上的随机变量, 是定义在 S上的随机变量 由它们构成的一个 n 维向 量 ( X1, X2 ,⋯, Xn ) 叫做 n 维随机向量 或 n维随机变 量. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 我们重点讨论二维随机变量 . 请注意与一维情形的对照 .
一、二维随机变量的分布函数
1 F( x, y) = A B + arctan x C + arctan y B = ,C = , A = 2 2 2 2 2 π
π
π
(2)
− ∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞
1 1 x FX (x) = F(x,+∞) = + arctan , 2 π 2
π π 解 (1) F(+∞,+∞) = A B + C + = 1 2 2 B −π C + π = 0 F(−∞,+∞) = A 2 2 π π 1 B = ,C = , A = 2 2 2 π π π
F(+∞,−∞) = A B + C − = 0 2 2
定义
设 ( X,Y ) 是二维
随机变量, 随机变量 对于任意实数
一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
x, y, 二元 函数
= P{( X ≤ x) ∩(Y ≤ y)} F ( x, y)
F( x) = P(X≤ x) −∞< x < ∞
≜ P( X ≤ x ,Y ≤ y)
分布函数, 称为二维随机变量 ( X,Y )的分布函数 或者称为随机 联合分布函数. 变量 X 和 Y 的联合分布函数
P( X > a,Y > c) = P(a < X < +∞,c < Y < +∞)
(a,+∞) (+∞,+∞)
y c
=1− F(+∞, c) − F(a,+∞) + F(a, c)
(a,c)
a
(+∞,c)
x
一电子元件由两个部件构成， 例2 一电子元件由两个部件构成，以X，Y分 ， 分 别表示两个部件的寿命(单位 千小时). 单位： 别表示两个部件的寿命 单位：千小时 已知 X 和 Y 的联合分布函数为 −x −y (1− e )(1− e ), x > 0, y > 0 F( x, y) = 其它 0, 求两个部件的寿命都超过100小时的概率 小时的概率. 求两个部件的寿命都超过 小时的概率 解 P{ X > 0.1,Y > 0.1}
y
y2
( X,Y )
O
y1 x1 x2
x
分布函数 F( x, y) 的性质:
y 1 . F( x, y) 是关于变量 x 和 y 的不减函数;
对任意固定的 y ∈ R 及 ∀ x1 , x2 ∈ R , 当 x1 < x2
( x1, y)
x1 O ( X,Y )
y
( x2, y)
x x2
时 F( x1, y) ≤ F( x2 , y) ;
(1− e− x )(1− e− y ), x > 0, y > 0 F( x, y) = 其它 0,
判断X与 是否独立 是否独立？ 判断 与Y是否独立？ 解
1− e− x , x > 0 FX ( x) = F( x,+∞) = 其它 0,
同理
1− e− y , y > 0 F ( y) = F(+∞, y) = Y 其它 0, F( x, y) = FX ( x)F ( y) ,∀x,y ∈ R. Y
− ∞ < x < +∞.
1 1 y F ( y) = F(+∞, y) = + arctan , − ∞ < y < +∞. Y 2 π 2
(3)
P( X > 2) =1− P( X ≤ 2)
1 + 1 arctan 2 =1− 2 2 π
=1/ 4.
三、随机变量的相互独立性 回忆：两事件A,B独立的定义是： 独立的定义是： 回忆：两事件 独立的定义是 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 . — 将事件独立性推广到随机变量 则称事件 独立 — 定义 设X与Y 是两个随机变量， 若对任何 与 是两个随机变量， 实数 x, y 都有
分布函数的函数值的几何解释 将二维随机变量 ( X,Y ) 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 坐标 那么 分布函数 F ( x, y)在点 ( x, y) 处的函数值 落在下面左图所示的,以点 就是随机点 ( X,Y ) 落在下面左图所示的 以点 ( x, y) 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率
P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = P(a < X ≤ b)P(c < Y ≤ d) ∀a,c ∈R
P(X > a,Y > c) = P(X > a)P(Y > c)
一电子元件由两个部件构成， 例2（续） （ 一电子元件由两个部件构成， 分别表示两个部件的寿命(单位 以X，Y分别表示两个部件的寿命 单位：千 ， 分别表示两个部件的寿命 单位： 小时). 已知X和 的联合分布函数为 小时 已知 和Y的联合分布函数为
第三章
随机向量及其独立性
§ 3.1 随机向量及其联合分布
到现在为止，我们只讨论了一个 及其分布 及其分布. 到现在为止，我们只讨论了一个r.v及其分布 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够， 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述. 需要用几个随机变量来描述 在打靶时,命中点的位置是 在打靶时,命中点的位置是 由一对r 两个坐标)来确定的 由一对 .v (两个坐标 来确定的 两个坐标 来确定的.
y y
2 1
(x1 , y2) (X, Y ) (x1 , y1) x
1
(x2 , y2)
y o
(x2 , y1) x
2
x
例1
0, x + y <1 设 F(x, y) = 1, x + y ≥1